Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков
Подождите немного. Документ загружается.
çàõâàòîì äûðêè
echchc++→+→
++∗0
. Ýòîò êàíàë ìîæåò ïðèâî-
äèòü ëèáî ê ëþìèíåñöåíöèè èç âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ
c
+∗
, ëèáî ê
áåçûçëó÷àòåëüíîé ðåêîìáèíàöèè íà öåíòðå. Ýòîò êàíàë áóäåì íàçû-
âàòü ðåêîìáèíàöèîííûì.
Âåðîÿòíîñòü
K
αβ
êàæäîãî èç çàõâàòîâ (
α
è
β
ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåí-
òàìè ïàð
eh−
,
ec−
+
èëè
hc−
0
) ïðåäïîëàãàåòñÿ çàâèñÿùåé îò ðàññòî-
ÿíèÿ
r
αβ
ìåæäó ðåàãèðóþùèìè ÷àñòèöàìè. Êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå
òåì ñàìûì òðåáóåò ââåäåíèÿ íå òîëüêî êîíöåíòðàöèé
n
α
âñåõ ÷àñòèö,
íî è äâóõ÷àñòè÷íûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé
Gr
αβ
()
(äâóõ÷àñòè÷-
íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
f
αβ
ðàâíà
nn G
αβ αβ
()1 +
). Ýòà ïðîöåäóðà
íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò ïðîâåäåííîé â ðàçäåëå 20.2. Íà «òåïëîâîì»
ýòàïå ýëåêòðîíû è äûðêè áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ íå ýíåðãèÿìè, à
òîëüêî ñâîèì ìåñòîïîëîæåíèåì (ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ïðî-
ïîðöèîíàëüíî áîëüöìàíîâñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ). Òåì ñàìûì
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò ÷èñëà ýëåêòðîíîâ,
äûðîê è öåíòðîâ îáîèõ òèïîâ (â äàëüíåéøåì áóäåì ïðèìåíÿòü èíäåêñ
p
äëÿ öåíòðîâ
c
+
è èíäåêñ
n
äëÿ öåíòðîâ
c
0
). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñó-
ùåñòâåííî îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî äâóõ÷àñòè÷íûå êîððåëÿöèîííûå
ôóíêöèè íåïîñðåäñòâåííî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö
G
eh
,
G
ep
è
G
hn
. Áûëî ïîêàçàíî (Êóçîâêîâ è Êîòîìèí, 1980, 1981à,á), ÷òî íà ïî-
âåäåíèå ñèñòåìû íà áîëüøèõ âðåìåíàõ ïîñëå òåðìàëèçàöèè âîçáóæ-
äåíèÿ áîëüøîå âëèÿíèå îêàçûâàþò êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îäèíà-
êîâûõ ÷àñòèö, íî ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü ýòèì ýôôåêòîì, ïðåäïîëà-
ãàÿ, ÷òî ê ýòîìó âðåìåíè îñòàíåòñÿ ëèøü íåçíà÷èòåëüíîå ÷èñëî âîç-
áóæäåíèé, è â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî âîçáóæäåíèÿ åãî âëèÿíèå íåçíà-
÷èòåëüíî.
302 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
hν
hν
hν'
hν''
hν'''
hν'''
e
h
e
h
c
+
c
0
wE,E
1
()
eh
c
+
c
+*
c
+*
c
+
w
2
c
+
hΩ
LO
1
1
η'
η'''
E
g
2E
g
hν
E
g
2E
g
hν
ex
STE
w
1
w
1
+w
2
w
2
w
1
+w
2
Ðèñ. 67. Äâà êàíàëà ðåêîìáèíàöèè ýëåêòðîíîâ è äûðîê — ýêñèòîííûé è ðå-
êîìáèíàöèîííûé.
Ñòàöèîíàðíûå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö ìîãóò áûòü îïèñàíû ñëåäó-
þùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:
nnn
en
h
+=
,
nnn
pn
+=
0
,
∂∂ β βnti nn nn
e
eh
e
h
ep e p
=−−=
=− +
∫
inn drK r G r
e
heh eh
3
11 1
1()[ ()]
−+=
∫
nn drK r G r
e p ep ep
3
11 1
10( )[ ( )] ,
∂∂ β βnti nn nn
heh
e
hhnh
n
=− − =
=− +
∫
inn drK r G r
e
heh eh
3
11 1
1()[ ()]
−+=
∫
nn drK r G r
h
n
hn hn
3
11 1
10( )[ ( )] .
