Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

ôîòîíà è ïîñëåäóþùåãî íåóïðóãîãî ýëåêòðîííîãî ðàññåÿíèÿ ìîæåò

áûòü ñîçäàíî äâà ÝÂ âìåñòî îäíîãî, ÷òî ïðèâîäèò â êîíå÷íîì èòîãå ê

óâåëè÷åíèþ ÷èñëà èñïóùåííûõ ôîòîíîâ. Ýôôåêò óâåëè÷åíèÿ âûõî-

äà ëþìèíåñöåíòíûõ êâàíòîâ áûë íàçâàí ýôôåêòîì «ôîòîííîãî óìíî-

æåíèÿ».

Â òàêîé ñõåìå ãîðÿ÷àÿ äûðêà òàêæå ìîæåò ñîçäàòü äîïîëíèòåëü-

íûå ýëåêòðîííûå âîçáóæäåíèÿ. Ïîðîãîâûå äûðî÷íûå è ôîòîííûå

ýíåðãèè äëÿ òàêîãî ïðîöåññà ðàâíû

EEE

()k >≡

hω

Emm=+21()

Â èîííûõ êðèñòàëëàõ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà äûðêè

áîëüøå ìàññû

ýëåêòðîíà

. Ïîýòîìó

hhωω

. Â îáùåì ñëó÷àå

hω

Emmmm=+21[min( , )]

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êðèñòàëëîâ ñ òÿæåëûìè äûðêàìè (

) ïî-

ðîã ðàâåí

, à äëÿ êðèñòàëëîâ ñ øèðîêîé âàëåíòíîé çîíîé (â êîòî-

ðûõ

≈

) ïîðîã â ìîäåëè ïàðàáîëè÷åñêèõ çàêîíîâ äèñïåðñèè ïî-

ðÿäêà

()34÷ E

26.2 Îáùàÿ êàðòèíà ðàçìíîæåíèÿ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé

Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü íîñèò ëèøü èëëþ-

ñòðàòèâíûé õàðàêòåð. Çàêîíû äèñïåðñèè â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ íà-

ìíîãî áîëåå ñëîæíûå è ñîñòîÿò èç öåëîãî íàáîðà âåòâåé. Ïðè ýòîì çà-

äà÷à äåòàëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ ìíîãî÷èñëåííûõ êîìáèíàöèé çàêîíîâ

ñîõðàíåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ãðîìîçäêîé. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà òàêîãî ïîä-

õîäà ìîæíî ïðèâåñòè ðàáîòó Òèìîôååâà è Ôîêà (1991), ãäå ïîëó÷å-

íû çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ äëÿ ìîäåëåé çîí, âûòåêàþùèõ èç ïðèáëèæåíèÿ

ñèëüíîé ñâÿçè äëÿ êóáè÷åñêîãî êðèñòàëëà. Ïðè ýòîì îáíàðóæåíà

àíèçîòðîïèÿ ýëåêòðîííîãî ïîðîãà ðàçìíîæåíèÿ. Çíà÷åíèå ïîðîãîâîé

ýíåðãèè â äàííîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì (26.5). Áîëåå òîãî,

ïîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðîíû, ýíåðãèÿ êîòîðûõ ñóùåñòâåííî áîëüøå ïî-

ðîãîâîé, íî áëèçêà ê ïîòîëêó çîíû ñèëüíîé ñâÿçè, òåðÿþò ñïîñîá-

íîñòü ê íåóïðóãîìó ðàññåÿíèþ.

Â êðèñòàëëàõ ñî ñëîæíûìè çàêîíàìè äèñïåðñèè ýëåêòðîíîâ è

äûðîê ïîðîã ðàçìíîæåíèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê

, ïîñêîëüêó âîçðàñòà-

åò ÷èñëî êîìáèíàöèé çîí, ó÷àñòâóþùèõ â íåóïðóãîì ðàññåÿíèè.

Ñäâèã ïîðîãà â áîëåå âûñîêîýíåðãåòè÷íóþ îáëàñòü â ìîäåëè ïàðàáî-

ëè÷åñêèõ çîí íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåð-

ñèåé, òî åñòü çàâèñèìîñòüþ

îò

. Åñëè

ñîâñåì íå çàâèñèò îò

, ïîðî-

ãîâàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ñîâïàäàåò ñ

. Â ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêèõ

çîí ïîðîã ïîãëîùåíèÿ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ áûñòðî ðàñòåò ñ ðîñòîì

. Äëÿ ìíîãîäîëèííûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ, äëÿ êîòîðûõ èìååòñÿ

312 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

íåñêîëüêî ìèíèìóìîâ â çàêîíå äèñïåðñèè, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå

ýíåðãèè ïîãëîùåíèÿ äîñòèãàåòñÿ äëÿ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ ñ

kk=≠

. Ïðè ýòîì ïîðîã ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ äîëæåí áûòü ìíîãî áëè-

