Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

т. е. предельная производительность производственных фондов

— равна темпу изменения предельной полезности. Отметим, что

норма накопления, по Рамсею, оказывается чрезмерно высокой.

В однопродуктовых моделях стационарные траектории, т. е.

пропорциональный рост производственных фондов, занятости и

потребления называют золотым веком, а правило распределения

национального дохода на потребление и накопление, обеспечи-

вающее максимальное душевое потребление, золотым правилом

накопления. Это правило характеризуется распределением наци-

онального дохода на потребление и накопление в постоянной

пропорции. Понятие «золотое правило» было введено при анали-

зе однопродуктовых моделей экономической динамики с линей-

но однородными производственными функциями. Рассмотрим та-

кую модель.

Пусть K

и L

— производственные фонды и трудовые ресурсы,

используемые в единичном интервале (году) t. Произведенный в

этом интервале национальный доход N

определяется функцией F

двух аргументов: N

=F(K

Производственная функция F называется линейно однород-

ной, если

F(kK,XL)

^(K,L) для всех А.>0 и K,L>0.

Пусть также 1-Х — коэффициент выбытия производственных

фондов в течение единичного интервала времени, I

— объемы

инвестиций в производственные фонды и потребления в году

£.

Про-

стейшая модель динамики задается соотношениями:

N^FiKt.Lt),

, K

=vK

teO-.T.

Динамика трудовых ресурсов считается заданной; последова-

тельность {K

}, £ е 0:

называется траекторией.

Если

тру-

довые ресурсы растут с постоянным темпом р > 1, т. е. L

=Lp

, то

«золотым веком», или состоянием «золотого века» называются тра-

ектории сбалансированного роста, на которых все экономические

показатели растут с постоянным темпом р, а пропорции распреде-

ления национального дохода неизменны. При этом доля накопления

230

10.

Моделирование экономического развития

роста

I К

=—,

фондовооруженность

=—

и душевое потребление

— постоянны. Такие траектории называются также стационар-

ными. При стационарном росте K

=Kp

, N

=N-p

, C

=C-p' и

=I-p

модель можно рассматривать как пример моделей расширя-

ющейся экономики.

Воспользовавшись линейной однородностью, национальный до-

ход на душу населения при фондовооруженности k

обозначим

f(k

)

= F

В «золотом веке» фондовооруженность и душевое потребление

связаны соотношением

с =

f(k)-

(р

•

к.

Золотое правило накопления заключается в выборе такой его

доли

в национальном доходе, которая обеспечивает максималь-

ное душевое потребление на траекториях «золотого века». Т. к. с

максимально при

к*,

удовлетворяющем уравнению /'(£)

p-v, то

-_(P-y)-fc*

Золотое правило накопления обеспечивает равенство чистой

«предельной эффективности» производственных фондов f'(k)

= р

- v

темпу прироста экономики р - 1. Если в начальном состоянии

•*Ч) I

—

= к

к, то применение золотого правила на каждом шаге при-

ведет к построению траектории, для которой k

-»к*.

Глубокое обобщение этих результатов на многосекторные моде-

ли с учетом потребления в явном виде было получено Д. Гейлом.

Сформулируем сначала модель Гейла в упрощенном виде. Как и мо-

дель Неймана, она включает п продуктов и т способов их производ-

ства и описывается парой матриц затрат А и выпуска В продуктов.

Кроме того, каждый способу требует затрат труда l

при единичной

интенсивности,у е 1 : т. Еслиг m-мерный вектор интенсивностей»

231

Моделирование экономических процессов

то затраты и выпуск продукции равны А • z и В • z соответственно,

а затраты труда (/, г), где / -

...JJ.

Пусть L

— наличие трудовых ресурсов в интервале (t, t + 1),

a c

— п-мерный вектор потребления в этом интервале. Траектори-

ей называется последовательность {z

}, te 0 : (Г - 1), удовлетво-

ряющая балансовым ограничениям по продуктам и труду

A-z

t+1

<,B-z

-c

I-Zt&Lt; z

Z0, e

7t0, teO:(T-l).

Эту модель можно изучать как расширяющуюся экономику, если

трудовые ресурсы растут с постоянным темпом If =I-p'. В этом

случае стационарной называется траектория, на которой z

= I

•

=I-p'-c.

Ее также называют траекторией сбалансированного роста. Век-

торы г и с определяют интенсивности и потребление на одного

работающего и удовлетворяют соотношениям

p-AzuBz-c,

lzu\; z?>Q, c£0.

Предпочтения на множестве стационарных траекторий задают-

ся функцией полезности и, зависящей от объема годового душевого

потребления. Оптимальной называется стационарная траектория,

для которой

z*,

с максимизируют и(с).