(25.3)
Çäåñü
n
0
— ñóììàðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ
c
-öåíòðîâ â îáðàçöå â îáîèõ ñî-
ñòîÿíèÿõ,
β
αβ
— ñêîðîñòü ðåêîìáèíàöèè ÷àñòèö
α
è
β
. Ïåðâîå óðàâ-
íåíèå ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Óðàâíåíèÿ äëÿ êîððåëÿ-
öèîííûõ ôóíêöèé ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê óðàâíåíèÿ, êîòîðûå âû-
ðàæàþò äâóõ÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
f
αβ
÷åðåç òðåõ÷àñ-
òè÷íûå ôóíêöèè
f
αβγ
(ñðàâíèòå ñ óðàâíåíèåì (20.14)).  îòëè÷èå îò
ñëó÷àÿ, ðàññìîòðåííîãî â ðàçäåëå 20.2, çäåñü íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü
äèôôóçèþ âîçáóæäåíèé. Òåì ñàìûì ìîæíî çàïèñàòü áåñêîíå÷íóþ
öåïî÷êó ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé (ïîäîáíî (20.17) è (20.18)), îäíàêî
ðåøèòü åå íåâîçìîæíî. Äëÿ îáðûâà ýòîé öåïî÷êè íåîáõîäèìî èñïî-
ëüçîâàòü êàêîå-ëèáî ïðèáëèæåíèå. Îäíèì èç òàêèõ ïðèáëèæåíèé ÿâ-
ëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííîå ïðèáëèæåíèå Êèðêâóäà (1935) (ñì.
(20.19), à òàêæå Áàëåñêó, 1975):
fnnnG G G
αβγ α β γ αβ αγ βγ
=+++[][][]111
.
Ýòî ïðèáëèæåíèå â ðÿäå ñëó÷àåâ íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, íî äîñòàòî÷íî
äëÿ íàøåé çàäà÷è. Ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåíèÿ Êèðêâóäà è óðàâíåíèé
(25.3) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ êîððåëÿöèîííûõ
ôóíêöèé
Gr
αβ
()
:
∂
∂
G
t
DDG Kr Gr Gi
nn
eh
e
heheh eh eh
e
h
=+ − + − +
() ()[()]∆ 1
11
+
+=ig r h n n
eh
e
h
(; ) ,ν 0
∂
∂
η
G
t
DG Kr Gr Gi
nn
ep
eep ep ep ep
e
ex
p
=−+− +
−
∆ ()[ ()]1
1
1
+
§25. Ðåêîìáèíàöèÿ ñêîððåëèðîâàííûõ âîçáóæäåíèé 303
()++−=
∫
nn
n
drK r G r G
n
h
p
hn hn eh
3
11 1 1
10( )[ ( )] .rr
(25.4)
Çäåñü
η
ex
— êâàíòîâûé âûõîä ýêñèòîííîãî êàíàëà
ηβ
ex
eh
e
h
e
heheh
nni nni drK r G r≡= +
−−
∫
113
11 1
1()[ ()]
. (25.5)
Êâàíòîâûé âûõîä ðåêîìáèíàöèîííîãî êàíàëà ðàâåí
ηβ β η
rec
hn h
nepep ex
nni nni≡==−
−−11
1
.
Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (25.4) äëÿ óïðîùåíèÿ íåêîòîðûõ èíòåãðàëü-
íûõ ÷ëåíîâ èñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèå (25.3) è ñîîòíîøåíèå (25.5).
Ýòî ìîæíî ëåãêî ñäåëàòü òîëüêî â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî âîçáóæäå-
íèÿ. Óðàâíåíèå äëÿ
Gr
hn
()
ìîæåò áûòü çàïèñàíî àíàëîãè÷íî óðàâíå-
íèþ äëÿ
Gr
ep
()
çàìåíîé
np↔
,
eh↔
.
Ïåðâûé ÷ëåí óðàâíåíèé (25.4) îïèñûâàåò äèôôóçèþ òåðìàëèçî-
âàííûõ ýëåêòðîíîâ è äûðîê, âòîðîé — ïðÿìóþ ðåêîìáèíàöèþ âûäå-
ëåííîé ïàðû ÷àñòèö, òðåòèé — ðåêîìáèíàöèþ ñ ôîíîì ïîñòîðîííèõ
÷àñòèö. Ïîñëåäíèé ÷ëåí â ïåðâîì óðàâíåíèè îïèñûâàåò ïîÿâëåíèå
êîððåëÿöèè çà ñ÷åò îäíîâðåìåííîãî ðîæäåíèÿ ÷àñòèö â îäíîì àêòå
ïîãëîùåíèÿ ôîòîíà. Ïîñëåäíèé èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â óðàâíåíèè äëÿ
Gr
ep
()
îïèñûâàåò ïîÿâëåíèå êîððåëÿöèè ìåæäó
e
è
c
+
çà ñ÷åò ðåêîì-
áèíàöèè
h
è
c
0
, åñëè ýëåêòðîí áûë ïåðåä ýòèì ñêîððåëèðîâàí ñ äûð-
êîé.
