Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

íåâîçìîæíîñòü â ðÿäå ñëó÷àåâ çàïèñè ñïåêòðîâ âîçáóæäåíèÿ ïðè íå-

ïðåðûâíîì ñêàíèðîâàíèè ïî ñïåêòðó.

Èíåðöèîííîñòü îáðàçöîâ ìîæåò èçìåðÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷-

íûõ ìîäóëÿòîðîâ ïðè ïðèìåíåíèè ñòàöèîíàðíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà

èëè ñ èñïîëüçîâàíèåì âðåìåííîé ñòðóêòóðû èìïóëüñíûõ èñòî÷íèêîâ

ñâåòà.

Êðîìå âñåãî ïðî÷åãî, èíòåíñèâíîñòü ëþìèíåñöåíöèè ñèëüíî çà-

âèñèò îò òåìïåðàòóðû îáðàçöà. Áîëåå òîãî, áûâàþò ñëó÷àè íåîäíî-

çíà÷íîé çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû, êîãäà íàáëþäàåòñÿ ãèñòåðåçèñ

ïðè îõëàæäåíèè è ïîñëåäóþùåì íàãðåâå îáðàçöà. Ïîýòîìó ñèñòåìà

ïîääåðæàíèÿ òåìïåðàòóðû èëè ïðîãðàììíîãî åå èçìåíåíèÿ (÷àùå

âñåãî êðèîñòàò ñ íàãðåâàòåëåì è òåðìîäàò÷èêîì) òàêæå ÿâëÿåòñÿ îä-

íèì èç ñëîæíûõ óçëîâ ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ óñòàíîâîê äëÿ èññëåäîâà-

íèÿ ëþìèíåñöåíöèè.

16.3 Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå ôàêòîðû, âëèÿþùèå íà

ôîðìèðîâàíèå êâàíòîâîãî âûõîäà âòîðè÷íûõ ïðîöåññîâ

Èññëåäîâàíèå âòîðè÷íûõ ïðîöåññîâ â êðèñòàëëàõ â îáëàñòè ôóí-

äàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ ÷àñòî óñëîæíÿåòñÿ èç-çà ñèëüíîãî ïîãëî-

ùåíèÿ âîçáóæäàþùåãî ñâåòà. Íà âûñîêîêà÷åñòâåííûõ ýêñïåðèìåíòà-

ëüíûõ ñòàíöèÿõ èíôîðìàöèÿ îá èíòåíñèâíîñòè âîçáóæäàþùåãî ñâåòà

ïîñòîÿííî ìîíèòîðèðóåòñÿ. Îäíàêî íå âåñü ïàäàþùèé ñâåò ïîãëîùà-

åòñÿ êðèñòàëëîì, è â çàâèñèìîñòè îò ýíåðãèè ôîòîíîâ èçìåíÿåòñÿ

îáúåì, â êîòîðîì ýòî ïðîèñõîäèò. Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü äîëþ ïî-

ãëîùåííîãî ñâåòà, íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ïðîöåññ âçàèìîäåéñòâèÿ

ñâåòà ñ îãðàíè÷åííûì â ïðîñòðàíñòâå îáðàçöîì. Äëÿ ïðîñòîòû ðàñ-

ñìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêîé òîëùèíîé

çà êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïîäëîæêà (îáû÷íî ìåòàëëè÷åñêèé äåðæàòåëü

îáðàçöà, îñóùåñòâëÿþùèé òåïëîâîé êîíòàêò ñ ìàññèâíûì õëàäîïðî-

âîäîì êðèîñòàòà). Òîëùèíà

ïðåäïîëàãàåòñÿ ìíîãî áîëüøå äëèíû

âîëíû âîçáóæäàþùåãî ñâåòà, òàê ÷òî èíòåðôåðåíöèîííûå ýôôåêòû

ìîæíî íå ó÷èòûâàòü. Ðåøàÿ çàäà÷ó îá îòðàæåíèè è ïîãëîùåíèè ñâåòà

îáðàçöîì è ïîäëîæêîé, ïðåíåáðåæåì (äëÿ ïðîñòîòû) îòðàæåíèåì

ñâåòà îò çàäíåé ãðàíè êðèñòàëëà (ãðàíèöû ðàçäåëà îáðàçåö—ïîäëîæ-

êà). Òîãäà äîëÿ ñâåòà, ïðîõîäÿùåãî â îáðàçåö, ðàâíà

1 − Rh()ν

, ïîñëå

÷åãî îáðàçöîì ïîãëîùàåòñÿ äîëÿ

1 −

−

hdαν()

îò ïðîøåäøåãî ñâåòà.

Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ìîæåò ïîãëîùàòüñÿ â ïîäëîæêå. Òåì ñàìûì èíòåí-

ñèâíîñòü âòîðè÷íîãî ïðîöåññà, âîçíèêàþùåãî â êðèñòàëëå (íàïðè-

ìåð, èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åííîé êðèñòàëëîì ëþìèíåñöåíöèè), îêàçû-

âàåòñÿ ðàâíîé

IRhe hI

lum

=− −

−

[()][ ]()

()

11νην

αν

, (16.1)

ãäå

ην()h

— êâàíòîâûé âûõîä ëþìèíåñöåíöèè, à

— èíòåíñèâíîñòü

ïàäàþùåãî íà îáðàçåö ñâåòà âîçáóæäåíèÿ. Ñâåò ëþìèíåñöåíöèè

202 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

èñïóñêàåòñÿ êàæäûì öåíòðîì ëþìèíåñöåíöèè ðàâíîìåðíî âî âñåõ

íàïðàâëåíèÿõ. Îäíàêî èç-çà ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ (îáû÷-

íî ëþìèíåñöåíöèÿ èñïóñêàåòñÿ â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà,

ãäå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ êðèñòàëëà

áîëüøå åäèíèöû) èç êðèñ-

òàëëà âûõîäèò íå âåñü ñâåò, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê

ïîâåðõíîñòè, à òîëüêî åãî äîëÿ, ïîïàäàþùàÿ â òåëåñíûé óãîë ñ óãëîì

ðàñêðûòèÿ

, îïðåäåëÿåìûì ïî ôîðìóëå

cosθ

1> n

(ñì. ðèñ. 46).

