Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

Èíòåãðàë ïî

ïðåäïîëàãàåò èíòåãðèðîâàíèå ïî âñåì íåïðåðûâ-

íûì êâàíòîâûì ÷èñëàì èëè ñóììèðîâàíèå ïî äèñêðåòíûì ÷èñëàì

(íàïðèìåð, òðåõìåðíîå èíòåãðèðîâàíèå äëÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê,

øåñòèìåðíîå èíòåãðèðîâàíèå äëÿ èîíèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé ýêñèòîíà

ñîâìåñòíî ñ òðåõìåðíûì èíòåãðèðîâàíèåì è ñóììèðîâàíèåì ïî òðåì

äèñêðåòíûì êâàíòîâûì ÷èñëàì äëÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ýêñèòîíîâ è

ò.ä.).

Ìîæíî ââåñòè îäíî÷àñòè÷íûå è ìíîãî÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, îäíîýêñèòîííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìî-

æåò áûòü ââåäåíà êàê

fi i i

ex ex

NNN

()=−×

′

∞

∑

∫

∑

δ( )

== =

∏∏∏

di di di

11 1

(17.3)

Çäåñü äåëüòà-ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ øåñòèìåðíîé äëÿ ñîñòîÿíèé ýêñèòî-

íà â îáëàñòè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà è ïðîèçâåäåíèåì òðåõìåðíîé äå-

ëüòà-ôóíêöèè è òðåõ ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà äëÿ äèñêðåòíûõ ñîñòîÿ-

íèé. Ñóììèðîâàíèå ïî

î÷åâèäíî íà÷èíàåòñÿ ñî çíà÷åíèÿ 1, à íå ñ

íóëÿ. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî äëÿ ýòèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìû

èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå

,àíå

, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîëíîãî

îïèñàíèÿ âîçáóæäåíèé (17.1).

Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äâóõ âîçáóæäåíèé ââîäÿòñÿ àíàëî-

ãè÷íûì îáðàçîì. Îáðàòèì âíèìàíèå íà îïðåäåëåíèå ôóíêöèé, îïè-

ñûâàþùèõ îäèíàêîâûå òèïû âîçáóæäåíèé è ðàçíûå òèïû âîçáóæäå-

íèé. Ðàçëè÷èå î÷åâèäíî èç ñðàâíåíèÿ ñëåäóþùèõ äâóõ ïðèìåðîâ:

fii ii ii

ee e

(,) ( )(

12 1

=−−

′

′′

′

′′

∑

δδ

NNN

di di

)

′

∞

∑

∫

∑

∏

∏∏

fii ii ii

eh e

(,) ( )( )=−−

′

∑∑

δδ

11m

∫

∑

∏∏

∞

NNN

di di di

∏

è ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ èçáåæàòü äâîéíîãî ó÷åòà âîçáóæäåíèé

îäíîãî òèïà.

212 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

Ýíåðãèÿ ñèñòåìû è ìíîãèå äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè ìîãóò áûòü

îïðåäåëåíû èç îäíîýëåêòðîííûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Íïàðè-

ìåð, ñðåäíåå ÷èñëî âîçáóæäåíèé îïðåäåëåííîãî òèïà (íàïðèìåð, ýê-

ñèòîíîâ) ìîæåò áûòü íàéäåíî èíòåãðèðîâàíèåì

Nfidi

ex ex

∫

()

à èõ ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ðàâíà

E Eifidi

ex ex

∫

() ()

ãäå

()

— ýíåðãèÿ ýêñèòîíà ñ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè

Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ äâóìÿ âîçáóæäåíèÿìè ïîëåçíû ïðè

îïèñàíèè âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé.

Íèæå ïîäðîáíî îïèñûâàþòñÿ ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ïîäõîäà.

§ 17. Ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ 213

§ 18 Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé

18.1 Ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ è äûðîê íà ôîíîíàõ

Â äàííîì ðàçäåëå ìû ïîäðîáíî îáñóäèì ìåõàíèçì ìèãðàöèè

ýëåêòðîíîâ è äûðîê. Ïðåæäå âñåãî ïîä÷åðêíåì ðàçëè÷èå ìåæäó ìèã-

ðàöèåé âîçáóæäåíèé, âêëþ÷àþùèé ïåðåíîñ çàðÿäà, è ïåðåíîñ íåçà-

ðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé.

