Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

èìåþùèõ ðàçëè÷íûå ýíåðãèè áåñôî-

íîííûõ ïåðåõîäîâ

, èíòåãðàëû

ïåðåêðûòèÿ ðàçëè÷íû äëÿ ðàçíûõ

íàïðàâëåíèé ïåðåíîñà. Ðèñ. 49 èë-

ëþñòðèðóåò, ÷òî

ad da→→

åñëè

Åñëè â ñèñòåìå èìååòñÿ òîëüêî

îäèí äîíîð è îäèí àêöåïòîð, êèíå-

òè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé

ðàñïðåäåëåíèÿ

(20.4) ìîæíî

ëåãêî ðåøèòü, îäíàêî ýòî ðåøåíèå

îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ãðîìîç-

äêèì. Îãðàíè÷èìñÿ ïîýòîìó íàèáî-

ëåå ïðîñòûìè ñëó÷àÿìè. Åñëè ðàäè-

àöèîííîå âðåìÿ æèçíè äîñòàòî÷íî

äëèííîå, ðàâíîâåñèå â ñèñòåìå äî-

íîð-àêöåïòîð óñòàíàâëèâàåòñÿ äî

ðàäèàöèîííîãî ðàñïàäà. Äëÿ íà÷à-

ëüíûõ óñëîâèé

()0 =

()00=

íà áîëüøèõ âðåìåíàõ àñèìïòîòèêà

ðàâíà

da ad

0∞

→

→→

fff

∞∞

=−

Òàêèì îáðàçîì, âîçáóæäåíèå ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ ïåðåíîñèòñÿ îò

äîíîðà ê àêöåïòîðó (åñëè

ad da→→

Êèíåòèêà ëþìèíåñöåíöèè äîíîðà è àêöåïòîðà â ñëó÷àå äâóõ öåí-

òðîâ, ðàçäåëåííûõ ìåæäó ñîáîé îïðåäåëåííûì ðàññòîÿíèåì

, ìî-

æåò áûòü çàïèñàíà â óïðîùåííîì ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóåò îáðàòíûé

ïåðåíîñ,

ad→

ft fe

()

−+τ

()

ft f

()

+−

−

→

−

→

−

−+

ττ

Êèíåòèêà ëþìèíåñöåíöèè äîíîðà

It ft

lum

() ()=

−

ÿâëÿåòñÿ îäíîýê-

ñïîíåíöèàëüíîé, â òî âðåìÿ êàê êèíåòèêà ëþìèíåñöåíöèè àêöåïòîðà

It ft

lum

() ()=

−

ÿâëÿåòñÿ äâóõýêñïîíåíöèàëüíîé ñ íåìîíîòîííîé

çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè (âîçíèêàåò ýòàï ðàçãîðàíèÿ ëþìèíåñöåí-

öèè, ðèñ. 50).

252 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

G()ω

d→a

abs

lum

a→d

lum

abs

hω

abs lum

⋅

lum abs

⋅

Ðèñ. 49. Ôîðìèðîâàíèå èíòåãðà-

ëîâ ïåðåêðûòèÿ äëÿ ïåðåíîñà

ýíåðãèè îò äîíîðà ê àêöåïòîðó

(âåðõíÿÿ ïàíåëü) è íàîáîðîò

(íèæíÿÿ ïàíåëü).

Âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè äî-

íîðíî-àêöåïòîðíîãî ïåðåíîñà ìîæåò

áûòü óïðîùåíî â ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî

óçêèõ ïîëîñ ëþìèíåñöåíöèè è ïîãëî-

ùåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àþ ñèëü-

íîé ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè. Ââåäÿ

ñðåäíþþ ÷àñòîòó ôîíîíîâ

, ìîæíî ïî-

ëó÷èòü ñâÿçü ìåæäó ìàòðè÷íûìè ýëå-

ìåíòàìè è ðàäèàöèîííûì âðåìåíåì

ωω

αα

()

(ïðè ýòîì âûâîäå èñïîëüçîâàëîñü íîð-

ìèðîâêà ôóíêöèè ôîðìû ëèíèè íà åäè-

íèöó). Â òàêîì ïðèáëèæåíèè âåðîÿò-

íîñòü ïåðåíîñà ìîæåò áûòü âûðàæåíà â

âèäå

GGd

lum

abs

→













πλ

πω ττ

ωωω

()

