Вольдек А.И. Электрические машины

Подождите немного. Документ загружается.

Сложим сначала прямые гармоники н. с. фаз. Эти гармоники,

согласно равенствам (22-27), можно представить в следующем виде:

Faxп

= у >> c°

[

И - va) + 0 (v - 1) ;

v„

= у cos [(ш/ - va) +

(v - 1) Щ; (22-28)

Fcvп

фУ1

cos [(<D*-va) + 2(v-l)yj. I

На основании равенств (22-28) прямые гармоники н. с. фаз яв-

ляются синусоидами или векторами, сдвинутыми относительно друг

2it

друга на угол (v — 1) Определим их сумму.

Нечетные гармоники v =- 1, 3, 5... можно разбить на три группы

1) v = /пй = 3k (£ = 1„ 3, 5, ...; v = 3, 9, 15,...);

2) v = 2mfc+1=66+1 (k = 0, 1, 2, 3, ...;

v = l, 7, 13, 19, ...); (22-29)

3) v = 2mk -

= 6k -

(k = 1, 2, 3, ...;

v = 5, 11, 17 ...).

Для первой группы гармоник угол сдвига гармоник н. с. от-

дельных фаз составляет ф

(v-l)| = (3*-l)f =

г. и 2я

= 2nk

—

-g-

или — 120° (рис. 22-8, а).

Синусоидальные волны или

векторы н. с. трех фаз по-

этому сдвинуты относи-

тельно друг друга в про-

странстве на 120°, вслед-

ствие чего сумма этих

гармоник равна нулю.

Следовательно, прямые

гармоники, кратные трем, в кривой н. с. отсутствуют.

Для второй группы гармоники (22-29) угол сдвига равен

(V-1)^

= (6A

+ 1-1)^

= 4jiA

или 0°, и эти гармоники поэтому суммируются арифметически

(рис. 22-8, б), т. е. утраиваются.

Рис. 22-7. Н. с. трех фаз обмотки

Для третьей группы гармоник угол сдвига составляет

(v-l)f = (6А

— 1 —

1) у = 4&л

—

или 240° (рис. 22-8, в), и сумма их поэтому также равна нулю.

Аналогичным образом можно убедиться в том, что из числа об-

ратных гармоник, выраженных вторыми членами правой части

равенств (22-27), обращаются в нуль суммы гармоник первых двух

групп (22-29), а совпадают по фазе и суммируются арифметически

гармоники третьей группы. Таким образом, н. с. трехфазной об-

мотки при симметричной нагрузке не содержит гармоник, кратных

и обратных v = 6k— 1 = 5, 11, 17... Основная гармоника (v =

= 1) является прямой и вращается в направлении чередования фаз

обмотки.

Скорость вращения гармоник н. с. обратно пропорциональна v,

а их амплитуды в соответствии с равенствами (22-19) и (22-28)

v = |/

$v = ^--^/=1.35 (22-30)

В общем случае симметричная /л-фазная обмотка при ее сим-

метричной нагрузке создает только вращающиеся гармоники

н. е., амплитуды которых на полюс равны

(22-31)

Полная н. с. трехфазной обмотки при симметричной нагрузке

в соответствии с изложенным выражается равенством

= 2 F

cos (atf

=р

va),

= 6t±l

где верхние знаки относятся к прямым гармоникам и нижние —

к обратным. Равенство (22-32) действительно и для других много-

фазных обмоток, однако состав высших гармоник является

другим.

В ряде случаев целесообразно выражать амплитуды н. с.

не через данные обмотки и ток фазы, а через линейную на-

грузку.

Под линейной нагрузкой А обмотки переменного тока пони-

мается сумма действующих значений тока всех проводников обмотки

на единицу длины окружности якоря:

mlwl

2 рх

mw!

(22-33)

Значения величины А по (22-33) при / = /

для ряда выполненных

машин указаны в табл. 19-1 и 19-2.

Подставив величину mwl из равенства (22-33) в (22-31), получим

(22-34)

При этом амплитуда основной гармоники н. с.

(22-35)

Н. с. трехфазной обмотки при несимметричной нагрузке ана-

лизируется методом симметричных составляющих. Очевидно, что

полученные выше результаты в этом случае действительны для

токов прямой последовательности 1

Токи обратной последовательности /

имеют обратное чере-

дование фаз и сдвинуты также на углы 120°. Эти токи создают

такие же н. е., как и токи прямой последовательности, но вра-

щающиеся по отношению к первым в противоположных напра-

влениях.

Основная гармоника н. с. (v = 1) при этом вращается в обрат-

ном направлении.