Çàðÿæåííûìè âîçáóæäåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûå òèïû ýëåêò-

ðîííûõ è äûðî÷íûõ ñîñòîÿíèé â êðèñòàëëå. Ýëåêòðîíû è äûðêè,

ýíåðãèè êîòîðûõ ëåæàò â ïðåäåëàõ ðàçðåøåííûõ çîí, ÷àñòî îïèñûâà-

þòñÿ áëîõîâñêèìè âîëíàìè. Òàêèå ýëåêòðîíû èìåþò îïðåäåëåííûå

çíà÷åíèÿ èìïóëüñÿ, à èõ êîîðäèíàòû íå îïðåäåëåíû â ñèëó ñîîòíîøå-

íèÿ íåîïðåäåëåííîñòè Ãàéçåíáåðãà. Òàêàÿ èäåàëüíàÿ êàðòèíà ïëîõî

ïðèìåíèìà â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ. Ýëåêòðîí äîëæåí ðàññìàòðèâà-

òüñÿ êàê âîëíîâîé ïàêåò. Èìïóëüñ è êîîðäèíàòà òàêîãî ïàêåòà ìîãóò

áûòü îïðåäåëåíû îäíîâðåìåííî ñ òî÷íîñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîîò-

íîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè.

Ñèòóàöèÿ â êðèñòàëëå óñëîæíÿåòñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî çîííûé

ýëåêòðîí (äûðêà) íå ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíûì âîçáóæäåíèåì, íî èñïû-

òûâàåò ìíîãî÷èñëåííûå àêòû ðàññåÿíèÿ. Îñíîâíûìè êàíàëàìè ðàññå-

ÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàññåÿíèå íà ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèÿõ, íà ôîíîíàõ

è íà äåôåêòàõ ðåøåòêè. Ïðè ýòîì âñå àêòû ðàññåÿíèÿ ìîæíî ðàçäå-

ëèòü íà ïðîöåññû ñ ñîõðàíåíèåì ýíåðãèè (óïðóãîå ðàññåÿíèå), ñ ïðè-

áëèæåííûì ñîõðàíåíèåì ýíåðãèè (êâàçèóïðóãîå ðàññåÿíèå) è ïðî-

öåññû ñ ñóùåñòâåííûì èçìåíåíèåì ýíåðãèè (íåóïðóãîå ðàññåÿíèå).

Èçìåíåíèå èìïóëüñà âîçáóæäåíèÿ áåç èçìåíåíèÿ åãî ýíåðãèè âîç-

ìîæíî òîëüêî â ïðîöåññàõ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäå-

íèé ñ î÷åíü òÿæåëûìè îáðàçîâàíèÿìè (ãðàíèöåé êðèñòàëëà, äèñëîêà-

öèÿìè è äåôåêòàìè). Òàêèì îáðàçîì, â ÷èñòîì âèäå óïðóãèå ïðîöåñ-

ñû ðàññåÿíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûì òèïîì ýòîãî ïðîöåññà.

Íàèáîëåå îáùèì òèïîì ðàññåÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ êâçèóïðóãîå ðàññåÿ-

íèå (ðàññåÿíèå íà ôîíîíàõ, íà äåôåêòàõ ñ ó÷åòîì ôîíîíîâ, èëè íà

äåôåêòàõ ñ íåçíà÷èòåëüíûì èçìåíåíèåì èõ ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ).

Ñóùåñòâåííî íåóïðóãîå ðàññåÿíèå ÷àñòî â ðåçóëüòàòå ïðèâîäèò ê ñî-

çäàíèþ íîâûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé (âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé

äåôåêòîâ, ýêñèòîíîâ, ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ ïàð è ò.ä.) èëè äåôåêòîâ

êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (íàïðèìåð, âàêàíñèé è ìåæóçåëüíûõ

àòîìîâ). Íåóïðóãèå ïðîöåññû, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ ñîçäàþòñÿ íî-

âûå ýëåêòðîííûå âîçáóæäåíèÿ, èìåþò ïîðîãîâîå ïîâåäåíèå ïî ýíåð-

ãèè èç-çà òîãî, ÷òî ñïåêòð ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêå

íà÷èíàåòñÿ ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè ýíåðãèé. Â ìåòàëëàõ äëÿ ñîçäà-

íèÿ ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ ïàð â ïðîöåññå íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ òà-