() ()

∫

ãäå

— ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû ïîïåðå÷íîãî ôîòîíà ñ ÷àñòîòîé

. Ñî-

ãëàñíî §13, äëÿ íåâûðîæäåííîãî ñëó÷àÿ è äëÿ ñèëüíîé ýëåêòðîí-ôî-

íîííîé ñâÿçè ôóíêöèÿ ôîðìû ëèíèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàóññèàí

lum,abs

() exp

()

,ω

ω−ω δ

=−













∆

ãäå çíàêè+è—âýêñïîíåíòå ñîîòâåòñòâóþò ëþìèíåñöåíöèè è ïîãëî-

ùåíèþ, ñîîòâåòñòâåííî,

— ñòîêñîâ ñäâèã äëÿ äîíîðà,

∆

— ïî-

ëóøèðèíà ëèíèè. Äëÿ àêöåïòîðà ìîæíî çàïèñàòü òàêîå æå âûðàæå-

íèå, çàìåíèâ èíäåêñû d íà a. Â ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ õàðàêòåðíîå

ðàññòîÿíèå äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà îò äîíîðà ê àêöåïòîðó ìî-

æåò áûòü çàïèñàíî â âèäå













−

−− −

πω

τπ

ωδω

()

[( )]

(

∆∆

δ )

()

12 ∆∆+

Ýòî ðàññòîÿíèå ìîæåò áûòü îöåíåíî êàê

≈

3 íì äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà

ëèíèÿ ëþìèíåñöåíöèè äîíîðà è ëèíèÿ ïîãëîùåíèÿ àêöåïòîðà ñîâïà-

äàþò, èõ ïîëóøèðèíû

h∆

ïîðÿäêà 0,3 ýÂ, ýíåðãèÿ ïåðåõîäà

hω≈

ýÂ,

n()ω≈

1,5 è

≈

−

ñ (ýòî ñîîòâåòñòâóåò äèïîëüíîìó ìîìåíòó

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 253

lum

1+τ

dda

→

Ðèñ. 50. Êèíåòèêà ëþìèíåñ-

öåíöèè äîíîðà è àêöåïòîðà.

≈ ea

, ãäå

— áîðîâñêèé ðàäèóñ äëÿ àòîìà âîäîðîäà). Òàêèì

îáðàçîì, ýòîò òèï ïåðåíîñà ñòàíîâèòñÿ âàæíûì äëÿ îòíîñèòåëüíî ìà-

ëûõ êîíöåíòðàöèé àêöåïòîðîâ (

naR

≈≈

−

()

≈ ea

, ãäå

— áîðîâñêèé ðàäèóñ äëÿ àòîìà âîäîðîäà). Òàêèì

îáðàçîì, ýòîò òèï ïåðåíîñà ñòàíîâèòñÿ âàæíûì äëÿ îòíîñèòåëüíî ìà-

ëûõ êîíöåíòðàöèé àêöåïòîðîâ (

naR

≈≈

−

()

Îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé ïåðåíîñîâ

da→

ad→

â ýòèõ æå ïðåä-

ïîëîæåíèÿõ ðàâíî

[]WW

ad da

→→

=− − + +exp ( )( ) ( )2 ωωδδ∆∆

è áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîì ðàçíèöû áåñôîíîííûõ ÷àñòîò, êàê ýòî è

ïðåäïîëàãàëîñü âûøå.

20.2 Êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû äîíîðîâ è

àêöåïòîðîâ

Äèïîëü-äèïîëüíûé ïåðåíîñ ñóùåñòâåííî èçìåíÿåò êèíåòèêó ëþ-

ìèíåñöåíöèè, åñëè â êðèñòàëëå íàõîäèòñÿ ìíîãî äîíîðîâ è àêöåïòî-

ðîâ. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó

äîíîðîì è àêöåïòîðîì, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, íåîá-

õîäèìî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êîíöåíòðàöèè âîçáóæäåííûõ öåíò-

ðîâ, íî è ñîîòâåòñòâóþùèå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè.

Ïðåæäå ÷åì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïåðåíîñ â ñèñòå-

ìå èç áîëüøîãî ÷èñëà öåíòðîâ, ïîëåçíî ïåðåïèñàòü ñèñòåìó (20.4).

