Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

äëèíû îäíîãî ñêà÷êà. Íàì íåèçâåñòíà ïîäðîáíàÿ òåîðèÿ, îïèñûâàþ-

ùàÿ êîíêóðåíöèþ ìåæäó ðåîðèåíòàöèåé è ñâîáîäíûì äâèæåíèåì

äûðêè.

Ñëó÷àé äèôôóçèè ýëåêòðîíà (äûðêè), çàõâà÷åííîãî íà äåôåêò,

àíàëîãè÷åí äèôôóçèè àâòîëîêàëèçîâàííîé äûðêè çà èñêëþ÷åíèåì

òîãî, ÷òî ýëåêòðîí íå ìîæåò áûòü çàõâà÷åí â ïðîèçâîëüíîé ÿ÷åéêå ðå-

øåòêè, à òîëüêî â äåôåêòíîé ïîçèöèè. Òåì ñàìûì ìèãðàöèÿ çàõâà÷åí-

íûõ ÷àñòèö äîëæíà áûòü ñâÿçàíà ñ òåðìîàêòèâèðîâàííûì âûñâîáîæ-

äåíèåì íîñèòåëåé çàðÿäà èç ëîâóøåê â çîíó ïðîâîäèìîñòè (âàëåíò-

íóþ çîíó), ïîñêîëüêó ñêà÷êè ìåæäó äåôåêòíûìè öåíòðàìè âîçìîæ-

íû òîëüêî ïðè áîëüøîé êîíöåíòðàöèè äåôåêòîâ. Ïðîáëåìà, ñâÿçàí-

íàÿ ñ òàêèìè ñêà÷êàìè ïî ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûì öåíò-

ðàì, äîñòàòî÷íî ñëîæíà è àíàëîãè÷íà ïðîáëåìå ïåðêîëÿöèè â íåóïî-

ðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ, è çäåñü ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäåò.

Òåì íå ìåíåå äàæå ïðè äîñòàòî÷íî íèçêîé êîíöåíòðàöèè äåôåê-

òîâ òåðìè÷åñêè àêòèâèðîâàííûå ñêà÷êè èç îäíîãî öåíòðà â äðóãîé áåç

âûõîäà â çîíó âàæíû â òîì ñëó÷àå, êîãäà â êðèñòàëëàõ îáðàçóþòñÿ

àññîöèàòû äåôåêòîâ. Òàêèå àññîöèàòû ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè äåôåêòà-

ìè, ñîñòîÿùèìè èç äâóõ è áîëåå ïðèìåñåé èëè äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ

äåôåêòîâ (âàêàíñèé, ìåæóçåëüíûõ àòîìîâ è ò.ä.). Îáðàçîâàíèå òà-

êèõ àññîöèàòîâ äîñòàòî÷íî òèïè÷íî â òîì ñëó÷àå, êîãäà çàðÿä ïðèìåñ-

íîãî èîíà îòëè÷àåòñÿ îò çàðÿäà çàìåùàåìîãî èîíà, è ïðè ýòîì äëÿ ñî-

õðàíåíèÿ íåéòðàëüíîñòè ðÿäîì ñ òàêèì èîíîì ðàñïîëàãàåòñÿ åùå

îäèí äåôåêò — êîìïåíñàòîð çàðÿäà. Â òàêîì ñëó÷àå âîçáóæäåíèå, çà-

õâà÷åííîå îäíèì äåôåêòîì, ìîæåò ïåðåíîñèòüñÿ íà äðóãîé â òîì æå

àññîöèàòå.

Â òàêèõ äåôåêòíûõ ïàðàõ âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ äâà òèïà ïåðåíîñà.

Ïåðâûì ÿâëÿåòñÿ óæå óïîìÿíóòûé òåðìîàêòèâàöèîííûé ìåõàíèçì,

êîòîðûé ñèëüíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, íî îòíîñèòåëüíî ñëàáî çàâè-

ñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîìïîíåíòàìè ïàðû (òîëüêî èç-çà çàâèñèìî-

ñòè ýíåðãèè òåðìîàêòèâàöèîííîãî ïåðåíîñà îò ýòîãî ðàññòîÿíèÿ).