êîãî ïîðîãà íå íàáëþäàåòñÿ. Àíàëîãè÷íîå ïðîïàäàíèå ïîðîãà ïðîèñ-

õîäèò â ïîëóïðîâîäíèêàõ, à òàêæå â äèýëåêòðèêàõ ïðè âûñîêîé ñòå-

ïåíè âîçáóæäåíèÿ, â êîòîðûõ èìååòñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêàÿ êîíöåíò-

ðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ è äûðîê. Ñóùåñòâåííî íåóïðóãèå ïðî-

öåññû áóäóò ïîäðîáíî îáñóæäàòüñÿ íèæå (â §26 è ðàçäåëå 29.2). Â íà-

ñòîÿùåì ðàçäåëå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì êâàçèóïðóãîãî ðàñ-

ñåÿíèÿ. Ýòè ïðîöåññû èãðàþò îñíîâíóþ ðîëü â ìåõàíèçìå ìèãðàöèè

çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé.

Â ïåðâóþ î÷åðåäü ðàññìîòðèì ïðîöåññû òåðìàëèçàöèè ýëåêòðîí-

íûõ âîçáóæäåíèé. Ïðè ýòîì íå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïðîöåññû, êî-

òîðûå ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ ÷èñëà è òèïîâ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäå-

íèé. Äëÿ ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì

(3.47), êîòîðîå îïèñûâàåò ðàññåÿíèå ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé ïó-

òåì èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êâàíòîâ áåç îòñëåæè-

âàíèÿ ñóäüáû ýòèõ ôîòîíîâ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïîëÿðèçàöè-

îííûå ôîíîíû ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðèòîíàìè, êîòîðûå ñîñòîÿò èç ñìåùå-

íèÿ èîííîé ïîäñèñòåìû è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàðÿæåííûå ÷àñ-

òèöû â òâåðäûõ òåëàõ âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî ñ ïîëåâîé êîìïîíåí-

òîé ïîëÿðèçàöèîííîãî ôîíîíà, è ïîýòîìó ïðèìåíèìû óðàâíåíèÿ,

îïèñàííûå â ðàçäåëå 3.4. Ñìåùåíèå èîíîâ ó÷èòûâàåòñÿ â ýòîì óðàâ-

íåíèè çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, êîòî-

ðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé äëÿ ýíåðãèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ

èíôðàêðàñíîé îáëàñòè ïîãëîùåíèÿ.

Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé òåðìàëèçàöèè ñâîáîäíîãî çîííîãî

ýëåêòðîíà çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîëÿðèçàöèîííûìè ôîíîíàìè.

Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü äëÿ îáëàñòè ýíåðãèé, ñîîòâåòñòâóþ-

ùåé îïòè÷åñêèì ôîíîíàì, ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ñëåäóþùåé ôîðìå:

εω ε

εε

()

=−

−

∞

∞0

Ω

(çäåñü ìû ïðåíåáðåãàåì ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé ôîíîííûõ ÷à-

ñòîò), èëè (âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì

ΩΩ

LO TO

∞

εε

)

εωε

εε

−1

−

∞

−

()

()Ω

Ω

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîëþñ

εω()

ðàñïîëîæåí íà ÷àñòîòå ïîïåðå÷íîãî ôî-

íîíà

Ω

, â òî âðåìÿ êàê íîëü

εω()

— íà ÷àñòîòå ïðîäîëüíîãî

Ω

§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 215

Äëÿ ôóíêöèè ïîòåðü ýíåðãèè

εω

−1

()

ïîëîæåíèå ïîëþñà è íóëÿ ìåíÿ-

þòñÿ ìåñòàìè.

Ôëóêòóàöèè ïðîäîëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â êðèñòàëëå

îïðåäåëÿþòñÿ

Im( ( ))−

−

εω

[]

(,)

()()−













=−−+

∗

εω

δω δω

Ω

ΩΩ

LO LO

, (18.1)

ãäå

∗

— ýôôåêòèâíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü èîííîé ïîä-

ñèñòåìû, îïðåäåëåííàÿ ñîîòíîøåíèåì (14.9). Ýíåðãèÿ ôëóêòóàöèé

ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

ωk

, ñâÿçàííûõ ñ

-ôîíîíàìè, îïðåäåëÿ-

åòñÿ èç óðàâíåíèé (3.40), (3.46):

[]

δω δω

ωk

=−++

∗

hΩ

ΩΩ

LO LO

()()

, (18.2)

ãäå

()

