Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

−= −

−

∑

LA LA

NFbbediv

ur q

() ( )( )

Çäåñü ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïðîâîäèòñÿ ïî âîëíîâûì âåêòîðàì

ïðîäîëüíûõ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ. Â êóáè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ ïîïå-

ðå÷íûå ôîíîíû íå äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ â äåôîðìàöèîííîì ïîòåíöè-

àëå, ïîñêîëüêó ïîïåðå÷íûå ôîíîíû â èçîòðîïíîì êðèñòàëëå íå ïðè-

âîäÿò ê èçìåíåíèÿì îáúåìà. Ýòè òèïû àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ äîëæ-

íû ó÷èòûâàòüñÿ òîëüêî â ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ è ñåãíåòîýëåêòðè÷åñ-

êèõ êðèñòàëëàõ (ñì. íèæå, ðàçäåë 18.3). Êîýôôèöèåíò

îïðåäåëÿ-

åòñÿ âûðàæåíèåì

()q

=−σ

, (14.2)

ãäå

— ñóììàðíàÿ ìàññà àòîìîâ â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå,

— ñêî-

ðîñòü çâóêà â êðèñòàëëå, ñâÿçàííàÿ ñ ÷àñòîòîé àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ

ñîîòíîøåíèåì

Ω

LA LA

c()qq=

Ïîñëå ïåðåõîäà ê ýëåêòðîííûì îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è óíè÷òî-

æåíèÿ îïåðàòîð ýëåêòðîí-ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàïèñûâàåòñÿ â

âèäå

() ( )

int

H =−

−

∑

NFaabb

LA LA

. (14.3)

Êàæäîå ñëàãàåìîå â ýòîé ñóììå ñîîòâåòñòâóåò ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíà ñ

èìïóëüñîì

â ñîñòîÿíèå ñ èìïóëüñîì

h()kq+

, ñîïðîâîæäàþùååñÿ

ïîãëîùåíèåì ôîíîíà ñ èìïóëüñîì

èëè èñïóñêàíèåì ôîíîíà ñ èì-

ïóëüñîì

−hq

. Ïåðåõîäàìè ýëåêòðîíà ìåæäó ðàçëè÷íûìè âåòâÿìè

ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà ìû çäåñü ïðåíåáðåãàåì.

Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü âëèÿíèå ôîíîíîâ íà ýëåêòðîííûé

ñïåêòð, ìîæíî âû÷èñëèòü ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ýíåðãèþ ýëåêò-

ðîííîãî ñîñòîÿíèÿ âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé:

() ()

int

()

() ()

;

() ()

kq k

kq q

=−

−

−+ −

hΩ E

()

∑

. (14.4)

Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñîñòîÿíè-

ÿì áåç ôîíîíîâ ñ âîëíîâûì âåêòîðîì

è ñîñòîÿíèåì ñ îäíèì

ôîíîíîì ýòîé ìîäû

− ;1

ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ñ ïîìîùüþ

(14.3):

172 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

kq k

−=;

;

int

H σ

MNc

Çíàìåíàòåëü (14.4) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî

. Ïîñëå ïîäñòà-

íîâêè

()0

â ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ìàññû

∗

çíàìåíàòåëü

(14.4) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

22[( ) ]qq Q kq+−

∗

, (14.5)

ãäå

Qqq=

∗

2mc

sLA

. Ïåðåõîäÿ îò ñóììèðîâàíèÿ ïî

ê èíòåãðèðîâà-

íèþ, íåñëîæíî ïîëó÷èòü çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíà ïðè ìàëûõ

Bk A

()

k =−













−

∗

, (14.6)

ãäå

xx=−++













1ln( )

−+ +













()

ln( )

xaQ=π

ζσ π=

∗

()

mvQMh

— îáúåì ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè

êðèñòàëëà,

— ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

— ïîëîæè-

òåëüíûå êîíñòàíòû, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ñ ôîíîíà-

ìè ïðèâîäèò ê ïîíèæåíèþ äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè, óâåëè÷åíèþ ýô-

ôåêòèâíîé ìàññû ýëåêòðîíà çà ñ÷åò âîâëå÷åíèÿ èîííîé ïîäñèñòåìû â

äâèæåíèå ýëåêòðîíà. Â ýòèõ æå ïðèáëèæåíèÿõ ìîæíî îöåíèòü ñðåä-

íåå ÷èñëî ôîíîíîâ, îêðóæàþùèõ ýëåêòðîí:

nxxxQc

LAq

=+−+ζ[ln( ) ( )]11h

Â ñëó÷àå ñëàáîé ñâÿçè, êîãäà òîëüêî è ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé

