Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

13.3.

Прогнозирование экономических систем

на основе марковских моделей

теории вероятностного моделирования к наиболее изученным

и исследованным относятся модели, у которых случайный процесс

функционирования относится к классу марковских процессов, т. е.

марковские модели.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется мар-

ковским,

если для любого момента времени вероятностные характе-

ристики процесса в будущем зависят только от его состояния в дан-

ный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это

состояние. При исследовании экономических и, в частности, произ-

водственных систем наибольшее применение имеют марковские

случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным

временем. Процесс называется

процессом

дискретными

состоя-

ниями, если все его возможные состояния можно заранее перечис-

лить,

т. е. состояния системы принадлежат к конечному множеству

Z-{*,}•

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если

смена состояний может произойти в любой случайный момент; при

этом считается, что переход системы из одного состояния в другое

происходит мгновенно.

качестве иллюстрации использования теории марковских про-

цессов построим и решим марковскую модель для следующей про-

стейшей условной задачи.

Постановка задачи. Предположим, что на рынке вычислитель-

ного оборудования преобладают дискеты двух марок: А и В. Допус-

тим, что потребители приобретают новую упаковку дискет прибли-

зительно один раз в месяц, и сделаем при этом следующие предпо-

ложения.

Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами мар-

ки А,

то с вероятностью 0,6 он будет приобретать их и в следую-

щем месяце, а с вероятностью 0,4 в следующем месяце он приоб-

ретет дискеты марки В.

Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами мар-

ки

В,

то с вероятностью 0,7 он будет приобретать их и в следую-

330

13.

Имитационное моделирование

щем месяце, а с вероятностью 0,3 в следующем месяце он приоб-

ретет дискеты марки А.

В матричной форме эта информация может быть записана сле-

дующим образом:

т,

0,6

0,3

0,4

0,7

Матрицу Р

называют при этом одноступенчатой матрицей пе-

реходов.

Целью решения данной задачи является составление прогноза

состояния рынка дискет в обозримом будущем.

Формализация модели. Проанализируем динамику переходов

системы из одного состояния в другое в процессе времени, т. е.

построим марковские

цепи,

рассчитывая одновременно соответству-

ющие вероятности переходов.

Первая итерация. Построение матрицы двухступенчатых пе-

реходов.

Вероятность того, что потребитель, использующий в данный ме-

сяц дискеты марки А, будет их использовать и через месяц, равна

0,48 : (0,6 • 0,6

0,4 • 0,3). Графически данный расчет можно

проиллюстрировать следующим образом (рис. 13.1).

1 -й

месяц 2-й месяц 3-й месяц

Рис. 13.1.

Двухступенчатый переход

331

Моделирование экономических процессов

Аналогично рассчитываются вероятности:

- 0,52(0,6 -0,4 + 0,4-0,7);

0,61(0,3 • 0,4

0,7 • 0,7);

->А

- 0,39(0,3 • 0,6

0,7 • 0,3).

результате получаем матрицу двухступенчатых переходов

0,48 0,52

0,39 0,61'

ш>

которая может быть рассчитана по исходным данным при помощи

аппарата матричной алгебры:

0,6 0,4

0,3 0,7

0,6 0,4

0,3 0,7

0,48 0,52

0,39 0,61

р . р = т

Вторая итерация. Построение матрицы трехступенчатых пе-

реходов.

Построение матрицы трехступенчатых переходов проиллюстри-

руем (рис. 13.2) на примере расчета вероятности того, что покупа-

тель,

использовав дискеты марки А в первом дискрете времени, ос-

1-й

месяц

2-й месяц

3-й месяц

Рис. 13.2. Трехступенчатый переход:

Р„_м = (0,48 • 0,6 + 0,52

•

0,3) =

0,444

332

13,

Имитационное моделирование

танется их приверженцем и в четвертом дискрете (через три ступе-

ни) времени.

Остальные элементы матрицы трехступенчатых переходов бу-

дут равны:

РА-*В

(°<

°'

) "

°'

556

Рв->В

(°'

• °'

°'

•

°'

) °

°'

583

Рв^

- (0,39 • 0,6

+ 0,61

• 0,3)

0,417.

Естественно, что матрица трехступенчатых переходов

(Р

так

же как и матрица

может быть рассчитана с использованием мат-

ричной алгебры:

0,444

0,556*

0,417

0,583

В общем случае для ступени к перехода соответствующая мат-

рица может быть рассчитана по следующей формуле:

Прогнозирование рынка товара. Предположим, что в начале

наших наблюдений за рынком объем продажи дискет марки А со-

ставляет

всех

объемов продаж дискет, а объем продажи дискет

марки В

—

лишь У

т.

