Волков А.А. Курс физики

Подождите немного. Документ загружается.

I.3.2 Уравнение Максвелла для div

Линии магнитного поля не могут начаться или кончиться в пустом пространстве, т.

е. либо замыкаются сами на себя, либо уходят в бесконечность. Следовательно, в любую

замкнутую поверхность входит столько же линий магнитного поля, сколько их выходит.

Поток магнитного поля в пустоте через любую замкнутую поверхность равен нулю [1,

стр. 129]:

Hd~s = 0.

Преобразуя этот интеграл в объемный по теореме Гаусса-Остроградского, получим [1,

стр. 129]:

div

HdV = 0.

Ввиду того что поверхность, ограничивающая объем, произвольна, всегда можно вы-

брать объем столь малым, чтобы интеграл брался по области, где divH знакопостоянна,

если она не равна нулю. Но тогда вопреки двум последним равенствам divH не будет

равна нулю. Поэтому дивергенция H должна везде обращаться в нуль [1, стр. 130]:

div

H = 0. (I.2)

Уравнения I.1 и I.2 вместе называются первой парой уравнений Максвелла [1, стр. 130].

I.3.3 Уравнение Максвелла для div

Поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному электриче-

скому заряду, заключенному внутри поверхности, умноженному на 4π (теорема Гаусса) [1,

стр. 130]:

Ed~s = 4πQ.

Эту теорему легко вывести из закона Кулона для точечных зарядов. Поле точечного

заряда e выражается следующей формулой [1, стр. 130]:

E =

Здесь ~r — радиус-вектор, проведенный из той точки, где находится заряд, в точку, где

определяется поле. Поле обратно пропорционально r

и направлено по радиус-вектору [1,

стр. 130].

Окружим заряд сферической поверхностью, центр которой совпадает с самим зарядом.

Элемент поверхности сферы d~s есть r

dΩ

, где dΩ — элемент телесного угла (Ω =

), а

указывает направление нормали к поверхности. Поток поля через элемент поверхности

равен [1, стр. 130]:

Ed~s =

· r

dΩ

= edΩ.

Поток поля через всю поверхность сферы от единичного заряда:

Ed~s =

edΩ = eΩ =

4πe, (·) ∈ Ω

0, (·) 6∈ Ω.

Браницкий А.А. 11 M∀TM∃X 2012

В силу аддитивности поток напряженности электрического поля равен:

Ed~s = 4π

i∈Ω

|{z}

—

электростатическая теорема Гаусса

для системы точечных зарядов

Ed~s

| {z }

RRR

div

EdV

= 4πQ

Q =

ZZZ











⇒

ZZZ

(div

E − 4πρ

)dV = 0.

Поскольку область, по которой берется интеграл, произвольна, то получаем:

div

E = 4πρ

. (I.3)

I.3.4 Ток смещения

Из теории постоянных токов известно, что линии тока всегда замкнуты. Действитель-

но, разомкнутость линии означает, что на ее концах имеет место накопление или убыль

заряда. Но можно определитьтакие векторные линии, которые всегда замыкаются или

уходят в бесконечность и при непостоянном токе [1, стр. 132].

∂ρ

∂t

+ div

j = 0

div

E = 4πρ







⇒ div

j +

4π

∂

∂t

= 0.

Отсюда получаем, что линии вектора

j +

4π

∂

∂t

всегда замкнуты. Слагаемое этого век-

тора

4π

∂

∂t

называется током смещения, потому что оно не связано с переносом зарядов.

Вместе с током переноса зарядов ток смещения образует систему замкнутых векторных

линий [1, стр. 132].

I.3.5 Уравнение Максвелла для rot

Запишем закон Био-Савара в элементарной форме. Пусть в точке, радиус-вектор кото-

рой ~r

, находится элемент тока длиной d

при силе тока I. Тогда в точке с радиус-вектором

~r этот ток производит поле d

H, которое определяется таким законом [1, стр. 133]:

H =

I[d

, ~r − ~r

]

c|~r − ~r

Полный ток через площадку ds:

I =

jd~s.