âîçìóùåíèÿ,

îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå åäèíèöû. Òàêîå ýëåêòðîííîå

ñîñòîÿíèå, îêðóæåííîå «îáëàêîì» âèðòóàëüíûõ ôîíîíîâ, íàçûâàåò-

ñÿ ïîëÿðîíîì. Ýòî íàçâàíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîñòîÿíèé, ÿâëÿþùèõ-

ñÿ ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ëþáûì òèïîì ôîíîíîâ, íåçàâèñèìî

îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ âûçâàííîé ôîíîíàìè ïîëÿðèçàöèè ðåøåò-

êè.

Ðàäèóñ òàêîãî ïîëÿðîíà ìîæíî îöåíèòü èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðå-

äåëåííîñòè äëÿ âîëíîâîãî âåêòîðà âèðòóàëüíûõ ôîíîíîâ, çíà÷åíèå

êîòîðîãî ïî ìîäóëþ ïîðÿäêà

. Òåì ñàìûì ðåøåòêà âîçìóùàåòñÿ

ýëåêòðîíîì íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà

2π Q

, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì

ñëó÷àå ìíîãî áîëüøå ïîñòîÿííîé ðåøåòêè

. Â ñâÿçè ñ ýòèì òàêèå ïî-

ëÿðîíû íàçûâàþòñÿ ïîëÿðîíàìè áîëüøîãî ðàäèóñà.

Óðàâíåíèå (14.6) ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ

k <Q 2

. Äëÿ áîëüøèõ

çíàìåíàòåëü (14.5) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ

§14. Ïîëÿðîíû 173

Ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ïðîöåññ ðåàëüíîãî èñïóñêàíèÿ ôî-

íîíà ýëåêòðîíîì. Óñëîâèå

k <Q 2

ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ÷åðåíêîâñ-

êîãî èçëó÷åíèÿ ôîòîíà ýëåêòðîíîì â ñðåäå. Ñêîðîñòü ýëåêòðîíà

h k m

∗

äëÿ ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ

k =Q 2

ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà â ñðå-

äå

, ïîýòîìó òîëüêî ýëåêòðîíû ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ ìîãóò èñïóñ-

êàòü çâóêîâûå âîëíû – ôîíîíû. Ââîäÿ â çíàìåíàòåëü ôîðìóëû

(14.4) ñîãëàñíî àäèàáàòè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ òåîðèè âîçìóùåíèé

áåñêîíå÷íî ìàëóþ ìíèìóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì, ÷òî ýíåðãèÿ

()

òàêæå

ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíîé:

EE i

() ()

() () () ()

kkkk=++∆Γ

ãäå

∆()k

îïðåäåëÿåò ñäâèã ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ çà ñ÷åò âçàèìîäåéñò-

âèÿ ñ ôîíîíàìè, à

Γ()k

— åãî øèðèíó:

∆

Ω

()

;

() () (

int

() ()

kq k

kq q k

=−

−

−+ −

V.p.

h )

() ;

;

() ()

int

()

kkqk

kq q

∑

=− ×

×−+−

Ω

h()

()

().

(14.7)

Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè

ëèøü äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû è ìàëûõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ

k <Q 2

à äëÿ áîëüøèõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ, è òåì ñàìûì, áîëüøèõ ýíåðãèé,

ñòàíîâÿòñÿ íåñòàöèîíàðíûìè. Òèïè÷íûå âðåìåíà æèçíè òàêèõ ñîñòî-

ÿíèé ïîðÿäêà

h 210 10

13 12

Γ≈ ÷

−−

Äëÿ êîíå÷íûõ òåìïåðàòóð íåîáõîäèìî ó÷åñòü ðàâíîâåñíîå ðàñï-

ðåäåëåíèå ôîíîíîâ è âêëþ÷èòü íå òîëüêî ïðîöåññû èñïóñêàíèÿ ôî-

íîíîâ, íî è èõ ïîãëîùåíèÿ:

∆

Ω

()

;

() ()

int

() ()

kq k

kq q

=−

±−

V.p.

()

() ;

;

()

int

()

kkqk

∑∑

=±×

×±

Γπ

()hΩ

E() () .