Ïðè ýòîì ñ ó÷åòîì ôîðìóë Ôðåíåëÿ ðàñïðåäåëåíèå âûõîäÿùåãî ñâå-

òà ëþìèíåñöåíöèè ïî òåëåñíîìó óãëó

îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì

IRe

lum

Ω

=−− ×

−

()( )

cos sin ( )

sin (

πθ θθ

θ θ

θθ

)

cos ( )

−













(16.2)

ãäå

sin sinθθ

−

. Â ýòîé ôîðìóëå

çà-

âèñÿò îò ýíåðãèè êâàíòîâ âîçáóæäàþùåãî ñâåòà

hν

,à

— ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ çàâèñèò îò

ýíåðãèè êâàíòîâ ëþìèíåñöåíöèè

hν

lum

Ïðè âîçáóæäåíèè â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè

êðèñòàëëà (

αd <<1

) êâàíòîâûé âûõîä ïðîïîð-

öèîíàëåí êîýôôèöèåíòó ïîãëîùåíèÿ ñâåòà

òîëùèíå êðèñòàëëà:

1 −≈

−

dα

. Ïîýòîìó â

ýòîé îáëàñòè äëÿ îòíîñèòåëüíî òîíêèõ ñëîåâ

êðèñòàëëà èíòåíñèâíîñòü ëþìèíåñöåíöèè íåñåò

èíôîðìàöèþ íå òîëüêî î êâàíòîâîì âûõîäå

íî è î êîýôôèöèåíòå ïîãëîùåíèÿ âîçáóæäàþ-

ùåãî ñâåòà

, ÷òî ÷àñòî çàòðóäíÿåò êîëè÷åñòâåí-

íóþ èíòåðïðåòàöèþ. Â îáëàñòè õâîñòà ôóíäà-

ìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ èëè â îáëàñòè äîñòà-

òî÷íî ñèëüíîãî ïðèìåñíîãî ïîãëîùåíèÿ, ãäå

αd >>1

, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ýêñïîíåíòîé â (16.1). Ïðè ýòîì âåñü ñâåò,

ïîïàäàþùèé â êðèñòàëë, ïîãëîùàåòñÿ, è ñïåêòð âîçáóæäåíèÿ ëþìè-

íåñöåíöèè ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò êîýôôèöèåíòà ïîãëîùåíèÿ. Ýòîò

ôàêò èëëþñòðèðóåòñÿ ðèñ. 47. Ïîãëîùåíèå (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) ñî-

ñòîèò èç ïîëîñû â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà, è èç îáëàñòè

ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ. Âëèÿíèåì îòðàæåíèÿ îò êðèñòàëëà

çäåñü ïðåíåáðåãàåì. Âèäíî, ÷òî ðåçêîå íàðàñòàíèå èíòåíñèâíîñòè

ñâå÷åíèÿ íà÷èíàåòñÿ â îáëàñòè óðáàõîâñêîãî õâîñòà ôóíäàìåíòàëü-

íîãî ïîãëîùåíèÿ, êîãäà

α≈1 d

, ò. å. íèæå (ïî ýíåðãèè) íà÷àëà ôóí-

äàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ. Òåì ñàìûì, åñëè ýêñèòîíû àêòèâíû â ïå-

ðåäà÷å ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ öåíòðàì ëþìèíåñöåíöèè, ñïåêòð âîç-

áóæäåíèÿ âûõîäèò íà ìàêñèìóì íå ïðè ýíåðãèè ìàêñèìóìà

§16. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû â äèýëåêòðè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ 203

Ðèñ. 46. Ñõåìà âûõî-

äà êâàíòîâ ëþìèíåñ-

öåíöèè èç êðèñòàëëà

ïðè ó÷åòå ïîëíîãî

âíóòðåííåãî îòðàæå-

íèÿ.

ýêñèòîííîãî ïåðåõîäà, à ðàíüøå.

Íà çíà÷åíèè ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâó-

þùåé ýêñèòîííîìó ïåðåõîäó, ÷àñ-

òî íàáëþäàåòñÿ ïðîâàë, âûçâàí-

íûé êàê êîýôôèöèåíòîì

()1 − R

(â

îòðàæåíèè ïðè ýíåðãèè ýêñèòîíà

íàáëþäàåòñÿ ïèê), òàê è òàê íàçû-

âàåìûìè ïðèïîâåðõíîñòíûìè ïî-

òåðÿìè (ñì. §24). Äëÿ îòíîñèòåëü-

íî áîëüøèõ òîëùèí

ïîëîñû âîç-

áóæäåíèÿ ëþìèíåñöåíöèè, âû-

çâàííûå ïðÿìûì âîçáóæäåíèåì

öåíòðîâ è âîçáóæäåíèåì ÷åðåç ýê-

ñèòîíû, ÷àñòî ïåðåêðûâàþòñÿ, ïî-

ýòîìó ÷àñòî òðóäíî ïðîâåñòè ÷åò-

êóþ ãðàíèöó ïî ñïåêòðó âîçáóæäå-

íèÿ ëþìèíåñöåíöèè. Èçìåíåíèÿ

ôîðìû ñïåêòðîâ âîçáóæäåíèÿ ëþ-

ìèíåñöåíöèè ñ òîëùèíîé êðèñòàë-

ëà ìîãóò çàòðóäíèòü ñðàâíåíèå

äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ðàçíûìè àâ-

òîðàìè.