Âíà÷àëå óïðîñòèì çàäà÷ó è ïðåíåáðåæåì îáðàòíûì ïåðåíîñîì

ad→

. Çàòåì ðàñøèðèì íàáîð ñîñòîÿíèé, âêëþ÷èâ â íåãî âñå âîç-

ìîæíûå ñîñòîÿíèÿ àêöåïòîðà è äîíîðà. Îñíîâíîå ñîòñîÿíèå öåíòðà

áóäåò îòìå÷àòüñÿ èíäåêñîì 0, à âîçáóæäåííîå — èíäåêñîì 1. Âåðîÿò-

íîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû ñ âîçáóæäåííûì äîíîðîì è íàõîäÿùèìñÿ

â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè àêöåïòîðîì áóäåò òåì ñàìûì îáîçíà÷àòüñÿ êàê

10(; )

, ãäå òî÷êà ñ çàïÿòîé îòäåëÿåò ñîñòîÿíèÿ äîíîðà îò ñîñòîÿíèé

àêöåïòîðà (êàê è â âûðàæåíèè (17.1)). Òåì ñàìûì ñèñòåìà óðàâíå-

íèé, îïèñûâàþùàÿ ïîâåäåíèå êîíôèãóðàöèè èç îäíîãî äîíîðà è îä-

íîãî àêöåïòîðà, ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ôîðìå

∂∂τ τ

∂∂

fff

11 11 11

(;) (;) (;);

(; )

=− −

−−

=− + −

−−

ττ

∂∂

11 11 11

10 11 10

ff f

(; ) (; ) (; );

(;)

tW=+ − +

−−

ττ

∂

11 11 11

11 01 10

ff f

(;) (; ) (; );

(;)

∂τ τt =+ +

−−

10 01ff(; ) (;).

(20.9)

Çäåñü âåðîÿòíîñòü äîíîð-àêöåïòîðíîãî ïåðåíîñà

çàïèñàíà ñ âû-

äåëåíèåì èíäåêñîâ, îáîçíà÷àþùèõ, ìåæäó êàêèì äîíîðîì (ïåðâûé

èíäåêñ

) è êàêèì àêöåïòîðîì (âòîðîé èíäåêñ

) ïðîèñõîäèò ïåðåíîñ.

Ýòî âàæíî â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî

ñèëüíî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó

äîíîðîì è àêöåïòîðîì (è ìîæåò òàêæå çàâèñåòü îò èõ îðèåíòàöèè). Â

254 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

ñèñòåìå (20.9) ýòè èíäåêñû ðàâíû åäèíèöå, ïîñêîëüêó áîëüøå íåò

äðóãèõ äîíîðîâ è àêöåïòîðîâ.

Ïîä÷åðêíåì òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â ñèñòåìå (20.9) èìåþòñÿ íå

òîëüêî îòðèöàòåëüíûå ÷ëåíû, îïèñûâàþùèå ðàñïàä ñèñòåìû, íî è ïî-

ëîæèòåëüíûå, ïðîèñõîæäåíèå êîòîðûõ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè

ðàññìîòðåòü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò

âîçíèêíîâåíèå ñîñòîÿíèé áåç âñÿêèõ âîçáóæäåíèé èç-çà ðàäèàöèîí-

íîãî ðàñïàäà äîíîðà èëè àêöåïòîðà.

Ââåäåì îäíîäîíîðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëå

(17.3) (

() (; ) (; )11110

11 11

≡+ff

;

() (;) (; )00100

11 11

≡+ff

), ïî àíàëî-

ãè÷íûì ôîðìóëàì îäíîàêöåïòîðíóþ ôóíêöèþ, à òàêæå äâóõ÷àñòè÷-

íóþ (äîíîðíî-àêöåïòîðíóþ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ

, êîòîðàÿ â

ñëó÷àå òîëüêî äâóõ öåíòðîâ ñîâïàäàåò ñ

10(; )

. Óðàâíåíèÿ äëÿ ýòèõ

ôóíêöèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñóììèðîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ

ñòðîê â ñèñòåìå (20.9):

∂∂τft fWf

dda

() () (; );1110

=− −

−

∂∂τft fWf

aaa

() () (; );1110

=− +

−

(20.10)

∂∂τ τft Wf

(; ) (; ) (; ) (; )10 10 11 10

11 11

=− + −

−−

ff .