()

qk−

Ìû çäåñü îïÿòü èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå

äëÿ óñðåäíåíèÿ

ïî ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ ôîíîíîâ

{}n

. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ýòîãî

174 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

óñðåäíåíèÿ øèðèíà ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé

Ω

()

(( ) () ())

() ()

kq q k

−+ −

−

∑

πσ

MNc

p( ( ) )

(( ) () ())

exp

() ()

−







+− −

Ω

LA B

kq q kδ

(())

hΩ

LA B

kTq −







(14.8)

Ïðè

T >0

ýòî âûðàæåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ ïðè âñåõ

, ò.å. ýëåêòðîí-

íûå ñîñòîÿíèÿ ïåðåñòàþò áûòü ñòàöèîíàðíûìè çà ñ÷åò ïîãëîùåíèÿ è

èñïóñêàíèÿ ôîíîíîâ. Âòîðîé ÷ëåí â (14.8) óìåíüøàåòñÿ ñ ïàäåíèåì

òåìïåðàòóðû, è äëÿ íóëåâûõ òåìïåðàòóð (14.8) ïåðåõîäèò â (14.7).

14.2 Ïîëÿðîíû áîëüøîãî ðàäèóñà. Ïîëÿðèçàöèîííîå

âçàèìîäåéñòâèå

Â èîííûõ êðèñòàëëàõ áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îïòè÷åñêèå ôîíî-

íû, êîòîðûå íå ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ îáúåìà, íî ñâÿçàíû ñ âîçíèê-

íîâåíèåì ïîëÿðèçàöèè êðèñòàëëà. Â ïîëíóþ ïîëÿðèçàöèþ êðèñòàëëà

âíîñÿò âêëàä êàê èîíû, òàê è ýëåêòðîíû. Ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿ-

ìè ñâÿçàíà òîëüêî èîííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëÿðèçàöèè. Äëÿ òîãî, ÷òî-

áû âûäåëèòü âêëàä èîííîé ïîäñèñòåìû, çàìåòèì, ÷òî íà íèçêèõ ÷àñ-

òîòàõ (â ñòàòè÷åñêîì ñëó÷àå

ω<<Ω

) â ïîëÿðèçàöèþ âíîñÿò âêëàä

êàê èîííàÿ, òàê è ýëåêòðîííàÿ ïîäñèñòåìû; åñëè æå ÷àñòîòû âûáðàòü

â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà (

Ω

LO g

E<< <<ω h

), òî ëèøü

âêëàä ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Âêëàä èîííîé

ïîäñèñòåìû â ïîñëåäíåì äèàïàçîíå ÷àñòîò áûñòðî óìåíüøàåòñÿ (êàê

Ω

), ïîñêîëüêó èîíû íå óñïåâàþò ñëåäèòü çà èçìåíÿþùèìñÿ

çíà÷åíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùàÿ íàñ

èîííàÿ ÷àñòü ïîëÿðèçàöèè ðàâíà

Pr Dr Dr

() () ()

()

=−













−−

























∞

πε ε

4πε

∗

ãäå

∞

— ñîîòâåòñòâåííî ñòàòè÷åñêàÿ è âûñîêî÷àñòîòíàÿ äèýëåê-

òðè÷åñêèå ïðîíèöàåìîñòè, à

εε

∗

∞

−

=−













(14.9)

– ýôôåêòèâíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü. Èíåðöèîííàÿ ÷àñòü

ïîëÿðèçàöèè ñîçäàåò â êðèñòàëëå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ïîòåíöèàë êî-

òîðîãî ðàâåí

§14. Ïîëÿðîíû 175

divPr

()′

−′

′

∫

. (14.10)

Â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ãàìèëüòîíèàí âçàèìî-

äåéñòâèÿ èìååò âèä (14.3) ñ çàìåíîé

íà

opt

()q

=−

∗

hΩ

. (14.11)

Ýòîò ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ áûë âïåðâûå ââåäåí Ôðåëèõîì

(1954, 1962).