Стационарной оптимальной траектории модели двойственна

стационарная траектория оценок p

- р"' • р, co

- p

-t

• со. Стацио-

нарные оценки продуктов р и труда со удовлетворяют соотношени-

ям ptu'{c), р,£ц'(с*), если

с'

(

>0,

р • В £ р • р • А + со • I,

p-Bj=p-p-Aj+(o-lj,eam

Zj>0.

Исследование стационарных траекторий является мощным и

традиционным инструментом экономического анализа. Например,

модель Неймана позволяет в различных предположениях о связи

потребления с производством оценить технологически достижимый

максимальный темп роста экономики и необходимую для этого от-

раслевую структуру. Анализ стационарных моделей роста показы-

вает, что двойственные оценки со временем снижаются. Из модели

1ейла следует, что темп роста определяется динамикой лимитирую-

щего ресурса. Двойственного соотношения показывают, что при по-

стоянных ценах ценность произведенной продукции складывается

232

10,

Моделирование экономического развития и роста

из материальных затрат р • Ар затрат труда

<о

• lj и платы за фонды

(Р - 1)

•

Aj.

Шпотеза стационарности оправдана, когда оптимальные траек-

тории близки к стационарным, т. е. к магистралям. Теорема о магис-

трали доказана для ряда моделей расширяющейся экономики. Для

модели Неймана с линейной терминальной целевой функцией

и(г

,...,г

) = /(г

) =

теорема утверждает, что пропорции оп-

тимальных интенсивностей и цен близки к неймановскому виду,

исключая, быть может, некоторые отрезки времени

начале и конце

планового периода. Суммарная длительность этих отрезков не зави-

сит от продолжительности планового периода. Она верна в предпо-

ложениях положительности вектора начальных условий у

и неко-

торых предположениях о матрицах А и В, из которых наиболее су-

щественными являются требования единственности неймановских

интенсивностей и цен

z*,p*

и положительности последних.

Модель 1ейла после перехода

душевым показателям имеет сле-

дующий общий вид:

Г-1

£u(c,)->

max,

t=o

при условиях (x

)eQ, x

£y

-c

, teO:(T-l).

Рассмотренный выше ее частный случай сводится к этому виду,

если положить

= {(x,y)\x = Az, y = Bz,

Izul,

z£0}. Оптимальная

стационарная траектория х\ у*, с* модели находится как решение

задачи к (с) -» max, при условиях (х, у) е

х й у - с.

предположе-

ниях продуктивности, усиленных требований к выпуклости

и вог-

нутости и, а также некоторых дополнительных технических требо-

ваний для оптимальных траекторий, исходящих из у

> 0, верна

слабая теорема о магистрали: число моментов времени t, когда эле-

менты оптимальной траектории х\,у[,с\ заметно отличаются от

х*, у*,

с, ограничено и не зависит от Г. Сильная теорема о магистра-

ли,

когда такие моменты встречаются лишь в начале и конце плано-

вого периода (ее называют иногда теоремой о средней магистрали)

доказывается в более жестких предположениях.

В моделях с бесконечным плановым периодом Г - °° наряду с

оптимальными траекториями изучаются хорошие траектории. Тра-

233

Моделирование экономических процессов

ектория {x

}, t

0,... называется хорошей, если найдется та-

кое число

что

£|ы(с

)-и(с*)|<Д

т=0

для t =

1,2,...,

т. е. на хороших траекториях потери суммарной

полезности в сравнении с ее значениями на траектории оптималь-

ного сбалансированного роста равномерно ограничены при всех t

Они существуют,

если

0. Множество хороших траекторий содер-

жит оптимальные траектории, если последние существуют. Для хо-

роших траекторий имеет место

{x"

,y'

,c'

)—»(х*,

у*

,с*) при t -» «•.

Это

утверждение называют иногда теоремой о поздней магистрали.

10.5.

Теории и модели экономического иикла

Модели экономического цикла рассматривают регулярные коле-

бания деловой активности.

Современная трактовка экономического цикла, свойственная

большинству экономистов, характеризуется несколькими предполо-

жениями, без учета которых невозможно правильно оценить состо-

яние исследования в данной области:

Экономический цикл — это единый процесс, последовательно

проходящий через фазы кризисов и подъемов. Предметом ис-

следования является весь

цикл,

а не его отдельные фазы.

Цикл — процесс многокомпонентный. Общее движение «дело-

вой активности» складывается как сумма нескольких составля-

ющих, колебания которых могут существенно отличаться по

фазе,

амплитуде и продолжительности.

Цикл — это колебание, происходящее вокруг трендовой траек-

тории хозяйственного роста, причем в значительной мере неза-

висимо от последнего.

Циклические колебания трактуются как колебания, происходя-

щие вокруг положения равновесия.

Циклические колебания тесно увязываются с вопросами госу-

дарственно-монополистического регулирования.

234

10.

