Васин С.А., Ушакова И.В. и др. Основы черчения и начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 192

Овоид – замкнутая коробовая кривая, имеющая одну ось симметрии. Построение

овоида по его ширине – отрезку AB приведено на рисунке 193, а. Через середину отрезка

AB – точку O

проводят прямую, перпендикулярную к нему. Из точки O

описывают ок-

ружность радиусом

и на пересечении ее с перпендикуляром получают точку

. Далее проводят прямые AO

и BO

и продолжают их за точку O

. Из точек A и В ра-

диусом R

= AB описывают две дуги до пересечения их в точках C и D с проведенными

прямыми. Последнюю дугу радиусом R

= O

C описывают из точки O

Если точку O

расположить ближе к точке O

или дальше от нее, то овоид получит-

ся соответственно более тупым или более острым. Для построения тупого овоида задают

его ширину AB и расстояние между центрами O

(рис. 193, б). Порядок построения ос-

тается прежним.

Рис. 193

Коробовые кривые сводов относятся к незамкнутым коробовым кривым. Они нахо-

дят применение при строительстве сводов и арок мостов, входов в здания, различных пе-

рекрытий, например метро и т. п. Ниже разобрано построение коробовых кривых полого-

го, крутого и ползучего сводов.

Построение коробовой кривой пологого свода по его ширине АВ и высоте ОС

(рис. 194). На горизонтальной прямой откладывают ширину свода – отрезок AB и через

его середину точку О проводят прямую, перпендикулярную к нему. На этой прямой от

точки О откладывают высоту свода – отрезок OC. Из точки О радиусом OA описывают

дугу AE и на ней отмечают точку D с помощью того же радиуса OA, но с центром в точке

А. Точку D соединяют прямыми с точками А, Е и О. Затем через точку С проводят пря-

мую CF || DE до пересечения ее с прямой AD в точке F. Через точку F проводят прямую

|| DO до пересечения ее с отрезком AB в точке O

, а с прямой OC в точке O

. Точку O

получают при помощи дуги радиуса OO

. Полученные точки O

, O

и O

являются цен-

трами дуг, из которых состоит данная кривая. Радиусом R

= O

B описывают дуги из цен-

тров O

и O

, а радиусом R

= O

C – дугу из центра O

Рис. 194

Построение коробовой кривой крутого свода по ширине AB и высоте ОС

(рис. 62)

. Отрезок AB делят пополам, строят прямоугольник АЕСО и проводят в

нем диагональ AC. Углы EAC и ECA делят пополам. На пересечении биссектрис этих уг-

лов получают точку D и из нее опускают перпендикуляр на диагональ AC. Перпендикуляр

продолжают до пересечения с отрезками: OC в точке O

и AB в точке O

. Точку O

полу-

чают при помощи дуги радиуса OO

. Точки O

, O

и O

являются центрами дуг радиусов

и R

, с помощью которых строят контур кривой.

Рис. 62

Построение коробовой кривой ползучего свода по его ширине АВ и прямой CD,

касательной к вершине свода (рис. 195). Строят отрезок AB, представляющий ши-

рину свода, и прямую

CD (ее называют замковой прямой). Из точек A и В вос-

ставляют к отрезку

AB перпендикуляры и продолжают их до пересечения с

прямой

CD в точках М и N. На прямой CD откладывают отрезок EM = AM. Из

полученной точки

Е – вершины свода восставляют перпендикуляр к прямой

CD и на пересечении его с отрезком AB отмечают точку O

. На прямой BN от-

кладывают от точки

N отрезок FN = EN. Из точки F проводят прямую, парал-

лельную отрезку

AB, до пересечения с прямой EO

в точке O

. В точках O

и O

находятся центры дуг

= O

A и R

= O

F, определяющих контур ползучего

свода.

Рис. 195

33.3. Лекальные кривые

Лекальные кривые – это такие кривые, которые могут быть вычерчены только с

помощью лекала по предварительно построенным точкам. Лекальные кривые широко

применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Это могут быть профили зуб-

чатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные

кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел

вращения плоскостью.

33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых

Пусть на рисунке 196, а заданы точки 1, 2, ..., 11 принадлежащие некоторой кри-

вой. Предварительно эти точки от руки с помощью мягкого карандаша соединяют тонкой,

по возможности более плавной кривой линией (рис. 196, б). Желательно, чтобы расстоя-

ние между точками лекальной кривой не превышало 15 мм. Если же две соседние точки

кривой расположены далеко друг от друга и характер кривой не совсем ясен, то следует

построить дополнительно еще одну или две точки.

Рис. 196

Затем приступают к предварительной обводке кривой с помощью лекала. Лекало

надо подобрать такое, чтобы очертания некоторых его участков были похожи на отдель-

ные участки данной кривой. Предварительный подбор лекала рекомендуется делать на

длину всей кривой и черточками на нем помечать выбранные участки. Это особенно важ-

но для обводки симметричных

кривых, таких, как эллипс, парабола и др.