Ýòà ñèñòåìà ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå (20.4), ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå

ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äâóõ âîçáóæäåíèé â ñèñòåìå íå ìîæåò áûòü:

11 0(; )≡

. Â îáùåì ñëó÷àå (òî åñòü áåç òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ) ñèñòå-

ìà (20.10) ïåðåñòàåò áûòü ïîëíîé è òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ óðàâíå-

íèé.

Ïåðåä òåì, êàê çàïèñàòü óðàâíåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå, ïîêàæåì

ñòðóêòóðó òî÷íûõ óðàâíåíèé íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû èç

äâóõ äîíîðîâ è äâóõ àêöåïòîðîâ:

∂∂τττf fff

01 10 01 10 01 10(; ) (; ) (; )t =− − +

−−−

11 10(; )+

+− +

−

22 22 22 11 22

01 11 01 10 11 00fff(;) (; ) (; ).WW

(20.11)

Ìû íå çàïèñûâàåì îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîñêîëüêó èõ ÷èñëî ðàâíî

NN+

, ãäå

— ïîëíûå ÷èñëà äîíîðîâ è àêöåïòîðîâ, ñîîò-

âåòñòâåííî. Òàêàÿ áîëüøàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, î÷åâèäíî, íå ìîæåò

áûòü ðåøåíà äàæå äëÿ íåñêîëüêèõ äîíîðîâ è àêöåïòîðîâ. Ýòî è ïðè-

âîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü íåïîëíîå îïèñàíèå ñèñòåìû.

Ïîëíîå îïèñàíèå ñèñòåìû ïðåäïîëàãàåò çíàíèå ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ (17.1)

nNN

NN NN

t={(,, ;,, ;)}

dd d d aa a a

rrrr

11 11

σσσσKK

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 255

ãäå ÷åðåç

îáîçíà÷åíû êîîðäèíàòû öåíòðà òèïà

, à ñèìâîëû

îïèñûâàþò ñîñòîÿíèå (1 äëÿ âîçáóæäåííîãî è 0 äëÿ îñíîâíîãî).

Çäåñü ìû êîíêðåòèçèðîâàëè îáùåå îáîçíà÷åíèå

äëÿ êâàíòîâûõ ÷è-

ñåë, êîòîðîå èñïîëüçîâàëîñü â ðàçäåëå 17.2. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî

÷èñëî öåíòðîâ è èõ êîîðäèíàòû íå ìîãóò èçìåíÿòüñÿ. Òåì ñàìûì

ÿâ-

ëÿåòñÿ íàáîðîì

{;}σσ

. Óðàâíåíèå äëÿ ýòîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü çà-

ïèñàíî àíàëîãè÷íî áîëåå ïðîñòûì ôóíêöèÿì (20.9) è (20.11):

∂

τδ τδ

=− − +

−

∑∑

−−

===

∑∑

WIt

ij n

δδ α δ

()

∑

−

′′

≠

′

∏

τδδδ δ

σσ σσ

σσ

,, ,

∏∑∑

′

n 1

−

′

≠

∏

τδδδ δ

σσ

∏∑∑

′

−f

n 1

′

≠

∏

δδδδ δ δ

σσ

,01

′

≠

′

∏∑∑∑

−

111

′′

≠

′

∏

()

,, ,

αδδδ δ

σσ σσ

σσ

111

∏∑∑

′

f .

(20.12)

Çäåñü

()

ij i j

≡−

→da

. ×ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå èíòåíñèâ-

íîñòè âîçáóæäàþùåãî ñâåòà

It()

îïèñûâàþò âîçáóæäåíèå äîíîðîâ, è â

íèõ âõîäèò âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ ñâåòà îäíèì äîíîðîì

(òî åñòü

ñå÷åíèå ïîãëîùåíèÿ äîíîðà,

αα

= n

, ãäå

— êîíöåíòðàöèÿ äî-

íîðîâ).