Â ñëó÷àå ïîðîøêîîáðàçíûõ

êðèñòàëëîôîñôîðîâ ñèòóàöèÿ ñ

ôîðìèðîâàíèåì ñïåêòðîâ âîçáóæ-

äåíèÿ èìååò àíàëîãè÷íûé õàðàê-

òåð, ò.å. çàâèñèò îò òîëùèíû ñëîÿ ïîðîøêà, ðàçìåðîâ ìèêðîêðèñòàë-

ëîâ è ò.ä. Îäíàêî èçó÷åíèå ôîðìèðîâàíèÿ ñïåêòðîâ îñëîæíÿåòñÿ ðÿ-

äîì ôàêòîðîâ. Âî-ïåðâûõ, îòðàæåíèå îò ïîðîøêà äèôôóçíîå, è îíî

íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïðîñòûì ôîðìóëàì Ôðåíåëÿ. Ê òîìó æå ñàì ïðîöåññ

ïîãëîùåíèÿ ñâåòà ïîðîøêîì ñâÿçàí ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ïåðåîòðàæå-

íèÿìè îò ãðàíåé ìèêðîêðèñòàëëîâ, ïîýòîìó îí òàêæå íå îïèñûâàåòñÿ

òàêèì ïðîñòûì îáðàçîì, êàê äëÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíû. Âî-âòî-

ðûõ, ÷àñòî íåèçâåñòíû îïòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êðèñòàëëîôîñôî-

ðà (íàïðèìåð,

), ïîñêîëüêó âûðàñòèòü êðèñòàëëû äîñòàòî÷íûõ

äëÿ ýêñïåðèìåíòà ðàçìåðîâ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó

äëÿ ðÿäà èññëåäóåìûõ êðèñòàëëîôîñôîðîâ, äàæå èìåþùèõ áîëüøîå

ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå, äî ñèõ ïîð íå îïðåäåëåíà ãðàíèöà ôóíäàìåíòà-

ëüíîãî ïîãëîùåíèÿ. Èçìåðåíèÿ ñïåêòðîâ âîçáóæäåíèÿ ðàçëè÷íûõ

âòîðè÷íûõ ïðîöåññîâ ïîçâîëÿþò âîññòàíîâèòü ðÿä ÷èñòî îïòè÷åñêèõ

õàðàêòåðèñòèê.

204 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

0,5

η, α, îòí. åä.

hν

Ðèñ. 47. Èçìåíåíèå ñïåêòðà âîç-

áóæäåíèÿ ëþìèíåñöåíöèè ìîäåëü-

íîãî êðèñòàëëà, èìåþùåãî ïðèìåñ-

íîå ïîãëîùåíèå íåäàëåêî îò êðàÿ

ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ.

Ïóíêòèðîì ïîêàçàí ìîäåëüíûé êî-

ýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ

αν()h

Òîëùèíà êðèñòàëëà

ïðè ïåðåõîäå

îò êðèâîé1ê2èîò2ê3óìåíüøà-

åòñÿ â 100 ðàç.

§ 17 Ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ

17.1 Ìíîãî÷àñòè÷íûå âîçáóæäåíèÿ

Ðàññìîòðèì âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ êðèñòàëëà áîëåå ïîäðîáíî.

Îñíîâíîå ñîñòîÿíèå êðèñòàëëà èìååò

ýëåêòðîíîâ, ïðè÷åì

ïîðÿä-

êà

äëÿ êðèñòàëëà îáúåìîì â 1 êóáè÷åñêèé ñàíòèìåòð. Âîçáóæ-

äåííûå ñîñòîÿíèÿ òàêîãî êðèñòàëëà ìîãóò áûòü ñîçäàíû êàê áåç èçìå-

íåíèÿ ïîëíîãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ, òàê è ñ èçìåíåíèåì ýòîãî ÷èñëà. Ïî-

ñëå ïîãëîùåíèÿ ôîòîíà èçìåíåíèÿ ïîëíîãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ íå ïðî-

èñõîäèò (çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àåâ, ñîïðîâîæäàþùèõñÿ ýìèññèåé èç

êðèñòàëëà âòîðè÷íûõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ýëåêòðîíîâ). Îäíàêî ïîñëå

âîçáóæäåíèÿ òâåðäîãî òåëà ýëåêòðîííûì ïó÷êîì èçìåíåíèå

ìîæåò

áûòü âåñüìà çíà÷èòåëüíûì.

Òåì ñàìûì ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ âîç-

áóæäåííûõ ñîñòîÿíèé êðèñòàëëà: íåéòðàëüíûé êðèñòàëë ñ

ýëåêò-

ðîíàìè, îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûå êðèñòàëëû ñ

N + 1

ýëåêòðîíàìè

(îäèí äîïîëíèòåëüíûé ýëåêòðîí),

N + 2

N + 3

è ò.ä. ýëåêòðîíàìè,

ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûé êðèñòàëë ñ

N − 1

ýëåêòðîíàìè (îäíà äî-

ïîëíèòåëüíàÿ äûðêà),

N − 2

N − 3

è ò.ä. ýëåêòðîíàìè. Áëàãîäàðÿ çà-

êîíó ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ýòè ñîñòîÿíèÿ íèêîãäà íå ïåðåõîäÿò äðóã â

äðóãà, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àåâ, êîãäà ýëåêòðîíû âëåòàþò â êðèñòàëë

èçâíå èëè âûëåòàþò èç íåãî. Âîçáóæäåíèÿ, ðàññìàòðèâàâøèåñÿ â ãëà-

âàõ2è3,ÿâëÿëèñü ïðîñòåéøèìè òèïàìè âîçáóæäåíèé êðèñòàëëà.

Ïîïðîáóåì ñèñòåìàòèçèðîâàòü èõ.

