Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

dE dE

SE E

()

exp

() ()

′

−

′′

′′ ′′



′

∫

hΩ











∞

∫

. (19.16)

Åñëè

SE E

LO LO

() ()<< hΩτ

, òî åñòü ñêîðîñòü ïîòåðè ýíåðãèè ïðè

èñïóñêàíèè

-ôîíîíîâ íàìíîãî âûøå ñêîðîñòè ïîòåðè ýíåðãèè ïðè

èñïóñêàíèè

-ôîíîíîâ, èíòåãðàë â ýêñïîíåíòå îïðåäåëÿåòñÿ íåïî-

ñðåäñòâåííîé îêðåñòíîñòüþ íèæíåãî ïðåäåëà è ìîæåò áûòü ïðèáëè-

æåííî çàïèñàí â âèäå ëèíåéíîé ôóíêöèè

EE−′

. Âíåøíèé èíòåãðàë â

(19.16) ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ, è ìû âîçâðàùàåìñÿ ê óðàâíåíèþ (19.14).

Óðàâíåíèå (19.15) ïîëåçíî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìû îïèñûâàåì îáëàñòü,

â êîòîðîé

-ðåëàêñàöèÿ ñìåíÿåòñÿ

-ðåëàêñàöèåé.

Óðàâíåíèå (19.15) ñïðàâåäëèâî äëÿ ýíåðãèé, ìíîãî áîëüøèõ

òåðìè÷åñêîé. Â îáëàñòè

EkT

≈

íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå

äèôôóçèè ïî ýíåðãèè

∂

∂τ

DEfE

()

() ()

()

(

hΩ

)

. (19.17)

Ýòî óðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóåò ìàëûì êîíöåíòðàöèÿì äåôåêòîâ, è â

ñâÿçè ñ ýòèì ÷ëåí, îïèñûâàþùèé èñïóñêàíèå

-ôîíîíîâ, îïóùåí,

ïîñêîëüêó áåç äåôåêòîâ â îáëàñòè

EkT

BLO

≈<<hΩ

èõ èñïóñêàíèå

çàïðåùåíî (íèæå áóäåò ïðîêîììåíòèðîâàí è áîëåå îáùèé ñëó÷àé).

Äàëüíåéøåå ðåøåíèå àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ çàõâàòà ñ èñïóñêàíèåì

ôîíîíîâ. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîíñòàíòà èíòåã-

ðèðîâàíèÿ äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ òàê, ÷òîáû ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äèô-

ôóçèè (19.17) ïåðåõîäèëî ïðè ïðèáëèæåíèè ýíåðãèè ê

hΩ

â âûðà-

æåíèå (19.16). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â îáëàñòè áóòûëî÷íîãî ãîðëà

äèôôóçèè

-ôîíîíîâ èìååò âèä

DEfE

()

()()

[(

′

′′

−∞

∗

′

∞

∗

∫∫

hΩ

, ) ( , )],′− + ′+

∗

ETE E

LO LO

hhΩΩ

ãäå

TE E

SE E

(,)exp

() ()

∗

′

′= −

′′

′′ ′′













∫

(19.18)

ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ òàêîãî ñîáûòèÿ, êîãäà ýëåêòðîí ñ ýíåðãèåé

∗

ñïóñêàåòñÿ âíèç äî ýíåðãèè

′E

çà ñ÷åò

-äðåéôà áåç èñïóñêàíèÿ

ôîíîíà. Åñëè

∗

áîëüøå

hΩ

, âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ

-ôîíîíà

ìíîãî áîëüøå, ÷åì âåðîÿòíîñòü òàêîãî

-äðåéôà. Òåì ñàìûì äëÿ

242 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

ýíåðãèé

∗

> hΩ

∗

>′

ìîæíî ïîëîæèòü

TE E(,)

∗

′=0

. Ïîäñòà-

íîâêà óðàâíåíèé (18.23), (18.9) â (19.18) äàåò

TE E

(,)exp

∗

′= −

−













−′









Ω

















Êîíñòàíòà

ðàâíà

Ω

∗∗

εεσ

Mn e

sLO

Â íàøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ èñïóñêàíèåì îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ ìîæíî