Проинтегрируем закон Био-Савара по некоторой поверхности S, пронизываемой током,

и по всему контуру L

[1, стр. 133]:

H =

jd~s

, ~r − ~r

]

c|~r − ~r

Браницкий А.А. 12 M∀TM∃X 2012





*

4π

∂

∂t

4π

∂

∂t





j +

4π

∂

∂t



*

~r − ~r





d ~s



+



3

Рис. I.6: Вывод уравнения для rot

Тогда получится та часть магнитного поля, которая обязана токам, проходящим через

внешний контур этой поверхности (см. рис. I.6). Если прибавить к

j ток смещения

4π

∂

∂t

то векторные линии результирующего тока замкнутся. На рисунке I.6 эти замкнутые ли-

нии пронизывают незаштрихованный контур. Точки этого контура и натянутой на него

поверхности имеют радиус-вектор ~r, а точки векторной линии полного тока и соответ-

ствующей заштрихованной поверхности — радиус-вектор ~r

. Заметим, что если бы мы не

ввели ток смещения, линии движения точечных зарядов в каждый данный момент време-

ни никак не могли бы замкнуться: там, где есть заряд, ток не равен нулю в этот момент,

но равен нулю во всех остальных точках пространства. Только вместе с током смещения

получаются полностью замкнутые линии, как на рисунке I.6 [1, стр. 134].

Проинтегрируем теперь выражение для магнитного поля вдоль контура незаштрихо-

ванной поверхности, т. е. по L. Тогда из последнего выражения получим после прибавления

4π

∂

∂t

и перестановки порядка интегрирования [1, стр. 134]:

l =

j +

4π

∂

∂t

d~s



~r − ~r

|~r − ~r





~r − ~r

|~r − ~r



(

4π,

если заштрихованный контур и контур векторной линии,

вдоль которого ведется интегрирование по L

, сцепляются

0, в противном случае.

| {z }

rot

Hd~s

4π

j +

4π

∂

∂t

d~s.

rot

H =

4π

j +

∂

∂t

. (I.4)

Уравнения I.3 и I.4 вместе называются второй парой уравнений Максвелла.

Браницкий А.А. 13 M∀TM∃X 2012

I.3.6 Система уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла для идеального вещества:

















rot

E = −

∂

∂t

div

H = 0.







rot

H =

∂

∂t

4π

div

E = 4πρ

Система уравнений Максвелла в случае полного вакуума:

















rot

E = −

∂

∂t

div

H = 0.







rot

H =

∂

∂t

div

E = 0.

I.4 Электростатика точечных зарядов. Понятие о по-

тенциале электрического поля. Потенциал электри-

ческого поля точечного заряда. Потенциал системы

зарядов на больших расстояниях

I.4.1 Электростатика точечных зарядов. Медленно переменные

(стационарные) поля

Важный класс приближенных решений уравнений электродинамики составляют мед-

ленно переменные поля, для которых можно пренебречь производными по времени в урав-

нениях Максвелла [1, стр. 187]:

∂

∂t

 1.

∂

∂t

 1.











(

div

E = 4πρ

rot

E = 0

— уравнения электростатики.







div

H = 0

rot

H =

4π

— уравнения магнитостатики.

В первые два уравнения входят только электрическое поле и плотность заряда, произ-

водящего поле, во вторые два — магнитное поле и плотность тока. Правые части уравнений

считаются заданными функциями координат и времени. Так как никакие дифференциро-

вания по времени в эти уравнения не входят, временная зависимость электрического поля

такая же, как плотности электрического заряда, а магнитного поля — как плотности то-

ка. Следовательно, в приближении, определяемом вышеописанными соотношениями, поля

Браницкий А.А. 14 M∀TM∃X 2012

как бы устанавливаются мгновенно, соответственно вызвавшему их распределению заряда

и тока [1, стр. 187].

На самом деле всякое изменение поля передается в пространстве со скоростью света c.