Ýëåêòðîí â çîíå ïðîâîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ñèñòåìû ñ

N + 1

ýëåêòðîíàìè, à äûðêà â âàëåíòíîé çîíå — ïðèìåðîì ñèñòåìû ñ

N − 1

ýëåêòðîíàìè. Íåâîçìîæíî ñðàâíèòü ýíåðãèþ òàêîé ñèñòåìû ñ

ýíåðãèåé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êðèñòàëëà ñ

ýëåêòðîíàìè, ïîñêîëü-

êó îäíà ñèñòåìà íå ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà â äðóãóþ. Ìîæíî òîëüêî

ñðàâíèòü îñíîâíîå ñîñòîÿíèå êðèñòàëëà ñ

ýëåêòðîíàìè ïëþñ ýëåêò-

ðîí, óäàëåííûé íà áåñêîíå÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå îò êðèñòàëëà, ñ

ýíåðãèåé ñèñòåìû ñ

N + 1

ýëåêòðîíàìè, èëè ýíåðãèþ êðèñòàëëà ñ

N − 1

ýëåêòðîíàìè âìåñòå ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííûì ýëåêòðîíîì, ñ ýíåðãèåé

îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êðèñòàëëà ñ

ýëåêòðîíàìè.

Äðóãîé ïóòü ñðàâíåíèÿ òàêèõ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé (è êîòî-

ðûé ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ôèçè÷íûì) ñîñòîèò â ðàçäåëåíèè ñèñòåìû

íà äâå ÷àñòè. Ïðè ðàññìîòðåíèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ êðèñòàëëà

ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ÷òî

′N

ýëåêòðîíîâ íàõîäÿòñÿ â îäíîé ÷àñòè êðèñ-

òàëëà, à

′′N

ýëåêòðîíîâ — â äðóãîé, ïðè÷åì

′+ ′′=NN N

. Åñëè ìû ïå-

ðåíåñåì îäèí ýëåêòðîí èç îäíîé ÷àñòè êðèñòàëëà â äðóãóþ, òî íàéäåì

′−N 1

ýëåêòðîíîâ â îäíîé ÷àñòè è

′′ +N 1

— â äðóãîé. Ýíåðãèÿ òàêîãî

ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü ñðàâíèìà ñ ýíåðãèåé ñèñòåìû â îñíîâíîì ñî-

ñòîÿíèè, ïîñêîëüêó

()( )′− + ′′+ =NNN11

. Åñëè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü

âçàèìîäåéñòâèåì äîïîëíèòåëüíîãî ýëåêòðîíà â îäíîé ÷àñòè êðèñòàë-

ëà ñ äîïîëíèòåëüíîé äûðêîé â äðóãîé ÷àñòè, òî òàêèå ÷àñòèöû ìîæíî

ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçäåëåííûå.

Ìèíèìàëüíàÿ ðàçíèöà ìåæäó ýíåðãèåé äèýëåêòðèêà ñ ðàçäåëåí-

íûìè ýëåêòðîíîì è äûðêîé è ýíåðãèåé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà ïî

îïðåäåëåíèþ øèðèíå çàïðåùåííîé çîíû

. Åñëè ýòè ÷àñòèöû ìîãóò

âçàèìîäåéñòâîâàòü, ìèíèìàëüíàÿ ðàçíèöà ýíåðãèé äëÿ òàêîãî îáðà-

çîâàíèÿ ìîæåò áûòü ìåíüøå

è ðàâíà ýíåðãèè ýêñèòîíà

. Ðàçëè-

÷èå ìåæäó ðàçäåëåííûìè ýëåêòðîíîì è äûðêîé è íåéòðàëüíûì âîç-

áóæäåíèåì îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó

êîìïîíåíòàìè íåéòðàëüíîãî âîçáóæäåíèÿ.

Ñèòóàöèÿ â äèýëåêòðèêàõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ñèòóàöèè â

ìåòàëëàõ èç-çà ýêðàíèðîâàíèÿ â ïîñëåäíèõ äàëüíîäåéñòâóþùåãî êó-

ëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ýëåêòðîí è äûðêà â ìå-

òàëëå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èçîëèðîâàííûå íà ñóùåñòâåííî ìå-

íüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ äèýëåêòðèêîì.

Ìåæäó ìåòàëëàìè è äèýëåêòðèêàìè èìååòñÿ åùå îäíî ñóùåñò-

âåííîå ðàçëè÷èå — íàëè÷èå â äèýëåêòðèêàõ çàïðåùåííîé çîíû. Òî-

ëüêî ñèñòåìà ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîííûìè âîçáóæäåíèÿìè ìîæåò

èìåòü ýíåðãèþ, áëèçêóþ ê ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, â òî âðåìÿ

êàê âñå âîçáóæäåíèÿ, â êîòîðûõ ó÷àñòâóåò ýëåêòðîííàÿ ïîäñèñòåìà,

èìåþò ýíåðãèþ íà íåñêîëüêî ýëåêòðîí-âîëüò âûøå ýíåðãèè îñíîâíîãî

ñîñòîÿíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð ýëåêòðîííûõ âîçáóæäåíèé â èäåàëüíîì

äèýëåêòðèêå îòäåëåí îò íóëÿ ýíåðãèåé ïîðÿäêà ýíåðãèè ýêñèòîíà

êîòîðàÿ íåñêîëüêî íèæå ýíåðãèè çàïðåùåííîé çîíû

. Äëÿ ðåàëü-

íûõ êðèñòàëëîâ ñ äåôåêòàìè ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîííûõ âîç-

áóæäåíèé ðàâíà ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ äåôåêòà. Ïëîòíîñòü òàêèõ äå-

ôåêòíûõ ñîñòîÿíèé ìíîãî ìåíüøå ïëîòíîñòè ñîáñòâåííûõ âîçáóæäå-

íèé (çà èñêëþ÷åíèåì ñèñòåì, êîòîðûå ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü êàê

íåóïîðÿäî÷åííûå).