æå ê

, ÷åì ýòî äàåòñÿ âûðàæåíèåì (26.5). Êýéí (1967) ïîêàçàë,

÷òî äëÿ êðåìíèÿ ïîðîã ðàçìíîæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ

,à

âåðîÿòíîñòü ðàñïàäà ÝÂ (26.1), ðàññ÷èòàííàÿ ñ ó÷åòîì è áåç ó÷åòà çà-

êîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò. Òåì íå ìåíåå â

ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñïåêòðàõ êðèñòàëëîâ ñ øèðîêèìè âàëåíòíûìè

çîíàìè íà÷àëî ïðîÿâëåíèÿ ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ ñäâèíóòî â ñòîðîíó âû-

ñîêèõ ýíåðãèé ïî ñðàâíåíèþ ñ

Äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷èñëèòü êâàíòîâûé âûõîä âòîðè÷íîãî ïðîöåñ-

ñà, íàïðèìåð, ëþìèíåñöåíöèè, íåîáõîäèìî ó÷åñòü âñå ñòàäèè ïåðåíî-

ñà ýíåðãèè, íà÷èíàÿ îò ïîãëîùåíèÿ ïåðâè÷íîãî ôîòîíà âîçáóæäàþ-

ùåãî ñâåòà è âïëîòü äî èñïóñêàíèÿ êâàíòà ëþìèíåñöåíöèè. Ïîãëîùà-

åìûé ôîòîí ñîçäàåò ÝÂ ñ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë: (i) èìïóëüñàìè è

ýíåðãèÿìè ýëåêòðîíîâ è äûðîê â ñëó÷àå ðàçäåëåííûõ ýëåêòðîííî-äû-

ðî÷íûõ ïàð, (ii) èìïóëüñîì è ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì â ñëó÷àå

ñîçäàíèÿ ýêñèòîíà, (iii) ýëåêòðîííûìè è ôîíîííûìè êâàíòîâûìè

÷èñëàìè äëÿ ñîçäàíèÿ ïîëÿðîíà è ò.ä. Â ëþáîì îïèñàíèè ïðîöåññîâ

íåîáõîäèìî îñòàâèòü òîëüêî òå êâàíòîâûå ÷èñëà, êîòîðûå èãðàþò

îñíîâíóþ ðîëü â êàæäîì ñëó÷àå. Çäåñü áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî

ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ðàçäåëåííûõ

eh−

ïàð, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ

òîëüêî ýíåðãèÿìè ñâîèõ êîìïîíåíò. Òàêîå ïðèáëèæåíèå ñîîòâåòñòâó-

åò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêàÿ ðåëàêñàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ

ìåäëåííåå, ÷åì ðåëàêñàöèÿ ïî èìïóëüñàì.

Â ñëåäóþùåé ãëàâå áóäåò ïîäðîáíî ðàññìîòðåíà ðîëü ýëåêòðîí-

íî-äûðî÷íûõ êîððåëÿöèé â ïàðå, ðîæäåííîé îäíèì ïîãëîùåííûì

ôîòîíîì. Òàì îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò óäåëÿòüñÿ âëèÿíèþ «ãîðÿ-

÷åé» ñòàäèè ðåëàêñàöèè íà âåðîÿòíîñòü ñâÿçûâàíèÿ ýëåêòðîíà è äûð-

êè â ýêñèòîí â ñëó÷àå íàëè÷èÿ êîíêóðèðóþùèõ êàíàëîâ ðåêîìáèíà-

öèè, â ÷àñòíîñòè, âëèÿíèþ ýíåðãåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âòîðè÷-

íûõ ÝÂ ïåðåä òåðìàëèçàöèåé. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ýòî

ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âòîðè÷íûõ ÝÂ ïîñëå âñåõ ýëåêòðîííî-

äûðî÷íûõ ðàñïàäîâ êàê ôóíêöèþ ýíåðãèé êîìïîíåíò ïåðâè÷íîé

ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû.

Ïðåæäå âñåãî íàðèñóåì ýíåðãåòè÷åñêóþ äèàãðàììó ðàñïðåäåëå-

íèÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê ïî ýíåðãèÿì êàê ôóíêöèþ ýíåðãèè ïàäàþ-

ùèõ ôîòîíîâ. Íà ðèñ. 72 ïðèâåäåíû ðàçðåøåííûå çîíû â äèýëåêòðè-

êå, äëÿ êîòîðîãî øèðèíà âàëåíòíîé çîíû

óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-

ñòâó

, à îñòîâíàÿ çîíà ðàñïîëîæåíà íà îòíîñèòåëüíî áîëüøîì

ðàññòîÿíèè îò âàëåíòíîé çîíû. Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü äëÿ èëëþñòðà-

òèâíûõ öåëåé, ÷òî ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîñòîÿííû â ïðåäåëàõ ðàçðå-

øåííûõ ïîëîñ ýíåðãèé. Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî îïèñûâàòü ðàñïðåäå-

ëåíèå ýëåêòðîíîâ è äûðîê äëÿ ðàçëè÷íûõ ýíåðãèé âîçáóæäàþùèõ

ôîòîíîâ, íà÷èíàÿ ñ ìàëûõ ýíåðãèé.