ïðåíåáðå÷ü â îáëàñòè ýíåðãèé

<< hΩ

. Ýòî òðåáóåò âûïîëíåíèÿ

íåðàâåíñòâà

Σ<<1

Ñêîðîñòü ðåêîìáèíàöèè

îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ

âçàèìîäåéñòâèÿ òîëüêî ñ

-ôîíîíàìè. Òåì ñàìûì ñêîðîñòü

LA LO+

ïðè ó÷åòå îáîèõ ìåõàíèçìîâ ðàâíà

ββ

LA LO LA

Ek T

eEdE

−−

−∞

=×

′







∫

()

Ω

exp

−

−′

























−

′







−

∫

Ω

hhΩ

Ω

LO LO

EE−′













−































32 32

ãäå

îïðåäåëåíî âûðàæåíèåì (19.10). Âû÷èñëåíèå ýòèõ èíòåãðà-

ëîâ äàåò

ββ

LA LO LA

−−

=−













+−

1 1 23 23

ΣΓ Σ+

Ω

ΣΩ

























ãäå

Γ()x

— ôóíêöèÿ Ýéëåðà (

Γ() ,13 27≈

), à

p a dy dx

xy a

()

∞

−−

∞

∫∫

ñ àñèìïòîòèêàìè

pa a() ,≈

−

402

äëÿ

a >>1

pa a a() () () ()≈− + +

−

23 13

13 23 2 23ΓΓ Γ

äëÿ

a <<1

. Òàêèì îáðà-

çîì,

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 243

()

[]

ββ

LA LO LA B LO

−−

=−

115, hΩ

äëÿ

ΣΩh

LO B

kT<<1

[]ββ

LA LO LA+

−−

=−

1123

127, Σ

äëÿ

ΣΩh

LO B

kT>>1

. (19.19)

Åñòåñòâåííî, ÷òî

LA LO+

áîëüøå

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàöèîíàð-

íîå ÷èñëî òåðìàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîâ â òîì ñëó÷àå, êîãäà âàæíî èñ-

ïóñêàíèå

-ôîíîíîâ, ìåíüøå, ÷åì ïðè ó÷åòå òîëüêî

-ôîíîíîâ.

Çàõâàò ïðîèñõîäèò â îñíîâíîì èç îáëàñòè ýíåðãèé îò

()1

−Σ Ωh

äî

hΩ

LO B

kT−

áåç òåðìàëèçàöèè. Òàêîé ãîðÿ÷èé çàõâàò ìîæåò âëè-

ÿòü íà êèíåòèêó âòîðè÷íûõ ïðîöåññîâ è ïðîèñõîäèò òîëüêî âî âðåìÿ

äåéñòâèÿ âîçáóæäåíèÿ. Ñëó÷àé (19.19) ïîêàçûâàåò íåëèíåéíóþ çàâè-

ñèìîñòü ñêîðîñòè çàõâàòà îò êîíöåíòðàöèè öåíòðîâ, ïîñêîëüêó

çà-

âèñèò îò

Ñ ðîñòîì ÷èñëà öåíòðîâ ïàðàìåòð

ïåðåñòàåò áûòü ìàëûì. Â òà-

êîì ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîå áîëüöìàíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ

íå äîñòèãàåòñÿ, è èõ ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äèôôó-

çèè ïî ýíåðãèè, â êîòîðîì íåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì, îïèñûâàþùèì

èñïóñêàíèå

-ôîíîíîâ.