Ñî ñòîðîíû âûñîêèõ ýíåðãèé ñïåêòð âîçáóæäåíèé íè÷åì íå îãðà-

íè÷åí, îäíàêî ñòðóêòóðà ñîîòâåòñòâóþùèõ âîçáóæäåíèé ñòàíîâèòñÿ

áîëåå ðàçíîîáðàçíîé. Íàïðèìåð, ñèñòåìà ñ ýíåðãèåé

âûøå

ìî-

æåò èìåòü ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè âîçáóæäåíèé:

1) äâà ýêñèòîíà â óäàëåííûõ îáëàñòÿõ êðèñòàëëà;

2) îäíà ýëåêòðîííî-äûðî÷íàÿ ïàðà ñ ýíåðãèåé ýëåêòðîíà ïîðÿäêà

−

íàä äíîì çîíû ïðîâîäèìîñòè è ýíåðãèåé äûðêè âáëèçè ïî-

òîëêà âàëåíòíîé çîíû;

206 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

3) îäíà ýëåêòðîííî-äûðî÷íàÿ ïàðà ñ áîëüøîé ýíåðãèåé äûðî÷íîé

êîìïîíåíòû (åñëè çîííàÿ ñòðóêòóðà äîïóñêàåò òàêîå ñîñòîÿíèå);

4) óäàëåííûå äðóã îò äðóãà âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå äåôåêòà è ýëåêò-

ðîííî-äûðî÷íàÿ ïàðà;

5) äâà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ýêñèòîíà (áèýêñèòîí);

6) è ò.ä.

Â ïåðâîì ñëó÷àå â ôîðìèðîâàíèè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ó÷à-

ñòâóþò ÷åòûðå ÷àñòèöû, â òî âðåìÿ êàê â ñëó÷àÿõ2è3—òîëüêî ïî

äâå çîííûõ ÷àñòèöû. Òåì ñàìûì ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ ñëó÷àÿ 1

ìíîãî âûøå, ÷åì äëÿ ñëó÷àåâ2è3.Ñîîòâåòñòâåííî, ïëîòíîñòü ñîñòî-

ÿíèé, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ äåôåêòíîå ñîñòîÿíèå (ñëó÷àé 4), ìåíüøå,

÷åì äëÿ ñëó÷àÿ 1, íî âûøå, ÷åì äëÿ ñëó÷àåâ2è3.

Ðàçíèöà ìåæäó ñëó÷àÿìè 1 è 5 òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî îáñóæ-

äåíèÿ. Âçàèìîñâÿçü ìåæäó âçàèìîäåéñòâóþùèìè è ðàçäåëåííûìè ýê-

ñèòîíàìè àíàëîãè÷íà âçàèìîñâÿçè ìåæäó ýêñèòîíîì è ýëåêòðîííî-

äûðî÷íîé ïàðîé. Ðàçäåëåííàÿ ýëåêòðîííî-äûðî÷íàÿ ïàðà ìîæåò

áûòü ðàññìîòðåíà êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ýêñèòîíà, êîìïîíåíòû êî-

òîðîãî óäàëåíû äðóã îò äðóãà. Òåì ñàìûì ëþáîå âîçáóæäåíèå, âêëþ-

÷àþùåå â ñåáÿ ýëåêòðîí è äûðêó, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íà ÿçûêå

âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ýêñèòîíà. Îäíàêî òàêîå ðàññìîòðåíèå âî

ìíîãîì ëèøåíî ñìûñëà, ïîñêîëüêó â ñëó÷àå íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ

÷àñòèö íåò íåîáõîäèìîñòè îòñëåæèâàòü èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äûðêè

ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ýëåêòðîíà. Òåì ñàìûì ãðàíèöà ìåæäó âîçáóæ-

äåííûìè ñîñòîÿíèÿìè ýêñèòîíà è ðàçäåëåííîé ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé

ïàðîé ìîæåò áûòü ïðîâåäåíà ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ, ÷òî ìèíèìàëüíî

çíà÷èìàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íåêîòîðîé âû-

áðàííîé ìàëîé âåëè÷èíå

int

min

. Ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà ïî-

ðÿäêà òåðìè÷åñêîé ýíåðãèè

Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò ïðè ñðàâíåíèè ýêñèòîííîé ìî-

ëåêóëû (ñëó÷àé 5) ñ äâóìÿ ðàçäåëåííûìè ýêñèòîíàìè (ñëó÷àé 1).

Ðàññìàòðèâàòü ýêñèòîííóþ ìîëåêóëó èìååò ñìûñë òîëüêî â òîì ñëó-

÷àå, åñëè ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ýêñèòîíàìè ïðåâûøà-

åò

int

min

. Â ñèëó ñâîåé íåéòðàëüíîñòè ýêñèòîíû âçàèìîäåéñòâóþò

ìåæäó ñîáîé ñëàáåå, ÷åì ýëåêòðîíû è äûðêè, ïîýòîìó áèýêñèòîíû

äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ òîëüêî â îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì ÷èñëå ñëó÷à-

åâ.

Òàêîå ðàññìîòðåíèå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî íà áîëüøåå ÷èñëî

÷àñòèö: ìîëåêóëû, ñîñòîÿùèå èç òðåõ, äåñÿòè è ò.ä. ýêñèòîíîâ. Èíî-

ãäà òàêîå âçàèìîäåéñòâèå îêàçûâàåòñÿ êðàéíå âàæíûì, íàïðèìåð,

äëÿ ñëó÷àÿ îáðàçîâàíèÿ ýêñèòîííûõ êàïåëü ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêèõ

óðîâíÿõ âîçáóæäåíèÿ (Êåëäûø, 1970) èëè â ñëó÷àÿõ îáðàçîâàíèÿ

ðàäèàöèîííûõ òðåêîâ.

