Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

Аддитивность производства означает, что любые два произ-

водственных процесса

могут функционировать одновремен-

но и независимо (т. е. не влияя друг на

друга),

образуя новый произ-

водственный процессу

+у

Часто вместо аддитивности требуют

выпуклости

технологии.

Это

та

же

делимость производства, но име-

ющая место между двумя любыми производственными процессами,

т. е.

,у

Y =>

ау

+(1-сс)у

€ Y для любого осе

[0,1].

Технологические множества отдельных предприятий Y

в сумме

составляют совокупное технологическое множество экономики

XYJ-.

Основная задача экономики

сфере производства

— это распреде-

ление его по отдельным предприятиям, называемое распределени-

ем производства. Оно осуществляется выбором эффективных про-

цессов на предприятиях

у,-,

которые в сумме дают совокупный про-

изводственный процесс

(TXj).

Под эффективным производственным

процессом понимается такой вектор у е

что не существует друго-

го вектора

У, х > у.

Другими словами, производственный процесс

эффективен, если невозможно производить больше продуктов с

меньшими затратами. Иногда эффективный производственный про-

цесс понимают как оптимальный по Парето.

Для существования эффективных векторов требуется замкну-

тость технологического множества. Если некоторый вектор затрат и

выпуска можно с любой степенью точности аппроксимировать тех-

нологически возможным производственным процессом, то и сам

вектор является технологически возможным.

Когда цены р играют определяющую роль в экономической си-

туации, то любой производственный процесс у получает свою оцен-

ку

—

прибыль

ру,

равную превышению стоимости выпуска над сто-

имостью затрат в производственном процессе у. Она может быть

отрицательной для некоторых у. Тогда выбор эффективного произ-

водственного процесса в каждом

осуществляется, исходя из прин-

ципа максимизации прибыли, т. е. из решения задачи:

тахРУ,

где

ре R"

—

вектор цен.

этому побуждают производителя субъекш управления, распо-

ряжающиеся прибылью предприятия. Соответствие У|-(.), которое

270

11.

Моделирование микроэкономических процессов

значениям цен р ставит в соответствие множество наиболее при-

быльных векторов

У|-(р)

Yf,

называется

предложением

производи-

теля г;

Y,Yj{p)

— совокупное предложение в экономике. Для уста-

новления экономического равновесия совокупное предложение

должно быть в некотором смысле непрерывным в своей области

определения. Это обеспечивается требованием выпуклости, замкну-

тости

У,-

и ограниченности

У,-

i?".

Если производство делимо, аддитивно и замкнуто, то технологи-

ческое множество является выпуклым, замкнутым конусом. Это

свойство технологии делает ее исключительно удобной для матема-

тического анализа производства. Для примера рассмотрим описа-

ние технологии в трактовке В. Леонтьева. По-видимому, это наибо-

лее простое описание технологии. Изучая структуру национальной

экономики (США), Леонтьев представил ее в виде отраслей, каждая

из которых производит единственный продукт, затрачивая осталь-

ные в определенных фиксированных соотношениях:

{

•,_/"

е 1 : п —

количество продукта г, затрачиваемое для производства единицы

продукта отрасли у. Для производствах- единиц продукта j требует-

ся а,- х- единиц продукта г. Таким образом, технологическое множе-

ство отрасли,/' можно представить в виде луча:

-а

•W

1-а

J.J

n,J

Xj>0-

Руководителю такой отрасли остается лишь выбирать интенсив-

ность процесса

Xj.

Предположение о постоянстве технологического

коэффициента a

т.

е. о единственности или незаменимости данно-

го производственного процесса в отрасли, имеет под собой некото-

рое основание. Предположим, что в отраслях есть альтернативные

производственные процессы, производящие тот же продукт и затра-

чивающие в некоторый фиксированный ресурс, например, труд.

Обозначим замкнутый технологический конус отрасли j через У-.

Тогда

так называемая теорема

незаменимости утверждает: в каждом

271

Моделирование экономических процессов

из множеств

можно выделить такой производственный процесс у*,

что совместное функционирование этих выделенных процессов,

т.

е.

ХУ/

j -0, позволяет получить все эффективные векторы в вы-

пуклом конусе совокупного технологического множества

J,Y

Таким

образом, использование только этих выделенных процессов у

,•

каж-

дой

отрасли

j не приводит к потере ни одного эффективного произ-

водственного процесса в национальной экономике.