Моделирование экономического развития

роста

В теориях цикла можно выделить два направления: неокейнси-

анское и неоклассическое. Рассмотрим основные черты, характери-

зующие эти направления, а также некоторые модели.

центре кейнсианской теории — факторы, определяющие уро-

вень и динамику национального дохода, а также уровень занятости.

Эти факторы Кейнс рассматривал на основе формирования так на-

зываемого эффективного спроса, главным компонентом которого

являются расходы на личное потребление С и инвестиции I, рас-

сматриваемые как эндогенные переменные, и государственные рас-

ходы

являющиеся экзогенной переменной. Кейнс и его последо-

ватели определили целый ряд функциональных зависимостей, ха-

рактеризующих динамику потребления, инвестиций и националь-

ного дохода в целом. Потребительская функция, по Кейнсу, зависит

от уровня дохода: чем выше доход, тем меньше общество склонно

увеличивать потребление, тем большую его долю оно сберегает.

Инвестиции, которые должны поглощать эти сбережения, определя-

ются ожидаемой выгодой от инвестиций и описываются инвестици-

онной функцией, предел которой равен норме процента. Особенно

большое значение Кейнс придавал динамике процентной ставки, ее

зависимости от денежного спроса, спекуляции на денежных рынках

и субъективных факторов, определяющих состояние этих рынков.

Функция денежного спроса в теорми Кейнса определяется двумя

главными параметрами:

1) увеличением дохода, способствующим росту числа и масш-

табов сделок (трансакционный спрос);

2) колебаниями процентных ставок, отражающим спекулятив-

ный спрос.

В простейшей форме кейнсианская модель определения нацио-

нального дохода может быть выражена системой уравнений. Основ-

ные переменные в ней:

Y— национальный доход;

С —

потребление;

—

инвестиции;

R —

процентные ставки (эндогенные макропеременные);

G —

государственные закупки;

М —

денежное предложение (экзогенные переменные);

Р —

уровень цен (условно-постоянная величина).

235

Моделирование экономических процессов

В этих обозначениях основные параметры кейнсианской моде-

ли имеют вид:

• уровень дохода Y-C

I+G;

• потребительский спрос

- а + о(1 -1) • У;

• инвестиционный спрос I - е + d • R;

• денежный спросМ - (к • Y-h -R)- Р.

Здесь а, Ь, е, d, к, h — постоянные, определяемые на основе

статистики, at— время.

Важное место в кейнсианской теории принадлежит концепции

мультипликатора, характеризующей соотношение между приростом

инвестиций и приростом национального дохода. По Кейнсу, расхо-

ды на инвестиции (или государственные расходы) превращаются в

первичные доходы, затем часть

из.

них, расходуясь, превращается во

вторичные, третичные доходы и т. п. Одновременно увеличивается

и занятость, и объем производства. Общий эффект мультипликатив-

ного процесса, так же как и значение мультипликатора, зависят от

того,

в каких долях доход разделяется на потребляемую и сберегае-

мую части. Чем большая часть дохода потребляется, тем больше

дохода будет приносить первоначально инвестированная сумма де-

нег, тем выше конечная сумма прироста дохода.

Если ДУ — первоначальный прирост дохода (равный приросту

инвестиций), а потребляемая доля этого прироста, или предельная

склонность к потреблению, составляет

Ъ,

то можно получить следу-

ющий ряд, выражающий сумму оборота дохода:

АУ

= А1 + Ь-А1 + Ъ

А1 + Ь

М + ... + Ь

-Ы = Ы- —,

\-Ь

где

ДУ

— прирост национального дохода, -—- — мультипликатор,

1-0

выражаемый через предельную склонность к потреблению Ъ. Чем

выше склонность

потреблению, тем больше мультипликатор, и на-

оборот.

Теория мультипликатора Кейнса связала приросты националь-

ного дохода и личного потребления вследствие инвестиций (или

государственных расходов). Эта модель, дополненная впоследствии

обратной связью между приростом дохода и инвестициями, стала

составной частью всех кейнсианских моделей цикла.

236

10,

Моделирование экономического развития

роста

В качестве фундаментальной причины цикла представители

неокейнсианской концепции рассматривают процесс приспособле-

ния накопленного капитала к размерам производства, которые, в

свою очередь, сами постоянно меняются под воздействием и в ходе

этого приспособления. Предполагается, что между объемом ежегод-

но воспроизводимой стоимости — потоком, с одной стороны, и ее

накопленным к данному моменту запасом — с другой, существует

некая нормальная, или равновесная, пропорция. При прочих рав-

ных

условиях,

чем больше ежегодный объем производства, тем боль-

ше должен быть и объем накопленного капитала. Обычно эта связь

представляется нежесткой, не как технологически заданная посто-

янная, а только как средняя, доминирующая, в конечном счете, как

тенденция. Пока равновесная пропорция не нарушена, цикличе-

ских колебаний нет, если же они происходят, это означает, что

пропорция поток/запас отклоняется то в одну, то в другую сторо-

ну от равновесной величины. При этом колебания капитала и про-

изводства взаимосвязаны. Маневрирование капиталом преследует

постоянно ускользающую цель — достичь нормальной величины

относительно размеров ежегодного производства. Последнее же

не остается на постоянном уровне, и под влиянием изменений в

скорости накопления (в ходе маневрирования капиталом) оно

тоже колеблется.