Ïðè îòíîñèòåëüíî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ îñíîâíûì ìåõàíèçìîì ñòà-

íîâèòñÿ òóííåëèðîâàíèå, êîòîðîå ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò òåìïåðà-

òóðû, íî ñèëüíî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó öåíòðàìè. Âåðîÿòíîñòü

ïåðåíîñà çàðÿäà ïàäàåò ýêñïîíåíöèàëüíî ñ óâåëè÷åíèåì ýòîãî ðàññòî-

ÿíèÿ. Òåì ñàìûì òóííåëèðîâàíèå âàæíî òîëüêî äëÿ áëèçêî ðàñïîëî-

æåííûõ öåíòðîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè îäíîé-äâóõ ïîñòîÿí-

íûõ ðåøåòêè. Òàêîé ìåõàíèçì ÷àñòî îïðåäåëÿåò íèçêîòåìïåðàòóð-

íóþ ëþìèíåñöåíöèþ. Îñíîâíûì ïðîÿâëåíèåì òàêîãî ìåõàíèçìà ÿâ-

ëÿåòñÿ êèíåòèêà ëþìèíåñöåíöèè. Â ïåðâûå ìîìåíòû âðåìåíè òóííå-

ëèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ìåæäó î÷åíü áëèçêèìè ïàðàìè, â òî âðåìÿ êàê

ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ â ïðîöåññ ïåðåíîñà çàðÿäà âêëþ÷àþòñÿ è îñòà-

ëüíûå ïàðû. Òåì ñàìûì çàòóõàíèå ëþìèíåñöåíöèè ìîæåò áûòü îïè-

ñàíî çàêîíîì Áåêêåðåëÿ

lum

~( )1 +

−

, ãäå

áëèçêî ê åäèíèöå.

232 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ïîäîáíîãî íåýêñïîíåíöèàëüíîãî çàòóõàíèÿ áó-

äåò ïðèâåäåíî íèæå. Íàèáîëåå ñëîæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ êîìáèíà-

öèÿ òåðìîàêòèâàöèîííîãî ïðîöåññà è òóííåëèðîâàíèÿ, êîãäà ýíåðãèÿ

ñèñòåìû ïîäíèìàåòñÿ áëàãîäàðÿ ïîãëîùåíèþ ôîíîíîâ äî òàêîãî

óðîâíÿ, êîãäà ñòàíîâèòñÿ ýôôåêòèâíûì òóííåëèðîâàíèå. Ýòîò ñëó-

÷àé ñîîòâåòñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûì òåìïåðàòóðàì è îïèñûâàåò ïåðå-

õîäíóþ îáëàñòü îò îäíîãî ïðîöåññà ê äðóãîìó.

Òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü âðåìåíè äåëîêàëèçàöèè ìîæåò íåïî-

ñðåäñòâåííî íàáëþäàòüñÿ â ðÿäå ïðîöåññîâ. Ðàññìîòðèì àâòîëîêàëè-

çîâàííûé ýêñèòîí (ÀËÝ) ñ ðàäèàöèîííûì âðåìåíåì

rad

è âðåìåíåì

äåëîêàëèçàöèè

, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëå äåëîêàëèçàöèè ýêñèòîí

ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ çàõâàòûâàåòñÿ ïðèìåñüþ (è òåì ñàìûì íå áó-

äåò èñïóñêàòü ôîòîí ëþìèíåñöåíöèè â ñâîåé ïîëîñå ñâå÷åíèÿ). Ïîë-

íîå âðåìÿ æèçíè òàêîãî ÀËÝ

tot

âû÷èñëÿåòñÿ èç

τττ

tot

rad d

−− −

11 1

. Îò-

ñþäà ñëåäóåò, ÷òî êâàíòîâûé âûõîä ëþìèíåñöåíöèè ÀËÝ óìåíüøàåò-

ñÿ íà ìíîæèòåëü

ττ

τω

rad

rad d

rad

−

−−

+−

1exp()

EkT

êîòîðûé ðàâåí åäèíèöå äëÿ òåìïåðàòóð, ìåíüøèõ ÷åì òàê íàçûâàåìàÿ

òåìïåðàòóðà äåëîêàëèçàöèè

(îïðåäåëÿåìàÿ èç ñîîòíîøåíèÿ

τω

rad

1exp( )−≈EkT

) è áûñòðî ïàäàåò äî íóëÿ ñ ðîñòîì òåìïåðà-

òóðû. Ôîðìà ýòîé òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè äîïóñêàåò ïðîñòîå âû-

÷èñëåíèå ïàðàìåòðîâ

. Òàêîé çàêîí òåìïåðàòóðíîãî óìåíüøå-

íèÿ ýôôåêòèâíîñòè ëþìèíåñöåíöèè èçâåñòåí êàê òóøåíèå Ìîòòà è

íàáëþäàåòñÿ âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òåðìîàêòèâàöèîííûå ïðîöåññû

êîíêóðèðóþò ñ íåçàâèñÿùèìè îò òåìïåðàòóðû.

