Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

ресурсные ограничения или предложения партнеров. Индивидуаль-

ные планы х

- со

предложения (если (х

-(а

)

<0) и спроса (если

(х

-сй

)

имеют конкурентный, конфликтный характер и могут

быть одновременно не реализованы. Идея состоит в том, что при

подходящей системе цен они будут совместимы.

Конкурентным равновесием называется такой набор ре 91+,

Хд,

а е

А,

что

Хх

<Х<°

а а

где х

— максимальный элемент (в смысле предпочтения

)

в мно-

жестве

(р).

Неравенство в балансовом соотношении означает

возможность «свободного расходования» продукта. Это позволяет

ограничиться только неотрицательными ценами, т. к. никто не бу-

дет продавать продукт, если он приносит убыток, и предпочтет его

выбросить.

Описанная модель (с учетом производства) была построена в

1870-х годах Л. Вальрасом. Однако вопрос существования конку-

рентного равновесия оставался открытым до 1950-х годов, когда

оно было доказано К. Эрроу и Дж. Дебре в более общей модели,

приводимой ниже.

Необходимые условия конкурентного равновесия:

1) наличие максимальных элементов в бюджетных множествах

*„(р).ре**\{0};

2) непустозначность и непрерывность бюджетных соответ-

ствий В

:SR*

\{0}=*

SR+.

Первое условие обеспечивается, если выполняются следующие

требования:

• выпуклость и компактность Х

а е А;

• выпуклость и полуоткрытость снизу предпочтений Р^ае А.

Второе условие обеспечивается обычно выполнением тех или

иных требований к элементам рынка. Простейшее требование: со

является внутренней

точкой

Теорема

конкурентном равновесии имеет следующий

вид:

если

выполнены рассмотренные условия, то конкурентное равновесие

существует.

220

10.

Моделирование экономического развития

роста

В модели Эрроу-Дебре предполагается, что ни один производи-

тель или потребитель не влияет по отдельности на установление

цен ни для одного продукта.

Эта

предпосылка, соответствующая схе-

ме свободного рынка при совершенной конкуренции, дает основа-

ния называть данную конструкцию моделью конкурентного равно-

весия. Известны попытки использовать эту модель для описания

поведения предприятий и ассоциации потребителей при централи-

зованно устанавливаемых ценах. Многочисленные исследования по

развитию и обобщению модели Эрроу — Дебре посвящены разра-

ботке следующих направлений:

• «динамизация» модели;

• включение в нее инвестиционного процесса;

• учет не только текущих цен, но и ожидания относительно их

возможных изменений;

• описание дискретных факторов развития, в частности, появ-

ление нововведений.

Развитие теории равновесия при негибких ценах привело к воз-

никновению схемы рационирования ресурсов. Эта схема определя-

ет правила установления квот на приобретение дефицитных това-

ров и на поставку неходовых товаров. В рамках этого понятия ис-

пользуются два вида схем

—

жесткие и

гибкие.

Жесткая схема раци-

онирования ресурсов позволяет указать квоты для каждого участ-

ника в зависимости от общей суммы прав на приобретение товара.

Так,

если

q —

общий объем прав на приобретение товара, то пропор-

циональная схема рационирования задается системой функций:

где к

—

индекс потребителя; т — общее число потребителей; у

—

неотрицательные коэффициенты пропорциональности, ^ у

= 1.

*=1

Жесткие схемы рационирования ресурсов моделируют карточ-

ную систему.

отличие от них гибкие схемы рационирования отра-

жают организацию системы фондирования

производственной сфе-

ре,

где формируемые квоты зависят от заявок участников и, возмож-

но,

от цен. Гибкую схему обычно подчиняют ряду условий:

• квота на потребление товара не должна превосходить заявки

соответствующего участника;

221

Моделирование экономических процессов

^__

• если сумма заявок на продажу товара превосходит сумму

заявок на его потребление, то все последние должны быть

удовлетворены.

