Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков
Подождите немного. Документ загружается.
(14.11)) íà
F
s
ac
(14.2) è ïðîâåñòè ñóììèðîâàíèå ïî âñåì âåòâÿì ôîíî-
íîâ. Ïîñêîëüêó ýíåðãèè àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ íà÷èíàþòñÿ ïðÿìî îò
íóëÿ, íåò îáëàñòè òåìïåðàòóð, â êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðîöåññà-
ìè ïîãëîùåíèÿ ôîíîíîâ.  òî âðåìÿ êàê îïòè÷åñêèå ôîíîíû èãðàþò
îñíîâíóþ ðîëü íà ïåðâûõ ñòàäèÿõ òåðìàëèçàöèè ÷àñòèöû, âçàèìî-
äåéñòâèå ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè çàâåðøàþò åå òåðìàëèçàöèþ. Â
ñîñòîÿíèè òåðìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ÷èñëî àêòîâ èñïóñêàíèÿ ôîíîíîâ
ðàâíî ÷èñëó àêòîâ èõ ïîãëîùåíèÿ. Òåì ñàìûì ïîëíîå âðåìÿ æèçíè
ýëåêòðîíà èëè äûðêè â ñâîáîäíîì òåðìàëèçîâàííîì ñîñòîÿíèè íà äíå
(ïîòîëêå) ñîîòâåòñòâóþùåé çîíû íå îïðåäåëÿåòñÿ ïðîöåññàìè âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ñ ôîíîíàìè. Ýòî âðåìÿ æèçíè îïðåäåëÿåòñÿ äðóãèìè
ïðîöåññàìè (â îñíîâíîì, çàõâàòîì íà ëîâóøêè, àâòîëîêàëèçàöèåé,
ðåêîìáèíàöèåé è ò.ä.). Êèíåòèêà íåêîòîðûõ èç ýòèõ ïðîöåññîâ áóäåò
îáñóæäåíà íèæå.
Âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ ñóììèðóþòñÿ â èíòåãðàëå
ñòîëêíîâåíèé. Òåì ñàìûì ïîëíîå âðåìÿ æèçíè ìîæåò áûòü îïðåäåëå-
íî êàê
ττ
tot
-1 -1
=
∑
s
s
è êîðî÷å ìèíèìàëüíîãî ïàðöèàëüíîãî âðåìåíè æèçíè.
Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â îáùåì âèäå,
åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ýíåðãèè, è ÷èñëà çà-
ïîëíåíèÿ ñîñòîÿíèé ñ îäèíàêîâîé ýíåðãèåé, íî îòëè÷àþùèìèñÿ äðó-
ãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ïðîïîðöèîíàëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì ïàð-
öèàëüíûì ïëîòíîñòÿì ñîñòîÿíèé. Â òàêîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ââåñ-
òè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
fE()
(18.6), è êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå
ïðèíèìàåò âèä
()
∂
∂
π
ω
εω
ρ
fE
t
d
dk
nm
mn
()
Im
~
(,)
=−
∞
−
<
∫∫
∑
1
2
1
2
0
3
2
2
k
k
k
×
×−+ −
−
−
−
+
δω δ
ω
ω
ωω
()()
()
()
()()
h
h
h
EE EE
nfE
gE
nfE
nm n
1
gE()
+
()
+−+−×
×
++
+
−
>
∑
ρδω δ
ω
ω
ω
nm m n n
mn
EEEE
nfE
gE
2
1
k
()()
()( )
(
h
h
h )
()
()
,−
nfE
gE
ω
ãäå
nkT
Bω
ω=− −
−
[ exp( )]1
1
h
. Ýíåðãèè
E
n
ïðåäïîëàãàþòñÿ ðàñòóùè-
ìè ñ ðîñòîì èíäåêñà
n
. Åñëè ââåñòè ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàòðè÷íîãî
222 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
ýëåìåíòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ ýíåðãèÿìè
E
è
′E
ñ ïî-
ìîùüþ îïðåäåëåíèÿ
()
MEEgEgE
k
EE EE
nm m n
mn
k
k
( , )( )() ( )( ),′′≡ ′− −
−
∑
1
2
2
ρδ δ
(18.15)
êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìîæíî óïðîñòèòü:
{
∂
∂
π
ω
εω
ω
fE
t
ddk MEE
()
Im
~
(,)
(, )=−
−×
×
∞
∫∫
1
2
1
2
0
3
k
k
h
gE gE n
fE
gE
e
fE
gE
kT
()( )( )
()
()
()
()
−+
−
−
−
−
h
h
h
h
ω
ω
ω
ω
ω
1
−
−+ + ×
×−
−−
ME EgE gE
ne
fE
gE
e
f
kT kT
k
( , )( )()
()
()
hh
hh
ωω
ω
ωω
()
()
.