Если возможно совместное производство,

т.

е. выпуск нескольких

продуктов в одном производственном процессе, то теорема

незаме-

нимости не имеет места. В общем случае конические технологии

представляют особый интерес с точки зрения анализа экономичес-

кого развития. Появились целые направления исследований, свя-

занные с коническими технологиями: существование лучей макси-

мально сбалансированного роста, магистральные свойства таких лу-

чей, эффективные траектории, характеристики эффективных траек-

торий, асимптотические свойства.

11.6.

Моделирование структурных сдвигов

в экономике

Структурные сдвиги в экономике вызваны изменением с тече-

нием времени пропорций между элементами совокупности, по кото-

рой определяется значение какого-либо экономического агрегата.

Структурные сдвиги являются следствием различий в темпах роста

элементов совокупности. Простейшим способом анализа структур-

ных сдвигов в соизмеримых совокупностях, т. е. в совокупностях,

элементы v,- которых можно суммировать, является исследование

динамики индивидуальных долей G,-

—, либо групповых до-

' L

лей G'

=-^ (суммирование в числителе производится только

272

11.

Моделирование микроэкономических процессов

по множеству индексов, соответствующих элементам анализируе-

мой группы).

Индивидуальные или групповые доли, однако, не дают комп-

лексной характеристики структурных сдвигов изучаемой совокуп-

ности. В экономической литературе прослеживаются два основ-

ных подхода к построению сводных индикаторов структурных

сдвигов. В соответствии с первым подходом (стохастическим) для

каждой пары сопоставляемых периодов строят индивидуальные ин-

дексы для всех п элементов совокупности. Сводные индикаторы

структурных сдвигов получают по аналогии с оценками числовых

характеристик одномерных распределений вероятностей. Индика-

тор структурных сдвигов рассматривают как меру рассеяния рас-

пределения индивидуальных индексов, в дополнение к мере распо-

ложения, каковой является сводный экономический индекс. Также

иногда анализируют характеристики асимметрии и эксцесса. Этот

подход развивает идеи стохастической теории индексов, которая

восходит к работам

Ф.

Эджуорта.

соответствии со вторым подходом (векторным) для каждого из

сопоставляемых периодов строят п-мерный вектор из всех элемен-

тов анализируемой совокупности. Для пары периодов сопоставляют

пару векторов, различающихся как длиной (нормой), так и направ-

лением. Отношение норм этих векторов можно рассматривать как

сводный экономический индекс, а какую-либо меру расхождения

между их направлениями — как сводный индикатор структурных

сдвигов. Векторный подход по своим идеям близок к аксиоматиче-

ской теории индексов. В соответствии с этими двумя подходами

движение системы как целого описывается сводным экономическим

индексом, а относительное движение внутри системы — сводным

индексом структурных сдвигов.

Формулы сводных индексов структурных

сдвигов,

например, для

анализа структурных сдвигов системы цен, строятся следующим об-

разом. (Индикаторы структурных сдвигов для других совокупностей

могут

быть

построены по аналогии.) Цены товаров

услуг некоторой

корзины для некоторого периода времени представляют непосред-

ственно несоизмеримую совокупность. Для приведения таких сово-

купностей к соизмеримому виду используют коэффициенты соизме-

рения (приведения) — обычно их называют

весами.

этом качестве

273

Моделирование экономических процессов

для совокупности цен могут выступать натуральные объемы това-

ров и услуг в корзине, для совокупности же объемов коэффициен-

тов приведения могут служить соответствующие им цены.

1-й

подход.

Пусть

р,-

> 0 — цена товара; периода t,j e 1 :

п,

где

п — число товаров в корзине, со- > 0 — веса, £со = 2. Тогда:

г,

t t

=1п^-^ индивидуальный индекс цен товара j за время от

tj до t

(при работе с ценами чаще используют логарифмы отноше-

ний цен, поскольку распределение отношений цен обычно тяготеет

к логарифмически нормальному); T

t t

= Xr

/t * — соответ-

ствующее взвешенное среднее.

Величина I

= 7

дает оценку логарифма среднего роста цен

за время от £

до t

, т. е. является сводным индексом цен. Взвешен-

ное среднеквадратичное отклонение распределения индивидуаль-

ных индексов цен от среднего

( _ ^

можно рассматривать как сводный индекс структурных сдвигов.