25.3 Ýêñèòîííûé è ðåêîìáèíàöèîííûé êàíàëû ëþìèíåñöåíöèè
Âåðîÿòíîñòü çàõâàòà
K
αβ
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî äëÿ ðàññòîÿ-
íèé, ìåíüøèõ èëè ïîðÿäêà ðàäèóñà çàõâàòà
a
αβ
. Åñëè ñðåäíåå çíà÷å-
íèå
K
αβ
â ñôåðå ðàäèóñà
a
αβ
îòíîñèòåëüíî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ îá-
ðàòíûì ñðåäíèì âðåìåíåì äèôôóçèè ñêâîçü ñôåðó çàõâàòà, êîððåëÿ-
öèîííûå ýôôåêòû îêàçûâàþòñÿ ìàëûìè. Ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò
ñêîðîñòè çàõâàòà
βπ
αβ αβ αβ
=
4
3
3
Ka
, êîòîðàÿ áûëà ïîëó÷åíà äëÿ âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ñ
LA
-ôîíîíàìè â ðàçäåëå 19.1 (óðàâíåíèå (19.11)), ãäå
ïðåäïîëîæåíèå î âûñîêîé ñêîðîñòè äèôôóçèè áûëî íåÿâíî èñïîëü-
çîâàíî (ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ çàâèñèò òîëü-
êî îò ýíåðãèè, à íå îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà).
 ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå áîëüøîé âåðîÿòíîñòè çà-
õâàòà
Ka D D
αβ αβ α β
2
1()+>>
çàäà÷à ìîæåò áûòü óïðîùåíà, åñëè ââå-
ñòè ìîäåëü ïîãëîùàþùåé ñôåðû ðàäèóñà
a
αβ
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå
÷àñòèöû, ïîñòóïàþùèå â ýòó ñôåðó, äîëæíû íåìåäëåííî çàõâàòûâà-
òüñÿ. Ðàäèóñ òàêîé ñôåðû ïîðÿäêà ïîñòîÿííîé ðåøåòêè äëÿ ðåêîìáè-
íàöèè ÷àñòèö áåç êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (íàïðèìåð, çàõâàò
304 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
hc−
0
), è ðàäèóñó Îíñàãåðà
RekT
BOn
=
2
ε
(ñì. ðàçäåë 19.1 è Àáàêó-
ìîâ, 1978) ïðè ðåêîìáèíàöèè ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö.
Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ
eh−
è
ec−
+
âçàèìîäåéñòâèé. Ðàäèóñ Îí-
ñàãåðà ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ íàíîìåòðîâ è ìíîãî áîëüøå ïîñòîÿííîé
ðåøåòêè.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ñôåðû çàõâàòà íà äåôåêòû íå ïåðå-
êðûâàþòñÿ (
na
ep0
1<<
), òî ïîïðàâêè çà ñ÷åò ãåíåòè÷åñêîé ðåêîìáè-
íàöèè íà öåíòðå (ïîñëåäíèé èíòåãðàëüíûé ÷ëåí âî âòîðîì óðàâíåíèè
ñèñòåìû (25.4)) ìàëû. Ïðè ýòîì êâàíòîâûé âûõîä «ýêñèòîííîãî» êà-
íàëà ëþìèíåñöåíöèè ðàâåí
ην ν
π
ex
eh
e
heh
eep
hhn
hAh
DDa
Da
i
Da n
() ()
()
=+
+
+
4
0
2
1
2
32
1[ ( )] ,− Ah
eh
ν
(25.7)
åñëè
iDan
hhn
<< 4
0
2
π
,è
ηπ
ex
hhn
Da ni=−
−
14
0
21
, (25.8)
åñëè
44
0
2
ππDa in D D a
hhn
e
heh
<< << +
−
()
. Çäåñü
Ah
eh
()ν
— êâàíòî-
âûé âûõîä èçîëèðîâàííîé
eh−
ïàðû (â ïðåäåëå
i →0
)
Ar rgrhdr
eh eh
a
() (; )=+
∫
4
2
0
πν
+
−
∞
∫
4
4
πν
π
argrhe dr
eh eh
rna
a
(; )
. (25.9)
Ýòî âûðàæåíèå èìååò äîñòàòî÷íî ÿñíûé ñìûñë. Åñëè ðàññòîÿíèå
r
ìåæäó ýëåêòðîíîì è äûðêîé ïîñëå ãîðÿ÷åé ðåëàêñàöèè ìåíüøå, ÷åì