E
gE
+
+
h
h
ω
ω
(18.16)
Åñëè ó÷èòûâàòü âçàèìîäåéñòâèå òîëüêî ñ ôîíîíàìè, èíòåãðèðîâàíèå
ïî
ω
ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî ìàêñèìàëüíîé ÷àñòîòîé îïòè÷åñêîãî ôî-
íîíà
Ω
M
. Åñëè
fE()
ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèåé, è
hΩ
M
E<<
, ìîæíî ðàçëîæèòü
fE()
â ðÿä Òåéëîðà, è îêîí÷àòåëüíî ïî-
ëó÷èì óðàâíåíèå äèôôóçèè ïî ýíåðãèè
∂
∂
∂
∂
∂
∂
fE
tE
DEgEe
E
fE
gE
e
E
Ek T Ek T
()
()()
()
()
=
−
,
(18.17)
ãäå êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ïî ýíåðãèè ðàâåí
DE d dk
nM
E
() Im
~
(,)
()
=−
×
×+
∫∫
h
2
2
0
3
2
2
1
1
π
ω
εω
ω
ω
Ω
k
k
[
]
(, )( )
(, )( ).
EE gE
nMEE gE
−−+
+++
hh
hh
ωω
ωω
ω
k
(18.18)
Ýòî âûðàæåíèå äëÿ äèôôóçèè ïî ýíåðãèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî
è äëÿ ðàñ÷åòà ñêîðîñòè ðåëàêñàöèè â ïüåçî- è ñåãíåòîýëåêòðè÷åñêèõ
êðèñòàëëàõ, â êîòîðûõ àêóñòè÷åñêèå ôîíîíû èìåþò çíà÷èòåëüíóþ
ïîëÿðèçàöèîííóþ êîìïîíåíòó.
Îöåíèì ñðåäíèé êâàäðàò (18.15) ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà äëÿ ïàðà-
áîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè ýëåêòðîíà ñ ìàññîé
m
∗
. Ïîñêîëüêó çà-
êîí äèñïåðñèè çàâèñèò òîëüêî îò àáñîëþòíîãî çíà÷åíèÿ
k
, ìàòðè÷íûé
ýëåìåíò òàêæå ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè
§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 223
ñîîòíîøåíèÿ (18.4) â (18.15) è ïåðåõîäà îò ñóììèðîâàíèÿ ïî
n
è
m
ê
èíòåãðèðîâàíèþ ïî
k
n
è
k
m
, ìîæíî ïîëó÷èòü
MEEgEgE
eV
k
dk dk
mnnm
k
kk k( , )( )()
()
()′′= −+×
×
∫∫
2
32
33
2π
δ
δδ′−
−
=
∗∗
E
m
E
m
mn
hh
22 22
22
kk
=′−
++
−
∞
∗
∫∫
eV
k
dx k dk E
kk kkx
m
nn
nn
2
22
1
1
2
0
22 2
2
2
2()
()
π
δ
h
−
=
∗
δ E
m
n
h
22
2
k
=−
′− −
∗
−
∗
∗
∫
eVm
k
dx x
EE k m
kmE
2
2
234
1
1
22
2
2
22
()π
δ
h
h
h
=
()[
=′−+−−
−′−−
∗
∗∗
∗
eVm
k
EE kEm k m
EE kEm
2
2
234
22
2
22
2
()π
θ
θ
h
hh
h
()]
−
∗
h
22
2km .
(18.19)
Çäåñü
x
— êîñèíóñ óãëà ìåæäó
k
è
k
n
,
θ()x
— åäèíè÷íûé ñêà÷îê
(ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà).
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì (18.1) äëÿ
Im(
~
)−
−
ε
1
, ñïðàâåä-
ëèâûì äëÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êî-
ýôôèöèåíòà äèôôóçèè
gED E
Ve m
n
EE
E
LO
E
LO
LO
() () ( )ln=+
+−
−
∗
∗
23
22
4
21
2
Ω
Ω
Ω
πεh
h
E
LO
− hΩ
.
Ïîñëå äåëåíèÿ ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ íà ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé
gE()
(4.10) äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè, ìîæíî ïîëó÷èòü
DE n E
LO
E
LO LO
() ( ) (),=+h
22 0
21Ω
Ω
τ
(18.20)
ãäå
τ
LO
E
0
()
îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (18.9). Äèôóçèîííîå óðàâíå-
íèå (18.17) îáúÿñíÿåò äèôôóçèîííûé õàðàêòåð îñòûâàíèÿ ýëåêòðîí-
íûõ ñîñòîÿíèé, îïèñàííîãî â ðàçäåëå 18.2.