2-й подход. Пусть

<?•

> 0, j е 1 : п — объемы, используемые

в качестве коэффициентов приведения (весов). Совокупность

=<ijPj£,i e 1 : п для каждого периода t является соизмеримой.

Вектор, компонентами которого являются элементы этой совокуп-

ности, обозначим v

. Отношение

дает оценку роста цен за период от t

до t

, т. е. является сводным

индексом цен. Индикатор

t t =\

• ^.t

e[0,2]

274

11,

Моделирование микроэкономических процессов

можно рассматривать

как

сводный индекс структурных

сдвигов.

мет-

рике Ij он имеет вид

К,

-л

я,р

}У]Лг 4jPj.h

^Шл

Ея.-А'А

Здесь

|v|

— норма вектора

в евклидовом пространстве нор-

ма — это величина, равная квадратному корню из суммы квадратов

(

всех его компонентов,

||v|| =

^vj

\ i

Формулы сводных индексов структурных сдвигов могут быть и

другими, но они должны отвечать определенным требованиям.

частности, индекс должен быть инвариантен относительно смены

единиц измерения, а сводный индекс структурных сдвигов систе-

мы цен — инвариантен относительно изменения масштаба цен.

Например, если все цены p;

,j е 1 • п периода £

заменить на

•

, а все цены р -

, j e 1 : п периода t

— на

}

где а

0 и

Р >

—

произвольные константы, то это не должно влиять на значе-

ние индекса. Выполнение этих требований позволяет отделить из-

менения ценовых пропорций от изменения масштаба цен.

Для решения разных задач анализа структурных сдвигов ис-

пользуют разные индикаторы. Цепной индекс структурных сдвигов

и подобные ему индикаторы, основанные на сопоставле-

нии соседних периодов, давая сводную количественную оценку

структурных сдвигов на одном шаге по времени, позволяют прово-

дить анализ интенсивности структурных сдвигов, т. е. устанавли-

вать,

в каком из последовательных интервалов времени структура

совокупности подверглась более значительному изменению, а в

каком — менее. Здесь на первый план выходит временной аспект:

первостепенным является определение характерных периодов

структурных изменений, т. е. выявление периодов начала, оконча-

ния, ускорения, замедления, достижения максимума структурных

сдвигов.

275

Моделирование экономических процессов

Базисный индекс структурных сдвигов D

t t

и подобные ему

индикаторы, основанные на сопоставлении произвольных перио-

дов,

дают количественную оценку структурных сдвигов за соответ-

ствующее время. Они позволяет проводить анализ поступательно-

сти структурных сдвигов, т. е. устанавливать, в какой мере в основе

структурных сдвигов лежит тенденция, а в какой мере они являются

лишь результатом нерегулярных колебаний.

Анализ интенсивности структурных сдвигов не позволяет су-

дить

степени их поступательности, поскольку структурные сдвиги

умеренной интенсивности, но происходящие поступательно в опре-

деленном направлении, могут значить в содержательном плане го-

раздо больше, чем интенсивные сдвиги, вызванные лишь нерегу-

лярными колебаниями без ясно выраженной тенденции. Анализ по-

ступательности структурных сдвигов призван ответить на вопрос,

стала ли структура другой. Для решения двух рассмотренных задач

исследуется одна и та же совокупность в разные периоды времени,

вне связи ее с другими совокупностями и без привлечения иной

дополнительной информации.

Анализ интенсивности структурных сдвигов, даже подкреплен-

ный исследованием их поступательности, не позволяет, тем не ме-

нее,

судить

направленности структурных сдвигов,

т.

е. ответить на

вопрос, улучшилась ли в некотором смысле структура изучаемой

совокупности, или она ухудшилась, или осталась неизменной. Мож-

но лишь говорить, стала ли она

другой.