Ïðîâåäåííîå â äàííîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà

ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ýíåð-

ãèè

, íî íå îò êâàçèêëàññè÷åñêîé êîîðäèíàòû ÷àñòèöû

. Ýòî ýêâèâà-

ëåíòíî ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî ðåëàêñàöèÿ ïî ýíåðãèè ïðîõîäèò ìåä-

ëåííåå ðåëàêñàöèè ïî ïðîñòðàíñòâó, òî åñòü ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíî-

ãî ïðîáåãà

lE()

áîëüøå ðàäèóñà ñèëüíîãî çàõâàòà (ðàäèóñà Îíñàãåðà

äëÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ). Ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé áóäåò

îáñóæäàòüñÿ â §25. Òàì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ìåäëåííîé äèôôó-

çèè ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå âîçáóæäåíèé ñòàíîâèòñÿ ñóùå-

ñòâåííî íåîäíîðîäíûì âáëèçè öåíòðîâ çàõâàòà. Ñòàöèîíàðíàÿ êîí-

öåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ âíóòðè ðàäèóñà çàõâàòà ïàäàåò äî íóëÿ. Â ýòîì

ñëó÷àå ñêîðîñòü çàõâàòà ïðè ñòàöèîíàðíîì âîçáóæäåíèè îïðåäåëÿåò-

ñÿ òîíêèì ñôåðè÷åñêèì ñëîåì, îêðóæàþùèì äåôåêò, è ìíîãî ìåíü-

øå, ÷åì ïðèâåäåííûå â íàñòîÿùåì ðàçäåëå ñêîðîñòè çàõâàòà. Òàêîé

ïðîöåññ ñèëüíî çàâèñèò îò ñêîðîñòè ïîñòóïëåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ñëîé

ðåêîìáèíàöèè è ïîýòîìó íàçûâàåòñÿ äèôôóçèîííî-êîíòðîëèðóå-

ìûì.

Â äàííîì ïàðàãðàôå ìû îáñóæäàëè òîëüêî çàõâàò íà öåíòðû, çà-

ðÿæåííûå ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿäó ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, êîãäà ïëîò-

íîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ îòðèöàòåëüíûõ ýíåðãèé êâàçèíåïðåðûâíà. Äëÿ

íåéòðàëüíûõ öåíòðîâ è öåíòðîâ ñ ýêðàíèðîâàííûì êóëîíîâñêèì ïðè-

òÿæåíèåì òàêîå ïðèáëèæåíèå íåñïðàâåäëèâî èç-çà êîíå÷íîãî ÷èñëà

âîçáóæäåííûõ äåôåêòíûõ ñîñòîÿíèé. Ïðè ýòîì ñêîðîñòü çàõâàòà â

244 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

îñíîâíîì îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé äåôåêòíûõ ñîñòîÿíèé (ñì., íà-

ïðèìåð, Ñòîóíõåì, 1975) è çäåñü íå áóäåò îáñóæäàòüñÿ.

§ 19. Çàõâàò ýëåêòðîíîâ 245

§20 Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ

âîçáóæäåíèé

20.1 Ýëåìåíòàðíûé àêò äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà

Íåéòðàëüíûå âîçáóæäåíèÿ ìîãóò ìèãðèðîâàòü ïî êðèñòàëëó òàê,

êàê ýòî îïèñàíî â ðàçäåëàõ 18.4 è 18.5. Â ýòèõ ðàçäåëàõ íå èñïîëüçî-

âàëèñü êàêèå-ëèáî ñâîéñòâà, ñïåöèôè÷åñêèå äëÿ çàðÿæåííûõ âîç-

áóæäåíèé. Ýòîò òèï ïåðåíîñà ïðåäóñìàòðèâàåò ïåðåíîñ ìàññû, à íà-

ëè÷èå ïåðåíîñà çàðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì. Òàêèì îáðàçîì,

ìèãðàöèÿ ýêñèòîíà ìîæåò áûòü îïèñàíà òåìè æå ñàìûìè ôîðìóëàìè,

çà èñêëþ÷åíèåì îòëè÷íîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ôîðìôàêîðà. Ïðèíöèïèà-

ëüíûì îòëè÷èåì ìèãðàöèè íåéòðàëüíûõ âîçáóæäåíèé îò ìèãðàöèè

çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé òèï ìèãðàöèè

âîçáóæäåíèé ïåðâîãî òèïà, êîòîðûé íå ñâÿçàí ñ ïåðåíîñîì ìàññû, à

òîëüêî ñ ïåðåíîñîì âîçáóæäåíèÿ. Òåì ñàìûì ýòîò òèï ìèãðàöèè ìî-

æåò áûòü íàçâàí ñêîðåå ïåðåíîñîì ýíåðãèè. Òàêîå óòâåðæäåíèå äî-

ïîëíèòåëüíî îáîñíîâûâàåòñÿ òåì, ÷òî íîñèòåëè ýíåðãèè ìîãóò áûòü

ðàçëè÷íûìè íà ðàçíûõ ýòàïàõ ìèãðàöèè.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîçáóæäåíèå â êðèñòàëëå ëîêàëèçîâàíî íà