Âçàèìîäåéñòâèå ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè ìîæåò áûòü èññëåäî-
âàíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îïòè÷å-
ñêèìè ôîíîíàìè îòëè÷àåòñÿ îò ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äå-
ôîðìàöèîííûìè àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè çàìåíîé ìíîæèòåëÿ
F
s
opt
(14.11) íà
F
s
ac
(14.2). Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ýêâèâà-
ëåíòíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ïîòåðü ýíåðãèè
224 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
[]
Im
~
(,)
()()−
=−−+
1
8
23
2
εω
σ
δω δω
k
s
LA
LA LA
kv
ceM
ck ck
(18.21)
íåñìîòðÿ íà îòñóòñòâèå ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ïîëÿðèçàöèîííîãî âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ñ àêóñòè÷åñêèìè
LA
-ôîíîíàìè.  ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ
ñ ôîíîíàìè â êðèñòàëëàõ áåç öåíòðà ñèììåòðèè ìåíÿåòñÿ ïîêàçàòåëü
ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè îò
k
â (18.21) ñ
k
3
íà
k
, ïîñêîëüêó àêóñòè÷å-
ñêèå ôîíîíû â òàêèõ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ ñâÿçàíû ñ ïî-
ëÿðèçàöèåé êðèñòàëëà. Ôóíêöèÿ ïîòåðü ýíåðãèè â ýòîì ñëó÷àå ïåðå-
ñòàåò áûòü èçîòðîïíîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äåôîðìàöèîííîå âçàèìî-
äåéñòâèå ñ ïðîäîëüíûìè îïòè÷åñêèìè ôîíîíàìè (êîòîðîå íóæíî
ó÷èòûâàòü, íàïðèìåð, â êðèñòàëëàõ ñî ñòðóêòóðîé àëìàçà, ñîäåðæà-
ùèõ äâà îäèíàêîâûõ àòîìà â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå) ìîæåò áûòü îïè-
ñàíî âûðàæåíèåì (18.1) ñ äîïîëíèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì
k
2
â ÷èñ-
ëèòåëå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äëèííîâîëíîâûõ ôîíîíîâ ïîëÿðèçàöè-
îííîå âçàèìîäåéñòâèå íàìíîãî ñèëüíåå äåôîðìàöèîííîãî (åñëè ñó-
ùåñòâîâàíèå ïîëÿðèçàöèîííûõ ôîíîíîâ äîïóñêàåòñÿ ñòðóêòóðîé
êðèñòàëëà). Ðàçëè÷èå â çàâèñèìîñòè ôóíêöèè ïîòåðü ýíåðãèè îò
k
äëÿ ñëó÷àåâ îïòè÷åñêèõ è àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ îäíîãî è òîãî æå
òèïà (ïîëÿðèçàöèîííîãî èëè äåôîðìàöèîííîãî) ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì
÷àñòîòû
Ω
â ÷èñëèòåëÿõ (18.1) è (18.21). Äëÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ
Ω
LA LA
kc=
, è òåì ñàìûì äëÿ íèõ ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ìíî-
æèòåëü
k
.
Äëÿ êîðîòêîâîëíîâûõ ôîíîíîâ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿ
ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâîé äëÿ îáîèõ òèïîâ âçàèìîäåéñòâèÿ. Áîëå
òîãî, íåò êîððåêòíîé ïðîöåäóðû ðàçäåëåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî âçàè-
ìîäåéñòâèÿ îò äåôîðìàöèîííîãî. Ýòî ñâÿçàíî ñ ïðèðîäîé äåôîðìà-
öèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ èçìåíÿåò ýëåêò-
ðè÷åñêèå ïîëÿ è ïîòåíöèàëû â ìàñøòàáàõ ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè, òî
åñòü ñîçäàåò ìèêðîñêîïè÷åñêèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ.  äëèííîâîëíî-
âîì ïðåäåëå ñðåäíåå çíà÷åíèå ýòèõ ïîëåé ïî âñåé ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åé-
êå îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ïîëÿðèçàöèîííîå æå âçàèìîäåéñòâèå ñîçäàåò
ïðè òàêîì óñðåäíåíèè ìàêðîñêîïè÷åñêèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ. Äëÿ
êîðîòêîâîëíîâûõ ôîíîíîâ ýòà ðàçíèöà ïðîïàäàåò, ïîñêîëüêó âñå
ïîëÿ ñèëüíî ìåíÿþòñÿ îò îäíîé ÿ÷åéêè ê äðóãîé, è ïðè óñðåäíåíèè íå
èñ÷åçàþò. Áîëåå ïîäðîáíî ýòî îáñóæäàåòñÿ, íàïðèìåð, â [Ãàíòìàõåð,
Ëåâèíñîí, 1984].