ðàäèóñ ÷åðíîé ñôåðû
a
eh
, ðåêîìáèíàöèÿ â ýêñèòîííîå ñîñòîÿíèå ïðî-
èñõîäèò íåìåäëåííî (ïåðâûé ÷ëåí âûðàæåíèÿ (25.9)). Åñëè
ra
eh
>
,
âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ÷àñòèö â ÷åðíóþ ñôåðó â êàêîé-ëèáî ìî-
ìåíò âðåìåíè â ïðîöåññå òðåõìåðíîé äèôôóçèè ðàâíî
ar
eh
è ïàäàåò
ñ ðîñòîì èñõîäíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè
r
. Åñëè äðóãèå öåíò-
ðû çàõâàòà îòñóòñòâóþò (
n
0
0=
), âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýëåêòðîí è
äûðêà óáåãóò äðóã îò äðóãà è íèêîãäà íå âñòðåòÿòñÿ, ðàâíà
1 − ar
eh
.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî äàííîå ïîâåäåíèå õàðàêòåðíî òîëüêî äëÿ
òðåõìåðíîé äèôôóçèè. Â ïðîöåññå îäíîìåðíîé è äâóìåðíîé äèôôó-
çèè äâå ÷àñòèöû îáÿçàòåëüíî ïðîðåêîìáèíèðóþò (âîçìîæíî, ïîñëå
î÷åíü äëèòåëüíîé äèôôóçèè). Åñëè â êðèñòàëëå èìåþòñÿ öåíòðû çà-
õâàòà, ýëåêòðîí íå ìîæåò óáåæàòü íà áåñêîíå÷íîå ðàññòîÿíèå, à
§25. Ðåêîìáèíàöèÿ ñêîððåëèðîâàííûõ âîçáóæäåíèé 305
âìåñòî ýòîãî îí áóäåò îáÿçàòåëüíî çàõâà÷åí. Ýêñïîíåíòà âî âòîðîì
÷ëåíå ñîîòíîøåíèÿ (25.9) îòðàæàåò ýòîò çàõâàò.
Âêëàä ðåêîìáèíàöèè ñêîððåëèðîâàííûõ ïàð
Ah
eh
()ν
äîñòèãàåò
åäèíèöû, åñëè ðàçáåã ÷àñòèö ïîñëå «ãîðÿ÷åãî» ýòàïà
l
(25.2) ìàë ïî
ñðàâíåíèþ ñ
a
eh
, çàòåì ïàäàåò ñ ðîñòîì
l
ïðîïîðöèîíàëüíî
al
eh
,à
ïðè
lna
eh
>
−
()
0
12
ïàäàåò êàê
1
0
3
nl
. Ðåêîìáèíàöèÿ ñ ïîñòîðîííèìè
÷àñòèöàìè, ðîäèâøèìèñÿ â ðåçóëüòàòå ïîãëîùåíèÿ äðóãèõ ôîòîíîâ,
ïðèâîäÿò ê ïüåäåñòàëó, çàâèñÿùåìó îò
in
12
0
â ñëó÷àå ìàëûõ èíòåí-
ñèâíîñòåé (âòîðîé ÷ëåí â (25.7)). Ýòîò ñòîõàñòè÷åñêèé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ
îñíîâíûì â ñëó÷àå ñðåäíèõ èíòåíñèâíîñòåé (25.8).
Åñëè
lE E n a
e
heh
(,)( )<
−
0
12
, âêëàä îò ðåêîìáèíàöèè ñêîððåëè-
ðîâàííûõ ÷àñòèö (25.9) ìîæåò áûòü âûðàæåí ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-
íèÿ (25.1) ÷åðåç ôóíêöèþ îøèáîê
Φ()x
â âèäå
A h dE dE g E E h
a
lE E
eh
e
h
e
h
eh
e
h
E
E
() ( , ;)
(,)
νν=
∫
0
0
2
Φ
hν
∫
.
Íà ðèñ. 68 ïðèâåäåíà çàâèñè-
ìîñòü êâàíòîâîãî âûõîäà «ýêñèòîí-
íîãî» êàíàëà îò ýíåðãèè ïàäàþùå-
ãî ôîòîíà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ïðîöåññû èñïóñêàíèÿ îïòè÷åñêîãî
ôîíîíà îïðåäåëÿþòñÿ ïîëÿðèçàöè-
îííûì âçàèìîäåéñòâèåì, ýëåêòðîí-
íàÿ çîíà — ïàðàáîëè÷åñêàÿ, âàëåí-
òíàÿ çîíà — óçêàÿ. Öèôðîé ó êðè-
âûõ óêàçàíî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
iDan
hhn
4
0
2
π
. Êâàíòîâûé âûõîä
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé áåçðàçìåðíîé
ýíåðãèè ôîòîíà
()hEE
g
ν−
0
, ãäå
E
0
îïðåäåëÿåòñÿ èç òðåáîâàíèÿ,
÷òî äëÿ ýíåðãèè ôîòîíà
hE E
g
ν= +
0
äëèíà ãîðÿ÷åé ðåëàê-
ñàöèè ðàâíà
a
eh
:
()
EkT
B0
2
23
≈
∗∗
hΩ Ry ε
.