§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 313

314 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

hν

Ðèñ. 72. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ êâàíòîâîãî âûõîäà â çàâèñèìîñòè îò ýíåðãèè

ôîòîíà ñ ó÷åòîì ðàçìíîæåíèÿ è Îæå-ïðîöåññîâ ñ îñòîâíîãî óðîâíÿ: à —

äèàãðàììà ðàçðåøåííûõ ïî ýíåðãèè ñîñòîÿíèé â òâåðäîì òåëå. Òîíêèå

ñïëîøíûå ëèíèè îïðåäåëÿþò îáëàñòè ñîçäàíèÿ ïåðâè÷íûõ ýëåêòðîííûõ

âîçáóæäåíèé. Øòðèõïóíêòèðíûå — ïîðîã ðàçìíîæåíèÿ äëÿ ãîðÿ÷èõ ýëåêò-

ðîíîâ. Ïóíêòèðíûå — îáëàñòè âòîðè÷íûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðîôèëè ïðè ðàç-

ëè÷íûõ ýíåðãèÿõ ïàäàþùèõ ôîòîíîâ ñîîòâåòñòâóþò ïëîòíîñòÿì ýëåêòðîíîâ

è äûðîê â çîíàõ; á — Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê ïîñëå ðàñïàäà

êàê ôóíêöèÿ ýíåðãèè ôîòîíà; â — ñðåäíåå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ, ðîäèâøèõñÿ

ïîñëå ïîãëîùåíèÿ îäíîãî ôîòîíà; ã — êâàíòîâûé âûõîä ýêñèòîííîãî êàíàëà

(ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è êàíàëà ðåêîìáèíàöèè ÷åðåç öåíòð (øòðèõîâàÿ).

Ðàçäåëåííûå ýëåêòðîííî-äûðî÷íûå ïàðû ìîãóò ñîçäàâàòüñÿ ôî-

òîíàìè, ýíåðãèÿ êîòîðûõ

hν

áîëüøå

. Ïîñëå ïîãëîùåíèÿ ôîòîíà

ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ìîæåò ïîïàñòü â èíòåðâàë ìåæäó

hν

(íàïîìè-

íàåì, ÷òî íîëü ýíåðãèè ïðåäïîëàãàåòñÿ íà ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû).

Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ äûðêè — îò 0 äî

ν−

. Íà ðèñ. 72á èçîáðàæåíû

çàâèñèìîñòè ñðåäíèõ ýíåðãèé ýëåêòðîíîâ è äûðîê ïåðåä ñòàäèåé ðå-

ëàêñàöèè íà ôîíîíàõ. Â îáëàñòè

EhEE

ggv

<+ν<

îáå ýíåðãèè óâå-

ëè÷èâàþòñÿ ñ ðîñòîì

hν

. Â ñëåäóþùåé îáëàñòè

EEh E

gv g

+<ν<2

äûðêè íà÷èíàþò ðàâíîìåðíî çàïîëíÿòü âñþ øèðèíó âàëåíòíîé çîíû,

ïðè ýòîì ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ äûðêè ñòàíîâèòñÿ ïîñòîÿííîé. Ýëåêòðîíû

â ýòîì ñëó÷àå óæå íå ìîãóò ïîïàäàòü íà äíî çîíû ïðîâîäèìîñòè, à èõ

ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ âîçðàñòàåò áûñòðåå ñ ðîñòîì

hν

, ÷åì â ïðåäûäóùåé

îáëàñòè.

Åñëè

hν

ïðåâûøàåò

, ÷àñòü ýëåêòðîíîâ ïðèîáðåòàþò ýíåðãèþ

âûøå ïîðîãà íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ

. Òàêèå ýëåêòðîíû ìîãóò ïîòå-

ðÿòü ýíåðãèþ, èñïóñòèâ äîïîëíèòåëüíûå ÝÂ. Òàêèì îáðàçîì, íà äíå

çîíû ïðîâîäèìîñòè è íà ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû îáðàçóþòñÿ âòîðè÷-

íûå ÷àñòèöû. ×èñëî òàêèõ âòîðè÷íûõ ÷àñòèö âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì

ýíåðãèè ôîòîíà îò

äî

2EE

è äîñòèãàåò äâóõ ÝÂ íà îäèí ôî-

òîí. Ñðåäíåå ÷èñëî ÝÂ íà îäèí ôîòîí

nh()ν

èçîáðàæåíî íà ðèñ. 72â.