Ïîäñòàíîâêà (18.21) â (18.18) äàåò âåëè÷èíó êîýôôèöèåíòà
äèôôóçèè ïî ýíåðãèè èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ
LA
-ôîíîíàìè:
gED E
Vvm
Mc
kdk
LA
E
s
LA
() ()=×
∗
∞
∫
σ
6π
2
32
4
0
1
2
h
§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 225
×+−+−
−− − −
∗∗ ∗∗
()nc
E
m
k
m
c
E
m
k
m
ck
LA LA
1
2
2
2
2
θθ
hh
+
++−
−−−
∗∗ ∗∗
nc
E
m
k
m
c
E
m
k
m
ck
LA LA
θθ
2
2
2
2
hh
.
Àíàëèçèðóÿ, â êàêèõ îáëàñòÿõ êâàäðàòíûå ñêîáêè îòëè÷íû îò íóëÿ,
ìîæíî çàïèñàòü
gED E
Vvm c
M
kdk
e
LA
E
sLA
ckkT
m
() ()=
−
∗
−
σ
6π
2
32
4
0
2
1
1
2
h
h
()
2Em c−
∫
+
h
()
+
−
+
∫
kdk
e
ckkT
mEmc
4
0
22
1
h
h
.
(18.22)
Ýòî âûðàæåíèå çàïèñàíî äëÿ
Emc
LA
>
∗ 2
2
. Òîëüêî äëÿ òàêèõ ýíåðãèé
ðàçðåøåííûìè ÿâëÿþòñÿ êàê ïðîöåññû ïîãëîùåíèÿ, òàê è èñïóñêà-
íèÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü çâóêà ìíîãî ìåíüøå
òèïè÷íûõ ñêîðîñòåé ýëåêòðîíîâ, ýòî îãðàíè÷åíèå èãðàåò íåçíà÷èòå-
ëüíóþ ðîëü. Ïåðâûé èíòåãðàë â (18.22) îïèñûâàåò ïðîöåññû èñïó-
ñêàíèÿ ôîíîíîâ, à âòîðîé — èõ ïîãëîùåíèÿ. Óñëîâèÿ ñîñóùåñòâîâà-
íèÿ îáîèõ ïðîöåññîâ ïîðäðîáíî áûëè îïèñàíû â §14.
Åñëè ýíåðãèÿ
E
îòíîñèòåëüíî ìàëà (
EkT mc
BLA
<
∗22
8
), êàê ïðî-
öåññ ïîãëîùåíèÿ, òàê è èñïóñêàíèÿ èìåþò ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêî-
âûå âåðîÿòíîñòè, è ìîæíî ðàçëîæèòü ýêñïîíåíòû â çíàìåíàòåëÿõ:
gED E
Vvm k TE
M
LA
E
sB
() () .=
∗
σ
π
2
4
2
37
h
Îòñþäà êîýôôèöèåíò äèôôóçèè äëÿ îòíîñèòåëüíî ìàëûõ ýíåðãèé
ðàâåí
DE
vm k TE
M
LA
E
sB
() .=
∗
2
32 2
52
32
4
σ
π h
(18.23)
Äëÿ áîëüøèõ ýíåðãèé (
EkT mc
BLA
<
∗22
8
) çíàìåíàòåëü âòîðîãî ÷ëå-
íà â óðàâíåíèè (18.22) îêàçûâàåòñÿ áîëüøèì â áîëüøåé ÷àñòè îáëàñ-
òè èíòåãðèðîâàíèÿ, â òî âðåìÿ êàê çíàìåíàòåëü ïåðâîãî ÷ëåíà â ýòîé
æå îáëàñòè ðàâåí åäèíèöå. Òåì ñàìûì â ýòîé îáëàñòè ýíåðãèé
226 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
îñíîâíûìè îêàçûâàþòñÿ ïðîöåññû èñïóñêàíèÿ îòíîñèòåëüíî êîðîò-
êîâîëíîâûõ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ:
DE
vm c E
M
LA
E
sLA
() .=
∗
32
5
2
3
2
3
σ
π h
(18.24)
è êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò òåìïåðàòóðû.
Èç ñðàâíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (18.16) ñ âûðàæåíèåì äëÿ
D
E
(18.18) ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáðàòíîå âðåìÿ æèçíè
τ
−1
()E
îïèñûâàåòñÿ
âûðàæåíèåì, èìåþùèì òó æå ñòðóêòóðó, ÷òî è (18.18), íî áåç ìíîæè-
òåëÿ
()hω
2
. Òåì ñàìûì äëÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ ñâÿçü ìåæäó êîýô-
ôèöèåíòîì äèôôóçèè ïî ýíåðãèè è âðåìåíåì æèçíè îêàçûâàåòñÿ òðè-
âèàëüíîé:
DE E
LO
E
LO LO
() (),=
−
h
22 1
Ωτ
â òî âðåìÿ êàê äëÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ ýòà ñâÿçü íå ñòîëü î÷åâèä-
íà. Âû÷èñëåíèå
τ
LA
E
−1
()
äàåò
τ
σ
π
LA
sB
LA
E
vm k TE
Mc
−
∗
=
1
2
32
12
12 4 2
2
()
h
äëÿ íèçêèõ ýíåðãèé (
EkT mc
BLA
<
∗22
8
)è
τ
σ
π
LA
s
LA
E
vm E
Mc
−
∗
=
1
2
2
3
32
3
()
h
äëÿ âûñîêèõ ýíåðãèé (
EkT mc
BLA
>
∗22
8
).