Çäåñü
Ry
∗
— ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà äëÿ ýêñèòîíà,
ε
∗
— ýôôåêòèâíàÿ
äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü, à
hΩ
— ýíåðãèÿ îïòè÷åñêîãî ôîíî-
íà. Ïðè ïîäñòàíîâêå çíà÷åíèé, õàðàêòåðíûõ äëÿ øèðîêîçîííûõ êðè-
ñòàëëîâ, áåçðàçìåðíîé åäèíèöå ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ â 1–3
ýÂ.
306 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
1
0,5
10
3
0,1
0,03
0
1
23
h
E
kT
h R
η
ν
Ω
ε
(
)
g
~
2
y
2/3
Ðèñ. 68. Çàâèñèìîñòü êâàíòîâîãî
âûõîäà ýêñèòîííîãî êàíàëà ëþìè-
íåñöåíöèè îò ýíåðãèè ïàäàþùèõ
ôîòîíîâ. Öèôðîé ó êðèâîé óêàçà-
íî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
25.4 Ðåêîìáèíàöèÿ ñêîððåëèðîâàííûõ ÷àñòèö â ïðèñóòñòâèè
ëîâóøåê
Ðàññìîòðåííàÿ ìîäåëü ñ ó÷åòîì òîëüêî äâóõ êàíàëîâ ðåêîìáèíà-
öèè ìîæåò áûòü îáîáùåíà íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî êàíàëîâ.  îñíîâ-
íîì ýòî ïðèâåäåò ê áîëåå ñëîæíîé çàâèñèìîñòè ïüåäåñòàëà îò èíòåí-
ñèâíîñòè
i
è êîíöåíòðàöèè öåíòðîâ. Îäíàêî õàðàêòåðíûé âêëàä ðå-
êîìáèíàöèè ñêîððåëèðîâàííûõ ÷àñòèö â êâàíòîâûé âûõîä ìåíÿåòñÿ
ïðè ýòîì ñëàáî.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àþ-
ùèåñÿ ïðè ó÷åòå ýëåêòðîííûõ ëîâóøåê, êîòîðûå áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ
èíäåêñîì
b
(Âàñèëüåâ è äð., 1987è). Ïðè ýòîì â ñõåìó ïðîöåññîâ
âêëþ÷àþòñÿ äâå äîïîëíèòåëüíûå ðåàêöèè (ðèñ. 69):
eb b+→
−
,
bbe
kT
−
→+
.
Ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü
ñâåäåíû ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ην
ex
eh eh
e
h
h
e
b
hhn
eep
A h B nni
n n n n nB nB
=+
=−− +
−
() ,
()(
1
0
1 ),
(),
().
1
1
−=−−
+=
−
∗
η
ω
ex
h
e
b
hnh
b
T
eb
ee
nnnnBi
nKnnn
(25.10)
Çäåñü
ω
T
— âåðîÿòíîñòü òåðìè÷åñêîãî îñâîáîæäåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ
ëîâóøåê,
n
∗
— ïîëíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ëîâóøåê (êàê çàïîëíåííûõ,
òàê è ñâîáîäíûõ). Ñêîðîñòè ñòîõàñòè÷åñêîé ðåêîìáèíàöèè
B
αβ
îïðå-
äåëÿþòñÿ èç îòäåëüíîãî
óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî
ñòàöèîíàðíóþ äèôôóçèþ è
çàõâàò íà îäíîì òèïå öåíòðà
(Àíòîíîâ-Ðîìàíîâñêèé,
1966):
BDDa
αβ α β αβ
π=+4( )
. Îá-
ñóæäàåìàÿ ìîäåëü ìîæåò
áûòü èññëåäîâàíà â ðàìêàõ
çîííîãî ïîäõîäà, îïèñàííî-
ãî â §22. Ñèñòåìà óðàâíå-
íèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ â
ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ òà-
êîãî ïîäõîäà, ïîäîáíà ñèñ-
òåìå (25.10) çà èñêëþ÷åíèåì
îòñóòñòâèÿ ÷ëåíà
Ah
eh
()ν
.
Ýòî åñòåñòâåííî, ïîñêîëüêó
§25. Ðåêîìáèíàöèÿ ñêîððåëèðîâàííûõ âîçáóæäåíèé 307
e
h
c
v
p
n
b
kT
B
hν
ex
hν
1
hν
2
Ðèñ. 69. Ñõåìà ïðîöåññîâ â äèýäåêòðèêå ñ
ëîâóøêàìè è äâóìÿ êàíàëàìè ðåêîìáèíà-
öèè ýëåêòðîíîâ è äûðîê.