§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 233

§ 19 Çàõâàò ýëåêòðîíîâ

19.1 Çàõâàò íà çàðÿæåííûå äåôåêòû ïóòåì èñïóñêàíèÿ

àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ

Âåðíåìñÿ ê èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèÿ äèôôóçèè ïî ýíåðãèè

(18.17) (óðàâíåíèþ Ôîêêåðà–Ïëàíêà). Â ýòîì óðàâíåíèè

gE()

—

ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé

. Ïðè ýòîì ïðîèñõîæäåíèå ñîîòâåò-

ñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé ìîæåò áûòü ëþáîå — ýòî ìîãóò áûòü êàê çîí-

íûå, òàê è ïðèìåñíûå ñîñòîÿíèÿ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü

óðàâíåíèå äèôôóçèè ïî ýíåðãèè íå òîëüêî äëÿ îïèñàíèÿ òåðìàëèçà-

öèè ñîñòîÿíèé êî äíó çîíû, íî òàêæå èññëåäîâàòü è çàõâàò ÷àñòèö íà

ëîâóøêè. Îáñóäèì çàõâàò çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íà ïðîòèâîïîëîæíî

çàðÿæåííûå öåíòðû. Äèôôóçèîííîå óðàâíåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü

òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè èìååòñÿ ìíîãî ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ

âîçáóæäåííûì ñîñòîÿíèÿì öåíòðîâ, è åñëè ðàññòîÿíèå ïî ýíåðãèè

ìåæäó ýòèìè ñîñòîÿíèÿìè ìåíüøå òèïè÷íîé ýíåðãèè ôîíîíà. Â òà-

êîì ïðèáëèæåíèè çàõâàò ìîæåò áûòü îïèñàí êàê ïðîöåññ ýíåðãåòè÷å-

ñêîé äèôôóçèè èç çîííûõ ñîñòîÿíèé íà âåðõíèå âîçáóæäåííûå ñî-

ñòîÿíèÿ äåôåêòà. Âåðîÿòíîñòü çàõâàòà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîñòîÿíè-

ÿìè, ýíåðãèÿ ñâÿçè êîòîðûõ

ïîðÿäêà

, ïîñêîëüêó ïðè ïðîõîæ-

äåíèè ÷àñòèöû íà áîëåå ãëóáîêèå ñîñòîÿíèÿ âåðîÿòíîñòü åå âûõîäà èç

öåíòðà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ìàëîé. Â îáëàñòè ýíåðãèé, ñîîòâåòñòâóþ-

ùèõ áîëåå ãëóáîêèì ñîñòîÿíèÿì, ïðèáëèæåíèå êâàçèíåïðåðûâíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíåé äåôåêòà ïî ýíåðãèè î÷åâèäíî íàðóøàåòñÿ, è

çàõâàò íà ýòè ñîñòîÿíèÿ ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàäèàöèîííûìè èëè

ìíîãîôîíîííûìè ïðîöåññàìè. Ýòîò ìåõàíèçì çàõâàòà ñ ïîñëåäîâàòå-

ëüíûì ñïóñêîì ÷àñòèöû ïî ýíåðãåòè÷åñêîé «ëåñåíêå» ñîñòîÿíèé íà-

çûâàåòñÿ êàñêàäíûì ïðîöåññîì çàõâàòà.

Êâàçèêîíòèíóàëüíûå óðîâíè ýíåðãèé îáðàçóþòñÿ òîëüêî öåíòðà-

ìè, âçàèìîäåéñòâóþùèìè ñ íîñèòåëÿìè çàðÿäà ïóòåì êóëîíîâñêîãî

ïðèòÿæåíèÿ. Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ýòèì ñëó÷àåì. Ïëîòíîñòü ñîñòîÿ-

íèé äëÿ òàêèõ äåôåêòíûõ ñîñòîÿíèé ïðåäñòàâëåíà â ðàçäåëå 10.2.

Íàïîìíèì, ÷òî èìåþòñÿ äâå àñèìïòîòè÷åñêèå îáëàñòè:

EE>

(ñì.

ðèñ. *), ãäå õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì äëÿ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ÿâëÿ-

åòñÿ ïëîòíîñòü ñâîáîäíûõ ñîñòîÿíèé

()

(4.10), è

EE<−

, ãäå äëÿ

ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèå (10.4).