е. в векторном виде:

=(0,75; 0,25).

Рассчитаем аналогичный вектор х

, компоненты которого пока-

зывают, какую часть рынка будет контролировать каждая марка дис-

кет через месяц.

Рассмотрим для этого следующую схему (рис. 13.3).

Из рис. 13.3. получаем

- (0,525; 0,475).

* Сумма элементов по каждой строке матрицы должна быть равна еди-

нице.

333

=Р

- Р

" т

0,48 0,52

0,39 0,61

0,6 0,4

0,3 0,7

Моделирование экономических процессов

^-0,45

А:

0,75

В.

0,25

Исходная доля

рынка

Прогноз по сбыту

товаров

Рис. 13.3. Расчет вектора продаж х

Аналогично выполняются расчеты и для нахождения вектора х

(рис.

13.4).

А 0,525

В: 0,475

0,4575

. 0,315

0,21 —

. 0,1425

В 0,3325 _

0,5425

Рис. 13.4. Расчет вектора продаж х

Как следует из рис. 13.4,

= (0,4575; 05425).

Проиллюстрированные выше расчеты легко реализуются в мат-

ричной форме:

0,6 0,4

=х

-Р

=(0,75; 0,25)-

=х

=(0,75; 0,25)-

0,3

0,7

0,444

0,556

0,417

0,583

(0,525;

0,475);

(0,4575;

0,5425).

334

13.

Имитационное моделирование

общем случае

Xk=*itf

Кстати, для службы маркетинга векторы

(0,75;

0,25),

= (0,525; 0,475),

= (0,4575; 0,5425) и т. д.

позволяют увидеть, какая тенденция будет проявляться на рынке

дискет во временной динамике.

Для более четкого выявления данной тенденции можно вос-

пользоваться выводами из важнейшей теоремы теории массового

обслуживания, которая носит название первой эргодической те-

оремы.

Данная теорема доказывает, что если исходная матрица Pj не

имеет нулевых элементов,

то:

Существует единственный вектор х, для которого

хР,= х

(х называется неподвижным вектором для Pj).

По мере роста к матрица Р

приближается к матрице Р, в кото-

рой каждая строка совпадает с х .

Для каждого исходного вектора х

с увеличением к вектор х

приближается к х .

На основании данной теоремы сразу по исходным данным (по

матрице Р

) может быть рассчитан вектор х .

Для нашей задачи: (а,Ь)

0,6 0,4

0,3 0,7

••Ш,

[0,6а

0,3b; 0,4а

0,7Ь] = (а, Ь).

0,6а

+ 0,ЗЬ = а,

Г-0,4а

+ 0,ЗЬ =

0,4

+ 0,7Ь = Ь,

1 0,4а-0,ЗЬ

Откуда 0,4а - 0,ЗЬ

335

Моделирование экономических процессов

учетом того, что а

+ Ъ

решим систему

|0,4а-0,ЗЬ

{ а +

= 1,

3 ,_ 4

откуда найдем

а =

- и

Ь =

—.

Итак, искомое решение: х =

Этот результат показывает, что независимо от нынешнего состо-

яния рынка, если матрица переходов останется равной P

то будет

наблюдаться тенденция к тому, чтобы марка дискет

контролирова-

3 „4

ла - рынка, а марка

В — —

13.4. Основные принципы построения

имитационной модели

Одним из основных параметров при имитационном моделирова-

нии является модельное время, которое отображает реальное время

функционирования исследуемой системы.

зависимости от способа

продвижения модельного времени методы моделирования подраз-

деляются:

• на методы с приращением временного интервала;

• методы с продвижением времени до особых состояний.

В первом случае модельное время продвигается на некоторую

величину At. Далее определяются изменения состояния элементов

системы, которые произошли за это время. После этого модельное

время снова продвигается на величину At и т. д. до конца периода

моделирования Т

. Шаг приращения выбирается, как правило, по-

стоянным, но в общем случае он может быть и переменным. Этот

метод носит название «принцип Д£».

Во втором случае в текущий момент модельного времени t сна-

чала анализируются будущие особые состояния системы (иногда их

называют

события),

которые изменяют динамику функционирова-

3 4

7'' 7

336

13.

Имитационное моделирование

ния исследуемой системы.

общем случае в качестве особых состо-

яний можно выделить:

• поступление заявок на обслуживание;

• начало обслуживания заявки;

• освобождение канала после обслуживания заявки;

• завершение моделирования.