Â ýòîé îáëàñòè ñðåäíèå ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ è äûðîê óìåíüøàþòñÿ

áëàãîäàðÿ íèçêèì ýíåðãèÿì âòîðè÷íûõ ÝÂ.

Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âîçðàñòàíèå ñðåä-

íèõ ýíåðãèé ÷àñòèö ïðèâîäèò ê ðîñòó ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó

íèìè è, ñëåäîâàòåëüíî, óìåíüøåíèþ êâàíòîâîãî âûõîäà ýêñèòîííîãî

êàíàëà

ην

h()

. Êðîìå òîãî, ýòîò êâàíòîâûé âûõîä ïðîïîðöèîíàëåí

ñðåäíåìó ÷èñëó ÝÂ. Ðåçóëüòàò âîçäåéñòâèÿ ýòèõ äâóõ ôàêòîðîâ ñõå-

ìàòè÷íî èçîáðàæåí íà ðèñ. 72ä. Ïóíêòèðíîé ëèíèåé èçîáðàæåí êâàí-

òîâûé âûõîä ðåêîìáèíàöèîííîãî êàíàëà

ην

rec

h()

. Ñóììà êâàíòîâûõ

âûõîäîâ ýòèõ êàíàëîâ ðàâíà ñðåäíåìó ÷èñëó âîçáóæäåíèé:

η+η

ex rec

Ïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ ìîæåò áûòü íåýôôåêòèâíûì, åñëè âå-

ðîÿòíîñòü îñòûâàíèÿ ÝÂ çà ñ÷åò èñïóñêàíèÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ áî-

ëüøå âåðîÿòíîñòè íåóïðóãîãî ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî ðàññåÿíèÿ. Ïðè

ýòîì ýëåêòðîíû, òåðÿÿ ýíåðãèþ, ïåðåõîäÿò â îáëàñòü íèæå ïîðîãà áåç

ñîçäàíèÿ íîâûõ ÝÂ. Ýòà êîíêóðåíöèÿ êàíàëîâ ðåëàêñàöèè ìîæåò

ñäâèíóòü ïðîÿâëåíèå ïîðîãà «ôîòîííîãî óìíîæåíèÿ» â îáëàñòü áî-

ëåå âûñîêèõ ýíåðãèé è äåëàåò êâàíòîâûé âûõîä áîëåå ïëàâíûì.

Â îáëàñòè

ν>3

íåêîòîðûå âòîðè÷íûå ýëåêòðîíû ìîãóò èìåòü

ýíåðãèþ âûøå ïîðîãà, ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ ðàçðåøåííîé ñëåäóþùàÿ

ñòàäèÿ ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ. Âîçðàñòàíèå ÷èñëà ÝÂ íà ýòîé ñòàäèè äîë-

æíî ïðîèñõîäèòü áîëåå ïëàâíî, ÷åì íà ïðåäûäóùèõ ñòàäèÿõ. Òàêèì

îáðàçîì, êâàíòîâûé âûõîä ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé â îáëàñòè

ýíåðãèé

()45÷ E

§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 315

Çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ íåóïðóãîå ðàññåÿíèå òîëüêî ãîðÿ÷èõ

ýëåêòðîíîâ, ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåòñÿ

. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

ãîðÿ÷èå äûðêè òàêæå ìîãóò ñîçäàâàòü äîïîëíèòåëüíûå ÝÂ. Òî æå ñà-

ìîå ïðîèñõîäèò, åñëè ó÷èòûâàòü îñòîâíûå çîíû. Ïðîöåññ Îæå-ðàñïà-

äà âîçìîæåí òîëüêî â ñëó÷àå

. Åñëè

, ðåëàêñàöèÿ òà-

êèõ îñòîâíûõ äûðîê ìîæåò ïðîòåêàòü òîëüêî ïî êàíàëó èñïóñêàíèÿ

ôîòîíîâ (êîòîðûå â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþòñÿ ôîòîíàìè êðîññëþìè-

íåñöåíöèè, ñì. §27). Áîëåå ïîäðîáíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò ñõîæåñòü

ïðîöåññîâ ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ â îáëàñòÿõ âûøå

è âûøå

(ñì. íèæå).

26.3 Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñëó÷àÿ ñèëüíî íåóïðóãîãî

ðàññåÿíèÿ âîçáóæäåíèé

Óâåëè÷åíèå ÷èñëà ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé èññëåäîâàëàñü ðÿ-

äîì àâòîðîâ (íàïðèìåð, ****). Â áîëüøèíñòâå èç ýòèõ ðàáîò îïèñû-

âàëàñü óäàðíàÿ èîíèçàöèÿ è ýëåêòðîííàÿ ëàâèíà â ïîëóïðîâîäíèêàõ.