Ïðèâåäåííîå íèæå ðàññìîòðåíèå ñïðàâåäëèâî â òîì ñëó÷àå, åñëè òåð-

ìè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áîëüøå øèðèíû ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè:

kT E E

Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â êðèñòàëëå ñ

äåôåêòàìè èìååò õâîñò â îáëàñòü çàïðåùåííûõ ýíåðãèé, è òåðìàëèçî-

âàííûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â ýòèõ êðèñòàëëàõ óæå íå ÿâëÿþòñÿ ñî-

ñòîÿíèÿìè íà äíå çîíû ïðîâîäèìîñòè. Ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå

ýëåêòðîíîâ ðàâíî

fE FgE EkT

B00

() ()exp( ).=−

(19.1)

Íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà áóäåò ðàññ÷èòàíà íèæå. Ïëîòíîñòè ñîñòîÿ-

íèé äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ýíåðãèé è äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé ðàç-

ëè÷àþòñÿ íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ âåëè÷èíû (äëÿ ìàëûõ êîíöåíòðà-

öèé ïðèìåñåé). Òåì ñàìûì ðåëàêñàöèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ äâå ñòàäèè:

áûñòðóþ òåðìàëèçàöèþ çîííûõ ýëåêòðîíîâ è íàìíîãî áîëåå ìåäëåí-

íûé ïðîöåññ çàõâàòà íà öåíòðû. Ýòè äâà ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáà âðåìåí

ñâÿçàíû ñ òàê íàçûâàåìûì ýôôåêòîì «áóòûëî÷íîãî ãîðëà», êîãäà

ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ íà-

÷àëüíûõ ñòàäèé çàõâàòà. Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå (18.17) äëÿ ñòàöè-

îíàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, ïðè êîòîðîì îáðàçóþòñÿ

ýëåêòðîíîâ ñ ýíåð-

ãèåé

â åäèíèöó âðåìåíè â åäèíè÷íîì îáúåìå, ìîæåò áûòü çàïèñàíî

ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè (19.1):

∂

DEfE

()

() ()

()

().== + −0

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ìåòîäà,

àíàëîãè÷íîãî èñïîëüçîâàííîìó Ëèôøèöîì è Ïèòàåâñêèì (1979). Â

èíòåðâàëàõ ýíåðãèé

ìîæíî ëåãêî çàïèñàòü ïåðâûé èí-

òåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ:

∂

∂E

DEfE

()

() ()

äëÿ îáëàñòè

, (19.2)

è àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå ñ êîíñòàíòîé

äëÿ îáëàñòè

. Ýòè äâå

êîíñòàíòû ñâÿçàíû ñ èíòåíñèâíîñòüþ âîçáóæäåíèÿ:

−=I

Êîíñòàíòû

<>,

ðàâíû ïîòîêó ÷àñòèö ïî ýíåðãèè. Ïîñêîëüêó íåò äî-

ïîëíèòåëüíûõ èñòî÷íèêîâ ÷àñòèö ñ ýíåðãèåé âûøå ýíåðãèè

, ïðè

êîòîðîé ñîçäàþòñÿ ÷àñòèöû â êðèñòàëëå, ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ

âûøå ýíåðãèè

ñîîòâåòñòâóåò îòñóòñòâèþ ïîòîêà ïî ýíåðãèè:

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

= I

. Óðàâíåíèå (19.2) òàêæå ìîæåò áûòü ïðî-

èíòåãðèðîâàíî:

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 235

DEfE

()

()()

()

=−

′

′′

∫

(19.3)

Ïîñêîëüêó

, ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö âûøå ýíåðãèè

ñîîòâåòñò-

âóåò ðàâíîâåñíîìó (19.1).

Îáñóäèì ñëó÷àé, êîãäà âûñâîáîæäåíèå ýëåêòðîíîâ èç öåíòðîâ

ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðåêîìáèíàöèåé. Ïîòîê â ýíåð-

ãåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå

â ýòîì ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå áóäåò ïîëíî-

ñòüþ îïðåäåëÿòüñÿ ðåêîìáèíàöèåé. Òåì ñàìûì ãðàíè÷íîå óñëîâèå

äëÿ

E →−∞

ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê

fE f E() ()

0→

ïðè

E →−∞

Â íàøåì ïðèáëèæåíèè ýòîò ïðåäåë ñïðàâåäëèâ, åñëè ñêîðîñòü ðåêîì-

áèíàöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñ ýíåðãèåé

EkT

≈

. Áëàãîäàðÿ

ýòîìó ïðåäåëó ìîæíî âû÷èñëèòü êîíñòàíòó â óðàâíåíèè (19.3):