При одновременном действии токи и /

создают н. с. пря-

мой (F

) и обратной (F

) последовательности, векторы которых

вращаются с одинаковыми скоростями в противоположных направле-

ниях (рис. 22-9), и амплитуда результирующего поля основных

гармоник описывает эллипс, в связи с чем такое поле называется

также эллиптичес-ким. Если существует только вращаю-

щееся поле токов одной последовательности, то такое поле назы-

вается круговым вращающимся полем, так как

в эгом случае вместо эллипса получается окруж-

ность.

Н. с. токов нулевой последовательности

= h = h = Y^h cos at (22-36)

необходимо рассмотреть отдельно.

Используем для н. с. фаз от токов нулевой

последовательности выражение (22-21). Тфгда

для v-x гармоник трех фаз имеем

v = cos at cos va;

Fbv

= F$

cos at cos v ^a

—

v =

/\])v Cos

at cos v ^a

—

Очевидно, что эти н. с. во времени совпа-

дают по фазе и сдвинуты в пространстве на

углы v Для гармоник, кратных трем (v =3 k), угол сдвига

составляет 2nk или 0°, и поэтому эти гармоники складываются

арифметически. Но для гармоник v = 6k ± 1 угол сдвига равен

v^ = (6A± 1)^ = 4 nftzty

или ±120°, и поэтому сумма этих гармоник равна нулю.

Таким образом, токи нулевой последовательности создают

только пульсирующие н. с. гармоник, кратных трем, а основ-

ная и другие нечетные гармоники в .кривой н. с. отсутствуют,

Н. с. этих токов выражается равенством

Рис 22-9 Образо-

вание эллиптичес-

кого вращающегося

поля

F= 2] Fvocosco^cosva,

V=3, 9, 15

(22-37)

где амплитуда

о —

З^ф

.6/2 wk

o5v

= 2,7

wk.

06V

(22-38)

Гл. 22] Намагничивающие силы обмоток

445

Н. с. двухфазной обмотки при симметричной нагрузке токами

= yT/cosa>f;

=1/2/ cos (со*-;90°),

(22-39)

сдвинутыми по фазе на 90°, можно проанализировать так же, как

и для трехфазной обмотки, учитывая при этом, что фазы двухфаз-

ной обмотки сдвинуты в пространстве тоже на 90°.

f<r

Il=±

9 t=0

t=|r

Гц- ^

Рис. 22-10. Образование вращающегося поля двухфазной об-

мотки

Из такого анализа получаются следующие выводы:

1. В кривой н. с. сохраняются все нечетные гармоники, из ко-

торых гармоники

v = 2mk+l=4k+l (k = 0, 1, 2, 3 ...)

или v = 1, 5, 9, 13... являются прямыми, а гармоники

\ = 2mk-\=Ak-\ (k=\, 2, 3...)

или v = 3, 7, 11... —обратными.

2. Амплитуда н. с. выражается равенством (22-31) при m = 2

или равенством (22-19).

Таким образом, амплитуда вращающейся н. с. двухфазной об-

мотки равна амплитуде пульсирующей н. с. одной фазы обмотки.

Этот результат отражает то обстоятельство, что два вектора F

FI,, неподвижных в пространстве со сдвигом на 90° и пульсирующих

(22-40)

(22-41)

-во времени со сдвигом по фазе также на 90°, в сумме образуют вра-

щающийся вектор с той же амплитудой (рис. 22-10).

Следовательно, две- обмотки, сдвинутые в пространстве на

90°, при питании их одинаковыми по величине токами, сдвину-

тыми по фазе также на 90°, создают вращающееся магнитное

поле.

Н. с. трехфазной обмотки при несинусоидальных токах. В неко-

торых случаях (работа генераторов на выпрямительную нагрузку,

питание двигателей через вентильные преобразователи частоты)

токи фаз несинусоидальны. В таких случаях кривую тока можно

разложить на основную и высшие временные гармоники и иссле-

довать действие каждой гармоники тока по отдельности. Каждая k-я

гармоника тока, имеющая частоту /

создает такой ряд прост-

ранственных гармоник н. е., как и основная гармоника, но вра-

щающихся в k раз быстрее. Наибольшей среди них является основ-

ная пространственная гармоника с числом полюсов 2р. Магнитное

поле этой гармоники вращается относительно ротора и индукти-

рует в массивных частях ротора синхронных машин, в их успокои-

тельных и пусковых обмотках и в обмотках роторов асинхронных

машин токи, которые вызывают излишние потери и нагрев машины.

Н. с. беличьей клетки. Анализ этого вопроса здесь опускается.

Приведем лишь его результаты.