Äëÿ íèçêèõ òåìïåðàòóð è äëÿ ýíåðãèé
E
, áîëüøèõ
kT
B
íàèáîëåå
áûñòðî èçìåíÿþùèìñÿ ìíîæèòåëåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ óðàâíåíèÿ
(18.17) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíòà.  ýòîì ñëó÷àå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå
ìîæåò áûòü óïðîùåíî:
[]
∂
∂
∂
∂
fE
tE
SEfE
E
()
()(),=−
(18.25)
ãäå
SE DEkT
EE
B
() ()=
— ñêîðîñòü ðåëàêñàöèè ïî ýíåðãèè. Òåì ñà-
ìûì äëÿ íèçêèõ òåìïåðàòóð èëè îòíîñèòåëüíî âûñîêèõ çíà÷åíèé
ýíåðãèè ðåëàêñàöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ äðåéôîì, èìåþùèì äèôôóçèîííûé
õàðàêòåð, à ïðèíèìàåò õàðàêòåð ìîíîòîííîé ïîòåðè ýíåðãèè. Óðàâ-
íåíèå (18.25) ìîæíî ëåãêî ðåøèòü äëÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
fE E E
t
i
() ( )
=
=−
0
δ
, èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíå-
íèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïîëíîå âðåìÿ òåðìàëèçàöèè áóäåò
ðàâíî
§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 227
∆t
dE
SE
E
E
E
=
∫
()
.
0
Âçàèìîäåéñòâèå ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè âàæíî íå òîëüêî äëÿ
ýíåðãèé
E
, ìåíüøèõ ýíåðãèè îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ. Áûëî ïîêàçàíî
(Sparks et al, 1981), ÷òî ñêîðîñòü ýíåðãåòè-
÷åñêîé ðåëàêñàöèè ãîðÿ÷èõ ýëåêòðîíîâ ñ
ýíåðãèÿìè ïîðÿäêà
(, )05 1÷ E
g
íàä äíîì
çîíû ïðîâîäèìîñòè â ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ
êðèñòàëëàõ îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì âçàè-
ìîäåéñòâèåì ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè, à
íå ñ
LO
-ôîíîíàìè, ïîñêîëüêó âçàèìîäåé-
ñòâèå ýëåêòðîíà ñ ôîíîíàìè ïåðâîãî òèïà
âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì
E
, â òî âðåìÿ êàê âçàè-
ìîäåéñòâèå ñ îïòè÷åñêèìè ôîíîíàìè îñëà-
áåâàåò (ðèñ. 48). Ýòî óòâåðæäåíèå íàõî-
äèòñÿ â ñîãëàñèè ñ ýíåðãåòè÷åñêîé çàâèñè-
ìîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè (18.20),
(18.23) è (18.24), èç êîòîðîé ïîëó÷àåòñÿ
çàâèñèìîñòü
S
îò ýíåðãèè.
18.4 Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèôôóçèÿ çîííûõ âîçáóæäåíèé
Ýëåêòðîíû (äûðêè), íàõîäÿùèåñÿ â òåðìàëèçîâàííîì ñîñòîÿ-
íèè, ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Åñëè ââåñòè ôóíêöèþ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ
f(, )rk
, êîòîðàÿ çàâèñèò íå òîëüêî îò âîëíîâîãî âåêòîðà
k
âîçáóæäåíèÿ, íî òàêæå è îò êîîðäèíàòû
r
(êàê óæå âûøå áûëî ñêàçà-
íî, ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü â êâàçèêëàñè÷åñêîì ïðåäåëå), ïðîèçâîäíàÿ
ïî âðåìåíè â êèíåòè÷åñêîì óðàâíåíèè äîëæíà áûòü çàìåíåíà íà
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
t
f
t
f
→+v
r
.
 îáùåì ñëó÷àå ñêîðîñòü âîçáóæäåíèÿ
v
îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà äèñ-
ïåðñèè
E()k
äëÿ âîçáóæäåíèÿ:
vkk=
−
h
1
∂∂E()
.