DEfE

()

()()

′

′′

−∞

∫

(19.4)

Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé ìíîãî

ìåíüøå, ÷åì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ, èíòåãðàë â (19.4) ïîëíîñòüþ îïðå-

äåëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûìè ýíåðãèÿìè. Òåì ñàìûì äëÿ ïîëîæèòåëü-

íûõ ýíåðãèé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ðàâíîâåñíîé:

DEfE

()

()()

′

′′

−∞

∫

E > 0

Â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ

ïîëíîé êîíöåíòðàöèè

ñâîáîäíûõ çîííûõ ýëåêòðîíîâ

∂

=− =I 0,

(19.5)

Çäåñü ââåäåíà ñêîðîñòü çàõâàòà

. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîíöåíòðàöèÿ

îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî çîííûì

ñîñòîÿíèÿì, òî åñòü ïî ïîëîæèòåëüíûì ýíåðãèÿì:

n fEdE f EdE

DEfE

′

′′

∞∞

−∞

∫∫∫

() ()

()()

(19.6)

Èç ñðàâíåíèÿ âûðàæåíèé (19.5) è (19.6) ìû íàõîäèì ñêîðîñòü çàõâà-

òà

236 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

′

′′

−∞

∫

DEfE

()()

(19.7)

ãäå

â (19.1) ïðåäïîëàãàåòñÿ íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó:

gE e dE

Ek T

−

∞

∫

()

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî íîðìèðîâî÷íûé èíòåãðàë áåðåòñÿ òîëüêî ïî

ïîëîæèòåëüíûì ýíåðãèÿì, â òî âðåìÿ êàê êîíñòàíòà

îïðåäåëÿåòñÿ

èíòåãðàëîì ïî îòðèöàòåëüíûì ýíåðãèÿì. Ïîýòîìó êîíöåíòðàöèÿ öåí-

òðîâ

íå èçìåíÿåò íîðìèðîâî÷íóþ êîíñòàíòó

, ïîñêîëüêó ïëîò-

íîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ýíåðãèé (4.10) íå ñîäåðæèò

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñêîðîñòü çàõâàòà

ïðîïîðöèîíàëüíà

, ïîñêîëü-

êó ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé (10.4) ïðîïîð-

öèîíàëüíà êîíöåíòðàöèè öåíòðîâ. Ìîæíî ââåñòè ñêîðîñòü

çàõâàòà

íà îäèí öåíòð:

βα= n

. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ êèíåòè-

÷åñêîå óðàâíåíèå (19.5) äëÿ êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü

ïåðåïèñàíî â âèäå

∂

=−I ,

(19.8)

êîòîðûé ïîä÷åðêèâàåò áèìîëåêóëÿðíûé õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ

ìåæäó ýëåêòðîíîì è öåíòðîì. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíîå âûðà-

æåíèå äëÿ ñêîðîñòè çàõâàòà ïðèíèìàåò âèä (èñïîëüçîâàëèñü óðàâíå-

íèÿ (19.7) è (19.1)):

−∞

∫

exp( )

() ()

Ek T dE

DEFgE

(19.9)

Ýòî âûðàæåíèå ïðèìåíèìî äëÿ ëþáîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé. Äëÿ ïà-

ðàáîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè èç óðàâíåíèé (10.4) è (19.9) ìîæíî

ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîíñòàíòû

, îòêóäà

32 3

32 6

−

∞

∫

() exp( )

()

Ek T E dE

Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü çàõâàòà îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äèô-

ôóçèè â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé.

Ýòîò êîýôôèöèåíò ìîæåò áûòü âû÷èñëåí òàêæå ñ ïîìîùüþ êâàçèê-

ëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå

(18.18), ãäå ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà

îïðåäåëÿåòñÿ

óðàâíåíèåì (18.15). Åäèíñòâåííûì îòëè÷èåì îò ðàññìîòðåíèÿ,

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 237

ïðîâåäåííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ÿâëÿåòñÿ ó÷åò ñîñòîÿíèé ñ

îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Äëÿ ìàëûõ êîíöåíòðàöèé öåíòðîâ êâàäðàò

ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà

()

−k

îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî äëÿ ïåðåõî-

äîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè îäíîãî è òîãî æå öåíòðà. Ýòî âíîñèò â êîýô-

ôèöèåíò äèôôóçèè ìàëûé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü. Âòîðûì îò-

ëè÷èåì, êîòîðîå âîçíèêàåò ïðè îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèÿõ, ÿâëÿåòñÿ

îòñóòñòâèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â ìàòðè÷íîì ýëåìåíòå. Òåì íå ìå-

íåå, â ðàìêàõ êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü

çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîñ-

êèõ âîëí.

Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè äîëæíî ïðîâîäèòüñÿ ñ ïî-

ìîùüþ êâàçèêëàññè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðîå áûëî èñïîëüçîâà-

íî â óðàâíåíèè (10.5). Íåîáõîäèìî âçÿòü èíòåãðàë îò êâàäðàòà ìàò-

ðè÷íîãî ýëåìåíòà (18.15), â êîòîðîì ýíåðãèè

′E

ðàññìàòðèâàþòñÿ

êàê êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè è êîòîðûå òåì ñàìûì çàâèñÿò îò ðàññòîÿ-

íèÿ

äî öåíòðà. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà

ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà äîëæíî áûòü ïîäñòàâëåíî â ôîðìóëó äëÿ êîýô-

ôèöèåíòà äèôôóçèè (18.18). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîçìîæíî âû÷èñëèòü

ïðîèçâåäåíèå

gE D E

() ()

äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé, èíòåãðèðóÿ

gED E

() ()

äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ ïîëîæèòåëüíîé êèíåòè÷å-

ñêîé ýíåðãèåé, àíàëîãè÷íî òîìó, ÷òî áûëî ñäåëàíî â óðàâíåíèè

(10.5):

gE D E

gED E

() ()

()

∞

∫

Åñëè ìû îáñóæäàåì çàõâàò, âûçâàííûé èñïóñêàíèåì àêóñòè÷åñêèõ

ôîíîíîâ, äëÿ

()

íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå (18.23).

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî

ìîæíî ïîëó÷èòü

gE D E

Vn vm e k T

cs B

() ()=

∗

πε

Äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà â

(19.1) ðàâíà

FkTm

332

∗

h ()π

Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (19.9) ïî

äàåò ñêîðîñòü çàõâàòà

πσ

∗

12 2

34 52

()

vm e

MkTh

. (19.10)

238 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

×àñòî óäîáíî èñïîëüçîâàòü âìåñòî ñêîðîñòè çàõâàòà ñå÷åíèå çà-

õâàòà, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå

βσ= v

, ãäå

— òåðìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü

ýëåêòðîíà

()3

kTm

∗

πσ

∗

12 2

32 4

()

vm e

ãäå

RekT

BOn

— ðàäèóñ Îíñàãåðà, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ èç ñî-

îòíîøåíèÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôåêòà

Ur()

íà ýòîì ðàäèóñå

ðàâíà òåðìè÷åñêîé ýíåðãèè:

UR e R k T

()

On On

. Ñå÷åíèå çà-

õâàòà äëÿ ïàðàìåòðîâ, òèïè÷íûõ äëÿ ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ êðèñòàë-

ëîâ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå äàåò

σ≈ ⋅

−

510

ñì

è ñèëüíî âîçðàñ-

òàåò êàê

−3

ñ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû. Ïîäîáíûå ëîâóøêè íàáëþ-

äàþòñÿ äëÿ çàðÿæåííûõ ïðèìåñåé â íåêîòîðûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ

(ñì., íàïðèìåð, îáçîð, ïðèâåäåííûé Ñòîóíõåìîì, 1975). Ïîíÿòèå ñå-

÷åíèå íàèáîëåå åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü â ãàçîêèíåòè÷åñêîì ïðè-

áëèæåíèè.

Ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàí ñëå-

äóþùèì îáðàçîì. Åñëè ìû ïåðåéäåì îò ðàññìîòðåííîé âûøå ìîäåëè

ê ìîäåëè çàõâàòà ñôåðîé ðàäèóñà

, âíóòðè êîòîðîé âåðîÿòíîñòü

çàõâàòà ðàâíà

(ýòà ìîäåëü ïîäðîáíåå áóäåò îáñóæäàòüñÿ â §24),

ìîæíî ïîëó÷èòü ñêîðîñòü çàõâàòà

βπ= 43

, (19.11)

åñëè äèôôóçèÿ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñèëüíîé. Ñðàâíåíèå âûðàæåíèé

(19.10) è (19.11) äàåò

KcmkT

LA LA B

−∗

2[]