соответствии

описанными представлениями центральное ме-

сто занимает анализ движения двух показателей: капитала и дохо-

да. В качестве конечного дохода Y различают три главных компо-

нента К-С

1+ДгдеС

—

фазовые (т. е. зависящие от фазы цикла)

потребительские расходы; I — расходы на инвестиции; А — авто-

номные расходы, часть реальных инвестиций, которая не зависит от

уровня и изменений национального дохода, а зависит от конкурент-

ных факторов, таких как модернизация производства с целью сни-

жения затрат или использования преимуществ, даваемых новым

изобретением.

В большинстве неокейнсианских моделей описание цикла сво-

дится к описанию поведения трех компонентов расходов. При этом

роль каждого компонента в колебательном механизме далеко не

одинакова.

237

Моделирование экономических процессов

Наименьшее внимание уделяется автономным расходам. Обыч-

но предполагается, что их величина складывается из тех частей

потребительских и инвестиционных затрат, которые не связаны с

фазой цикла и определяются долговременными факторами.

Величина фазового потребления в простейших версиях неокейн-

сианских моделей задается как постоянная доля от прошлых расхо-

дов.

Пропорция между доходом и потреблением связана с понятием

мультипликатора, однако, в конечном счете, действительная роль

закономерностей потребления, как и мультипликационных процес-

сов в неокейнсианских моделях цикла, невелика. Главное внимание

уделяется способу задания фазовых инвестиционных расходов, оп-

ределяющих, в свою

очередь,

поведение капитала

—

другого ключе-

вого показателя в неокейнсианских моделях. Исходной причиной,

приводящей в действие весь циклический механизм, является

стремление предпринимателей привести фактический объем ка-

питала к равновесному уровню. В построениях неокейнсианцев

этот уровень

—

не просто расчетная величина, но в каком-то смыс-

ле лучшая из всех возможных на данный момент оптимальная. По-

этому здесь она называется желаемой.

Конкретно способ изменения капитала, задаваемый в моделях

рассматриваемого типа, основывается на двух постулатах. Первый

гласит, что в каждый момент времени существует желаемая величи-

на основного капитала К. Согласно второму постулату, направле-

ние изменения фактического капитала определяется в зависимости

от его разрыва с желаемым:

• если желаемый уровень превышает фактический, то послед-

ний начинает возрастать;

• при совпадении желаемой и фактической величин чистые

инвестиции равны нулю и капитал не изменяется;

• если же желаемый уровень превышен, то чистые инвестиции

становятся отрицательными (дезинвестирование), и капитал

уменьшается.

Наибольшее распространение получили инвестиционные функ-

ции, которые строились в соответствии с принципом акселерации.

простейшем виде постулируемая связь имеет вид

238

10.

Моделирование экономического развития и роста

Здесь фазовые инвестиции в год t предполагаются равными чис-

тым инвестициям. Постоянный коэффициент а, называемый акселе-

ратором, есть величина желаемой капиталоемкости ос=—.

Формулировка принципа акселерации сочетается обычно с ог-

раничениями на инвестиции. Ограничение сверху в явном виде ис-

пользовано в модели Гудвина и ассоциируется с наличными произ-

водственными мощностями в инвестиционных отраслях.

Модель Гудвина является одной из наиболее простых моделей

экономического цикла. Она задается следующими соотношениями:

+At,

=bY

-K

>0,

где Y— конечный

доход;

—

потребительские расходы; I— расхо-

ды на чистые инвестиции; А — автономные расходы; К, К — соот-

ветственно, фактический и желаемый основной капитал;

Р,

р — со-

ответственно, верхний и нижний пределы для чистых инвестиций.

Значения этих величин связаны, с одной стороны, с мощностью ин-

вестиционных отраслей, а с другой — с ежегодным потреблением

капитала. Потребление капитала — сумма начисленной амортиза-

ции фирм в течение данного года.

Колебания в модели Гудвина выводятся из периодического

изменения соотношения между фактическим и желаемым уров-

нем капитала. Когда желаемый уровень капитала больше факти-

ческого, чистые инвестиции положительны и продолжается цик-

лический подъем. Когда фактический капитал превышает желае-

мый (оптимальный), инвестиции становятся отрицательными и

начинается кризис, который будет длиться до тех пор, пока по-

требление фактического капитала не сократит его уровень ниже

желаемого.

239