отличие от теории конкурентного равновесия концепции ра-

ционируемого равновесия не предполагают возможности быстро-

го уравнивания спроса и предложения за счет одного только меха-

низма цен, допуская ограничения на объемы покупок и продаж,

осуществляемые экономическими агентами. Рационирование мо-

жет осуществляться посредством введения карточной системы или

в рамках определенных правил фондирования ресурсов. Но впол-

не возможно стихийное формирование схем рационирования как

результат взаимодействия совокупности решений агентов в усло-

виях неравновесия. С этой точки зрения важное значение имеют

ожидания участников, их оценка емкости рынков, на которых они

оперируют.

Рассмотрим две наиболее разработанные концепции рациониру-

емого равновесия для простейшей ситуации — экономики обмена.

Пусть существует т потребителей с целевыми функциями

{с

зависящими от

п-мерных

векторов потребляемых благ с

и объемов

сбережений а

. Каждый потребитель к обладает неотрицательным

вектором товаров

оа

и количеством денег $

0, может продавать и

покупать товары по фиксированным ценам р. Цены не предполага-

ются равновесными и для обеспечения баланса участникам задают-

ся ограничения д

- (g

) на объемы приобретаемых на рынке благ,

а также ограничения h

= (h^) на объемы поставок другим агентам.

Потребитель к осуществляет свой

выбор,

решая следующую задачу:

(с

,а

)-*тах,

рс

+а

=рщ+$

>0,

<х*>0.

Используя ограничения в качестве инструмента управления,

можно (многими способами) добиться сбалансированности в систе-

ме.

Однако особое значение имеют состояния

z ={Ck,a

}

k=ll

удовлетворяющие следующим четырем условиям:

222

10.

Моделирование экономического развития и роста

т т

) X

* (сбалансированность);

б) (с*к,а.1) — при g^

gl,hk=hl,

kel:m (индивидуальность

выбора);

в) д'

(суверенность выбора);

г) не существует продукта i и агентов к, г таких, что одновре-

менно выполняются равенства:

k,i -®k.i

~9k,i>

r,i -Цу = K.i

(продукты разделены на дефицитные и недефицитные).

силу условия в:

• не допускается принуждения к продаже и закупке ресурсов;

• объемы приобретаемых и поставляемых благ можно ограни-

чивать сверху, но не снизу.

Принцип, отраженный в условии г, косвенным образом опреде-

ляет понятие дефицитного и неходового ресурса. Будем называть

товар дефицитным в данном состоянии, если для некоторого участ-

ника достигается верхнее ограничение по этому товару и неходо-

вым — если нижнее. Согласно условию г товар не может быть и

неходовым, и дефицитным одновременно.

В разных работах состояния, удовлетворяющие условиям а-г,

называют «равновесными», «равновесиями при негибких ценах»,

«ST-равновесиями» (в честь Кейнса),

«^-равновесиями»

(в честь Дре-

за),

«приемлемыми состояниями». Ниже используется последний тер-

мин, чтобы зарезервировать понятие равновесия для других целей.

В приемлемом состоянии ни один экономический агент не

стремится потратить деньги на покупку неходового блага и не

согласится продать дефицитный товар по действующим ценам, что-

бы увеличить сбережения. Приемлемое состояние нельзя улуч-

шить путем парного обмена какого-либо товара на деньги. Вместе

с тем, имеются примеры, когда ни одно из возможных в системе

приемлемых состояний не является Парето-оптимальным на мно-

жестве, задаваемом балансовыми условиями и бюджетными огра-

ничениями.

Рассмотрим модель с двумя товарами (кроме денег) и двумя уча-

стниками, максимизирующими линейные функции полезности:

223

Моделирование эиономичесних процессов

Щ(Ск>

к)

<*клСкл

.2<:к.г

ак'

* =

1,2, с

=(с

кл

,с

кг

Цены и начальные запасы товаров и денег у каждого агента пола-

гаем равными единице. Пусть а

к1

кг

>Ь

>0,т. е. оба участника

предпочитают первый продукт второму, а второй продукт

—

деньгам.