§ 17. Ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ 207

Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ (äûðîê) îáñóæ-

äàëàñü â ðàçäåëå 4.5. Ïîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé â çîíå ðàâíî èíòåãðàëó

îò

gE()

ïî

gE dE

()

∫∫

===

ππ

Ω

ãäå

— ïîëíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëå, à

ïîëíîå ÷èñëî ýëåê-

òðîíîâ â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå. Òåì ñàìûì

ðàâíî ÷èñëó ÿ÷ååê â

êðèñòàëëå. Ïîëíîå ÷èñëî äåôåêòíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ êàæäîãî äåôåêò-

íîãî óðîâíÿ ðàâíî

cN Z

, ãäå

— ìîëÿðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ äåôåêòîâ.

Ïîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé äëÿ ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ ïàð î÷åâèä-

íî ðàâíî

()NZ

äëÿ êàæäîé ïàðû çîí. Ýòî ÷èñëî âêëþ÷àåò êàê ðàçäå-

ëåííûå ýëåêòðîííî-äûðî÷íûå ïàðû, òàê è âçàèìîäåéñòâóþùèå ýëåê-

òðîííî-äûðî÷íûå ïàðû. Ïîëíîå ÷èñëî ýêñèòîííûõ ñîñòîÿíèé ìîæåò

áûòü îöåíåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ôîðìèðîâàíèè ýêñèòîíà ïðèíè-

ìàþò ó÷àñòèå

äûðî÷íûõ ñîñòîÿíèé (õàðàêòåðèçóþùèõñÿ, íàïðè-

ìåð, ÷èñëîì ÿ÷ååê, â êîòîðûõ ìîæåò áûòü ðàñïîëîæåíà äûðêà). Åñëè

äëÿ êîíêðåòíîãî ïîëîæåíèÿ äûðêè

ñîñòîÿíèé èìåþò ýíåðãèþ

âçàèìîäåéñòâèÿ áîëüøå

int

min

, òî â êðèñòàëëå â îáùåé ñëîæíîñòè ìî-

æåò áûòü

nNZ

ýêñèòîííûõ ñîñòîÿíèé. Â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå

nNZ NZ

<<()

. Òåì íå ìåíåå, îòñþäà íå ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî ïðå-

íåáðåãàòü ýêñèòîííûìè ýôôåêòàìè. ×èñëî ýêñèòîííûõ ñîñòîÿíèé

ìîæåò áûòü îöåíåíî èç ìîäåëè ýêñèòîíà Âàíüå-Ìîòòà, êîòîðàÿ ãàðàí-

òèðîâàííî ïðèìåíèìà äëÿ âûñîêîâîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé. Ãëàâíîå

êâàíòîâîå ÷èñëî ýêñèòîíà, äëÿ êîòîðîãî óæå ìîæíî ïðåíåáðåãàòü

âçàèìîäåéñòâèåì, îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ

int

min

max

≈

∗

Ïîëíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé îò

n = 1

äî

max

ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî

max

(â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êàæäûé óðîâåíü

-êðàòíî âûðîæäåí

max

>>1

). Òåì ñàìûì

max int

min

()=

∗

è âîçðàñòàåò ñ óìåíü-

øåíèåì ìèíèìàëüíî çíà÷èìîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ.

Îáùåå ïðàâèëî äëÿ ïîäñ÷åòà ïîëíîãî ÷èñëà ñîñòîÿíèé ñîñòîèò â

ñëåäóþùåì. Êàæäàÿ òðàíñëÿöèîííàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû âíîñèò â îá-

ùåå ÷èñëî ìíîæèòåëü

. Åñëè èìååòñÿ

÷àñòèö, òî ïîëíîå ÷èñëî

ðàçäåëåííûõ è ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ðàâíî

()NZ

. Äëÿ òîãî, ÷òîáû

ïîëó÷èòü ïîëíîå ÷èñëî ðàçäåëåííûõ ñîñòîÿíèé, íåîáõîäèìî èç ýòîãî

÷èñëà âû÷åñòü ÷èñëî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé:

() ()

()

()NZ mn NZ

nNZ

mm m

−−

−

−−

ãäå

— ÷èñëî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé èç äâóõ ñâÿçàííûõ ÷àñòèö,

— ÷èñëî ñîñòîÿíèé èç òðåõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (íàïðèìåð,

208 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

ýëåêòðîí, îêðóæåííûé äâóìÿ äûðêàìè, òðè ýëåêòðîíà è ò.ä.). Ìíî-

æèòåëè, ñîäåðæàùèå

, èìåþò êîìáèíàòîðíîå ïðîèñõîæäåíèå.

Òàêàÿ êëàññèôèêàöèÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ïîëåçíà òîëüêî

äëÿ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â äèýëåêòðèêàõ. Äëÿ ýëåêòðîííûõ ñîñòî-

ÿíèé â ìåòàëëàõ è äëÿ ôîíîííûõ ñîñòîÿíèé âî âñåõ êðèñòàëëàõ íåò

ùåëè ìåæäó îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì è ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé âîçáóæ-

äåíèé. Òåì ñàìûì äëÿ ýíåðãèè, íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó ïðåâûøàþ-

ùóþ ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî íàéòè áåñêîíå÷íûé ðÿä

ñëîæíûõ âîçáóæäåíèé ñ

mNZ=1, ,K

, è ïîëíîå ÷èñëî òàêèõ ñîñòîÿ-

íèé ïîðÿäêà

()NZ

. Ýòî ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè ïîëíîé äèññè-

ïàöèè ýíåðãèè â êðèñòàëëå, êîãäà ýíåðãèÿ îäíîãî êâàíòà äåëèòñÿ íà

áåñêîíå÷íîå ÷èñëî âîçáóæäåíèé ñ áåñêîíå÷íî ìàëîé ýíåðãèåé (ôîíî-

íû â äèýëåêòðèêàõ è ôîíîíû è ýëåêòðîííî-äûðî÷íûå ïàðû âáëèçè

ïîâåðõíîñòè Ôåðìè â ìåòàëëàõ). Òåì íå ìåíåå, ñëîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñ

áîëüøèì ÷èñëîì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (è êîíå÷íûì ïîëíûì

÷èñëîì ñîñòîÿíèé) èãðàþò îñíîâíóþ ðîëü â ôîðìèðîâàíèè ìåòàñòà-

áèëüíûõ ñîñòîÿíèé (íàïðèìåð, îáðàçîâàíèå äåôåêòîâ ñâÿçàíî ñ êîãå-

ðåíòíûì âîçáóæäåíèåì ïî÷òè âñåõ ôîíîííûõ ìîä).

Ðàññìîòðèì, ê êàêèì îãðàíè÷åíèÿì ïðèâîäèò íàëè÷èå çàïðåùåí-

íîé çîíû â äèýëåêòðèêàõ. Êðèñòàëë, èìåþùèé èçáûòî÷íóþ ýíåðãèþ

∆E

, ìîæåò ñîäåðæàòü íå áîëåå

∆EE

íåéòðàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âîç-

áóæäåíèé, èëè íå áîëåå

2∆EE

ýëåêòðîíîâ è äûðîê, èëè, ïðè íàëè-

÷èè äåôåêòîâ â êðèñòàëëå, íå áîëåå

∆EE

âîçáóæäåííûõ äåôåêòíûõ

ñîñòîÿíèé, è ýòè ÷èñëà äëÿ êîíå÷íîé ýíåðãèè

∆E

íå îñîáåííî áîëü-

øèå. Òåì ñàìûì èìååòñÿ ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü ïåðå÷èñëèòü

âñå âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè âîçáóæäåíèé. Ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ

ãàìèëüòîíèàíà

, êîòîðûå èñïîëüçîâàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè êèíå-

òè÷åñêèõ óðàâíåíèé â ðàçäåëå 3.4, ìîãóò èäåíòèôèöèðîâàòüñÿ ïåðå-

÷èñëåíèåì êîíå÷íîãî íàáîðà êâàíòîâûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèõ

ýëåêòðîííûì âîçáóæäåíèÿì.

Áîëüøàÿ ÷àñòü ñîñòîÿíèé

(çà èñêëþ÷åíèåì îñíîâíîãî ñîñòîÿ-

íèÿ ñèñòåìû) ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè, â ÷àñòíîñòè, èç-çà âûðîæäå-

íèÿ ôîíîííîé ïîäñèñòåìû. Ñîñòîÿíèå

ìîæåò ñîñòîÿòü èç

ýëå-

ìåíòàðíûõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ âîçáóæäåíèé (íåïðèâîäèìûõ âîç-

áóæäåíèé), êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ ýíåðãèÿìè

è âîëíîâûìè

ôóíêöèÿìè

. Ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ

ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýíåðãèé ýëå-

ìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé:

EE E

∑

à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ — ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòàðíûõ âîëíîâûõ ôóí-

êöèé

§ 17. Ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ 209

∏

Êàæäàÿ ôóíêöèÿ

õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë, êîòî-

ðûå äàþò ïîëíîå îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî íåïðèâîäèìîãî âîçáóæ-

äåíèÿ (èìïóëüñ ýëåêòðîíà èëè äûðêè, ïîëíûé èìïóëüñ è íàáîð êâàí-

òîâûõ ÷èñåë

äëÿ ýêñèòîíà è ò.ä.), è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñò-

âóþùåãî ÷èñëà ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (îäíîé äëÿ ýëåêòðîíà

èëè äûðêè, äâóõ äëÿ ýêñèòîíà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âíóòðåííèì êîîðäè-

íàòàì ýëåêòðîíà è äûðêè, ôîðìèðóþùèì ýêñèòîí, è ò.ä.). Òåì ñàìûì

ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòà

, îïðåäå-

ëåííûå â (3.16), ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòà

, âû÷èñëåííûõ ñ ïîìîøüþ âîëíî-

âûõ ôóíêöèé ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé.

Òàêîå ðàññìîòðåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåâåñòè îïèñàíèå äèíàìèêè

âîçáóæäåíèé ñ ÿçûêà ñîñòîÿíèé ïîëíîé ñèñòåìû

íà ÿçûê ñîñòîÿ-

íèé ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé

. Ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè,

êîòîðûå âíîñÿò âêëàä â èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé

(3.47)—(3.49),

âêëþ÷àþò ïåðåõîäû, â êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò èçìåíåíèÿ òîëüêî íåñêî-

ëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé, â òî âðåìÿ êàê îñòàëüíûå âîçáóæ-

äåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè.

Ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ýëåìåíòàðíîãî àêòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæ-

äó ýëåìåíòàðíûìè âîçáóæäåíèÿìè. Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé, îáñóæ-

äàâøèéñÿ â ðàçäåëå 3.4, âêëþ÷àþò â ñåáÿ òîëüêî ïðîöåññû, ñâÿçàí-

íûå ñ èñïóñêàíèåì è ïîãëîùåíèåì ôîòîíîâ ëþáîãî òèïà, òî åñòü íåé-

òðàëüíûõ âîçáóæäåíèé. Òåì ñàìûì âñå ýëåìåíòàðíûå àêòû âçàèìî-

äåéñòâèÿ ñîõðàíÿþò çàðÿä. Ýòè ýëåìåíòàðíûå àêòû ìîãóò áûòü ñîçäà-

íèåì èëè óíè÷òîæåíèåì ýêñèòîíà, îáðàçîâàíèåì èëè àííèãèëÿöèåé â

îäíîì ñòîëêíîâåíèè ýëåêòðîíà è äûðêè, îáðàçîâàíèåì èîíèçîâàííî-

ãî ñîñòîÿíèÿ öåíòðà è ýëåêòðîíà â çîíå ïðîâîäèìîñòè, è ïðè ýòîì

îñòàëüíûå íåïðèâîäèìûå âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ îñòàþòñÿ íåèç-

ìåííûìè.

Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îïèñàííîå â ðàçäåëå 3.4, ÿâëÿåòñÿ

óðàâíåíèåì áîëüöìàíîâñêîãî òèïà. Ýòî ïðåäïîëàãàåò, ÷òî äëèòåëü-

íîñòü àêòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìíîãî êîðî÷å âðåìåíè ìåæäó ýëåìåíòàð-

íûìè àêòàìè ðàññåÿíèÿ. Ïîýòîìó òàêèå êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìî-

ãóò îïèñûâàòü òîëüêî ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèå âîçáóæäåíèÿ. Ýòî

îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûå âîçáóæäåíèÿ äîëæíû áûòü âûáðàíû òà-

êèì îáðàçîì, ÷òîáû ó÷èòûâàòü ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòè-

öàìè, êîòîðîå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ñòðóêòóðû ýëåìåíòàðíûõ âîç-

áóæäåíèé. Íàïðèìåð, ñèëüíîå ðàññåÿíèå íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî ýëåê-

òðîíà íà íèçêîýíåðãåòè÷åñêîé äûðêå áóäåò ïðàâèëüíî ó÷èòûâàòüñÿ

ïðè ðàññìîòðåíèè ýêñèòîííîãî ñîñòîÿíèÿ â îáëàñòè êîíòèíóóìà ýíåð-

ãèé, à íå ïðè ðàññìîòðåíèè îòäåëüíûõ ýëåêòðîííûõ è äûðî÷íûõ ñî-

ñòîÿíèé. Òåì ñàìûì âðåìåííîé êðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè

210 Ãëàâà 4. Âòîðè÷íûå ïðîöåññû

êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ áîëüöìàíîâñêîãî òèïà ñîîòâåòñòâóåò îá-

ñóæäåííîìó âûøå ýíåðãåòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ñóùåñòâîâàíèÿ íåçàâè-

ñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé.

Â òàêîì ïðèáëèæåíèè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

îòëè÷íû

îò íóëÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè

îòëè÷àåòñÿ îò

êâàíòîâûìè ÷èñ-

ëàìè òîëüêî îäíîãî ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, à êâàíòîâûå ÷èñëà

îñòàëüíûõ âîçáóæäåíèé ñîõðàíÿþòñÿ (ýòî ýêâèâàëåíòíî ïðåíåáðå-

æåíèåì òðîéíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè â óðàâíåíèè Áîëüöìàíà). Íàáîð

êâàíòîâûõ ÷èñåë âêëþ÷àåò â ñåáÿ îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ëþáîãî âîçáóæ-

äåíèÿ — òî åñòü åãî îòñóòñòâèå. Ïîñêîëüêó âñå èçìåíåíèÿ âîçáóæäå-

íèé ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ ôîòîíàìè íå ìîãóò èçìåíèòü çàðÿä, ïî îò-

äåëüíîñòè ýëåêòðîí è äûðêà íå ìîãóò áûòü ñîçäàòüñÿ èëè èñ÷åçíóòü.

Òåì ñàìûì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû, íàïðèìåð, îïåðàòîðà

, ìîãóò èìåòü

èíäåêñû

λ0

λλ

′

äëÿ ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè íåéòðàëüíûõ

âîçáóæäåíèé, è

0,kk

′

äëÿ ïåðåõîäîâ, â êîòîðûõ ó÷àñò-

âóþò ýëåêòðîíû è äûðêè. Ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ äâóõ ÷àñòèö (îäíîãî

ýëåêòðîíà è îäíîé äûðêè) ÿâëÿåòñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè îäíî÷àñòè÷-

íûì ïðîöåññîì, ÷òî íàèáîëåå ÿâíî ïðîÿâëÿåòñÿ â êàðòèíå îäíîýëåêò-

ðîííûõ ñîñòîÿíèé (ñì. ðàçäåë 5.1).

17.2 Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

Ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

, èñïîëüçîâàííàÿ â ðàçäåëàõ

3.2—3.4, ïðåäóñìàòðèâàåò çàäàíèå êâàíòîâûõ ÷èñåë âñåõ ýëåìåíòàð-

íûõ âîçáóæäåíèé, âõîäÿùèõ â ñîñòîÿíèå

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåîá-

õîäèìî çàäàòü âñå âîçìîæíûå òèïû ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé

(α = ehex,,

è ò.ä.), ÷èñëî òàêèõ âîçáóæäåíèé

â ñîñòîÿíèè

êâàíòîâûå ÷èñëà

, õàðàêòåðèçóþùèå êàæäîå

-å ýëåìåíòàðíîå âîç-

áóæäåíèå (

ìîæåò áûòü íàáîðîì ÷èñåë):

n NNN

hex

t i ii ii i() ( , , ; , , ; , ,=

KK K

111

{}

t;;),K

NN N

ee e

=∞=∞= ∞01 01 0 1,, ,; ,, ,; ,, ,;KK KK

(17.1)

Ýòà ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ íîðìèðîâàííîé:

NNN

di di di

== =

∏∏∏

∫

11 1N =

∞

∑

. (17.2)

Çäåñü ñóììà âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñóììèðîâàíèå ïî âñåì òèïàì âîçáóæäå-

íèé:

N NNN=

∞

∑∑∑∑

≡

0000

§ 17. Ñïåêòð âîçáóæäåíèé â äèýëåêòðèêàõ 211