Åñëè ðàññåÿíèå ïðèâîäèò ê áûñòðîé ðåëàêñàöèè ïî èìïóëüñó è
îòíîñèòåëüíî áîëåå ìåäëåííîé ðåëàêñàöèåé ïî ýíåðãèè, óäîáíî ââåñ-
òè äðóãóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:
fE(, )r
âìåñòî
f(, )rk
. Â ýòîì ñëó-
÷àå íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè âîçáóæäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåîïðåäåëåííûì
è ìîæíî âûâåñòè óðàâíåíèå äèôôóçèè, îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíå-
íèå ÷àñòèö:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
t
f
t
DE
f
R
→− () .
2
2
r
228 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
LA+LO
LO
LA
0
1
40 80
Eh/Ω
LO
SE
ph
E
()
Ðèñ. 48. Ñõåìàòè÷åñêàÿ
çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ðå-
ëàêñàöèè ïî ýíåðãèè ïðè
âçàèìîëåéñòâèè ñ ïðîäî-
ëüíûìè îïòè÷åñêèìè è
àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíà-
Çäåñü ââåäåí çàâèñÿùèé îò ýíåðãèè êîýôôèöèåíò äèôôóçèè â îáû÷-
íîì ïðîñòðàíñòâå
DE
R
()
.
Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè äëÿ òåðìàëèçîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìî-
æåò áûòü ïîëó÷åí èç ôîðìóëû
DDEvE E lE E
RR
ph ph
ph
ph
ph
== =() () () () (),
22
33ττ
ãäå
vE()
— ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé
E
,
lvE E
ph ph
= () ()τ
— ñðåä-
íÿÿ äëèíà ïðîáåãà ïî îòíîøåíèþ ê ðàññåÿíèþ íà ôîíîíàõ. Äëÿ ïàðà-
áîëè÷åñêîãî çàêîíà äèñïåðñèè
vE E m() ( )=
∗
2
12
. Ïîñêîëüêó äèôôó-
çèÿ èãðàåò îñíîâíóþ ðîëü â òåðìàëèçîâàííîì ñîñòîÿíèè, âçàèìîäåé-
ñòâèåì ñ îïòè÷åñêèìè ôîíîíàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü (åñëè
kT
BLO
<< hΩ
). Â ñâÿçè ñ ýòèì ïðèâåäåì òîëüêî êîýôôèöèåíò ïðî-
ñòðàíñòâåííîé äèôôóçèè äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíî-
íàìè â òåðìàëèçîâàííîì ñîñòîÿíèè:
DE
Mc
vm k T
LA
R
LA
sB
()
()
()
.=
∗
2
3
12 4 2
2
52
12
π
σ
h
.
Ýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü îöåíåíî ñ ïîìîùüþ óïðîùåííîé ôîðìó-
ëû
Dv l
R
ph
ph
ph
ph
≈≈
22
33ττ,
(18.26)
ãäå
vkTm
B
=
∗
()3
12
— òåðìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ ìàññîé
m
∗
,
τ
ph
— ñðåäíåå âðåìÿ ðàññåÿíèÿ äëÿ ÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé
kT
B
,à
l
ph
—
ñðåäíÿÿ äëèíà ïðîáåãà (
lv
ph ph
=τ
).
Âðåìÿ æèçíè
τ
ph
â ôîðìóëå (18.26) â îáùåì ñëó÷àå îòëè÷àåòñÿ
îò âðåìåíè æèçíè, ââåäåííîãî äëÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ðåëàêñàöèè, ïî-
ñêîëüêó îíî äîëæíî îïèñûâàòü ðåëàêñàöèþ èìïóëüñà. Åñëè â ðåçóëü-
òàòå êàæäîãî àêòà ðàññåÿíèÿ íàïðàâëåíèå èìïóëüñà äåëàåòñÿ ïîëíî-
ñòüþ ñëó÷àéíûì, òî ýòè äâà âðåìåíè ñîâïàäàþò.  ïðîòèâîïîëîæíîì
ñëó÷àå (íàïðèìåð, ïðè ðàññåÿíèè íà
LO
-ôîíîíàõ â èîííûõ êðèñòàë-
ëàõ) èçìåíåíèå èìïóëüñà âîçáóæäåíèé äëÿ áîëüøåé ÷àñòè àêòîâ ðàñ-
ñåÿíèÿ îòíîñèòåëüíî ìàëî. Òåì ñàìûì óñðåäíåíèå ïî èìïóëüñàì ïðî-
èñõîäèò ïîñëå èñòå÷åíèÿ òàê íàçûâàåìîãî òðàíñïîðòíîãî âðåìåíè
æèçíè
τ
ph
tr
, êîòîðîå áîëüøå
τ
ph
. Äëÿ ïîëÿðèçàöèîííûõ
LO
-ôîíîíîâ
òàêîå âðåìÿ æèçíè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (18.9) áåç ëîãàðèôìè÷å-
ñêîãî ìíîæèòåëÿ.