Îäíî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â

âèäå

(, ;)

rrrσ δ δ( )

σσ

=−

∑

(, ;)

rrrσ δ δ( )

σσ

=−

∑

256 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

à äâóõ÷àñòè÷íàÿ äîíîðíî-àêöåïòîðíàÿ ôóíêöèÿ — â âèäå

(, ; , ;)

rr rr rrσσ δ δ( )δ δ( )

σσ

′′ = − ′−

′

∑∑

. (20.13)

Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ñèëüíî íåîäíîðîäíûìè, ïîñêîëüêó îíè çàâè-

ñÿò îò êîíêðåòíûõ êîîðäèíàò äîíîðîâ è àêöåïòîðîâ.

Ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (20.12) ìîæíî ïîëó÷èòü öåïî÷-

êó óðàâíåíèé

∂∂τftf

drW f

(,) (,)

(| | ) ( , ; ,

rr rr

=− −

−′−′ ′

−

)() (,),

∫

+ It fα

∂∂τftf drW f

aaa

(,) (,) (| |) (,; ,)rr rrrr11 10

=− + ′ − ′ ′

−

∫

(20.14)

[]∂∂ τ

ftW f

(,; ,) (| |) (,; ,)rr rr rr10 10

′=− −′+ ′+

−

−13

11 1 10fdrWf

da dda

(,; ,) (| |) (,, ,; ,rr r r rr r′ − ′′ ′′ − ′ ′′ ′ )

(| | ) ( , ; , , , ) ( )

∫

−

−′′−′′ ′′′+drW f It f

10 0rr rr r

daa

(,; ,).rr00′

Âñå ÷ëåíû â ýòèõ óðàâíåíèÿõ èìåþò ÷åòêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë.

Ñìûñë ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé î÷åâèäåí. Òðåòüå óðàâíåíèå òðåáóåò

íåêîòîðûõ êîììåíòàðèåâ. Ýòî óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

íèÿ âûäåëåííîé äîíîðíî-àêöåïòîðíîé ïàðû, â êîòîðîé äîíîð íàõî-

äèòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, à àêöåïòîð — â îñíîâíîì. Ïåðâûé

÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ îïèñûâàåò ïåðåíîñ ýíåðãèè â ðàññìàòðè-

âàåìîé ïàðå, âòîðîé — ðàäèàöèîííûé ðàñïàä äîíîðíîãî âîçáóæäå-

íèÿ (ïîñëå òàêîãî ñîáûòèÿ ðàññìàòðèâàåìàÿ ïàðà, î÷åâèäíî, ðàçðó-

øàåòñÿ). ×ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé

−1

, îïèñûâàåò ïðîöåññ, êîãäà òà-

êàÿ ïàðà ïîÿâëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå ðàñïàäà âîçáóæäåíèÿ íà êàêîì-òî

àêöåïòîðå, åñëè ýòîò âîçáóæäåííûé àêöåïòîð íàõîäèëñÿ âáëèçè îò

äîíîðà. Äâà ïîñëåäíèõ èíòåãðàëüíûõ ÷ëåíà îïèñûâàþò ðàçðóøåíèå

âûäåëåííîé ïàðû, åñëè îäíà èç åå êîìïîíåíò ïðèíèìàåò ó÷àñòèå â

ïðîöåññå ïåðåíîñà ñ ó÷àñòèåì ïîñòîðîííåãî öåíòðà.

Âûøå óæå óïîìèíàëîñü, ÷òî ôóíêöèè â ñèñòåìå (20.14) ñèëüíî

çàâèñÿò îò êîîðäèíàò. Îäíàêî ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü óñðåäíåíû

ïî ðàçëè÷íûì ðåàëèçàöèÿì êîíôèãóðàöèé öåíòðîâ. Äëÿ ìàêðîñêî-

ïè÷åñêè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ

âîîáùå íå çà-

âèñÿò îò

, à äâóõ÷àñòè÷íûå ôóíêöèè çàâèñÿò òîëüêî îò ðàçíèöû

rr−′

. Äëÿ èçîòðîïíîé ñèñòåìû îíè çàâèñÿò òîëüêî îò

||rr−′

. Òåì ñà-

ìûì ìîæíî ââåñòè êîíöåíòðàöèè öåíòðîâ òèïà

â ñîñòîÿíèè

ntVdrf t

αα

σσ(;) (, ;)≡

−

∫

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 257

è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè

αβ

σσ(, , ;)r ′

ïî ôîðìóëå

ntn t G tVdrf

α β αβ αβ

σσ σσ σ(;) ( ;)[ (, , ;)] ( ,′+ ′≡ ′ +′

−

rrr;,;)′′

∫

r σ t

Â èçîòðîïíîé ñèñòåìå

αβ

çàâèñèò òîëüêî îò ìîäóëÿ

. Âûäåëåíèå

êîíöåíòðàöèé èç ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñâÿçàíî ñî ñëåäñòâèåì