Тогда, как легко проверить, существует единственное приемлемое

состояние.

нем каждый агент потребляет свои собственные ресур-

сы.

Вместе с

тем,

если два вектора (а

кл

-Ъ

,а

кг

- fy), к

1,2 не про-

порциональны, то это состояние не является Парето-оптимальным в

указанном выше смысле.

Другие примеры показывают, что приемлемых состояний может

быть бесконечно много. Принципы а-г являются качественными и

оставляют слишком много степеней свободы, если не указаны коли-

чественные правила распределения дефицитных ресурсов (между

покупателями) и спроса на неходовые товары (между продавцами).

Такие правила (схема рационирования) могут быть заданы двумя

наборами функций f

fc?

i е 1 : п, к е 1 : т. Функция

Д,(<^)

указывает ограничение сверху на объем закупки товара i участни-

ком к, если сумма всех прав на приобретение товара i равна Q.

Точно также функция

Ф^,(т1,)

определяет максимальный объем про-

даж товара

i для

агента

к,

если сумма всех прав на продажу равна г\

{

Такие схемы рационирования называются жесткими, в отличие от

гибких, учитывающих заявки участников.

Дополним условия а-г следующим требованием: ограничения

на любой ресурс i должны быть согласованы со схемой рациониро-

вания, т. е.

Як.г =

fk.i(X

Sk.j )'

k.i

Ф/W(X

)

•

Дрез допускает, что цены могут меняться в некотором диапазо-

не между заданными верхними р

= (p

и нижними р

(р

{

) уровня-

ми. В

связи с этим он вводит дополнительный постулат: цена дефи-

цитного товара находится на максимальном уровне, а неходового

—

на минимальном, т. е.

Р<Р ^р,

224

10,

Моделирование экономического развития и роста

p-=Pj,

если

c'u-unj

kii

= р,-,

если

-(Ojcj =hk,i

при каком-либо

к.

Если набор переменных Pj,{c

}f удовлетворяет

ус-

ловиям

а-е,

то он называется равновесным с жесткой схемой рацио-

нирования. Такие равновесия существуют

для

широкого класса

си-

туаций.

Бенасси предложил иную концепцию рационируемого равнове-

сия,

пригодную,

частности, для описания систем фондирования

ре-

сурсов,

где объем выделяемых лимитов зависит от заявок участников.

Обозначим через

fcl

величину заявки участника

по товару

Поло-

жительное значение

соответствует заявке

на

потребление,

а от-

рицательное

—

заявке на поставку.

Пусть

Д,

,...,

—

вектор

заявок

по

товару

Тогда схему рационирования задается набором

функций

/>,,(Д,),

удовлетворяющих трем условиям:

h.i

(Ai)

(сбалансированность);

2) ^(Д,)^,-

>0 и F

т.

е.

поставляемое или приобрета-

емое количество имеет

тот же

знак,

что и

заявка,

и не

превосходит

ее по абсолютной величине;

3) если

{^ji

йО, то F

kii

, т. е.

участник

на

«короткой

стороне» рынка

реализует свой план.

Например,

неравенства

0, ]£d

r>1

< 0,

означают, что участ-

ник предъявляет спрос

на

товар, предложение которого избыточно.

этом случае спрос должен быть удовлетворен.

Под воздействием схемы рационирования каждый участник

формирует ограничения

и h

своей задачи. Его прогноз задается

парой вектор-функций

(Я^,), зависящих

от

заявок

участников. Предполагается,

что эти

функции удовлетворяют сле-

дующим требованиям при всех

Д,-:

Короткая сторона рынка (короткая позиция) ситуация, при которой по

данному товару участник продает больше, чем покупает,

так что ею

рабочий запас товара истощается.