=−

−

hΩ

— ÷èñëî çàïîëíåíèÿ ìîäû

-ôîíîíîâ

(íàïîìèíàåì, ÷òî íóëåâûå ôëóêòóàöèè ó÷èòûâàþòñÿ â (3.47) îòäåëü-

íî). Ïîäñòàíîâêà (18.1) è (18.2) â óðàâíåíèå (3.47) è èíòåãðèðîâà-

íèå

ïî

äàåò

()

dk dk

mnm

LO nm LO

=×

×−+

∗

−

∫

Ω

()

πε

δω δ

[]

{

[]

}

()()

δω δω

nm LO m n

nnmLOmnmLO

+−−

−−−+=

Ω

ΩΩ

()

=×

×−−

∗

−

∫

dk dk

EE nf

mnm

n m LO LO m

Ω

()

πε

[]

{

[]

}

−++

+−+ +−

()

()().

EE n f nf

LO n

n m LO LO m LO n

1δ hΩ

(18.3)

Çäåñü ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñîñòîÿíèÿ â çîíàõ õàðàêòåðèçóþò-

ñÿ òîëüêî èìïóëüñîì

, è çàìåíèëè ñóììèðîâàíèå ïî

èíòåãðèðî-

âàíèåì ïî

. Â ÿäðå êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàí ìàòðè÷-

íûé ýëåìåíò ïëîòíîñòè çàðÿäà

, à íå äèïîëüíîãî ìîìåíòà

, ïîñêî-

ëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ïðîäîëüíûå ôîíîíû. Ïîñêîëüêó ìû

ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé íå ìåíÿåòñÿ,

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó, â êîòîðîé èìååòñÿ òîëüêî îäèí ýëåêò-

ðîí (äûðêà). Â ýòîì ñëó÷àå íåò ðàçëè÷èÿ ìåæäó îäíîýëåêòðîííîé

ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

è ìíîãî÷àñòè÷íîé

Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî çîííûå ñîñòîÿíèÿ îïèñûâàþòñÿ

ïðîñòûìè ïëîñêèìè âîëíàìè. Òîãäà ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïëîòíîñòè

216 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

çàðÿäà

, â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ðàâíûé

eV e()

(

kk)r

−

, ìîæåò áûòü çàïèñàí â èìïóëüñíîì ïðåä-

ñòàâëåíèè êàê

ρπδ

nm n m

eV +() ()( ).−= −

−

kkkk

Îòñþäà

ρρ πδ δ

nm nm n m

eV +() ( ) ()( )( )−−′= −′−

−

kk kkkkk

22 6

è â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì (3.27)

()

ρπδ

nm n m

eV +

22 3

−

=−

kkk()( ).

(18.4)

Ýòî âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò ôîðìôàêòîð ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà (äûð-

êè). Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé äëÿ ëþáûõ äðóãèõ ñâîáîäíûõ âîçáóæäå-

íèé ìîæåò áûòü çàïèñàí òàêèì æå ñïîñîáîì çàìåíîé (18.4)íà ñîîò-

âåòñòâóþùèé ôîðìôàêòîð (íàïðèìåð, äëÿ ýêñèòîíà íåîáõîäèìî èñ-

ïîëüçîâàòü âûðàæåíèå (15.4)).

Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé, îïèñûâàþùèé âçàèìî-

äåéñòâèå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, èìåþùèõ âîëíîâîé âåêòîð

, ñ ïîäñèñ-

òåìîé

-ôîíîíîâ, ìîæåò áûòü çàïèñàí â ôîðìå

{

dk E E

nn LO

LO n

=−−−×

×−

∗

∫

Ω

πε

kkk

(( ) ( ) )

(

[]

kkk

)( )( )

(( ) ( ) )

()(

−+ +

+−−+×

×+

LO n

nn LO

δ hΩ

[]

}

nLOn

nf−−kk) ().