Если наблюдается поле на расстоянии R от заряда, то электромагнитное возмущение дой-

дет до него за время

. Заряд, имеющий скорость v, за это время сместится на расстояние

. Приближение, задаваемое этими соотношениями, может быть справедливо только то-

гда, когда это смещение v

не ведет к существенному перераспределению заряда. Пусть,

например, система состоит из двух равных по величине и противоположных по знаку

зарядов (диполь), которые за время

успеют обменяться местами. Тогда электрическое

поле на расстоянии R в момент времени t =

будет иметь направление, противоположное

тому, какое оно имело бы при мгновенном распространении в момент t = 0 [1, стр. 188].

Следовательно, если размеры системы зарядов r, а скорость их v (по порядку вели-

чины), то рассматриваемые уравнения применимы на таком расстоянии от системы, для

которого справедливо неравенство:



, или R 

r [1, стр. 188].

I.4.2 Понятие о потенциале электрического поля

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для стационарного электрического поля:

(

rot

E = 0

div

E = 4πρ

По теореме Стокса получаем:

l =

rot

Ed~s = 0.

Отсюда следует, что интеграл не зависит от пути интегрирования. В таких случаях

говорят о консервативных (потенциальных) полях — полях, интегралы от которых не

зависят от пути интегрирования (например, сила тяжести).

Работа по перемещению единичного заряда из (·)1 в (·)2:

(·)2

(·)1

− ϕ

| {z }

Разность

потенциала

в (·)2 и

потенциала

в (·)1

 −

(·)2

(·)1

Потенциал определяется с точностью до аддитивных постоянных, т. с. существует про-

извол в выборе граничных условий. Обычно ϕ −−−→

r→∞

Для проводников граничным условием является заземление:

∞

(·)1

Поскольку электрическое поле аддитивно и интеграл аддитивен, то потенциал — ад-

дитивная величина.

Браницкий А.А. 15 M∀TM∃X 2012

I.4.3 Потенциал электрического поля точечного заряда

Распишем потенциал точечного заряда:

− ϕ

= −

(·)2

(·)1

l = −

(·)2

(·)1

l = −e

(·)2

(·)1

dl cos(

= −e

(·)2

(·)1

−

Зададим условие: ϕ −−−−→

r→∞

(R→∞)

Потенциал одного точечного заряда: ϕ =

В силу аддитивности потенциал системы зарядов равен:

ϕ =

Потенциал зарядов, распределенных по объему: ϕ =

RRR

Потенциал зарядов, распределенных по поверхности: ϕ =

dϕ = −

∂ϕ

∂

= −E

∂ϕ

∂

= (gradϕ)











⇒

E = −gradϕ.

E =

⇒

E =

ZZZ

dV.

E = −gradϕ

div

E = 4πρ

)

⇒ div(−gradϕ) = −div(gradϕ) = −∆ϕ = −4πρ

⇒ ∆ϕ = 4πρ

Если ρ

= 0, то получим однородное уравнение Лапласа: ∆ϕ = 0.

I.4.4 Величина скалярного потенциала в целом нейтральной си-

стеме в удаленной точке







*

Рис. I.7: Скалярный потенциал в

удаленной точке

Выделяем некоторый центр, лежащий в области рас-

пределения зарядов (см. рис. I.7).

ϕ =

Расстояние от центра до любой точки системы много

больше расстояния от центра до удаленной точки:

 1.

−

⇒ R

− 2

+ R

= R

1 −





Браницкий А.А. 16 M∀TM∃X 2012

ϕ =

1 −





−1/2

| {z }

1−

cos(

)





−1/2

| {z }

cos(

)

=1+

≈

Поскольку система зарядов в целом электрически нейтральна, то

= 0.

Вектор электрического (дипольного) момента: ~p 

Вектор электрического момента не зависит от выбранного центра в случае электриче-

ской нейтральности системы. Действительно:

пусть

−~a,

тогда

(

−~a) =

−~a

|{z}

= ~p.

ϕ ≈

z }| {

I.5 Диэлектрики и проводники. Понятие о сверхпро-

водимости. Электростатическое поле в среде. Век-

тор индукции. Основные уравнения электростатики

в среде

I.5.1 Проводники

Все среды по своим электрическим свойствам делятся на два класса [2, стр. 281]:

1. среды, в которых при постоянном значении среднего электрического поля устанав-

ливается статистическое равновесие, — диэлектрики;

2. среды, в которых равновесие в электрическом поле не устанавливается, а течет ток, —

проводники.