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, òåðÿåìàÿ â îäíîì àêòå èñïó-

ñêàíèÿ ôîíîíà, ïîðÿäêà

∗ 2

(ñì. ðàçäåë 18.3). Òåì ñàìûì äëÿ

çàõâàòà ÷àñòèöà äîëæíà èñïóñòèòü

kT c m

BLA

()

∗

ôîíîíîâ, ÷òî ïî-

òðåáóåò âðåìåíè ïîðÿäêà

1 K

19.2 Çàõâàò ñ ó÷åòîì îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ

Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ñ ïîëÿðèçàöèîííûìè îïòè÷åñêèìè

ôîíîíàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ àêóñòè÷åñêèõ

ôîíîíîâ òîëüêî â ñëó÷àå âûñîêèõ òåìïåðàòóð (

BLO

>> hΩ

). Ïðè

ýòîì êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ïî ýíåðãèè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì

gE D E

() () ln , .=>>

∗

Ω

πε ε h

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 239

Îòñþäà ñêîðîñòü çàõâàòà ðàâíà

εε

∗

()

ln .

12 8 3

3112

Ω

Ýòà ñêîðîñòü çàõâàòà èìååò äîâîëüíî ñèëüíóþ òåìïåðàòóðíóþ çàâè-

ñèìîñòü.

Ñëó÷àé íèçêèõ òåìïåðàòóð ÿâëÿåòñÿ íàìíîãî áîëåå ñëîæíûì.

Òåì íå ìåíåå, ìû åãî ðàññìîòðèì, ïîñêîëüêó îí ìîæåò áûòü ïîëåçåí

äëÿ ïîíèìàíèÿ êèíåòèêè âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ. Íåêîòîðûå

ðåçóëüòàòû ýòîãî ðàññìîòðåíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â §26.

Óñëîæíåíèå ýòîãî ñëó÷àÿ îáúÿñíÿåòñÿ äâóìÿ ïðè÷èíàìè. Âî-

ïåðâûõ, ïðèáëèæåíèå äèôôóçèè ïî ýíåðãèè íå ìîæåò áûòü ïðèìåíè-

ìî â ñëó÷àå

BLO

<< hΩ

, è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ðàçíîñòíîå

óðàâíåíèå (êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ðàçäåëå 19.2). Âî-âòîðûõ, òåðìà-

ëèçàöèÿ âîçáóæäåíèé íåâîçìîæíà ïðè ó÷åòå òîëüêî îïòè÷åñêèõ ôî-

íîíîâ áåç äèñïåðñèè, ïîñêîëüêó âñå èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ÿâëÿþòñÿ

êðàòíûìè

hΩ

. Ó÷åò çàâèñèìîñòè ôîíîííîé ÷àñòîòû îò èìïóëüñà

ñíèìàåò ýòó ïðîáëåìó, íî âðåìÿ òåðìàëèçàöèè î÷åíü ñèëüíî çàâèñèò

îò ñòåïåíè äèñïåðñèè. Ïðàâèëüíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ó÷åò àêóñòè÷å-

ñêèõ ôîíîíîâ äëÿ òåðìàëèçàöèè ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìû. Òàêèå ôî-

íîíû ìîãóò óæå ó÷èòûâàòüñÿ â äèôôóçèîííîì ïðèáëèæåíèè. Ìû áó-

äåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ñ ïîëÿðèçàöèîííûìè îïòè÷å-

ñêèìè ôîíîíàìè íàìíîãî ñèëüíåå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äåôîðìàöèîííû-

ìè àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè, åñëè ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ñòàíîâèòñÿ

âûøå ïîðîãà èñïóñêàíèÿ

-ôîíîíà (

> hΩ

). Ïîñêîëüêó òåìïå-

ðàòóðà ïðåäïîëàãàåòñÿ ìàëîé, ïîãëîùåíèåì

-ôîíîíîâ ìîæíî ïðå-

íåáðå÷ü. Ïðè íàëè÷èè äåôåêòîâ, ïðèòÿãèâàþùèõ ýëåêòðîíû, èñïó-

ñêàíèå

-ôîíîíîâ ñ ïåðåõîäîì íà âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ äåôåê-

òîâ âîçìîæíî è äëÿ ýíåðãèé

< hΩ

. Òàêîå ìîæåò ïðîèçîéòè, åñëè

èìååòñÿ óðîâåíü äåôåêòà ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé

− hΩ

. Â êâà-

çèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âðåìåíè æèçíè ïî îò-

íîøåíèþ ê èñïóñêàíèþ

-ôîíîíà ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ìåòîä, èñ-

ïîëüçîâàâøèéñÿ äëÿ ðàñ÷åòà ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé (10.5):

gE E

Vn e m

() () ,τ

εε

−

∗

−

=−













37 2

Ω

< hΩ

(19.12)