(18.5)

Êîýôôèöèåíò ïåðåä

()k

ìîæåò áûòü çàïèñàí â ôîðìå

-ïðèáëèæå-

íèÿ âðåìåíè æèçíè:

nnn

=−K ()k τ

, ãäå

— âðåìÿ æèçíè ñîñòîÿ-

íèÿ

. Ýòî âðåìÿ æèçíè ñâÿçàíî ñ øèðèíîé ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ,

ââåäåííîé â §14. Ýíåðãèÿ ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò ìíèìóþ

÷àñòü

iΓ

. Òåì ñàìûì âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò îò âðåìåíè êàê

()

exp ( Re )iE t−Γ h

, òî åñòü âåðîÿòíîñòü ïîëÿðîíó îñòàâàòüñÿ â ñîñòî-

ÿíèè

óìåíüøàåòñÿ êàê

t−2Γ h

. Òàêàÿ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü äîë-

æíà ñîâïàäàòü ñ ðåøåíèåì êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

t−τ

. Îòñþäà

−

2Γ h

, ÷òî ïîäòâåðæäàåòñÿ ñðàâíåíèåì âûðàæåíèé (18.5) è

(14.12). Òàêîå ðàññóæäåíèå äîïîëíèòåëüíî ïîäòâåðæäàåò, ÷òî øèðè-

íà ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåõîäàìè â äðóãèå ñîñòîÿíèÿ.

Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé ìîæíî óïðîñòèòü â ñëó÷àå ïàðàáîëè÷å-

ñêîãî çàêîíà çàâèñèìîñòè ýíåðãèè ÷àñòèöû ñ ìàññîé

∗

, à òàêæå åñëè

ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò

§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 217

ýíåðãèè ÷àñòèöû, íî íå îò åå èìïóëüñà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü êè-

íåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùåé îò

ýíåðãèè, íåîáõîäèìî â ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âêëþ÷èòü ïëîòíîñòü

ñîñòîÿíèé:

dkf E E gE f

() ( ()) ()

()

=−=

∫

. (18.6)

Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ ñâîáîäíîãî çîííîãî ýëåêòðîíà ñ ýôôåêòèâ-

íîé ìàññîé

∗

ïðåäñòàâëåíà óðàâíåíèåì (4.10). Ïîñëåäíåå ñîîòíî-

øåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ èçîòðîïíûõ ñèñòåì. Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè-

÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ

fE()

ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ôîðìå

∂

gE n fE

gE E

LO LO

()

() ( )

()()

()(

−

Ω

1 E

)

()













−+hΩ

−

+()( )

()

()()

()

nfE

gE n fE

LO LO

hΩ

Ω

LO LO

()+













hΩ

(18.7)

èëè

∂

()

−

Ω

Ω kT

E−













−−

()

()θ hΩ

−

+×

−

egE

LO LO

τ ()

()

Ω

−













()

Ω

(18.8)

ãäå âðåìÿ æèçíè äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû

îïðåäåëÿåòñÿ êàê

τε

()

ln .=

+−

−−

∗

Ω

(18.9)

Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå (18.7) ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì,

êîòîðûé âûðàæàåò èçìåíåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ýíåðãèè

÷åðåç çíà÷åíèÿ ýòîé æå ôóíêöèè ïðè ýíåðãèÿõ

± hΩ

. Ïåðâûé

÷ëåí â (18.7) îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ýíåðãèÿ ÷àñ-

òèöû áîëüøå ýíåðãèè

-ôîíîíà. Ìîæíî ëåãêî óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî

ïîäñòàíîâêà ðàâíîâåñíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

218 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

fE gEe

Ek T

()~ ()

−

â óðàâíåíèå (18.8) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

If E(())

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áîëüöìàíîâñêàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòå-

ëüíî ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, ïîñêîëüêó

∂∂ft

Åñëè ýíåðãèÿ ÷àñòèöû áîëüøå, ÷åì ýíåðãèÿ îïòè÷åñêîãî ôîíîíà

(

>> hΩ

), òî âûðàæåíèå äëÿ âðåìåíè æèçíè óïðîùàåòñÿ:

τε

()

ln .≈

∗

Ω

18.2 Îõëàæäåíèå ãîðÿ÷èõ âîçáóæäåíèé çà ñ÷åò èñïóñêàíèÿ

îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ

Äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû â èíòåãðàëå ñòîëêíîâåíèé îñòàþòñÿ

òîëüêî óõîäíûé ÷ëåí (ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì) â ïåðâîé ñêîáêå

óðàâíåíèÿ (18.8) è ïðèõîäíûé ÷ëåí (ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì) âî

âòîðîé ñêîáêå:

∂

LO LO

() ()

()

(

=− − −

Ω

)

(18.10)