óðàâíåíèÿ (20.13):

dr drf Vn n

33 2

′′′= ′

∫∫

αβ α β

σσ σ σ(, ; , ) () ( )rr

Îòñþäà

drG r t

αβ

σσ(, , ;)′=

∫

Êîíöåíòðàöèè

()1

()0

ñâÿçàíû ñ ïîëíîé êîíöåíòðàöèåé

öåíòðîâ

, êîòîðàÿ ïîñòîÿííà:

ntntn

ααα

(;) (;)01

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî öåíòðû îáîèõ òèïîâ ðàñïðåäåëåíû ñëó÷àéíûì

îáðàçîì è íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ, íà-

ïðèìåð, ñîîòíîøåíèå

ftftntn

da da d

(,,;) (,,;) (;)rr10 11 1+=

. (20.15)

Òàêèå ïðåäïîëîæåíèÿ åñòåñòâåííû, íî â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ

ïðàâèëüíûìè, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, äâà öåíòðà íå ìîãóò áûòü ðàñïî-

ëîæåíû â îäíîé òî÷êå (ïîëíîñòüþ ñëó÷àéíîå ðàñïðåäåëåíèå öåíòðîâ

äîïóñêàåò è òàêóþ êîíôèãóðàöèþ). Ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü ýòèìè

íåòî÷íîñòÿìè. Èç óðàâíåíèÿ (20.15) ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ñî-

îòíîøåíèÿ:

Gr t

(,,;)

(;)

(,,;)

()

=− =−

− n

()

(,,),

Gr t

(,,;)

(;)

(,,;)

()

=− =−

− n

()

(,,),

Gr t

ntnt

(,,;)

(;) (; )

(;) (;)

(,,01

10= ;)

() ()

[ ( )][ ( )]

(,,).

nn nn

−−

(20.16)

Òåì ñàìûì íåîáõîäèìî çíàòü òîëüêî îäíó êîððåëÿöèîííóþ ôóíê-

öèþ, îñòàëüíûå ìîãóò áûòü ëåãêî âû÷èñëåíû èç (20.16).

258 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (20.14) ïî ïðîñòðàíñòâó

ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé

∂∂τnt n nndrWrGr

() () () () ()[ (, , )1110110

=− − +

−

]

( ) [ ( )],

+−

∫

It n nα

∂∂τnt nn

nn drWr G

aaa

() [ ()]

() () ()[ (

10 1

=−−

−+

−

r, , )],10

∫

(20.17)

∂∂

ατ

Gr tWr

Wr I n n n n

(,,) ()

[() ()

=− −

−+ +

−−

−

+()] (,,)010Gr

++ + ′′+′[ ( ) ( )][ ( , , )] ( )[ ( , ,n n Gr drWr Gr

da da

101 10 1 10

)] −

∫

− ′ ′′ ′ − ′′ ×

×′

−− −

∫∫

n n V drdrW

dda

11 133

10() () (| |)

[(

r ,, ,; ,) ( ,; ,, ,)].10 0 1 00′′ +′ + ′ +′ ′′rrr rrrrf

daa

(20.18)

Ñèñòåìà (20.17), (20.18) äîâîëüíî ñëîæíàÿ, è ìîæåò áûòü ðåøå-

íà òîëüêî â ñëó÷àå îáðûâà öåïî÷êè êàêèì-ëèáî ñïîñîáîì. Èñïîëüçó-

åòñÿ íåñêîëüêî òèïîâ ïðèáëèæåííîãî âûðàæåíèÿ òðåõ÷àñòè÷íîé

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷åðåç äâóõ÷àñòè÷íûå. Â ñëó÷àå ñèëüíîé êîð-

ðåëÿöèè (êàê ìû óâèäèì äàëåå, ýòî ñîîòâåòñòâóåò íàøåé ñèòóàöèè)

èñïîëüçóåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííîå ïðèáëèæåíèå Êèðêâóäà (1935):

fnnnG

αβγ α β γ αβ

σσ σ σ σ σ(,;,;,) ()()()[ (|rr r′ ′ ′′ ′′ = ′ ′′ +1 rr−′ ′ ×|, , )]σσ

×+ −′′ ′′ + ′−′′′′′[ (| | , , )][ (| | , , )]11GG

αγ βγ

σσ σ σrr r r

. (20.19)

Òàêîå ïðèáëèæåíèå íå î÷åíü õîðîøî îáîñíîâàíî òåîðåòè÷åñêè,

íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì è äîñòàòî÷íî ïðîñòûì.

Ïîäñòàíîâêà ñîîòíîøåíèÿ (20.19) â (20.18) ïðèâîäèò ê óðàâíå-

íèþ

∂∂

ατ

Gr tWr

Wr I n n n n

(,,) ()

[() ()

=− −

−+ +

−−

−

−()] (,,)010Gr

++ ×

×′′+ ′

nGr

drWr G r G

dda

da dd

()[ (, , )]

( )[ ( , , )] (

11 10

110

| |,,)rr+′ −

∫

++ ×

×′′+ ′

nGr

drWr G r G

()[ (,, )]

( )[ ( , , )] (

01 10

110

| |,,).rr+′

∫

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 259

Ñäåëàåì äàëüíåéøèå óïðîùåíèÿ. Ïîñêîëüêó ïðÿìîå âçàèìîäåé-

ñòâèå ïðîèñõîäèò òîëüêî ìåæäó äîíîðîì è àêöåïòîðîì, òîëüêî

ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò íóëÿ. Åñëè êîíöåíòðàöèè öåíòðîâ

ìàëû, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü äâóìÿ ïîñëåäíèìè èíòåãðàëüíûìè ÷ëåíà-

ìè, ñîäåðæàùèìè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè äëÿ ïàð d–d è a–a. Òà-

êèå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ìîãóò èãðàòü ñóùåñòâåííóþ ðîëü â

ïðîöåññàõ ñàìîîðãàíèçàöèè íà ïîñëåäíèõ ñòàäèÿõ ðåëàêñàöèè, êîãäà

ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ êëàñòåðû îäèíàêîâûõ ÷àñòèö (ñì., íàïðèìåð,

Kotomin, Kuzovkov, 1980, 1981a,b), îäíàêî ìû íå áóäåì îáñóæäàòü

ýòè ÿâëåíèÿ. Ïîñëå ïðåíåáðåæåíèÿ ýòèìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíê-

öèÿìè óðàâíåíèå (20.18) ïðèîáðåòàåò âèä

∂∂

ατ

Gr tWr

Wr I n n n n

(,,) ()

[() ()

=− −

−+ +

−−

−

()] (,,),010Gr

(20.20)

è îêîí÷àòåëüíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (20.17), (20.20) îêàçûâàåòñÿ

çàìêíóòîé.

Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (20.20) ñîäåðæèò çàâèñÿùèå îò âðåìåíè

êîýôôèöèåíòû ñ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè

(;)1

(;)0

, â îáùåì

âèäå äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàâèñèìîñòè âîçáóæäåíèÿ îò âðåìåíè ñèñòåìà

óðàâíåíèé ðåøåíà áûòü íå ìîæåò. Ïîýòîìó îáñóäèì äâà êðàéíèõ ñëó-

÷àÿ — ñòàöèîíàðíîå âîçáóæäåíèå è âîçáóæäåíèå êîðîòêèì èìïóëü-

ñîì.

Â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå âñå ëåâûå ÷àñòè ñèñòåìû (20.17), (20.20)

ðàâíû íóëþ, è âñå ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò âðåìåíè. Ïðè ýòîì êîððå-

ëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ëåãêî íàéäåíà:

Wr I n n n n

(,,)

()

() () ()

=−

−−−

ατ

(20.21)

Äëÿ ìàëûõ

, êîãäà

Wr()

ñèëüíî âîçðàñòàåò, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíê-

öèÿ äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ

(,,)10 1→−

. Ïîñêîëüêó

âõîäèò â äâóõ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êàê

1 + G

ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè èìååòñÿ ìàëî ïàð èç âîç-

áóæäåííîãî äîíîðà è àêöåïòîðà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè ñ ìàëûì ìåæ-