Допустим, что некий проводник отделен от других проводников диэлектрической сре-

дой или вакуумом, т. е. изолирован, и помещен во внешнее электрическое поле, постоянное

во времени. В равновесии заряды на проводнике распределяются так, чтобы поле внутри

проводника равнялось нулю (

E = 0). Иначе говоря, внутри проводника поле этих зарядов

полностью компенсирует действие внешнего поля [2, стр. 281].

Если на поверхность раздела двух сред не нанесен сторонний электрический заряд, то

непрерывна нормальная составляющая вектора электрической индукции D

[2, стр. 279]:

− D

= 0.

Браницкий А.А. 17 M∀TM∃X 2012

Если же имеется заряд с поверхностной плотностью σ

, то [2, стр. 279]:

− D

| {z }

Скачок

нормальной

составляющей

вектора

электрической

индукции

= 4πσ

На изолированный проводник можно нанести избыточный заряд любого знака. Однако

и в этом случае поле внутри проводника обращается в нуль. Покажем, что во всех случаях

плотность заряда внутри проводника равна нулю [2, стр. 281].

Действительно, по уравнению div

E = 4πρ

при отличной от нуля плотности заряда ρ

должен был бы существовать поток вектора поля

E через поверхность, внутри которой

6= 0. Это относится как к собственным зарядам, входящим в состав проводящей среды,

так и к зарядам, нанесенным на проводник извне. Но среднее поле внутри проводника,

находящегося в равновесии, равно нулю, так что ρ

тоже не может иметь отличного от

нуля значения [2, стр. 281].

Следовательно, заряд проводника может быть сосредоточен только на его поверхности.

Поверхностная плотность заряда — σ

. За счет этой плотности у проводника, если он

не имеет результирующего заряда, возникнет отличный от нуля дипольный момент (у

заряженной системы определение дипольного момента неоднозначно). Но и при не равном

нулю моменте объемная поляризация равна нулю, так как

P = ρ

~r, а ρ

= 0. Поэтому

вместе с электрическим полем внутри проводника равна нулю индукция

D =

E + 4π

P .

Поскольку внутри проводника D = 0, нормальная составляющая электрической индукции

вблизи поверхности проводника равна [2, стр. 281]:

= 4πσ

I.5.2 Диэлектрики

Диэлектрики — непроводники электричества

: в них в отличие от металлов и электро-

литов нет зарядов, могущих перемещаться на значительные расстояния и переносить ток

[3, стр. 77].

Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все газообразные и жидкие

диэлектрики и часть твердых), либо из заряженных ионов, закрепленных в определенных

положениях равновесия (например в узлах кристаллической решетки). Ионные кристал-

лические решетки могут быть разбиты на так называемые элементарные ячейки, каждая

из которых содержит равное количество положительных и отрицательных зарядов и в

целом нейтральна [3, стр. 77].

Под воздействием внешнего электрического поля

заряды, входящие в состав диэлек-

трика, не срываются полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положения

равновесия в некоторые новые равновесные положения [3, стр. 77].

Равнодействующая электрических сил, действующих на нейтральную молекулу в од-

нородном (

E = const) электрическом поле, очевидно, равна нулю: поэтому центр тяжести

молекулы диэлектрика в однородном поле остается неподвижным [3, стр. 77].

Подводем итог. Диэлектрик является веществом, плохо проводящим электрический

ток. Можно разбить диэлектрик на малые области, суммарный заряд в которых нейтрален.

В сущности все диэлектрики обладают некоторой, хотя и весьма малой, проводимостью, так что

понятие идеального непроводника является лишь первым приближением к действительности.

Если только напряженность его не слишком велика (иначе может, например, произойти пробой ди-

электрика).