êàêîì-ëèáî äåôåêòíîì ñîñòîÿíèè èëè íà ñîáñòâåííîì àâòîëîêàëèçî-

âàííîì ñîñòîÿíèè. Òàêîå âîçáóæäåíèå ñîçäàåò âñå òèïû ôëóêòóèðóþ-

ùèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé, êàê ïðîäîëüíûõ, òàê è ïîïåðå÷íûõ,

òèïè÷íàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé âîçáóæäåíèÿ.

Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ ìîãóò ñîçäàâàòü äðóãèå âîçáóæäåíèÿ ñ òîé

æå ñàìîé (èëè áëèçêîé) ýíåðãèåé. Â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòîò ïðîöåññ

ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ðåàëüíîãî âòîðè÷íîãî âîçáóæäåíèÿ, ïåðâîíà-

÷àëüíîå âîçáóæäåíèå èñ÷åçàåò. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò áûòü

ïîïåðå÷íûì. Â òàêîì ñëó÷àå ïåðâè÷íîå âîçáóæäåíèå èñ÷åçàåò, èñïó-

ñòèâ ðåàëüíûé ôîòîí. Ýòîò ôîòîí ìîæåò áûòü ïåðåïîãëîùåí êðèñ-

òàëëîì ñ ñîçäàíèåì íîâûõ âîçáóæäåíèé, à ìîæåò áûòü èñïóùåí èç

êðèñòàëëà â âèäå ôîòîíà ëþìèíåñöåíöèè. Â ïåðâîì ñëó÷àå ìèãðàöèÿ

èç-çà ïåðåïîãëîùåíèÿ ìîæåò äåéñòâîâàòü êàê ýôôåêòèâíûé ìåõà-

íèçì ïåðåíîñà âîçáóæäåíèÿ íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ. Åñëè ôîòîí èñ-

ïóñêàåòñÿ èç êðèñòàëëà, ýíåðãèÿ ïîêèäàåò êðèñòàëë. Ïðîáëåìû ïåðå-

ïîãëîùåíèÿ (ðåàáñîðáöèè) áóäóò îáñóæäàòüñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðà-

ôå.

Ïðîáëåìà ìèãðàöèè âîçáóæäåíèé èç-çà èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åðåç

ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ èçó÷àëàñü öåëûì ðÿäîì àâòîðîâ (ñì., íàïðèìåð,

Forster 1948, Dexter 1953, Àãðàíîâè÷, Ãàëàíèí, 1978).

Îñíîâíîå âíèìàíèå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäåò îáðàùåíî íà

ìèãðàöèþ èç-çà îáìåíà ïðîäîëüíûìè ôîòîíàìè. Ýòîò òèï ôîòîíîâ íå

ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â êðèñòàëëå è ïîýòîìó ìîæåò áûòü îòâåòñò-

âåíåí çà ïåðåíîñ ýíåðãèè òîëüêî íà îòíîñèòåëüíî ìàëûå ðàññòîÿíèÿ.

×èñëî ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé â ïðîöåññå òàêîé ìèãðàöèè â îáùåì

ñëó÷àå íå èçìåíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ïðîäîëüíûå ôîòîíû íå ìîãóò ïîêè-

äàòü êðèñòàëë. Ïðè ýòîì ïîëåçíî îïÿòü îáðàòèòüñÿ ê êèíåòè÷åñêîìó

óðàâíåíèþ, âûâåäåííîìó â ðàçäåëå 3.4.