Если вращающееся магнитное поле с р парами полюсов ин-

дуктирует в беличьей клетке с Z стержнями систему токов со

сдвигом по фазе в соседних стержнях на угол у 1см. выражение

(21-14)], то эта беличья клетка создает бесконечный ряд прямо

вращающихся гармоник с порядковыми числами

v = A|+l (k = 0, 1, 2, 3 ...) (22-42)

и такой же ряд обратно вращающихся гармоник с порядковыми

числами

v = kj-\ {k = \, 2, 3 ...). (22-43)

Равенство (22-42) при k = 0 определяет основную- гармонику

н. с. Например, при Z = 18 и р = 2 получим прямые гармоники

v = 1, 10, 19, 28... и обратные гармоники v = 8, 17, 26...

Равенства (22-42) и (22-43) можно истолковать следующим об-

разом.

В двух последних равенствах (22-29) и в равенствах (22-40),

(22-41) числа 6 и 4 перед k равны числам фазных зон рассматривае-

мых обмоток на пару полюсов. В (22-42) и (22-43) величина Z/p

определяет количество стержней на пару полюсов. Токи в этих

стержнях сдвинуты по фазе подобно токам фазных зон обычной

многофазной обмотки, и поэтому данные стержни аналогичны

фазным зонам. В связи с этим вместо 2m в равенства (22-42) и (22-43)

входит Zip.

При достаточно большом Zip беличья клетка имеет большое

число фаз и ее н. с. содержит мало гармоник низких порядков,

приближаясь поэтому к синусоиде.

Совпадение выражений (22-42), (22-43) с (22-34) указывает на то,

что все гармоники н. с. беличьей клетки являются гармониками

зубцового порядка. Это вполне естественно, так как в беличьей

клетке каждый стержень представляет собой отдельную фазу и по-

этому q = 1.

Если Zip — не целое число, то н. с. беличьей клетки содержит

гармоники v дробного порядка, для которых величины полюсных

делений т и т, не являются кратными.

Амплитуды гармоник н. с. беличьей клетки определяют по ра-

венству (22-31) при подстановке m = Z, w =

, k

o6v

= 1, пони-

мая под I ток стержня. Для этой н. с. действительно также выраже-

ние (22-32), если начало координат а совпадает с серединой зубца

и фаза тока участка кольца у этого зубца определяется выражением

cos соt. Для получения надлежащих знаков членов (22-32) при

этом необходимо положить

o6v

= ±(-l)*, (22-44)

где верхний знак относится к прямым гармоникам, а нижний —к об-

ратным и значения k для разных v соответствуют (22-42) и (22-43).

Представление вращающегося поля в виде двух лульсирующих

полей. Выражение для вращающейся основной гармоники н. с.

[см. формулу (22-32)1 можно видоизменить следующим образом:

cos

(cot

rp а)=F

cos

cot

cos a ± sin oif sin a.

(22-45)

Два члена правой части (22-45) представляют собой два непод-

вижных пульсирующих поля, которые сдвинуты в пространстве

на 90° (cos а и sin а) и пульсируют во времени со сдвигом по фазе

также на 90° (cos cat и sin at).

Такая замена вращающегося поля двумя неподвижными пуль-

сирующими полями удобна при анализе некоторых вопросов

теории машин с электрической и магнитной несимметрией по

двум взаимно перпендикулярным осям (например, явнополюс-

ные синхронные машины) и может быть распространена также

на высшие гармоники поля. В любом случае можйЬ представить

себе также, что такие поля создаются некоторой воображаемой

двухфазной обмоткой (см. рис. 22-10).

§ 22-3. Графический метод анализа намагничивающей

силы обмотки

Построение кривой и. с. обмотки с целым q. Из рассмотрения

рис. 22-1 следует, что кривая н. с. катушки изменяется скачком

на величину полного тока катушки w

в местах расположения

катушечных сторон, а на участках, лишенных тока, величина н. с.

не изменяется. Направление скачка кривой н. с. при этом опреде-

ляется направлением тока в катушке. Поскольку для н. с применим

принцип наложения, то отсюда вытекает следующий простой метод

построения кривой н. с. обмотки: для определенного момента вре-

мени вычерчивается (рис. 22-11, в и е) ступенчатая кривая н. е.,

которая изменяется скачками соответствующей величины и напра-

вления в местах расположения катушечных сторон обмотки. Этот

метод, таким образом, представляет собой в сущности графическое

интегрирование токов катушечных сторон обмотки вдоль поверх-

ности якоря.

На практике кривая н. с. строится следующим образом.

