Васин С.А., Ушакова И.В. и др. Основы черчения и начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 133

Сначала находим опорные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных

ее точек. Опорными точками являются:

точки 1 и 2 – точки встречи главного меридиана с плоскостью Р (одновременно это

высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая точки сечения);

точки 3 и 4 – точки встречи экватора с плоскостью Р (ближайшая и наиболее уда-

ленная точки сечения).

Указанные точки являются также точками границ видимости линии сечения соот-

ветственно на фронтальной и на горизонтальной проекции.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд

вспомогательных горизонтальных плоскостей (β

,β

), каждая из которых пересекает по-

верхность вращения по окружности соответствующего радиуса, а плоскость Р – по гори-

зонтали, перпендикулярной плоскости V.

На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проек-

циями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Лекция № 23.

План:

23.3. Конические сечения.

23.3. Конические сечения

Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении

поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся сле-

дующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, ги-

пербола. Простейшим коническим сечением является точка.

Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых

они получаются,

на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141:

1) точка S, когда плоскость α пересекает только вершину конуса (рис. 141а);

2) окружность

, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б);

3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной

к поверхности конуса (рис. 141в);

4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину

(рис. );

5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса

и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).

Рис. 134

Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозна-

чим половину угла при вершине конуса через ϕ, а угол наклона секущей плоскости к оси

конуса – через ψ. Тогда

> ϕ

Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки

А и В. Отрезок А”В”– фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения).

Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок

А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”≡D” спроецируется малая ось эллипса, пер-

пендикулярная к плоскости проекций V.

Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд

вспомогательных горизонтальных плоскостей (β

,β

), каждая из которых пересекает по-

верхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость α – по горизон-

тали, перпендикулярной плоскости V.

На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проек-

циями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плос-

костей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигу-

ры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей

плоскости α, и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с гори-

зонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса,

параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).

Рис. 135

6) Парабола

, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в

этом случае ψ угол между плоскостью и осью конуса равен углу ϕ между образующей и

осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом α

секущей

плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомога-

тельных горизонтальных плоскостей (β

,β

), каждая из которых пересекает поверхность

конуса по окружности, а плоскость α -- по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V.

В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проек-

циями соответствующих окружностей получаем точки D', E', J', K'. Горизонтальную про-

екцию A' вершины параболы, а также горизонтальные проекции B' и C' точек, принадле-

жащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, прово-

дя линии из точек A'' и B''≡ C'' (рис. 143).

Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эл-

липса (рис. 143).

Рис. 136

7) Гипербола

, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом

случае угол ϕ равен нулю.

Так как секущая плоскость α - профильная плоскость, фронтальная и горизонталь-

ная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A'' и P'' являются фронталь-

ными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A'≡ P' определяются по

линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомога-

тельных горизонтальных плоскостей (β

,β

Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H пу-

тем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плос-

кость α , ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гипербо-

лы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).

Рис. 137

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1) 1.В чем состоит последовательный ход построения фигуры сечения многогранника

плоскостью?

2) В чем заключается общий прием нахождения точек линии пересечения поверхно-

сти вращения плоскостью?

3) Какие точки линии пересечения называются опорными?

4) Как строятся проекции промежуточных точек линии пересечения?

5) При каких условиях получаются в сечении конуса эллипс, парабола, гипербола?

6) Какие плоскости обычно применяются в качестве вспомогательных при построе-

нии фигур плоских сечении?

Лекция № 24.

План:

24.1. Общие положения

24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника.

24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

24.1. Общие положения

При пересечении прямой линии с поверхностью может получиться одна или не-

сколько точек встречи, которые называются точками входа и выхода. Точки встречи пря-

мой линии с поверхностью определяют так:

1) через прямую проводят проецирующую плоскость;

2) строят линию пересечения этой плоскости с заданной поверхностью;

3) находят точки встречи заданной прямой с линией пересечения.

Найденные точки будут искомыми. Вспомогательные плоскости проводят с расче-

том получить в сечении простые линии: прямые или окружности. Рассмотрим примеры.