225

Моделирование экономических процессов

4)е

,.(Д,.)>0,Я

(Д,)<0;

5) 6

(А

{

)>Р

к4

(А

{

)>Н

;(А

{

);

6) если d

{Ai),TO

k>I

(A,)

(

,(A,);

если d

<Р

(А,),то

(А,-)

^(А*).

Таким образом, прогнозы возможных объемов покупок и продаж

могут быть больше количеств, предусмотренных схемой рациониро-

вания

F^j.

Однако они равны этим количествам, если заявки не удов-

летворяются. Пара функций

, H

называется гибкой схемой рацио-

нирования.

Рассмотрим задачу потребителя, отбросив ограничения на то-

вар i: fy,-

. Пусть D^ = (g^ h

) — компонента i решения

модифицированной таким образом задачи. Функция D

называется

активным спросом агента к на товар i. Считается, что она определе-

на однозначно. Предполагается, что заявки участников равны их

активному спросу.

Равновесие с гибкой схемой рационирования называется набор

переменных

(р,-

,{c'

,gl,f^.}f), удовлетворяющий условиям:

9k.i =

k.i (

K,i

k,i (

;) •

(9k.i)>

(

h)<

(

u— -d'

,ih

4,1=%(ЛЛ,!-)'

(c*

,a*

)—решения

при g

-g*

=li

kel:m,

i'el:n.

В равновесии активный спрос воспроизводится, порождая бла-

годаря схеме рационирования ограничения, которые поддерживают

его на равновесных значениях.

Равновесие с гибкой схемой рационирования существует при

весьма общих предположениях

функциях и^ F^

G^ H

. В

силу этих

предположений и свойств 1-6 в равновесии выполнены требования

а-в, фигурирующие в определении приемлемого состояния. Однако

требование г удовлетворяется не всегда.

Концепции рационируемого равновесия находят применение

при исследовании безработицы, инфляции, несовершенной конку-

ренции и многих других экономических проблем.

226

10,

Моделирование экономического развития и роста

10.4. Модели расширяющейся экономики

Описания экономической динамики, в которых технологические

возможности и целевые установки неизменны во времени, относят-

ся к моделям расширяющейся экономики. Основным методом их ис-

следования является изучение стационарных траекторий, или тра-

екторий сбалансированного роста. Первоначально анализ стацио-

нарного роста развивался по двум независимым направлениям:

1) в одно- и двухпродуктовых моделях, в которых технологи-

ческие возможности описывались производственной функ-

цией;

2) в многопродуктовой линейной модели, построенной и иссле-

дованной

Дж.

Фон Нейманом.

Модель Неймана включает п продуктов и т способов их произ-

водства. Каждым способом при единичной его интенсивности в те-

чение единичного интервала времени производится набор про-

дуктов

Ь- =

(bj •,..., b

•).

При этом затрачивается набор продуктов

а = (а.у,...,

),J

el: т. Все способы могут применяться

любыми

неотрицательными интенсивностями. Из

п-мерных

векторов-столб-

цов а- и b составляются матрицы затрат А = (a,j) и выпуска

В = (by). Модель Неймана позволяет учесть непроизводственное

потребление только в неявной форме. Элементы матрицы затрат А

могут включать часть, направляемую на потребление, например,

А = А' + С, где a'j — собственно технологические затраты, а с- —

векторы потребления на единицу интенсивности способа

Векто-

ры с составляют матрицу

С.

Траекторией (планом), выходящей из точки у

В •

называет-

ся последовательность m-мерных векторов интенсивности {z

t e 1:

Т,

удовлетворяющих балансовым уравнениям

<Bz

, z

>0, te0:(7-l).

При интенсивностях z

непроизводственное потребление в ин-

тервале t составляет

С •

Стационарной траекторией, или траекторией сбалансированно-

го роста, называется такая последовательность z

что z

= a

• z,

где z — m-мерный вектор, а a

—

положительное

число.