Óõîäíûé ÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî äëÿ

> hΩ

, è ïîýòîìó äëÿ

ìåíüøèõ ýíåðãèé è íóëåâûõ òåìïåðàòóð âðåìÿ æèçíè

τ()E

ñòàíîâèòñÿ

áåñêîíå÷íûì. Ýòî óæå îáñóæäàëîñü â §14. Äëÿ òàêèõ íèçêèõ òåìïå-

ðàòóð â êèíåòè÷åñêîì óðàâíåíèè îñòàþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ

fE()

()+ hΩ

. Ýòà îñîáåííîñòü äàåò âîçìîæíîñòü ëåãêî ðåøèòü êèíå-

òè÷åñêîå óðàâíåíèå: íåîáõîäèìî ñïóñòèòüñÿ âíèç ïî ëåñåíêå ýíåðãèé

iLO

− hΩ

, ñòàðòóÿ ñ íà÷àëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû

è çàêàí÷èâàÿ

êîíå÷íîé ýíåðãèåé

EEn

iLO

=−

max

hΩ

, ãäå ïîëíîå ÷èñëî èñïóùåí-

íûõ ôîíîíîâ îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì

0 <<E

hΩ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè

t =0

÷àñòèöà ïîÿâëÿåòñÿ íà

óðîâíå ñ ýíåðãèåé

. Äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì íóìåðîâàòü óðîâíè

ýíåðãèè, íà÷èíàÿ ñ

, è îáîçíà÷àÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ êàê

(

nn= 01,, ,

max

, ãäå

[]

iLOmax

= hΩ

). Êèíåòè-

÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóðüå-êîìïîíåíò

()ω

ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû

èç (18.10) â âèäå

−=−

−=− + <<

if f

if f f n n

nnn

nnnnn

ωτ

ωττ

;

m11

1äëÿ

;

.−=if fωτ

011

(18.11)

Áîëå óäîáíî âíà÷àëå ðàññ÷èòàòü âåëè÷èíó

. Ýòî ìîæíî ñäå-

ëàòü áëàãîäàðÿ ðåêóððåíòíîé ñòðóêòóðå óðàâíåíèé (18.11):

§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 219

1τ

ωτ

ωτ=

−

=− −













∏∑

exp ln( ) .

(18.12)

Åñëè

max

äîñòàòî÷íî âåëèêî, òî ñóììà ýêñïîíåíò ìîæåò áûòü çàìå-

íåíà èíòåãðàëîì. Íàñ èíòåðåñóþò âðåìåíà, íàìíîãî áîëüøèå âðåìå-

íè æèçíè äëÿ îäíîãî óðîâíÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòèöà â êîíå÷íîì ñîñòîÿ-

íèè ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïîñëå ìíîãîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ. Òàêèì ñïîñî-

áîì óðàâíåíèå (18.12) ìîæåò áûòü óïðîùåíî:

fiE

1τωτ

=− −













≈

∫

exp ln( ( ))

exp

Ω

∆

Ω

()

OLO

D−

ω ,

ãäå

∆

Ω

LO i

=≈

∑

∫

ττ

() ,

=≈

∑

∫

ττ

() .

Ω

Îáðàòíîå ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå äàåò âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ñêîðî-

ñòè ïðèõîäà íà íèæíåå ñîñòîÿíèå:

ft D

() exp

()

.τπ=−

−













∆

Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòèöû ïîÿâëÿþòñÿ íà íóëåâîì óðîâíå ÷åðåç âðåìÿ

∆t

ïîñëå èõ ñîçäàíèÿ â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè, à äèñïåðñèÿ ìîìåíòîâ

ïðèõîäà íà íèæíèé óðîâåíü ðàâíà

. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íà

íóëåâîì óðîâíå ðàâíà

()[]

ft t t D

LO LO

12() ( ) ,=+ −Φ∆

ãäå

Φ()x

— ôóíêöèÿ îøèáîê. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò èìååò äèôôóçè-

îííóþ ïðèðîäó, à ïðè÷èíà «ðàçìàçêè» âðåìåíè ïðèõîäà ñâÿçàíà ñ âå-

ðîÿòíîñòíûì õàðàêòåðîì ïåðåõîäà ñ îäíîãî óðîâíÿ íà äðóãîé.