Åñëè ê êðèñòàëëó ïðèëîæåíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
E()r
, îíî ñîçäà-
åò äîïîëíèòåëüíîå íàïðàâëåííîå ïåðåìåùåíèå çàðÿæåííûõ âîçáóæ-
äåíèé. Òàêîå ïåðåìåùåíèå èìååò äðåéôîâûé, à íå ÷èñòî äèôôóçèîí-
íûé õàðàêòåð, òî åñòü öåíòð òÿæåñòè âîçáóæäåíèé ñìåùàåòñÿ â
§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 229
íàïðàâëåíèè ïðèëîæåííîãî ïîëÿ äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷àñòèö è â ïðî-
òèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè äëÿ îòðèöàòåëüíûõ. Ýòî ïîâåäåíèå ìîæ-
íî îïèñàòü ââåäåíèåì â êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äðåéôîâîãî ÷ëåíà:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
µ
f
t
f
t
DE
f
zf
R
→− −
rr
rr( ) () () .E
(18.27)
Çäåñü
ze
— çàðÿä ÷àñòèöû, à
µ
— êîýôôèöèåíò ïîäâèæíîñòè. Ýòîò
êîýôôèöèåíò äëÿ òåðìàëèçîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàí ñ êîýôôèöè-
åíòîì ïðîñòðàíñòâåííîé äèôôóçèè ñîîòíîøåíèåì Ýéíøòåéíà (ñì.,
íàïðèìåð, Áîí÷-Áðóåâè÷, Êàëàøíèêîâ, 1977)
µ=eD k T
R
B
.
Óðàâíåíèå (18.27) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî è äëÿ íåîäíîðîäíûõ ñè-
ñòåì, â êîòîðûõ êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäè-
íàò.
Ïîíÿòèåì äèôôóçèè ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé ìîæíî ïîëüçî-
âàòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
l
ph
ÿâëÿ-
åòñÿ ìèíèìàëüíûì ïàðàìåòðîì ðàçìåðíîñòè äëèíû, õàðàêòåðèçóþ-
ùèì ñèñòåìó. Äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ êðèñòàëëîâ
l
ph
ìåíÿåòñÿ îò äåñÿ-
òûõ äîëåé íàíîìåòðà äî äåñÿòêîâ íàíîìåòðîâ. Ïîýòîìó äèôôóçèîí-
íîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà êðèñòàëëîâ. Â
ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå, êîãäà ðàññåÿíèå èìååò íèçêóþ âåðîÿòíîñòü
è ðåàëèçóåòñÿ ñëó÷àé ãàçîâîé êèíåòèêè âîçáóæäåíèé, ñðåäíÿÿ äëèíà
ïðîáåãà îêàçûâàåòñÿ áîëüøîé, è òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèö ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé ïðÿìûå ëèíèè. Âîëíîâûå ôóíêöèè â ýòîì ñëó÷àå ÿâ-
ëÿþòñÿ õîðîøèìè áëîõîâñêèìè ôóíêöèÿìè, è âîëíîâîé âåêòîð îñòà-
åòñÿ õîðîøèì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Òàêîé ñëó÷àé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ
â î÷åíü ÷èñòûõ êðèñòàëëàõ ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ.
18.5 Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèôôóçèÿ ëîêàëèçîâàííûõ
âîçáóæäåíèé
Âûðàæåíèå
D
E
ph
(18.26) äëÿ êîýôôèöèåíòà ïðîñòðàíñòâåííîé
äèôôóçèè ÷åðåç òåðìè÷åñêóþ ñêîðîñòü
v
ïðèìåíèìî òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, êîãäà äëèíà ïðîáåãà áîëüøå ïîñòîÿííîé ðåøåòêè.  ïðîòèâ-
íîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó ñî ñðåäíåé äëèíîé
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
l
ph
.
Îñíîâíûìè êàíàëàìè äàëüíåéøåé ðåëàêñàöèè âîçáóæäåíèé, êî-
òîðûå îïðåäåëÿþò èõ ïîëíîå âðåìÿ æèçíè â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè,
ÿâëÿþòñÿ ñâÿçûâàíèå ýëåêòðîíà è äûðêè â ýêñèòîí, íåïîñðåäñòâåí-
íàÿ ýëåêòðîííî-äûðî÷íàÿ ðåêîìáèíàöèÿ ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíà, è çà-
õâàò ýëåêòðîíà èëè äûðêè äåôåêòîì ëþáîãî òèïà (ëîâóøêîé, öåíò-
ðîì ðåêîìáèíàöèè è ò.ä.) èëè èõ àâòîëîêàëèçàöèÿ. Ïåðâûå äâà êàíà-
ëà ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ íåçàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé, ìèãðàöèÿ
230 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû
êîòîðûõ îáñóæäàåòñÿ íèæå.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ñîçäàþòñÿ çàðÿ-
æåííûå ëîêàëèçîâàííûå âîçáóæäåíèÿ. Çàõâà÷åííûå äåôåêòàìè âîç-
áóæäåíèÿ ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ òîëüêî â äåôåêòíûõ óçëàõ ðåøåòêè, â
òî âðåìÿ êàê àâòîëîêàëèçîâàííûå âîçáóæäåíèÿ ìîãóò íàõîäèòüñÿ â
ïðîèçâîëüíîé ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå êðèñòàëëà. Ðàäèóñ àâòîëîêàëè-
çîâàííûõ äûðîê â èîííûõ êðèñòàëëàõ äîñòàòî÷íî ìàë, è òàêèå âîç-
áóæäåíèÿ äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå.