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñèëû ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè óäîáíî

ââåñòè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð

∗

2h Ω

Äëÿ áîëüøèíñòâà èîííûõ êðèñòàëëîâ åãî çíà÷åíèå èçìåíÿåòñÿ â ïðå-

äåëàõ îò 1 äî 10. Òàê æå êàê è â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ àêóñòè÷åñêè-

ìè ôîíîíàìè, ìîæíî ïî ôîðìóëå (14.4) îöåíèòü âëèÿíèå ôîíîíîâ íà

ñäâèã êðàÿ çîíû ïðîâîäèìîñòè è èçìåíåíèÿ ýôôåêòèâíîé ìàññû

ýëåêòðîíà. Ïðè

α<1

ñïðàâåäëèâà òåîðèÿ âîçìóùåíèé, è ìîæíî ïîëó-

÷èòü

()

k =−













−

∗

αΩ

Ñðåäíåå ÷èñëî âèðòóàëüíûõ ôîíîíîâ, âõîäÿùèõ â îáðàçîâàíèå «îäå-

òîãî» ýëåêòðîíà, îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì

α 2

. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû

áûëè ïîëó÷åíû áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì äëÿ ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè

α<6

áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé. Ôåéíìàí (1955, 1972),

èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî òðàåêòîðèÿì, ïîëó÷èë ñëåäóþ-

ùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè:

()

k =

−

∗

216α

αΩ

Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî òåîðèÿ ïîëÿðîíîâ îêàçàëàñü õîðîøåé ìî-

äåëüþ äëÿ ïðîâåðêè è ðàçâèòèÿ òåîðèè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñ

êâàíòîâàííûìè ïîëÿìè. Ïîýòîìó â ðàçâèòèè ýòîé òåîðèè ó÷àñòâîâà-

ëè ìíîãèå êðóïíûå ôèçèêè.

Êàê óæå îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 14.1, ïîëÿðîííûå ñîñòîÿíèÿ ñ

íèçêîé ýíåðãèåé ñòàáèëüíû ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå. Îäíàêî ïîðîã

íåñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ àêóñòè÷åñêèõ

176 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

ôîíîíîâ èç-çà íåçàâèñèìîñòè (â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè)

Ω

îò

Èìåííî, ýëåêòðîí ìîæåò èñïóñòèòü ðåàëüíûé ôîíîí, åñëè åãî ýíåð-

ãèÿ ïðåâûøàåò ýíåðãèþ ïðîäîëüíîãî îïòè÷åñêîãî ôîíîíà

hΩ

. Øè-

ðèíà ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà

Ω

() ()

(( ) ())

exp(

() ()

kq k

−+ −

−−

∑

opt

Ω

LO B

)

(( ) ())

exp( )

() ()







+− −δ

kq k

−







(14.12)

Ïðîöåññû èñïóñêàíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ôîíîíîâ ïîäðîáíî ðàññìàòðèâà-

þòñÿ â ïàðàãðàôå 18.

Ïîðîãîâàÿ ýíåðãèÿ äëÿ èñïóñêàíèÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ îêàçû-

âàåòñÿ çàìåòíîé (

hΩ

~10 40÷

ìýÂ), â òî âðåìÿ êàê ïîðîãîâàÿ ýíåð-

ãèÿ äëÿ èñïóñêàíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ êðàéíå ìàëà (ïîðÿäêà

ac ac

∗−−

254

210 10~

ýÂ).

14.3 Êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå

Îïèñàíèå ýëåêòðîí-ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðîâåäåííîå â

ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, îñíîâûâàëîñü íà ïðåäïîëîæåíèè îá îòíîñè-

òåëüíî ñëàáîì ýëåêòðîí-ôîíîííîì âçàèìîäåéñòâèè. Â íàñòîÿùåì

ðàçäåëå áóäåò ðàññìîòðåí ñëó÷àé ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Òàêîé

ñëó÷àé íå ðåàëèçóåòñÿ â áîëüøèíñòâå êðèñòàëëîâ, íî ñ êà÷åñòâåííîé

òî÷êè çðåíèÿ î÷åíü âàæíî.

Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíîì è ïîëÿ-

ðèçàöèåé ðåøåòêè ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàçîâàíèþ ïîòåíöèàëüíîé

ÿìû è çàõâàòó ýëåêòðîíà â ýòó ÿìó, áûëî âïåðâûå âûñêàçàíî Ëàíäàó

(1933) è ðåàëèçîâàíî â äåòàëÿõ Ïåêàðîì (1951). Ïåêàð èñïîëüçîâàë

äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîí-ðåøåòî÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ êîíòèíóàëüíîå

ïðèáëèæåíèå, êîãäà äåôîðìàöèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ

êàê íåïðåðûâíûå ïëàâíûå ôóíêöèè, èçìåíÿþùèåñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ,

áîëüøèõ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè. Îòäåëüíûå ôîíîíû â òàêîì ïîäõîäå

íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Òàêîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ñèëüíîé

ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè (

α>>1

Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå ôóí-

êöèîíàëà îò âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà

ψ()r

è èîííîé ïîëÿðèçàöèè

Pr()