24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника

На рис. 145 даны треугольная пирамида и прямая n общего

положения. Построить точки встречи прямой с поверхностью. В данном случае че-

рез прямую проведена фронтально-проецирующая плоскость Р. Эта плоскость пересекает

боковую поверхность пирамиды по треугольнику 1-2-3.

Фронтальная проекция фигуры сечения сливается с фронтальной проекцией секу-

щей плоскости (рис. ). Проекции вершин треугольника 1'', 2'', 3'' находятся на пересечении

фронтальных проекций ребер пирамиды S''A'', S''B'', S''C'' с фронтальным следом секущей

плоскости Р

Горизонтальные проекции 1',2',3' точек сечения находятся по линиям связи

(рис. 145).

Рис. 138

Соединяя найденные точки, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения.

Прямая n, принадлежащая, как и треугольник 1-2-3, плоскости P, пересекается со

сторонами этого треугольника в точках M и N, которые и являются искомыми точками

встречи прямой с поверхностью пирамиды. По горизонтальным проекциям точек М и N

(M',N') с помощью линий связи находим их фронтальные проекции M”и N”.

При определении видимости отдельных частей прямой n при проецировании этой

прямой на плоскости H и V следует учесть видимость граней пирамиды на этих плоско-

стях проекций.

24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения

1. На рис. 146 даны цилиндр и прямая n общего положения.

Построить точки встречи прямой с поверхностью.

В данном случае через прямую удобнее провести горизонтально-проецирующую

плоскость Р, которая рассечет цилиндр по прямоугольнику. Точки А и В будут иско-

мые.

2. На рис. 147 даны конус и прямая m, перпендикулярная плоскости H. Построить

точки встречи прямой с поверхностью.

В данном примере через прямую удобнее провести горизонтально-проецирующую

плоскость Р, проходящую через вершину конуса, которая рассечет конус по треугольнику.

Точки С и Д будуò искомые.

3. На рис. 148 даны шар и прямая l, параллельная горизонтальной плоскости про-

екций. Построение точек встречи прямой с поверхностью ясно из чертежа.

4. На рис. 149 даны тело вращения и прямая n общего положения, пересекающая

ось тела. Построить точки встречи прямой с поверхностью.

Через заданную прямую проводим горизонтально-проецирующую плоскость Р и

вращением вокруг оси поверхности совмещаем ее (вместе с прямой) с главной меридио-

нальной плоскостью N. Находим смещенное положение n

прямой n и смещенные проек-

ции А

и В

точек А и В. Далее находим точки встречи на основных проекциях.

Рис. 139 Рис. 140

Рис. 141 Рис. 142

Лекция № 25.

План:

25.1. Общие положения

25.2. Пересечение многогранников

25.3. Способ секущих плоскостей

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

25.1. Общие положения

В пересечении поверхностей получаются плоские или пространственные линии,

которые рассматриваются как множество точек, принадлежащих одновременно обеим по-

верхностям. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точ-

кам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-

посредников:

– секущих плоскостей;

– сферических поверхностей.

Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхно-

стей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последова-

тельность.

1. Для построения линий пересечения выбирают вспомогательную плоскость (или

поверхность) с таким расчетом, чтобы в пересечении с каждой из заданных поверхностей

получились простые линии: прямые или окружности.

2. Далее обе поверхности пересекают этой вспомогательной плоскостью (или по-

верхностью) и определяют линию пересечения сначала с одним телом, а затем – с другим.

В пересечении этих линий находят общие точки:

в первую очередь – опорные (высшую, низшую и т.д.), так как они всегда позволя-

ют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения, и где между ни-

ми имеет смысл определять промежуточные точки для более точного построения линии

пересечения поверхностей;

затем – промежуточные.

3. Найденные точки соединяют ломаной или плавной кривой, которая будет иско-

мой линией пересечения заданных поверхностей.

4. Определение видимости

линии пересечения производят отдельно для каждого

участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает

с видимостью какой-нибудь случайной точки этого участка.

На рис. 150 показано построение точек 1 и 2 линии пересечения; K и K

–

пересекающиеся поверхности; P – одна из вспомогательных секущих плоскостей.

Рис. 143