Ïîñêîëüêó îñíîâíîé èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðåíîñà ýíåðãèè

ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ïðåäñòàâëÿþò ëîêàëèçîâàííûå âîçáóæäå-

íèÿ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé â ôîðìå (3.49). Ïî-

ñêîëüêó îáñóæäåíèå ðàäèàöèîííîãî ïåðåíîñà ìû îòëîæèì äî ñëåäó-

þùåãî ïàðàãðàôà, íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü òîëüêî äèïîëü-äèïîëü-

íóþ ÷àñòü ÿäðà

(1.8):

()

rr r

ij ij

r =

−3

εω

. (20.1)

Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ðàäèàöèîííûì ïåðåíîñîì ìû çäåñü ïðåíåáðåãà-

åì, ÷àñòü ðàäèàöèîííûõ ïðîöåññîâ, à èìåííî èçëó÷åíèå ïîïåðå÷íîãî

ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, áóäåò ó÷èòûâàòüñÿ âêëþ÷åíèåì ïîïåðå÷íî-

ãî ÷ëåíà èç óðàâíåíèÿ (3.47). Ïîñêîëüêó ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿ-

ìè öåíòðîâ ïðåäïîëàãàþòñÿ ïðîèñõîäÿùèìè â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè

êðèñòàëëà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü óïðîùåííîå âûðàæåíèå (3.43) äëÿ

äðîáè, â êîòîðóþ âõîäèò äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü.

Äëÿ íà÷àëà, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âñåì êðèñòàëëå èìåþòñÿ òîëü-

êî äâà äåôåêòà, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò òîëüêî îäíî âîçáóæäåííîå

ñîñòîÿíèå, è ýíåðãèÿ ýòèõ âîçáóæäåíèé ìåíüøå øèðèíû çàïðåùåí-

íîé çîíû

. Ïîñëåäíåå ïðåäïîëîæåíèå äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîò-

ðåòü òîëüêî äâà ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèÿ. Â ìîìåíò âðåìåíè

t =0

òîëü-

êî îäèí èç äåôåêòîâ íàõîäèòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, à äðóãîé

— â îñíîâíîì. Äåôåêò, êîòîðûé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âîç-

áóæäåí (è ìîæåò îòäàòü ýíåðãèþ), íàçûâàåòñÿ äîíîðîì, à äåôåêò â

îñíîâíîì ñîñòîÿíèè (è ìîæåò ïðèíÿòü ýíåðãèþ) — àêöåïòîðîì. Î÷å-

âèäíî, ÷òî ñìûñë ýòèõ îáîçíà÷åíèé íå èìååò íè÷åãî îáùåãî ñ èñïîëü-

çóåìûìè â ôèçèêå ïîëóïðîâîäíèêîâ.

×òîáû îïèñàòü ñèñòåìó äâóõ äåôåêòîâ, íåîáõîäèìî ðàññìàòðè-

âàòü íå òîëüêî ýëåêòðîííûå êâàíòîâûå ÷èñëà äåôåêòîâ, íî òàêæå è

êâàíòîâûå ÷èñëà ôîíîííîé ïîäñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâà-

åì ëîêàëèçîâàííûå äåôåêòíûå ñîñòîÿíèÿ, ôîíîííûå ïîäñèñòåìû äëÿ

äâóõ äåôåêòîâ ìîãóò áûòü ñôîðìèðîâàíû âçàèìíî íåçàâèñèìûìè

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 247

ôîíîííûìè ìîäàìè. Òåì ñàìûì ìîæíî ðàçäåëèòü âñå âçàèìîäåéñòâó-

þùèå ñ äåôåêòàìè ôîíîííûå ìîäû íà äâå ãðóïïû, îäíà èç êîòîðûõ

âçàèìîäåéñòâóåò ñ àêöåïòîðîì, à äðóãàÿ — ñ äîíîðîì. Ïîëíûé íàáîð

êâàíòîâûõ ÷èñåë ôîíîíîâ òàêæå ðàçáèâàåòñÿ íà äâà íàáîðà:

{}{ }{ }nnn

sss

Ñîñòîÿíèÿ

â êèíåòè÷åñêîì óðàâíåíèè (3.49) ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿ-