ðåêîìáèíàöèÿ ñêîððåëèðîâàííûõ ÷àñòèö ìîæåò áûòü ó÷òåíà òîëüêî
ïðè ðàññìîòðåíèè êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé.
Íà ðèñ. 70 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè êâàíòîâîãî âûõîäà ýêñèòîí-
íîãî êàíàëà ðåêîìáèíàöèè îò ýíåðãèè âîçáóæäàþùèõ ôîòîíîâ
hν
,
èíòåíñèâíîñòè âîçáóæäåíèÿ
i
è òåìïåðàòóðû îáðàçöà
T
. Çäåñü
E
b
—
òåðìè÷åñêàÿ ãëóáèíà ëîâóøêè (
ω
T
EkT
e~
−
), à
ρ=BBB
eh
ep
hn
22
.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ñïåêòðû âîçáóæäåíèÿ ëþìèíåñöåíöèè
ην
ex
h()
çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è îò èíòåíñèâíîñòè âîçáóæäàþùåãî
ñâåòà. Èç ýòèõ êðèâûõ âèäíî, ÷òî çàâèñèìîñòü êâàíòîâîãî âûõîäà îò
ýíåðãèè ôîòîíà íàèáîëåå ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòó-
ðàõ: êâàíòîâûé âûõîä ðåçêî ïàäàåò, êîãäà ýëåêòðîí è äûðêà ïîñëå
ðåëàêñàöèè ðàçäåëåíû ðàññòîÿíèåì, ñóùåñòâåííî ïðåâûøàþùèì ðà-
äèóñ ðåêîìáèíàöèè, ïîñêîëüêó âîçðàñòàåò äîëÿ ïàð, ðàçáåãàþùèõñÿ
äðóã îò äðóãà íà áåñêîíå÷íîå ðàññòîÿíèå (îíà ðàâíà
1 − A
eh
). Ñ ðîñ-
òîì èíòåíñèâíîñòè âîçáóæäàþùåãî ñâåòà äàæå «óáåæàâøèå» ýëåêò-
ðîíû ñìîãóò ïðîðåêîìáèíèðîâàòü ñ äûðêàìè, ñîçäàííûìè äðóãèìè
ôîòîíàìè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîíèæàåòñÿ ãëóáèíà ñïàäà êâàíòîâîãî
âûõîäà. Ãëóáèíà ñïàäà çàâèñèò òàêæå è îò òåìïåðàòóðû
T
. Ïðè íèç-
êèõ òåìïåðàòóðàõ äèôôóçèÿ çàìåòíî îñëàáåâàåò áëàãîäàðÿ äëèòåëü-
íîìó ïðåáûâàíèþ ýëåêòðîíîâ â çàõâà÷åííîì ñîñòîÿíèè íà ëîâóøêàõ,
è ñïåêòð âîçáóæäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëåå ïëîñêèì.
 ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè êâàíòîâûé âûõîä ðåêîìáèíàöèîííî-
ãî êàíàëà ðàâåí
ηη
rec ex
=−1
è âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè âîçáóæ-
äàþùèõ ôîòîíîâ.
308 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
0
1
0
4
0,5
0
η
(-)hEν/
g
E
0
ρ/In
0
2
0
kTE
Bb
/
0,2
kTE
Bb
/
0,5
0
ρ/In
0
2
0
4
(-)hEν/
g
E
0
0,7
0
0
1
η
0
1
η
à
á
â
Ðèñ. 70. Çàâèñèìîñòè êâàíòîâîãî âûõîäà ýêñèòîííîãî êàíàëà ðåêîìáèíàöèè
îò ýíåðãèè âîçáóæäàþùèõ ôîòîíîâ
hν
, èíòåíñèâíîñòè âîçáóæäåíèÿ
i
è òåì-
ïåðàòóðû îáðàçöà
T
.
§26 Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé
26.1 Ñëó÷àé ïàðàáîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè ýíåðãèè
ýëåêòðîíîâ è äûðîê
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí íè ïðè êàêîé ýíåðãèè íå ìîæåò
ñîçäàòü ýëåêòðîí-ïîçèòðîííóþ ïàðó â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå áåç
âçàèìîäåéñòâèÿ ñ êàêèìè-ëèáî äðóãèìè ÷àñòèöàìè. Íåñìîòðÿ íà àíà-
ëîãèþ ìåæäó ýëåêòðîíîì è ïîçèòðîíîì, ñ îäíîé ñòîðîíû, è ýëåêòðî-
íîì è äûðêîé â òâåðäîì òåëå, ñ äðóãîé, ýëåêòðîí ïðîâîäèìîñòè äî-
ñòàòî÷íîé ýíåðãèè ìîæåò ñîçäàòü äîïîëíèòåëüíîå ýëåêòðîííî-äûðî÷-
íîå âîçáóæäåíèå.