Вычерчивается график распределения катушечных сторон по

фазным зонам (см. рис. 22-11, а, где сечения катушек разных фаз

изображены разными фигурами). Затем для определенного момента

времени определяются величины и направления токов в катушеч-

ных сторонах, которые указываются там же. На рис. 22-11, а при-

нят момент времени, когда токи катушек в зонах А, В, С равны

соответственно

'о

"4" Im'> ib

'с

2 ^

т%

а в зонах X, Y, Z они равны этим величинам с обратным Знаком.

Положительные токи на рис. 22-11, а обозначены точками, а отри-

цательные— крестиками. На рис. 22-11,6 представлен также

график распределения тока пазов вдоль окружности якоря и eras

основная гармоника, вычерчивание которого не обязательно. При

вычерчивании кривой н. с. (рис. 22-11, в) откладывают в соответ-

ствующих направлениях ступеньки, равные величинам полных

токов соответствующих пазов. Если ток wj

принять за единицу,,

то величина первых трех ступенек кривой рис. 22-11, в будет равна

соответственно 2, 1V

и 1 единицам. Полученную кривую н. с.

(рис. 22-11, в) разделяют осью абсцисс таким образом, чтобы сумма

площадей положительных полуволн (полюсов) равнялась сумме

площадей отрицательных полуволн (полюсов), ибо вследствие не"

прерывности магнитных линий суммы потоков противоположный

полярностей должны быть равны. При целом q все полуволны кри^

вой имеют одинаковую форму и ось абсцисс является осью снимет*

рии кривой.

? + I 1ГЧ-++1 I I +

AZBXCYAZBX С Y

-лООдАгагаэвААШооеддвяефАДша

"J ШШФФААЮИИ

У Albrfy

ад* ^^ ^tsjL l^t^

Рис11, Построение кривой н с^трехфазиой двух-

слойной обмотки с Z = 24, 2р — 4, q — 2,у— % т

' (см. схемы рис. 2М в 21-4)

На рис. 22-11, г, д и е указанные построения повторены для слу-

чая, когда фаза токов изменилась на 30 и

i / • ,v_fl.

la— 2

' "— '

— 2

Кривые н. с. позволяют определить величины н. с. в любых точ-

ках окружности и, в частности, ее максимальные величины. Кривую

н. с. можно разложить известными методами на гармоники (штри-

ховые кривые на рис. 22-11, в и е для v = 1) и определить их ампли-

туды.

На основании рис. 22-11 можно отметить следующее.

При изменении фазы тока на некоторый угол (на рис. 22-11, е

на 30° по сравнению с рис. 22-11, в) кривая н. с. в целом и ее основ-

ная гармоника смещаются на такой же угол. Изменение при этом

формы кривой свидетельствует о том, что ее разные гармоники

вращаются с разными скоростями. При увеличении q зубцы кривой

н. с. становятся относительно меньше и удельный вес высших гар-

моник в кривой уменьшается. При q -> оо (равномерно распреде-

ленная обмотка) кривая н. с. в наибольшей степени приближается

к синусоиде. Укорочение шага также приближает кривую к сину-

соиде, так как градация величин ступеней кривой н. с

вследствие

перекрытий фазных зон разных слоев обмотки при этом увеличи-

вается. Наилучшая кривая н. с. получается при укорочении шага

обмотки на половину фазной зоны (при зоне 60° шаг у =

т, как

на рис. 22-11), когда кривая н. с. каждого полюса состоит из 2m

участков с разными крутизнами подъема вместо m участков при

у =

т.

Кривая н. с. дробной обмотки. На рис. 22-12 изложенным выше графическим

методом построена кривая н. с. трехфазных двухслойных дробных обмоток, изоб-

раженных на рис. 21-5 н 21-7, для момента времени, когда i

= I

—i

= —у/т. Рис. 22-12 выполнен для половины окружности статора (4т). Из этого

рисунка можно сделать следующие выводы о свойствах н. с. дробных обмоток.

Формы кривых н. с. северных н южных полюсов дробной обмотки неодина-

ковы, и поэтому наряду с нечетными существуют также четные гармоники н. с.

В общем случае, при знаменателе дробности d > 2, кривые н. с. на протяжении

различных пар полюсов различны, период кривой L поэтому больше 2т (на

рис. 22-12 имеем L = 4т) и прн разложении ее в ряд Фурье появляются гармоника

v с полюсным делением t

> т. Порядок этих гармоник н. с. v = т/т„ < 1, и они

называются низшими. Поля этих гармоник вращаются быстрее поля основной

гармоники [см. равенство (22-23)]. Появляются также высшие гармоники

(v > 1), порядок которых v не выражается целым числом.

Можно показать, что н. с. трехфазной дробной обмотки с фазной зоной 60°

содержит гармоники

v=J±l, (22-46)

где k — любое такое положительное или отрицательное число (включая нуль),

при котором v > 0.