íèÿìè âñåé ñèñòåìû, òî åñòü îíè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ñîñòîÿíèÿ áåç âñÿ-

êèõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé, ñ âîçáóæäåííûì äîíîðîì, âîçáóæ-

äåííûì àêöåïòîðîì è ò.ä. Åñëè ìû ïðèìåì âî âíèìàíèå òîëüêî òàêèå

ëîêàëèçîâàííûå ñîñòîÿíèÿ, è íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü äåëîêàëèçî-

âàííûå ñîñòîÿíèÿ, êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â

ôîðìå

∂

nn mn nn m n nn mn m n

dR=−

′′′′′′′

′

()( )Rd Rd dd

′

∑

∫

×−−−−

′

′′ ′ ′

()

()( )( )

εω

δω ω δω ω

nm n m m n m n

ff f f

(20.2)

−−+

∫

mn nm m mn n nm

ωω ω δω ω θω θω( ) ( )[ ( ) ( )],d ff

ãäå

dDr

mn nm

dr=

∫

()

,à

′

— ðàäèóñ-âåêòîð îò öåíòðà, ðàñïîëî-

æåííîãî â óçëå

äî öåíòðà, ðàñïîëîæåííîãî â óçëå

′n

. Ðåçóëüòàòîì

ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïåðåõîäû ïðîèñõîäÿò âíóòðè öåíòðîâ, ÿâëÿåòñÿ

ðàâåíñòâî

nn mm

′′

, ïîñêîëüêó äèïîëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà

ÿâëÿþòñÿ ñîñòî-

ÿíèÿìè îäíîãî è òîãî æå öåíòðà.

Ââåäåì èíäåêñ 0 äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ öåíòðà, à èíäåêñ 1 äëÿ

âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ öåíòðà. Òîãäà ñîñòîÿíèÿìè â óðàâíåíèè

(20.2) ìîãóò áûòü ñîñòîÿíèÿ ñ âîçáóæäåííûìè äîíîðîì

dnn

≡ 10

10da d a

{}{}

èëè àêöåïòîðîì

ann

≡ 01

01da d a

{}{}

è ñîñòîÿ-

íèå ñ îáîèìè íåâîçáóæäåííûìè öåíòðàìè

000

≡

da d a

{}{}nn

. Ïî-

ñëåäíåå ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü ëèáî êîíå÷íûì ñîñòîÿíèåì, êîãäà

ýíåðãèÿ óõîäèò â âèäå èçëó÷åíèÿ, ëèáî ïðîìåæóòî÷íûì ñîñòîÿíèåì,

êîãäà ýíåðãèÿ ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ ïåðåäàíà âèðòóàëüíîìó

ïðîäîëüíîìó ôîòîíó. ×àñòîòû

äëÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé ðàâíû

ωωωα=

αα

αα0

010

=+ − =−

∑

Enn

sss

h (), ,,Ω

d,a

ãäå

— ýíåðãèè áåñôîíîííûõ ïåðåõîäîâ äëÿ äîíîðà (àêöåïòîðà),

Ω

— ÷àñòîòà ôîíîííîé ìîäû

. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

ôàêòîðè-

çóþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèáëèæåíèåì Êîíäîíà, îïèñàííîì â §13,

248 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

òàê, ÷òî âûäåëÿåòñÿ ìíîæèòåëü, âîçíèêàþùèé èç-çà ïåðåêðûòèÿ ôî-

íîííûõ ôóíêöèé:

αα

αα α

χχ

{} { }

() (),

∗

∫

RR R

ãäå

α,0

— ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû áåñôîíîííûõ ïåðåõîäîâ.