Îáùàÿ òåîðèÿ ýôôåêòà ðàçìíîæåíèÿ ÝÂ ìîæåò áûòü îñíîâàíà

íà êèíåòè÷åñêîì óðàâíåíèè, ïðèâåäåííîì â ðàçäåëå 3.4. Èñïîëüçóÿ

ïðåäñòàâëåíèå ñîñòîÿíèÿ

íà ÿçûêå ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé (ñì.

(17.1)), ìîæíî çàïèñàòü êâàäðàò ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà â âèäå

ρ δδδ ρ

nn NN NN N N

′′′′

′

=×









∑

L



′

∞

′

≠

′

∑

∏∏

δδ δ

′

∏

∑

Lρρ

′

∑

















()

+×

′

δδδ ρ

NN NN NN

′

∏∏

11 1

δδ

∏











()ii

+×

′′ ′

′

δδδ ρ

NN NN N N

11 1

∏∏∏

′







δδL







()iii

316 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

′

−

′

−

′

∑

δδδ ρ

NN NN NN

′

−

′

∑

∏∏

××

δδ

′

−

′

∏∏

δδ

∏











()iv

+×

′′ ′

−

′

∑

δδδ ρ

NN NN N N

′

∏∏

11 1

δδ

N−

′

∏∏











δ L

()v







L .

(26.6)

×ëåíû (i) ñîîòâåòñòâóþò ïåðåõîäàì áåç èçìåíåíèÿ ÷èñëà ýëåêòðîí-

íûõ âîçáóæäåíèé, ÷ëåí (ii) — ñ ñîçäàíèåì äîïîëíèòåëüíîé ýëåêò-

ðîííî-äûðî÷íîé ïàðû, ÷ëåí (iii) — ñ ñîçäàíèåì äîïîëíèòåëüíîãî ýê-

ñèòîíà, ÷ëåí (iv) — ñ àííèãèëÿöèåé êàêîé-òî ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé

ïàðû, à ÷ëåí (v) — ñ àííèãèëÿöèåé ýêñèòîíà. Ïðè ýòîì îñòàëüíûå

âîçáóæäåíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ýòî ïîä÷åðêèâàåòñÿ íà-

ëè÷èåì

-ôóíêöèé ïî âñåì êâàíòîâûì ÷èñëàì ÷àñòèö, íå ó÷àñòâóþ-

ùèõ â ïðîöåññå ðàññåÿíèÿ. Òî÷êè “

” îáîçíà÷àþò ïðîöåññû, â êîòî-

ðûõ ó÷àñòâóþò âîçáóæäåíèÿ, îòëè÷íûå îò ýëåêòðîíîâ, äûðîê è ýêñè-

òîíîâ.

Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò (26.6) íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü â êèíåòè÷å-

ñêîå óðàâíåíèå (3.48), êîòîðîå äâàæäû ñîäåðæèò êâàäðàò ìàòðè÷íî-

ãî ýëåìåíòà. Òåì ñàìûì äîïóñêàåòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçíîîáðàç-

íûõ êîìáèíàöèé âîçáóæäåíèé â ðàññåÿíèè. Ýòè ïðîöåññû ðàññåÿíèÿ

ìîãóò áûòü ïîäðàçäåëåíû íà äâå ãðóïïû: óïðóãèå è íåóïðóãèå. Ïî-

ñêîëüêó ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ, íåëüçÿ îïðåäåëèòü íå-

óïðóãèå ïðîöåññû êàê ïðîöåññû ñ áîëüøèì èçìåíåíèåì ýíåðãèè.

Çäåñü íåóïðóãèìè ïðîöåññàìè áóäóò íàçûâàòüñÿ òàêèå, êîòîðûå íå

ñîõðàíÿþò ÷èñëà ÝÂ. Îíè ñîîòâåòñòâóþò ÷ëåíàì (ii)–(v) â ìàòðè÷-

íîì ýëåìåíòå (26.6). Çäåñü íå âêëþ÷àåòñÿ â ïîíÿòèå íåóïðóãîãî ïðî-

öåññà òàêèå ðàññåÿíèÿ, ïðè êîòîðûõ îäíî âîçáóæäåíèå çàìåíÿåòñÿ

äðóãèì. Òåì ñàìûì ïðåîáðàçîâàíèå âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ýêñè-

òîíà â ñîñòîÿíèå ðàçäåëåííîé ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû ðàññìàòðè-

âàåòñÿ êàê óïðóãèé ïðîöåññ.

§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 317

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè òðåáóåò, ÷òî ðàññåÿíèå ðàçðåøåíî,

åñëè ýíåðãèÿ îäíîãî ÝÂ âîçðàñòàåò, à äðóãîãî — óáûâàåò (÷òî îïðåäå-

ëÿåòñÿ ïðèñóòñòâèåì äâóõ ÷àñòîòíî-çàâèñèìûõ

-ôóíêöèé â (3.48)).