Äëÿ çíà÷åíèé ýíåðãèè

> hΩ

ïðîèçâåäåíèå

gE E

() ()τ

−1

âûïèñàíî

â (18.9) è ïðîïîðöèîíàëüíî

()E

− hΩ

âáëèçè ïîðîãà. Ïîñêîëüêó

âáëèçè

≈ hΩ

ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé, â

çàâèñèìîñòè îáðàòíîãî âðåìåíè æèçíè îò ýíåðãèè âîçíèêàþò îñîáåí-

íîñòè. Ñøèâêà ïîâåäåíèÿ

−1

()

â îáëàñòÿõ ïîëîæèòåëüíûõ è

240 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ðàçíîñòè

− hΩ

ïîäîáíà ïðîâåäåííîé â

âûðàæåíèè (10.6) è ïîêàçàííîé íà ðèñ. * ñøèâêå äëÿ ïëîòíîñòè ñî-

ñòîÿíèé äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé. Ôèçè÷åñêè

ïðè÷èíà ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ ñ

ýíåðãèåé

áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ïëîòíîñòüþ êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ

ýíåðãèåé

− hΩ

, ó êîòîðîé èìååòñÿ îñîáåííîñòü, ðàññìîòðåííàÿ â

§10.

Â ñëó÷àå íèçêèõ òåìïåðàòóð íóæíî ðàññìàòðèâàòü äèôôóçèþ òî-

ëüêî ïðè ýíåðãèÿõ

ïîðÿäêà

. Ïðè áîëåå âûñîêèõ ýíåðãèÿõ

ñïóñê â ýíåðãåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ìîæåò

áûòü îïèñàí ñèñòåìîé ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (ñì. ðàçäåë 18.2)

∂

∂τ τ

LO LO LO

()

()=

−+=

Ω

Çäåñü

— èíòåíñèâíîñòü ñòàöèîíàðíîãî ñîçäàíèÿ ýëåêòðîíîâ, ýíåð-

ãèÿ êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíà â ñîîòâåòñòâèè ñ íîðìèðîâàííîé ôóíê-

öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

()

(

gEdE

()

∫

). Òàêîå óðàâíåíèå ìîæåò

áûòü ëåãêî ðåøåíî, è äëÿ ïðåäïîñëåäíåãî øàãà â èñïóñêàíèè

-ôî-

íîíîâ â êðèñòàëëå áåç äåôåêòîâ (íà êîòîðîì ýíåðãèÿ ïîïàäàåò â èí-

òåðâàë

hhΩΩ

LO LO

E<<2

) ïîëó÷àåì

()

∞

∑

hΩ

. (19.13)

Åñëè âîçáóæäåíèå ñîçäàåò ýëåêòðîíû ñ ýíåðãèåé â èíòåðâàëå øèðå

hΩ

, ñóììó â óðàâíåíèè (19.13) ìîæíî çàìåíèòü íà èíòåãðàë, ïîñëå

÷åãî ó÷åñòü íîðìèðîâêó

()

()τ

= I hΩ

. (19.14)

Òåì ñàìûì âîçáóæäåíèÿ íà ïðåäïîñëåäíåì øàãå ïðîöåññà èñïóñêà-

íèÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ ðàñïðåäåëåíû ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè

æèçíè ïî îòíîøåíèþ ê èñïóñêàíèþ ôîíîíîâ.

Îïèñàíèå ïîñëåäíåãî øàãà èñïóñêàíèÿ

-ôîíîíîâ òðåáóåò ó÷å-

òà âîçìîæíîñòè èñïóñêàíèÿ è ïîãëîùåíèÿ

-ôîíîíîâ. Äëÿ ýíåðãèé,

ïðåâûøàþùèõ òåðìè÷åñêèå ýíåðãèè (

EkT

) ìîæíî èñïîëüçîâàòü

ïðèáëèæåíèå ðåëàêñàöèè ïî ýíåðãèè (18.25):

∂

∂τ τ

SEfE

LO LO

()

()()

()

=− +

−

Ω

E()

. (19.15)

Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî, åñëè ó÷åñòü ðåøåíèå (19.14) íà

ïðåäûäóùåì øàãå:

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 241