ÿâëÿ-

þòñÿ ôîíîííûìè êîîðäèíàòàìè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ìîäàì, ñâÿ-

çàííûì ñîîòâåòñòâåííî ñ äîíîðîì è àêöåïòîðîì.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò

áûòü çàïèñàíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âåðîÿòíîñòè

òîãî, ÷òî ýëåêò-

ðîííàÿ ïîäñèñòåìà äåôåêòà íàõîäèòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, íà

ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåòî÷íûõ êîëåáàíèé

n{}

. Ôîíîííàÿ ôóí-

êöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà ðàâíîâåñíîé, ïîñêîëüêó

âðåìÿ òåðìàëèçàöèè ôîíîííîé ïîäñèñòåìû ìíîãî ìåíüøå òèïè÷íûõ

âðåìåí ïåðåíîñà ýíåðãèè. Ñóììà ïî

ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ïî ýëåêòðîí-

íûì êâàíòîâûì ÷èñëàì d,aè0èñóììîé ïî íàáîðàì

{}n

. Ìîæ-

íî ââåñòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé, ñ ïî-

ìîùüþ îïðåäåëåíèÿ (ñð. ñ óðàâíåíèåì (17.3))

∑

{}

è àíàëîãè÷íîãî îïðåäåëåíèÿ äëÿ

. Óðàâíåíèÿ äëÿ ýòèõ ôóíêöèé

ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç (20.2) ñóììèðîâàíèåì ïî íàáîðó ôîíîííûõ

÷èñåë

{}n

, íàïðèìåð,

∂

=−

∫

()()

(

Rd Rd dd

ω)

×−×

∗

∫

n}n}

RR R

dd d

χχ δωω

{} { }

{{

() ()( )

∑

×−×

∗

∫

n}n}

RR R

aa a

χχ δωω

{} { }

{{

() ()( )

∑

(20.3)

×−













−ffffff

nn nn{}{} {}{}

00 00

dnωω ω

()d

∫

×−

∗

∫

dff

RR R

dd d

χχ δωω

{} { }

{}

{

() ()( )

}n }{

∑

Çäåñü

n{}

— ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áîçå äëÿ ôîíîííûõ ìîä

{}n

×ëåí, îïèñûâàþùèé ýíåðãèþ äîíîðíî-àêöåïòîðíîãî

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 249

äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñèò îò âçàèìíîé îðèåíòà-

öèè âåêòîðîâ

. Â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ öåíòðû ðàñïðå-

äåëåíû ïî íàïðàâëåíèÿì ñëó÷àéíûì îáðàçîì, è êâàäðàò ýíåðãèè èõ

âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæåò áûòü óñðåäíåí ïî íàïðàâëåíèÿì èõ äèïîëü-

íûõ ìîìåíòîâ. Ýòî äàåò

=µ

dd,

ãäå

îïèñûâàåò óãëîâóþ çàâèñèìîñòü äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìî-

äåéñòâèÿ. Äëÿ èçîòðîïíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ

=23

, è ýòî çíà÷åíèå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì.

Ñóììèðîâàíèå ïî ôîíîííûì ìîäàì äëÿ âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿ-

íèÿ 1 è óñðåäíåíèå ïî îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå-

íèÿ

n{}

â óðàâíåíèè (20.3) äàåò ëèíèþ ïîãëîùåíèÿ äåôåêòà d, â òî

âðåìÿ êàê ñóììèðîâàíèå ïî ôîíîííûì ìîäàì îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è

óñðåäíåíèå ïî ìîäàì âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ

n{}

äàåò ôîðìó ëè-

íèè ëþìèíåñöåíöèè äåôåêòà d (ñì. §13). Òåì ñàìûì, èñïîëüçóÿ ýòè

ðåçóëüòàòû, óðàâíåíèÿ (20.3) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

∂∂ τ

ftWfWff

dad

dad d d

dad ad

aaa

=−−

→→

(20.4)

ãäå

lum

abs

→

∫

εω

()

() (ω),

d,a

lum

— ôîðìà ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè, à

d,a

abs

— ôîðìà ëèíèè ïîãëî-

ùåíèÿ äëÿ äîíîðà è àêöåïòîðà, ñîîòâåòñòâåííî. Â

ad→

âìåñòî

lum

abs

ñòîèò

lum

abs

. Ðàäèàöèîííîå âðåìÿ æèçíè âîçáóæäåííî-

ãî ñîñòîÿíèÿ äîíîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê

τωωωω

dd0

lum-

dnG

∫

d () (),

ãäå

n() ()ωεω=

— ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ (1.10), è àíàëîãè÷íîå

âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü äëÿ âðåìåíè æèçíè àêöåïòîðà