Òåì ñàìûì ïðîöåññû îäíîâðåìåííîãî ñîçäàíèÿ èëè àííèãèëÿöèè ÝÂ

íå ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ â êèíåòè÷åñêîì óðàâíåíèè (òàêèå êîìáèíàöèè

ìîãëè áû ñîäåðæàòü ÷ëåí (iv) â ïåðâîì êâàäðàòå ìàòðè÷íîãî ýëåìåí-

òà è ÷ëåí (v) — âî âòîðîì). Êàê óæå óïîìèíàëîñü âûøå, êîìáèíà-

öèè, ñîäåðæàùèå îäíîâðåìåííî ÷ëåíû èç ãðóïïû àííèãèëÿöèè è

ãðóïïû ðîæäåíèÿ (íàïðèìåð, êîìáèíàöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ðàñïàä ýê-

ñèòîíà ñ ñîçäàíèåì ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû) íå äîëæíû ðàññìàò-

ðèâàòüñÿ êàê íåóïðóãèå ïðîöåññû. Òàêèå ïðîöåññû ïðèâîäÿò, íàïðè-

ìåð, ê ýôôåêòó Ôàíî (ñì. ðàçäåë 7.3). Òàêèì îáðàçîì, âñå èíòåðåñó-

þùèå íàñ ãëóáîêî íåóïðóãèå ïðîöåññû äîëæíû ñîäåðæàòü ÷ëåí èç

ãðóïïû (i) â êâàäðàòå îäíîãî èç ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ è ÷ëåí èç ëþ-

áîé äðóãîé ãðóïïû — â êâàäðàòå äðóãîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà.

Ñîïðîâîæäàòü ÷ëåíû òèïà (i) ìîãóò êàê ÷ëåíû èç ãðóïïû àííè-

ãèëÿöèè, òàê è ãðóïïû ðîæäåíèÿ. Îäíàêî íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ðå-

ëàêñàöèîííûé ïðîöåññ äîëæåí óâåëè÷èâàòü ýíòðîïèþ ñèñòåìû, òî

åñòü ðåëàêñàöèîííûå ïðîöåññû èäóò â îñíîâíîì ñ óâåëè÷åíèåì ïîë-

íîãî ÷èñëà ÝÂ. Ýòî ñâÿçàíî ñ ïîëíûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé â ñèñòåìå ñ

âîçáóæäåíèÿìè. Â ðàçäåëå 17.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîëíîå ÷èñëî ñî-

ñòîÿíèé âîçðàñòàåò êàê

()NZ

ñ ðîñòîì

, ãäå

äëÿ ìàêðîñêîïè-

÷åñêîé ñèñòåìû ïîðÿäêà

. Ïîýòîìó ïðîöåññû ñ óìåíüøåíèåì ÷èñ-

ëà ÝÂ èìåþò ïðåíåáðåæèìî ìàëóþ âåðîÿòíîñòü (çà èñêëþ÷åíèåì

ïðîöåññîâ íà ðåêîìáèíàöèîííîé ñòàäèè ðåëàêñàöèè). Òåì ñàìûì áó-

äóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî òàêèå ïðîöåññû, êîòîðûå íå óìåíüøàþò

÷èñëà ÝÂ ïðè ðàññåÿíèè. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå íå ïðåïÿòñòâóåò ðàñ-

ñìîòðåíèþ ðåêîìáèíàöèîííîé ñòàäèè, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì ïðîèñõî-

äèò èñïóñêàíèå ðåàëüíûõ ôîòîíîâ èëè áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ôîíî-

íîâ.

Òàêèì îáðàçîì, åäèíñòâåííûìè ðàññìàòðèâàåìûìè ïðîöåññàìè

ãëóáîêî íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ áóäóò ïðîöåññû, âêëþ÷àþùèå â ñåáÿ

êîìáèíàöèþ èç ÷ëåíîâ ãðóïïû (i) èç (26.6) ñ óìåíüøåíèåì ýíåðãèè

ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ è ÷ëåíîâ, îïèñûâàþùèõ ñîçäàíèå äîïîë-

íèòåëüíûõ âîçáóæäåíèé (èç ãðóïï (ii) è (iii)).

Íàìíîãî áîëåå óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ íå ïîëíûìè ôóíêöèÿìè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ

, êîòîðûå ñîäåðæàò âñå êâàíòîâûå ÷èñëà äëÿ âñåõ ÝÂ, à

ïðèâåäåííûìè ôóíêöèÿìè, òî åñòü îäíîýëåêòðîííûìè ôóíêöèÿìè

ðàñïðåäåëåíèÿ

()

, îäíîäûðî÷íûìè

()

, îäíîýêñèòîííûìè

()

è, âîçìîæíî, äâóõ÷àñòè÷íûìè ôóíêöèÿìè (ñì. ðàçäåë 17.2).

Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ýòîé ñèñòåìû ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåò èç

ñåáÿ íåçàìêíóòóþ öåïî÷êó óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííûì â

ðàçäåëàõ 20.2 è 25.2. Çäåñü ìû âûïèøåì êîíå÷íóþ ôîðìó ïåðâûõ

318 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

óðàâíåíèé (òèïû âîçáóæäåíèé, îòëè÷íûõ îò ýëåêòðîíîâ

, äûðîê

ýêñèòîíîâ

, íå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ):

∂∂ πω

εω

fit tI fit Vd dk

(,) {(,)}

(,)

∞

∫∫

()×− − + ′





















′

−

′

∑

δω ρh Ei Ei fi

() ( ) ()





()+−′+













′







′

−

′

∑

δω ρh Ei Ei fi

() () ()

()×−−



















−

∑

δω ρh Ei Ei

() ()

()×−



















−

∑

δω ρh Ei

()

()+−′+













′+

′

−

′

δω ρh Ei Ei fi

() () ()

∑







()+−′+













′+

′

−

′

δω ρh Ei Ei fi

() () ()

∑

()+−′+













′

−

δω ρh Ei Ei fi

() () (

) +

′

∑

()+−



















−

∑

δω ρh Ei fi

() ()

()×−−



















−

∑

δω ρh Ei Ei

() ()

()

()+−−













∫

Ei Ei

πω ω

δω

()

() ()

h D

∑

−

− Ifi

rec

{()}

(26.7)

§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 319

è àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ äðóãèõ ôóíêöèé. Ñòðóêòóðà ýòèõ óðàâ-

íåíèé äîñòàòî÷íî î÷åâèäíà. Ïåðâûé ÷ëåí ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ èíòåã-

ðàë ñòîëêíîâåíèé èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ôîíîíàìè. Îí ìîæåò áûòü

âûïèñàí, íàïðèìåð, â ïðèáëèæåíèè äèôôóçèè ïî ýíåðãèè (18.15).

Ïîñëåäíèé ÷ëåí â óðàâíåíèè (26.7) îïèñûâàåò ðåêîìáèíàöèþ ýëåêò-

ðîíîâ íèçêèõ ýíåðãèé ñ äðóãèìè ÷àñòèöàìè (ñ äûðêàìè, äåôåêòàìè è

ò.ä.) è ìîæåò áûòü çàïèñàí â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (25.3). Ïðåä-

ïîñëåäíèé ÷ëåí îïèñûâàåò ïðÿìîå ñîçäàíèå ãîðÿ÷èõ ýëåêòðîíîâ âîç-

áóæäàþùèì èçëó÷åíèåì, èíòåíñèâíîñòü

êîòîðîãî çàâèñèò îò ÷àñòî-

òû ôîòîíà è, âîçìîæíî, îò âðåìåíè. Â ýòîì ÷ëåíå èñïîëüçîâàëîñü

ïðèáëèæåíèå (3.43).

Ðàññåÿíèå îïèñûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ïî

â óðàâíåíèè (26.7).

Ýëåêòðîí ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè

ìîæåò ïîòåðÿòü ýíåðãèþ (ïåðâàÿ

ñòðî÷êà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ) ñ âîçáóæäåíèåì íîâîé ýëåêòðîííî-äû-

ðî÷íîé ïàðû (òðåòüÿ ñòðî÷êà) èëè íîâîãî ýêñèòîíà (÷åòâåðòàÿ ñòðî÷-

êà). Íîâûé ýëåêòðîí ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè

ìîæåò âîçíèêíóòü,

åñëè â ñèñòåìå ïðèñóòñòâîâàë ýëåêòðîí ñ áîëåå âûñîêîé ýíåðãèåé

′i

(âòîðàÿ ñòðî÷êà), êîòîðûé ðàññåÿëñÿ ñ ñîçäàíèåì êàêîãî-òî íîâîãî

âîçáóæäåíèÿ. Äàëåå, ýëåêòðîí ìîæåò áûòü ñîçäàí êàê êîìïîíåíò íî-

âîé ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû (ïîñëåäíÿÿ, äåâÿòàÿ ñòðîêà â ôèãóð-