Браницкий А.А. 18 M∀TM∃X 2012

I.5.3 Свободные и связанные заряды

При рассмотрении электрического поля, в случае наличия в нем диэлектриков, нужно

различать два рода электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными за-

рядами мы будем понимать, во-первых все электрические заряды, которые под влиянием

электрического поля могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в

металлах и вакууме, ионы в газах и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, нанесен-

ные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их нейтральность

. Заряды же,

входящие в состав нейтральных молекул диэлекриков, равно как и ионы, закрепленные

в твердых диэлекриках вблизи определенных положений равновесия, мы будем называть

зарядами связанными [3, стр. 80].

Связанные заряды — заряды, которые локализованы и в целом нейтральны в этой

области.

Рассмотрим кристаллическое вещество (поваренную соль). О свободных зарядах гово-

рят, когда области перестают быть нейтральными.

I.5.4 Сверхпроводимость

В 1911 г. Каммерлинг-Оннес открыл, что при температуре, которая на несколько гра-

дусов выше абсолютного нуля, некоторые металлы скачком теряют сопротивление. Впо-

следствии список таких металлов и сплавов был сильно расширен. По многим призна-

кам было видно, что переход в сверхпроводящее состояние обязан взаимодействию между

электронами, так как это типичный фазовый переход. В отсутствие магнитного поля это

фазовый переход второго рода, так как он сопровождается только скачком теплоемко-

сти, в магнитном же поле данный фазовый переход сопровождается выделением тепла,

т. е. уже представляет собой фазовый переход первого рода. Но природа взаимодействия,

дающего такой коллективный эффект, долгое время оставалась загадочной [2, стр. 469].

В конце 40-х годов, когда научились разделять изотопы металлов в макроскопических

количествах, оказалось, что температура перехода у некоторых сверхпроводников обратно

пропорциональна квадратному корню из атомного веса соответствующего изотопа. Как

раз так зависит от массы атомов частота колебаний решетки (как, впрочем, при всяких

гармонических колебаниях). Это наводит на мысль о роли фононов. Х. Фрёлих в 1950 г.

показал, что электроны металла способны взаимодействовать через посредство фононов.

Один электрон испускает фонон, а другой поглощает его, подобно тому как в вакууме

происходит взаимодействие посредством фононов [2, стр. 469].

I.5.5 Электростатическое поле в среде

Вектор поляризации:

P  lim

∆V →0

i;∆V

∆V

P 

i;V =1

V =1

⇒

P dV —

электрический момент

дифференциально

малого объема.

dϕ

связ.

P dV

, где ϕ

связ.

—

скалярный потенциал

связанных электрических зарядов.

связ.

dϕ

связ.

dV.

Сюда же относятся, например, заряды внутриионной решетки твердых диэлектриков, образовавшиеся

благодаря недостатку в данном участке диэлектрика ионов определенного знака, так что этот участок в

целом уже не нейтрален.

Браницкий А.А. 19 M∀TM∃X 2012

E = −gradϕ

связ.

Будем считать, что ϕ

связ.

∞

= 0.

связ.

R =





x − x

y −y

z − z





R = |

R| — модуль радиус-вектора.

Обозначим: a = (x, y, z) (точка конца).

grad

R = grad

(x − x

)

+ (y − y

)

+ (z −z

)







∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂x

∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂y

∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂z







Обозначим: g = (x

, y

, z

) (точка начала).

grad

R = grad

(x − x

)

+ (y − y

)

+ (z −z

)







∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂x

∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂y

∂

√

(x−x

)

+(y−y

)

+(z−z

)

∂z







= −

div

= grad





| {z }

−

grad

P +

· div

P =

div

= div

−

div

связ.

dV =

div

dV −

div

dV =

−div

| {z }

d~s

| {z }

Объемная плотность связанных зарядов: ρ

e,связ.

 −div

P .

связ.

= ϕ

+ ϕ

e,связ.

dV +

e,связ.

ds.

Если в области есть трещины, то мы вырезаем эту особенность, чтобы можно было

дифференцировать, а потом сжимаем.

− P

ds =

−(P

− P

)

ds.

−(P

− P

)

ds.

Браницкий А.А. 20 M∀TM∃X 2012