Ýëåêòðîí (äûðêà) ñ ýíåðãèåé

ìîæåò áûòü îïèñàíà êàê êâàçèê-

ëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà, ðàñïîëîæåííàÿ â òî÷êå

è îáëàäàþùàÿ ñêîðî-

ñòüþ

vkk=

−

∂∂E()

. Â ìîäåëè ñ ïàðàáîëè÷åñêèì çàêîíîì äèñïåðñèè

ñêîðîñòü ðàâíà

h k m

∗

. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòèöà çà âðåìÿ

ñäâèãàåòñÿ

220 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

èç òî÷êè

â òî÷êó

rv+ t

. Ñðåäíèé ñäâèã ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ íà

îïðåäåëåííîì óðîâíå, çà âðåìÿ æèçíè íà äàííîì óðîâíå, ðàâíî

Äëÿ ðàñ÷åòà ïîëíîãî ñäâèãà çà âñå âðåìÿ îñòûâàíèÿ ìîæíî âûäåëèòü

äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ. Â ïåðâîì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èñïó-

ñêàíèå ôîíîíà íå èçìåíÿåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Ïðè ýòîì ïîëíûé

ñäâèã ÷àñòèöû îò ìåñòà ñâîåãî ðîæäåíèÿ çà âðåìÿ îñòûâàíèÿ

∆t

ìî-

æåò áûòü îöåíåíî êàê

∆

Ω

rv vEE

LO i

=≈

∑

∫

ττ

()() .

(18.13)

Â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè êàæäîì ðàññåÿ-

íèè èíôîðìàöèÿ î íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïîëíîñòüþ òåðÿåòñÿ. Êàê è

äëÿ ñëó÷àÿ áðàóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, êâàäðàò ïîëíîãî ñäâèãà ÷àñòèöû

îïðåäåëÿåòñÿ ñóììèðîâàíèåì êâàäðàòîâ ýëåìåíòàðíûõ ñäâèãîâ:

( ) () () .∆

Ω

rv vEE

LO i

222

=≈

∑

∫

ττ

(18.14)

Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïåðâîì ñëó÷àå èìååò õàðàêòåð çàìåäëÿþùåãîñÿ

ïåðåìåùåíèÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè è íîñèò äèôôóçèîííûé õàðàêòåð

âî âòîðîì ñëó÷àå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ îïòè÷å-

ñêèìè ôîíîíàìè ÷àñòèöà «ïîìíèò» íàïðàâëåíèå ñâîåãî ïåðåìåùåíèÿ

â òå÷åíèè ïðèìåðíî

ln( )4E

hΩ

ðàññåÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, ñäâèã

÷àñòèöû èìååò ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå ìåæäó çíà÷åíèÿìè, âû÷èñ-

ëÿåìûìè ïî ôîðìóëàì (18.13) è (18.14). ×àñòè÷íàÿ ïàìÿòü î íàïðàâ-

ëåíèè äâèæåíèÿ ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì

â çíàìåíàòåëå óðàâíåíèÿ

(18.5), ÷òî äàåò ïðåäïî÷òåíèå ðàññåÿíèþ ñ ìàëûì èçìåíåíèåì èìïó-

ëüñà ÷àñòèöû (è òåì ñàìûì ìàëûì èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ äâèæå-

íèÿ). Äëÿ äðóãèõ ìåõàíèçìîâ ðàññåÿíèÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò ñóùåñòâåí-

íî îòëè÷àòüñÿ.

18.3 Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ïðèáëèæåíèè äðåéôà ïî

ýíåðãèè

Ïðè ïðåäûäóùåì ðàññìîòðåíèè îñòûâàíèÿ áûñòðîé ÷àñòèöû

ó÷èòûâàëîñü òîëüêî âçàèìîäåéñòâèå ñ ïðîäîëüíûìè îïòè÷åñêèìè

ôîíîíàìè, ñâÿçàííûìè ñ ïîëÿðèçàöèåé è ïðîäîëüíûìè ýëåêòðè÷å-

ñêèìè ïîëÿìè. Äðóãèå òèïû âçàèìîäåéñòâèÿ (íàïðèìåð, äåôîðìàöè-

îííîå âçàèìîäåéñòâèå ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè) íå ñâÿçàíî íàïðÿ-

ìóþ ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ïîëÿìè è òåì ñàìûì íå âíîñÿò âêëàä â èí-

òåãðàë ñòîëêíîâåíèé â ôîðìå (3.47). Îäíàêî îêîí÷àòåëüíîå âûðàæå-

íèå äëÿ èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè ñîâïàäà-

åò ñ (18.3), åñëè çàìåíèòü ìíîæèòåëü

opt

(çàäàííûé óðàâíåíèåì

§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 221