Êàê óæå îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 14.4, äâóõãàëîèäíûå àâòîëîêà-
ëèçîâàííûå äûðêè (
V
K
-öåíòðû) îðèåíòèðîâàíû â ðåøåòêå NaCl â
íàïðàâëåíèè n. Òåì ñàìûì â ïðîöåññå ìèãðàöèè äûðîê ìîãóò èçìåíÿ-
òüñÿ êàê èõ ïîëîæåíèå, òàê è îðèåíòàöèÿ. Óãëû ìåæäó ýêâèâàëåíò-
íûìè íàïðàâëåíèÿìè îðèåíòàöèè
V
K
-öåíòðîâ ðàâíû 60° è 90° (ñì.
ðèñ. *). Íàèáîëåå âåðîÿòíûìè ÿâëÿþòñÿ ñêà÷êè
V
K
-öåíòðîâ èç îäíî-
ãî ïîëîæåíèÿ è îðèåíòàöèè â äðóãóþ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îäèí èç
èîíîâ, îáðàçóþùèõ
V
K
-öåíòð, îñòàåòñÿ íà ìåñòå. Ïîäîáíûå ïåðåìå-
ùåíèÿ ñäâèãàþò öåíòð ìàññû
V
K
-öåíòðà íà ðàññòîÿíèå
a 2
32
, ãäå
a
— ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè, è ïðè ýòîì îñü ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà 60°. Òåîðèÿ
äèôôóçèè ñ ôèêñèðîâàííîé äëèíîé ñêà÷êà
∆
äàåò âûðàæåíèå äëÿ êî-
ýôôèöèåíòà äèôôóçèè
D =∆
2
6τ
r
, ãäå
τ
r
— ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó
ñêà÷êàìè. Ñêà÷êè àêòèâèðóþòñÿ â îñíîâíîì òåðìè÷åñêèì ñïîñîáîì:
τω
r
r
r
-
B
EkT
1
0
=−exp( ),
ãäå ââåäåíà ýíåðãèÿ àêòèâàöèè ðåîðèåíòàöèè
E
r
è ÷àñòîòíûé ôàêòîð
ω
0
r
. Òåì ñàìûì êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òåì-
ïåðàòóðû
D
a
EkT
B
=−
2
0
ω
r
r
48
exp( ).
Òàêèå ðåîðèåíòàöèîííûå ñêà÷êè ìîãóò äàâàòü òîëüêî îòíîñèòåëüíî
íèçêèå êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè àâòîëîêàëèçîâàííûõ äûðîê. Ñ ðîñ-
òîì òåìïåðàòóðû ìîãóò âêëþ÷àòüñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïðîöåññû, â ÷à-
ñòíîñòè, òåðìè÷åñêîå ðàçðóøåíèå
V
K
-öåíòðîâ. Âåðîÿòíîñòü òàêîé äå-
ëîêàëèçàöèè òàêæå íîñèò àêòèâàöèîííûé õàðàêòåð:
τω
d
d
d
-
B
EkT
1
0
=−exp( ),
ãäå
EE
d
r
>
,
E
d
— ýíåðãèÿ àêòèâàöèè äåëîêàëèçàöèè. Äûðêà ïåðå-
õîäèò ïðè ýòîì â ñâîáîäíîå ñîñòîÿíèå, è â ýòîì ñîñòîÿíèè ìîæåò îò-
áåæàòü íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå ïåðåä òåì, êàê âòîðè÷íî
àâòîëîêàëèçîâàòüñÿ. Âåðîÿòíîñòü òåðìè÷åñêîé äåëîêàëèçàöèè äûð-
êè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåðîÿòíîñòè åå ðåîðèåíòàöèè, îäíàêî êîýô-
ôèöèåíò äèôôóçèè ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ èìåííî äåëîêàëèçàöèåé, ïî-
ñêîëüêó äëèíà ïðîáåãà äûðêè â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè ìíîãî áîëüøå
§ 18. Ìèãðàöèÿ çàðÿæåííûõ âîçáóæäåíèé 231