Для решения задачи анализа

направленности структурных сдвигов необходимо привлечение до-

полнительной информации, помимо данных о динамике состояния

исследуемой системы. Эта информация может быть привлечена,

например, путем задания выделенной структуры (внешней, эта-

лонной, нормативной и т. п.). Это позволяет анализировать дина-

мику структурных различий между текущей структурной и выде-

ленной, либо путем введения отношения порядка на множестве

элементов исследуемой совокупности, что позволяет оценить те-

кущее качество структуры в смысле, определяемом введенным от-

ношением порядка. Решение задачи анализа направленности

структурных сдвигов позволяет получить оценку качества струк-

туры (например, расстояние от текущей структуры до эталонной)

276

11,

Моделирование микроэкономических процессов

в каждый исследуемый момент времени, т. е. оценить как сам масш-

таб качества, так и его динамику.

Анализ структурных сдвигов подразумевает проведение меж-

временных сопоставлений. Когда аналогичный анализ проводится

применительно к территориальным сопоставлениям, говорят о

структурных различиях. Термин «структурные различия» в широ-

ком смысле иногда используют также и для обозначения структур-

ных сдвигов.

МАТРИЧНЫЕ

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Матричный анализ — это метод исследований взаимосвязей

между экономическими объектами с помощью матричных моделей.

Метод основывается на математической теории матриц и использу-

ется, главным образом, в тех случаях, когда объектом исследования

являются балансовые соотношения, возникающие при изучении за-

трат и результатов производства, материальных, денежных, транс-

портных и других экономических процессов. Матричная модель яв-

ляется одной из наиболее распространенной форм представления

количественной экономической информации. Матричные модели

строятся в виде таблиц и отображают соотношения между затратами

на производство и его результатами, нормативы затрат, производ-

ственную и экономическую структуру хозяйства.

Матричное представление информации является основным для

многих классов экономико-математических моделей, в частности,

приводимых к задачам линейного, а также дискретного и нелиней-

ного программирования, для разнообразных балансовых построе-

ний, социометрии, широко используется в теории игр, теории гра-

фов,

математической статистике. Для теоретических исследований

матричная запись удобнее, чем скалярная, благодаря компактности,

особенно существенной при использовании математических опера-

ций над матрицами.

12.1.

Основные отличия балансовых моделей

Балансовые

модели — это метод формализованного описания

взаимного соответствия ресурсов и потребностей в них, доходов и

расходов и т. п. Отличительными особенностями балансовых моде-

лей от других классов экономико-математических моделей (напри-

мер,

оптимизационных, эконометрических) являются:

• представление соотношений модели в виде систем линейных

уравнений, имеющих единственное решение,

т.

е. в виде мат-

ричных моделей;

278

12.

Матричные балансовые модели

• экзогенное задание всех структурных параметров, характе-

ризующих взаимосвязи переменных;

• отсутствие возможности выбора между различными вариан-

тами взаимосвязей переменных (например, различными тех-

нологическими способами) и между взаимозаменяемыми ре-

сурсами.

Наиболее распространенными балансовыми моделями являются:

• модель межотраслевого баланса;

• сводный материально-финансовый баланс;

• матричный техпромфинплан предприятия.

В частности, матричный техпромфинплан предприятия пред-

ставляет математическую модель годового плана производственно-

технической и финансовой деятельности промышленного предпри-

ятия. Он характеризует в единстве производство и распределение

продукции, включая сырье, энергию, комплектующие изделия, полу-

фабрикаты и конечную продукцию. Матричный техпромфинплан

воспроизводит применительно к предприятию идею матричного по-

строения межотраслевого баланса и состоит из четырех квадрантов

(см.

табл. 12.1).

В 1-м квадранте число строк и столбцов одинаково, т. к. они

соответствуют видам продукции и услуг; элементы этой части техп-

ромфинплана предприятия представляют собой коэффициенты пря-

мых затрат.

Во 2-м квадранте даются показателя готовой продукции, изме-

нение остатков незавершенного производства, показатели непроиз-

водственной сферы (например, затраты на содержание столовой,

общежитий, детских садов).

В 3-м квадранте представлен элементный разрез расходов на

продукцию: основное сырье и материалы, топливо и энергия со сто-

роны, амортизация, заработная плата (основная и дополнительная),

начисления на заработную плату, прочие денежные расходы и, на-

конец, прибыль. На пересечении строк 3-го квадранта и столбцов,

названия которых совпадают с названиями столбцов 1-го квадранта,

проставляются коэффициенты прямых расходов элементов затрат

на производство единицы продукции или услуги.

4-м квадранте наименования строк совпадают

наименованием

строк 3-го квадранта, а наименования столбцов

—

с наименованиями

279