íûõ ñêîáêàõ) ïðè ðàññåÿíèè ýëåêòðîíà (ïÿòàÿ ñòðîêà), äûðêè ñ êâàí-

òîâûìè ÷èñëàìè

′i

(øåñòàÿ ñòðîêà), ýêñèòîíà ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè

(ñåäüìàÿ ñòðîêà) èëè â ðåçóëüòàòå àííèãèëÿöèè ýêñèòîíà (âîñü-

ìàÿ ñòðîêà). Ïîñêîëüêó çäåñü îáñóæäàþòñÿ äèýëåêòðèêè ñ îòíîñèòå-

ëüíî øèðîêîé çàïðåùåííîé çîíîé, íåóïðóãîå ðàññåÿíèå ýêñèòîíà ñó-

ùåñòâåííî ëèøü äëÿ îñòîâíûõ ýêñèòîíîâ, êîòîðûå ðàññåèâàþòñÿ â ñî-

ñòîÿíèÿ ýêñèòîíîâ âàëåíòíîé çîíû (ïðîöåññ Îæå äëÿ îñòîâíîãî ýêñè-

òîíà ñ ñîçäàíèåì ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû).

Óðàâíåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëå-

íèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì (26.7). Ê ñîæàëå-

íèþ, çíàíèÿ òîëüêî îäíî÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íåäîñòà-

òî÷íî äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâîãî âûõîäà âòîðè÷íûõ ïðîöåññîâ. Â

ñëó÷àå äèôôóçèîííî-êîíòðîëèðóåìîé ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ðåêîì-

áèíàöèè, ðàññìîòðåííîé â §25, äëÿ ðàñ÷åòà êâàíòîâîãî âûõîäà íåîá-

õîäèìî çíàòü äâóõ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Óðàâíåíèÿ

äëÿ ýòèõ ôóíêöèé ìîãóò áûòü çàïèñàíû òàêèì æå îáðàçîì. Íèæå ê

ýòîé ïðîáëåìå åùå âåðíåìñÿ.

Ñèñòåìà êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé (26.7) äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ è

íå ìîæåò áûòü ðåøåíà â îáùåì ñëó÷àå. Ïðîèçâåäåì óïðîùåíèå ýòîé

ñèñòåìû. Âî-ïåðâûõ, ïðåíåáðåæåì ýêñèòîíàìè è áóäåì ðàññìàòðè-

âàòü òîëüêî ýëåêòðîíû è äûðêè. Â êà÷åñòâå îñíîâíîãî êâàíòîâîãî

÷èñëà îñòàâèì òîëüêî ýíåðãèþ (íàïðèìåð, â ïðåäïîëîæåíèè áûñòðîé

ðåëàêñàöèè ïî èìïóëüñàì ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãåòè÷åñêîé ðåëàêñà-

öèåé). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè ñóììèðîâàíèå ïî âñåì

320 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

ðàçëè÷íûì êâàíòîâûì ÷èñëàì çà èñêëþ÷åíèåì ýíåðãèè. Ýòà ïðîöåäó-

ðà àíàëîãè÷íà ïðèâåäåííîé â ðàçäåëå 18.3. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ

fEt fi EEi

(,) ( )( ( ))=−

∑

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

∂

fEt

SEfEt d

(,)

[()(,)]=− +

12444434444

(,)εωk

∫∫

∞

×− − −







MEEgEfE

(, ) ( ) ()hh

12444444434444444

ωω











++ +M E Eg Ef E

(,)()()hh

124444444344444

ωω

III







×′ ′ −′ ′−′+

∫

dE g E g E M E E

() ( ) (, )hhωω

+− −×gEg EM E E

() ( ) (, )hhωω

×′ ′′− ′− ′

∫

dEMEEgEfE

(, ) ( )()hh

12444444444344

ωω

4444444

124







+′ ′− ′ ′− ′

∫

dE M E E g E f E

(,)()()ωω

444444443444444444

















+−−

∫

ItgEg EME E

πω

ωωω

()

(,)()( ) (, )hh

12444

44444444344444444444

. (26.8)

Â ýòî óðàâíåíèå âêëþ÷åíî âçàèìîäåéñòâèå íå òîëüêî ÷åðåç ïðîäîëü-

íûå ôîòîíû, íî è ÷åðåç îáìåí ïîïåðå÷íûìè ôîòîíàìè. Îòäåëüíûå

÷ëåíû ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ãðàôè÷åñêîì âèäå

(ðèñ. 73). Ïîñëåäíèé ÷ëåí ýòîãî óðàâíåíèÿ îïèñûâàåò ñîçäàíèå ýëåê-

òðîííî-äûðî÷íîé ïàðû ïðè ïîãëîùåíèè ôîòîíà (ïðîöåññ (I) íà ðèñ.

73). ×ëåí (II) ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì îïèñûâàåò ðàñïàä ýëåêòðîíà ñ

îáðàçîâàíèåì íîâîãî ýëåêòðîíà ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé è ýëåêòðîííî-

äûðî÷íîé ïàðû. ×ëåí (III) îïèñûâàåò ñîçäàíèå ýëåêòðîíà ïîñëå

§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 321