Òàêîé ïðîöåññ íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ çîííîãî âîçáóæäåíèÿ ñ îá-
ðàçîâàíèåì äîïîëíèòåëüíîãî ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ (ÝÂ) ìîæåò
áûòü ðàññìîòðåí êàê ïðîöåññ Îæå. Âåðîÿòíîñòü òàêîãî ïðîöåññà ìî-
æåò áûòü âû÷èñëåíà ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, ïðèâåäåííûõ â §19, èëè ñ
èñïîëüçîâàíèåì áîëåå îáùåãî ïîäõîäà, îïèñàííîãî â ðàçäåëå 3.4. Ïî-
ñëåäíèé ïîäõîä îñîáåííî ïîëåçåí, åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ íå òîëüêî âå-
ðîÿòíîñòüþ íåóïðóãîãî ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ, íî è ïðîäóêòàìè òàêîé
ðåàêöèè.
Âåðîÿòíîñòü íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ñ âîë-
íîâûì âåêòîðîì
k
i
ñ îáðàçîâàíèåì ëþáîãî òèïà ÝÂ ðàâíà (ñðàâíèòå ñ
ôîðìóëîé (3.47)):
W
V
d
dk
i
() Im
~
(,)
k
k
k
=−
×
∫∫
∞
16
1
5
3
2
0
π
ω
εω
×
−+
∫
−
dk E E
ffi
i
f
3
2
ρδω
k
kk( ( ) ( )).h
(26.1)
Çäåñü ìû ïðåíåáðåãàåì èíäóöèðîâàííûìè ïðîöåññàìè, ïîñêîëüêó
ìû îáñóæäàåì ñèëüíî íåóïðóãèå ïðîöåññû, â êîòîðûõ ýíåðãèÿ ïåðå-
õîäà
hω
äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ. Ïðèñóòñòâèå òî÷íîé äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ïðè íåóïðóãîì ðàññåÿíèè
ýëåêòðîíà áóäåò ó÷èòûâàòüñÿ îáðàçîâàíèå âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ
âòîðè÷íûõ âîçáóæäåíèé.  èäåàëüíîì òâåðäîì òåëå ìàòðè÷íûé
ýëåìåíò
ρ
fi
2
−k
ïðîïîðöèîíàëåí
δ()kk k
i
f
−−
. Òåì ñàìûì ìîæíî
ïðîèíòåãðèðîâàòü êàê ïî
ω
,òàêèïî
k
f
:
()
W
dk
EE
i
ii
()~ Im
~
[( ) ( ) ,
k
kkkkk
3
2
1
−
−−
∫
ε h
. (26.2)
Òåì ñàìûì ïåðåõîäû ìîãóò ïðîèñõîäèòü òîëüêî ìåæäó òàêèìè ñîñòî-
ÿíèÿìè, ðàçíèöà ýíåðãèé ìåæäó êîòîðûìè ïîïàäàåò â îáëàñòü ïîãëî-
ùåíèÿ, â êîòîðîé ôóíêöèÿ ïîòåðü ýíåðãèè îòëè÷íà îò íóëÿ. Äëÿ äèý-
ëåêòðèêîâ èìååòñÿ ùåëü ìåæäó ïîëîñîé èíôðàêðàñíîãî ïîãëîùåíèÿ
íà ôîíîíàõ è îáëàñòüþ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ. Ïîýòîìó ðàñ-
ñìàòðèâàåìûå ñèëüíî íåóïðóãèå ïåðåõîäû çîííîãî ýëåêòðîíà âîç-
ìîæíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ýíåðãèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ áîëü-
øå
EE
gex
+
, ãäå
E
g
— ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â çîíå ïðîâî-
äèìîñòè (íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàñïîëîæåííûì íà
ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû), à
E
ex
— ãðàíèöà îáëàñòè ôóíäàìåíòàëüíî-
ãî ïîãëîùåíèÿ (îáû÷íî ðàâíàÿ ýíåðãèè ýêñèòîíà).
Îáñóäèì ïðîñòåéøèé, íî íå î÷åíü ðåàëüíûé ñëó÷àé ïàðàáîëè÷å-
ñêèõ çîíû ïðîâîäèìîñòè è âàëåíòíîé çîíû. Ýíåðãèÿ çîí â ýòîì ñëó-
÷àå ðàâíà
EEkm
eg e
()k =+h
22
2
,
Ekm
hh
()k = h
22
2
. Îáðàòèì âíè-
ìàíèå, ÷òî â ýòîì ðàçäåëå íà÷àëî îòñ÷åòà ýíåðãèè ýëåêòðîííûõ ñîñòî-
ÿíèé íàõîäèòñÿ íà ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû, â òî âðåìÿ êàê â ðÿäå
äðóãèõ ðàçäåëàõ îíî ðàçìåùàëîñü íà äíå çîíû ïðîâîäèìîñòè. Òàêèå
çàêîíû äèñïåðñèè ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíÿþùèìèñÿ â äîñòàòî÷íî
øèðîêîé îáëàñòè ýíåðãèé â íåñêîëüêî øèðèí çàïðåùåííîé çîíû
E
g
.