На стацио-

нарной траектории неизменны пропорции использования способов

227

Моделирование экономических процессов

затрат и выпуска, экономика растет с постоянным темпом а. Темп а

и пропорции z должны удовлетворять условиям

a-Az<Bz,

ztO, z*Q.

Особый интерес представляет стационарная траектория, кото-

рой соответствует наибольший темп — максимальный темп техно-

логического роста. Его можно найти из решения задачи математи-

ческого программирования: а -» max. Вектор

г",

на котором дости-

гается максимум, называется неймановским.

Системе балансовых соотношений сопоставляется двойственная

ей система ценностных соотношений

Akp

t+1

-B,

£0,

*0,

показывающая, что ценность выпуска не превосходит ценности за-

трат. Траектория оценок p

такая,

что

- p

-t

•

р, называется стацио-

нарной. Для нее |3р-

>р-

В,

р£0,р*0.

Оценки

р*,

удовлетворяющие этим условиям при минимальном р,

называются неймановскими ценами. Если модель экономики нераз-

ложима, т. е. для производства любого продукта прямо или косвен-

но используются все продукты, то справедлива теорема двойствен-

ности: тахсс - тиф -

ос

При этом неймановские цены стимулиру-

ют неймановскую траекторию роста:

•Az^.p" Bz

длявсехг^О, причем а

р*-

A-

z -p Bz .

Другим примером расширяющейся экономики являются одно-

продуктовые модели с линейно однородными производственными

функциями. Примером однопродуктовой модели долговременного

экономического роста является модель Рамсея.

ней поток нацио-

нального дохода создается имеющимися в данный момент производ-

ственными фондами и используемыми трудовыми ресурсами. Этот

поток делится на потребляемую и накапливаемую части. Последняя

определяет прирост производственных фондов, т. е.

F(K,L)

K',

где К' — наличные производственные фонды,

— интенсивность

потребления, I — используемые трудовые ресурсы. Все показатели

228

10,

Моделирование экономического развития и роста

относятся к моменту времени L Производственная функция F не

меняется со временем, т. е. технический прогресс отсутствует.

Английский экономист Ф. П. Рамсей поставил вопрос о том, ка-

кую часть национального дохода общество должно сберегать в це-

лях накопления, и тем самым впервые сформулировал задачу пла-

нирования экономического роста как оптимизационную. Ее целевая

функция определялась как интегральная полезность за время суще-

ствования экономической системы; полезность в каждый момент

равнялась разности между уровнем удовлетворения потребностей

ЩС)

и «бременем труда» V(L)). При этом для упрощения было при-

нято,

что численность населения не меняется, вклад

целевую фун-

кцию потребления в различные моменты времени рассматривается

с одинаковым весом, т. е. дисконт равен 1. Очевидно, что интеграль-

ная полезность за период (0, °°) окажется бесконечной и выбор ра-

циональной политики сбережений будет невозможен. Чтобы пре-

одолеть эту трудность, Рамсей допускал, что функции

F, U,

V предпо-

лагают достижение максимального уровня полезности в некоторой

момент — уровня «блаженства». Теперь можно было бы перейти от

максимизации интегральной полезности к минимизации неудовлет-

воренной потребности:

до

j(B-U(C) + V(L))dt-*mn.

Задача отыскания К, L, С при заданном К

представляет собой

модель Рамсея. Рамсей показал, что произведение сбережений на

предельную полезность потребления равно в каждый момент вре-

мени объему неудовлетворенной потребности (закон Кейнса —

Рамсея), т. е.

F(K, L)-C)-

U'(C)

(U(C)

- V(L).

Анализ модели показал, что

V'(L)

U'(C)—-,

т. е. предельное

аК

«бремя труда» равно произведению его предельной производитель-

ности и предельной полезности потребления, а также

229