Подобранное лекало прикладывают к кривой так, чтобы лежащие подряд как ми-

нимум три или четыре точки кривой совпали с определенным участком лекала (например,

точки 1–5 на рисунке 196, б). Далее подбирают следующий участок лекала таким образом,

чтобы он охватывал также три или четыре точки кривой, включая хотя бы одну точку из

предыдущего участка (например, точки 4–9 на рисунке 196, в). Благодаря такому пере-

крытию двух соседних участков достигается плавность кривой. После того, как будут по-

добраны участки лекала на протяжении всей кривой, приступают к окончательной обвод-

ке ее карандашом или тушью Обводку следует начинать с места наиболее крутого изгиба

кривой. На каждом участке обводят среднюю часть его, включая половину участков пере-

крытия. Такая обводка обеспечивает наибольшую плавность кривой (рис. 196, г).

33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так,

чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс

(рис. 197).

Рис. 197– Пересечение конуса плоскостью по эллипсу

Эллипс (рис. 198) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от лю-

бой ее точки (например, от точки М) до двух заданный точек F

и F

– фокусов эллип-

са – есть величина постоянная, равная длине его большой оси

AB (например,

M + F

M = AB). Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD

– его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его

размер определяет длина большой и малой осей. Точки

и F

расположены

на большой оси

AB симметрично относительно точки O и удалены от концов

малой оси (точек

С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Рис. 198

Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто

построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружно-

стей (рис. 199). В этом случае задают центр эллипса – точку

O и через нее

проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 199 а). Из точки

описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой

осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления со-

единяют с точкой

О. Проведенные линии разделят меньшую окружность

также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности

проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси

эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или

прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например,

точка

М) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой,

получают эллипс (рис.

199, б).

Рис. 199

Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его

образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рис. 200).

Рис. 200– Пересечение конуса плоскостью по параболе

Парабола (рис. 201) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое

расстояние от заданной прямой DD

, называемой директрисой, и точки F – фокуса пара-

болы. Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние

до фокуса) равны, т. е. MN = MF.

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая про-

ходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к дирек-

трисе

. Точна A, лежащая на середине отрезка OF, называется вершиной па-

раболы. Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2

OA – обознача-

ют буквой

р и называют параметром параболы. Чем больше параметр р, тем

резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя

точками параболы, расположенными симметрично относительно оси парабо-

лы, называется

хордой (например, хорда MК).

Рис. 201

Построение параболы по ее директрисе DD

и фокусу F (рис. 202, а). Через точку

F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой

в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На

оси параболы от точки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков.

Через точки деления 1, 2, 3 и т. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв

фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R

до пересечения с прямой, про-

веденной через точку 1, радиусом R

= L

до пересечения с прямой, проведенной через

точку 2, и т. д. Полученный точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой

плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М

(рис. 202, б). Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а

через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B. Отрезки

AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направ-

лениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1, 2, 3, 4 проводят лучи, а из то-

чек I, II, III, IV прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначен-

ных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви па-

раболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рис. 202

Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них

точках A и В (рис. 203, б). Отрезки O

A и ОВ делят на одинаковое число равных частей

(например

, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки со-

единяют прямыми 1–1, 2–2, 3–3 и т. д. Эти прямые являются касательными к

параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают

плавную касательную кривую – параболу

Рис. 203– Построение параболы по двум ее точкам и касательным

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной

двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения по-

лучится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 204, а).

Гиперболой (рис. 204, б) называется незамкнутая плоская кривая, представляющая

собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина

постоянная.

Рис. 204– Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гипербо-

лы (б)

Постоянные точки F

и F

называются фокусами, а расстояние между ними – фо-

кусным расстоянием. Отрезки прямой (F

M и F

M), соединяющие какую-нибудь точку

(M) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний

точки от фокусов F

и F

есть величина постоянная и равная расстоянию между верши-

нами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F

M - F

M = ab. Гипербола

состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – дейст-

вительную АВ и мнимую CD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O называются

асимптотами.

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F

и F

приведено

на рисунке 204, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного

асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фо-

кусы F

и F

, определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F

строят по-

луокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают

перпендикуляры на ось AB и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F

намеча-

ют произвольные точки 1, 2, 3, ..., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять

отрезок

а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точ-

ки F

, радиусом, равным b5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описан-

ным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно

перпендикулярны (рис. 205). В этом случае действительная и мнимая оси будут биссек-

трисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка

А.

Рис. 205– Построение гиперболы с взаимно перпендикулярными асимптотами

Через точку A проводят прямые АK и AM, параллельные осям ох и oу. Из точки O

пересечения осей проводят прямые, пересекающие прямые AM и АK в точках 1, 2, 3, 4 и

1', 2', 3', 4'. Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и гори-

зонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III, IV и т. д. Полученные