. Âåðî-

ÿòíîñòü

da→

ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç êîýôôèöèåò ïîãëîùåíèÿ

äëÿ ïîëîñû ïîãëîùåíèÿ àêöåïòîðà

αω

πω

aaa0

abs

()

(),=

hcn

nGd

(20.5)

250 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

ãäå

— êîíöåíòðàöèÿ àêöåïòîðîâ, à íîðìèðîâàííûé íà åäèíèöó

ñïåêòð ñâå÷åíèÿ äîíîðà ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê

lum

()

(),ω

ωω

τω=

(20.6)

(äëÿ óçêèõ ïîëîñ ëþìèíåñöåíöèè

()ω

lum

()ω

ñîâïàäàþò äðóã ñ

äðóãîì). Â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ âåëè÷èíà

da→

ìîæåò áûòü ïåðåïèñà-

íà â âèäå

→

∫

πτ

ωω

ωα ω

()

() ().

(20.7)

Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà ñèëüíî çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ

ìåæäó äîíîðîì è àêöåïòîðîì:

()WRR

da da d→

τ .

(20.8)

ãäå âûðàæåíèå äëÿ

ìîæåò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíî ñðàâíåíèåì âûðà-

æåíèé (20.7) è (20.8). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë

ñîñòîèò â òîì, ÷òî íà

ýòîì ðàññòîÿíèè âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè îò äîíîðà ê àêöåïòîðó

ðàâíî âåðîÿòíîñòè ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ êâàíòà ñâå÷åíèÿ äîíîðîì.

Âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîì ðàññòîÿíèÿ

Ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí äëÿ äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåé-

ñòâèÿ äîíîðà è àêöåïòîðà. Â ñëó÷àå, åñëè îäèí èç öåíòðîâ èìååò íóëå-

âîé äèïîëüíûé ìîìåíò, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âûñøèå ìóëüòèïîëè.

Äëÿ äèïîëü-êâàäðóïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà

ïàäàåò êàê

−8

, äëÿ êâàäðóïîëü-êâàäðóïîëüíîãî — êàê

−10

, è ò.ä. Ê

ñèñòåìå (20.4) ïðèâîäèò òàêæå è îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå. Ìàòðè÷-

íûé ýëåìåíò îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîïîðöèîíàëåí èíòåãðàëó

ïåðåêðûòèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé. Òåì ñàìûì âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà

äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ýòîãî òèïà ýêñïîíåíöèàëüíî ïàäàåò ñ ðîñòîì

()WRR

da da→

−~exp

(

â ýòîì ñëó÷àå ñâÿçàíî ñ ïîêàçàòåëÿìè ýê-

ñïîíåíöèàëüíîãî ïîâåäåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé è íå ïðåâûøàåò îä-

íîãî íàíîìåòðà). Ïîñëåäíèé ñëó÷àé îïèñûâàåò òóííåëèðîâàíèå âîç-

áóæäåíèé ìåæäó äîíîðîì è àêöåïòîðîì.

Âåðîÿòíîñòü äèïîëü-äèïîëüíîãî ïåðåíîñà ïðîïîðöèîíàëüíà ïå-

ðåêðûòèþ ñïåêòðîâ ñâå÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ. Â òîì ñëó÷àå, êîãäà äî-

íîð è àêöåïòîð îòíîñÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå òèïó öåíòðîâ, èíòåãðàë

ïåðåêðûòèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñòîêñîâûì ñäâèãîì (òî÷íåå, ôàêòîðîì Õó-

àíãà-Ðèñà). Äëÿ îäèíàêîâûõ äåôåêòîâ âåðîÿòíîñòü ïåðåíîñà îò äîíî-

ðà ê àêöåïòîðó

da→

ðàâíà âåðîÿòíîñòè îáðàòíîãî ïåðåíîñà

ad→

Åñëè äîíîð è àêöåïòîð ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè ðàçëè÷íûõ òèïîâ,

§20. Ìèãðàöèÿ íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé 251