В самом общем случае в системе могут быть выделены события

и других типов, например, возникновение отказа (поломки) канала

обслуживания в процессе обслуживания заявки, а также заверше-

ние восстановления устройства после отказа.

После анализа событий выбирается наиболее раннее и модель-

ное время продвигается до момента наступления этого события.

При этом считается, что состояние системы не изменяется между

двумя соседними событиями. Затем определяется реакция системы

на выбранное событие, в частности определяется характер и мо-

мент наступления нового особого состояния (события), и

т.

д. Про-

цедура повторяется до завершения периода моделирования Г

Данный принцип называют «принципом особых состояний». Мо-

дель в этом случае работает, «перепрыгивая» от одного события к

другому, значительно экономя машинное время моделирования.

Очевидно, что между реальным временем и временем работы мо-

дели в процессе имитации функционирования исследуемой систе-

мы нет ничего общего. Поскольку имитационный эксперимент вы-

полняется на

ЭВМ,

как правило, с очень высоким быстродействием,

время работы модели весьма незначительно (минуты). Такое отра-

жение в ЭВМ реального процесса называют «сжатием времени»,

преимущества которого становятся очевидными, если попытаться

получить эту же информацию, используя реальную моделируемую

систему.

Время окончания работы моделируемого алгоритма либо зада-

ется, как правило, с помощью ограничения, накладываемого непо-

средственно на продолжительность имитируемого периода, на так

называемую глубину моделирования, либо выход из алгоритма осу-

ществляется по достижении требуемой точности статистических

оценок рассчитываемых характеристик моделируемой системы.

Степень детализации элементов моделируемой системы в ус-

ловиях многократной реализации модели требует своего опти-

337

Моделирование экономических процессов

мального решения: с одной стороны, желательно до минимума

сократить объем вычислений, с другой — не потерять при этом

требуемой точности расчетов. Например, в имитационной моде-

ли вычислительной системы, где установлена группа однотип-

ных вычислительных машин, данную группу вычислительных ма-

шин желательно рассматривать как отдельный объект. Но при

этом мы должны сделать допущение, что данная группа вычисли-

тельных машин загружается из одной очереди заявок на обслу-

живание (обработку данных), что может не соответствовать ре-

альной системе. Насколько допустимы последствия подобных

«огрублений» имитационной модели (конечно, с учетом соответ-

ствующих упрощений), должны решать вместе исследователь и

пользователь модели.

С учетом вышесказанного обобщенный (укрупненный) алго-

ритм имитационного моделирования системы массового обслужи-

вания будет следующим:

Определяется событие с минимальным текущим временем —

наиболее раннее событие.

Модельному времени присваивается значение времени наступ-

ления наиболее раннего события.

Определяется тип события.

4. В

зависимости от типа события предпринимаются действия, на-

правленные на загрузку устройств и продвижение заявок в со-

ответствии с технологией их обработки, вычисляются моменты

наступления будущих событий. Все эти действия называют ре-

акцией имитационной модели на событие.

Перечисленные действия повторяются до истечения периода

моделирования Г

(до достижения заданной глубины моде-

лирования).

6. По результатам работы имитационной модели рассчитываются

необходимые характеристики исследуемой системы массового

обслуживания.

Рассмотрев основные принципы построения имитационной мо-

дели абстрактной системы массового обслуживания, приведем не-

сколько примеров, иллюстрирующих возможность представления

реальных систем информационно-вычислительного обслуживания

в виде

СМО.

338

13,

Имитационное моделирование

Пример 1

Если в вычислительном центре имеется несколько вычислитель-

ных систем, каждая из которых может обслуживать любые заявки,

например, несколько печатающих устройств при безразличном от-

ношении пользователя к тому, какое из них используется для выво-

да результатов по его заданию, или многопультовое средство подго-

товки данных, то каждая из этих систем может быть представлена в

виде многоканальной однофазной СМО с общим потоком заявок

(рис.

13.5).

Очередь

заявок

Рис. 13.5. Однофазная многоканальная СМО

Пример 2

Рассмотрим пример несколько более сложной СМО. Предполо-

жим, что анализируется часть вычислительной системы, состоящая

из устройств, изображенных на рис. 13.6.

Здесь к процессору с оперативной памятью подсоединены через

селекторный канал (СК) и устройства управления (УУ) два накопи-

теля на магнитных лентах и три накопителя на магнитных дисках.

На устройствах внешней памяти располагаются наборы данных —

файлы.

Поток запросов от пользователей на решение задач представля-

ется неограниченным источником заявок.

Процесс решения одной задачи заключается в выполнении слу-

чайной последовательности этапов счета (обработки данных в про-

Каналы

обслуживания

339