Òàêîå ïðèáëèæåíèå, î÷åâèäíî, íàðóøàåòñÿ â èîííûõ êðèñòàëëàõ, è,
âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü ïðèìåíèìî òîëüêî â óçêîçîííûõ ïîëó-
ïðîâîäíèêàõ. Îäíàêî êà÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû ýòîé ìîäåëè äîñòà-
òî÷íî âàæíû, è ìû îáñóäèì èõ ïîäðîáíåå.
Ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
εω
2
(,)k
äëÿ òàêî-
ãî ñëó÷àÿ áûëà ïîëó÷åíà â ðàçäåëå 5.2:
εω ω
2
22
2(,)~ ( )kkhh−− +Emm
ge
h
äëÿ îáëàñòè ÷àñòîò è âîëíîâûõ âåêòîðîâ, â êîòîðîé âûðàæåíèå â
ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî, è ðàâíà íóëþ â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (26.2) ïðîïîðöèîíàëüíî
ε
2
(ïîñêîëüêó
Im(
~
)
~
−=
−
εεε
1
2
2
), ðàññåÿíèå ñ ñîçäàíèåì äîïîëíèòå-
ëüíûõ Ý âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè íåðàâåíñòâî
EE E mm
ei e
f
ge
h
() ( ) ( )kkk k−−−− +>h
22
20
(26.3)
310 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé
k
. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè
çàêîíà äèñïåðñèè äëÿ ýëåêòðîíîâ â íåðàâåíñòâî (26.3), îíî ìîæåò
áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó
−
+
+
+− >
2
2
2
0
2
2
mm
mm
kkkx
mE
e
h
e
h
i
eg
h
(26.4)
ãäå
x
— êîñèíóñ óãëà ìåæäó
k
è
k
i
(
−< <11x
). Íåðàâåíñòâî (26.6)
èìååò ðåøåíèÿ, åñëè äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ïîëîæè-
òåëåí:
kx
mE
mm
mm
i
eg
e
h
e
h
22
2
2
2
0−
+
+
>
h
.
Ìàêñèìóì ëåâîé ÷àñòè äîñòèãàåòñÿ ïðè
x = 1
. Òåì ñàìûì ïîðîãîâàÿ
ýíåðãèÿ
E
e
th
äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà äëÿ ïðîöåññà ðàç-
ìíîæåíèÿ ÝÂ ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
EEE
mm
mm
ei e
th
g
e
h
e
h
()k >≡
+
+
32
. (26.5)
Òàêîé ýëåêòðîí ìîæåò áûòü ðîæäåí òîëüêî îäíîâðåìåííî ñ äûðêîé,
èìåþùåé òîò æå ñàìûé âîëíîâîé âåêòîð (èç-çà ñîõðàíåíèÿ âîëíîâîãî
âåêòîðà ïðè ïîãëîùåíèè äëèííîâîëíîâûõ ôîòîíîâ), è òåì ñàìûì
ýíåðãèÿ ýòîé äûðêè ðàâíà
E
mE
m
mm
mm
h
i
th
eg
h
e
h
e
h
()k =
+
+
2
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîðîãîâàÿ
ýíåðãèÿ ôîòîíà, ïîãëîùåíèå êîòî-
ðîãî ìîæåò ïðèâåñòè ê íåóïðóãîìó
ýëåêòðîííîìó ðàññåÿíèþ, ðàâíî
hω
e
th
ei
th
h
i
th
ge
h
EE
Emm
≡+=
=+
() ()
().
kk
21
Èëüìàñ (1965) è Ëóùèê (1966) ïî-
ëó÷èëè òàêîå æå âûðàæåíèå äëÿ ïî-
ðîãà èç äåòàëüíîãî îáñóæäåíèÿ çà-
êîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïó-
ëüñà ÷àñòèö â ðåàêöèè
eeeh
i
fff
→++
12
(ñì. ðèñ. 71).
Òåì ñàìûì ïðè ïðîõîæäåíèè ýòîé
ýíåðãèè â ðåçóëüòàòå ïîãëîùåíèÿ
§26. Ðàçìíîæåíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 311
E
kkk k k
h
e
e
0
g
E
Ðèñ. 71. Ñõåìà ýëåìåíòàðíîãî ïðî-
öåññà ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíà â ñëó-
÷àå ïàðàáîëè÷åñêèõ çîí.