öåíòðîâûì ðàññòîÿíèåì. Ýòî ñâÿçàíî ñ òàê íàçûâàåìûì ýôôåêòîì

îáåäíåíèÿ, êîãäà ïàðû ñ ìàëûì ìåæöåíòðîâûì ðàññòîÿíèåì áûñòðî

îñóùåñòâëÿþò ïåðåíîñ è âûïàäàþò èç ðàññìîòðåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðî-

íû, íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, êîãäà âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà

Wr()

ñòà-

íîâèòñÿ ìàëîé, àíòèêîððåëÿöèÿ ìåæäó äîíîðîì è àêöåïòîðîì ïðîïà-

äàåò.

Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ (20.21) â èíòåãðàë, îïðåäåëÿþùèé ñêî-

ðîñòü ïåðåíîñà, äàåò

260 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

drWr G r

RI nn

23 0 1

110

′′+ ′ =

∫

−−

()[ (,,)]

(

dd d

πατ )(),+

−− −

ττ

111

0nn

ãäå áûëà èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (20.8) äëÿ âåðîÿòíîñòè äèïîëü-äè-

ïîëüíîãî ïåðåíîñà. Ýòî çíà÷åíèå èíòåãðàëà äîëæíî áûòü ïîäñòàâëå-

íî â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (20.17). Òåì ñàìûì ìîæíî ïîëó-

÷èòü äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñòà-

öèîíàðíûõ êîíöåíòðàöèé

()1

()0

. Ìû íå áóäåì àíàëèçèðîâàòü

ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû.

20.3 Êèíåòèêà äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà

Åñëè âîçáóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü êîðîòêèì èìïóëüñîì, òî äàëü-

íåéøàÿ ðåëàêñàöèÿ íà÷èíàåòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ íåñêîððåëèðîâàííûõ

ïàð d–a, ïîñêîëüêó ïåðåä âîçáóæäåíèåì íèêàêîé êîððåëÿöèè íå

áûëî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âðåìÿ ïåðåíîñà

−1

()

ìåíüøå, ÷åì ðàäèà-

öèîííîå âðåìÿ àêöåïòîðà, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì ñ

−1

â (20.20). Òîãäà óðàâíåíèå (20.20) äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè

ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ âîçáóæäåíèÿ ïðèíèìàåò âèä

∂∂G r t t Wr WrG r

da da

(,,;) () () (,,)10 10=− −

è èìååò ðåøåíèå äëÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ

(,,;)100 0=

Gr t Wrt

(,,;) exp[ ()]10 1=− + −

. (20.22)

Äëÿ ìàëûõ âðåìåí

tWr<<

−1

()

ñèëüíàÿ êîððåëÿöèÿ ìåæäó äîíîðîì è

àêöåïòîðîì îòñóòñòâóåò, â òî âðåìÿ êàê äëÿ âðåìåí

>> >>

−

tWr

()

óæå íå îñòàåòñÿ ïàð, ðàçäåëåííûõ ðàññòîÿíèåì

. Ïîñêîëüêó âðåìÿ

âîçíèêíîâåíèÿ ñèëüíîé êîððåëÿöèè ñèëüíî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ

ìåæäó öåíòðàìè, îáëàñòü îáåäíåíèÿ ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ðàäèóñ ýòîé

îáëàñòè

()

ìîæåò áûòü íàéäåí èç ñîîòíîøåíèÿ

WR t

()≈ 1

, îòêóäà

äëÿ äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà

Rt Rt

() ( )=

Äëÿ íèçêèõ èíòåíñèâíîñòåé âîçáóæäåíèÿ êîíöåíòðàöèÿ âîçáóæ-

äåííûõ äîíîðîâ îòíîñèòåëüíî ìàëà, è ìîæíî ïîëîæèòü

()0

Òåì ñàìûì óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè âîçáóæäåííûõ äîíîðîâ ìî-

æåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

∂∂τ[ln ( ; )] ( ) exp[ ( ) ]n t t n d rWr Wrt

103

=− − −

−

∫

. (20.23)

Âû÷èñëèì èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (20.23), èñïîëü-

çóÿ äëÿ

Wr()

âåðîÿòíîñòü äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà (20.8):

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 261