{, } () ()

()

ψψ ψ

πε

Pr r

=−

∇













+−

∗

∫

2 PrDr() () ,dr

∫

(14.13)

§14. Ïîëÿðîíû 177

ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èîííîé ïîëÿðèçàöèè

êðèñòàëëà:

Udrdr==

∫∫

∗

323

DrPr Pr() () ()πε

— âåêòîð èíäóêöèè, ñâÿçàííûé ñ ïîëÿðèçàöèåé

Pr()

(

∗

πε

Dr r

() ( )=′

′−

′

∫

edrψ

(14.14)

— âåêòîð èíäóêöèè, ñîçäàâàåìûé çàðÿäîì ýëåêòðîíà ñ ðàñïðåäåëå-

íèåì

. Òðåòüå ñëàãàåìîå â (14.13) îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ âçàèìîäåéñ-

òâèÿ ýëåêòðîíà ñ ðåøåòêîé. Â òàêîì ïîäõîäå ó÷èòûâàåòñÿ êèíåòè÷åñ-

êàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (ïåðâîå ñëàãàåìîå â (14.13)), îäíàêî â ñîîò-

âåòñòâèè ñ àäèàáàòè÷åñêèì ïðèáëèæåíèåì êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðå-

øåòêè îïóñêàåòñÿ.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ

íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë

(14.13) ïðè óñëîâèè íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè

ψ()r

. Â ïåðâóþ

î÷åðåäü ìèíèìèçèðóåì

E{, }ψ P

ïî îòíîøåíèþ ê âàðèàöèÿì

Pr()

. Ýòî

ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ íà ôóíêöèîíàëüíóþ

ïðîèçâîäíóþ

δψ δE{, }PP= 0

. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò ñâÿçü

Pr()

ñ èíäóêöèåé (14.14), ñîçäàâàåìîé ýëåêòðîíîì:

Pr Dr() ()=

∗

4πε

. (14.15)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðåøåíèå â

E{, }ψ P

, íàõîäèì ôóíêöèîíàë, çàâèñÿùèé

óæå òîëüêî îò âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà

dr dr{ } () ()ψψ

πε

=∇ −

∗∗

∫∫

323

rDr

ãäå

îïðåäåëåíî â (14.14).

Ïåêàð (1951) íàøåë ìèíèìóì ýòîãî ôóíêöèîíàëà ñ ïîìîùüþ

ïðîáíîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà

() exp( )r =

−

, (14.16)

êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé, íîðìèðîâàííîé è äîñ-

òàòî÷íî ãëàäêîé â òî÷êå

r = 0

(â ýòîé òî÷êå èìååò íóëåâóþ ïðîèçâîä-

íóþ). Ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèè

Er E() { ()}

=ψr

îòíîñèòåëüíî

äàåò

çíà÷åíèå

rme

∗∗

h ε

. Óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî

ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ

, ãäå

— ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè.

178 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

Çíà÷åíèå ýíåðãèè ïîëÿðîíà äëÿ ïðîáíîé ôóíêöèè (14.16) îêàçûâàåò-

ñÿ ðàâíûì

Eme

0 054=−

∗∗

, h ε

. Ýòà ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ

òåðìè÷åñêîé äèññîöèàöèè ïîëÿðîíà ñ ðàçðóøåíèåì ïîëÿðèçàöèîí-

íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ýíåðãèÿ îïòè÷åñêîé äèññîöèàöèè ïîëÿðîíà

áîëüøå

â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì Ôðàíêà-Êîíäîíà. Îïòè-

÷åñêèé ïåðåõîä ïðîèñõîäèò áåç ðàçðóøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ýòî

îçíà÷àåò, ÷òî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó (14.10),

ñîçäàííóþ ïîëÿðèçàöèåé ðåøåòêè (14.15), âûçâàííîé âîëíîâîé ôóí-

êöèåé (14.16), è íàéòè â òàêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ýíåðãèþ îñíîâíîãî

ñîñòîÿíèÿ. ×èñëåííûé ðàñ÷åò äàåò âåëè÷èíó

Eme

0163=−

∗∗

, h ε

÷òî â òðè ðàçà áîëüøå

. Ïîñêîëüêó ïðè îïòè÷åñêîì ïåðåõîäå ÿìà

ñðàçó íå ðàçðóøàåòñÿ, òî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå

ðàâíî ýíåðãèþ ôî-

òîèîíèçàöèè ïîëÿðîíà.

Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè â èîííûõ

êðèñòàëëàõ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ïîëÿðîíà áîëüøîãî ðàäèóñà.

Íî â ðÿäå êðèñòàëëîâ íàáëþäàþòñÿ ïîëÿðîíû ìàëîãî ðàäèóñà. Îáðà-

çîâàíèå òàêèõ âîçáóæäåíèé òàêæå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî â êîíòè-

íóàëüíîì ïðèáëèæåíèè. Àêóñòè÷åñêèå äåôîðìàöèîííûå ôîíîíû èã-

ðàþò â ýòîì ïðîöåññå âàæíóþ ðîëü (Toyozawa, 1961, 1974).

Äåôîðìàöèîííûé ïîòåíöèàë ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç îòíîñè-

òåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè

ρ() ()rur=div

â âèäå

−σρ()r

(14.1). Ïëîòíîñòü ýíåðãèè äåôîðìàöèè ðàâíà

βρ

, ãäå

—

óïðóãàÿ ïîñòîÿííàÿ êðèñòàëëà. Òàêèì îáðàçîì ýíåðãèÿ ïîëÿðîííîãî

ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì

E{, ,}ψρP

, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ îò

(14.13) íàëè÷èåì äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ÷ëåíîâ

−+

∫∫

σψρ

() ()rrdr dr

Ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà

E{, ,}ψρP

ïî

äàåò òîò æå ðåçóëüòàò

(14.15), ÷òî è ðàíüøå, ìèíèìèçàöèÿ ïî

äàåò

ρσψβ()r =

. Ïîäñòà-

íîâêà ýòèõ çíà÷åíèé â

E{, ,}ψρP

äàåò çàâèñÿùèé òîëüêî îò

ψ()r

ôóíê-

öèîíàë. Îáñóäèì íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà ýòîãî ôóíêöèîíàëà.

Ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà â âèäå

ψµ µ() ( ) ( )r = afra

, (14.17)

çàâèñÿùåì îò âàðèàöèîííîãî ïàðàìåòðà

. Ôóíêöèÿ

fx()

ïðåäïîëàãà-

åòñÿ íîðìèðîâàííîé:

π xf xdx()

∞

∫

. Åñëè ñðåäíåå çíà÷åíèå

äëÿ

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

()

ïîðÿäêà åäèíèöû, òî ñðåäíåå çíà÷åíèå

äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

ïîðÿäêà

a µ

. Ïîñêîëüêó äëÿ ïðèìåíèìîñòè

§14. Ïîëÿðîíû 179

êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ

a µ

äîëæíî áûòü áîëüøå

,òî

äîëæ-

íî áûòü ìåíüøå åäèíèöû.

Ïîäñòàíîâêà (14.17) â ôóíêöèîíàë

E{}ψ

è âûíåñåíèå ñòåïåíåé

çà çíàêè èíòåãðàëîâ äàåò

EB g g

() ( )µµµµ=−−

, (14.18)

ãäå

— êîíñòàíòû, îïðåäåëÿåìûå êîíêðåòíûì âèäîì

fx()

Åñëè âûáðàòü

fx x() exp( )=−2

34 2

, òî ýòè êîíñòàíòû ðàâíû

∗

πh

∗

πβ3

ema

∗

πε h

Âèäíî, ÷òî

ñâÿçàíî ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà,

îïðåäå-

ëÿåòñÿ äåôîðìàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíà-

ìè, à

— ïîëÿðèçàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ îïòè÷åñêèìè ôîíî-

íàìè. Çíà÷åíèÿ

îïðåäåëÿþò òèï êðèâîé

E()µ

. Ýêñòðåìóìû

êðèâîé

E()µ

îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì

23 0

µµ−−=gg

, (14.19)

ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä

113 3

[]=± −gg g

Ïîëåçíî ïîñòðîèòü íå òîëüêî êðèâûå

E()µ

(ðèñ. 37, à), íî òàêæå è ôà-

çîâóþ äèàãðàììó â êîîðäèíàòàõ ñèëû ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè äëÿ

äåôîðìàöèîííîãî è ïîëÿðèçàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèé (ðèñ. 37, á).

Çíà÷åíèå

(

µµ

) ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîìó ìèíèìóìó êðèâîé

E()µ

, à çíà÷åíèå

– ëîêàëüíîìó ìàêñèìóìó. Â ñëó÷àå

≠0

ýíåð-

ãèÿ

E()µ

ñ ðîñòîì

ñòðåìèòñÿ ê

−∞

. Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî îáëàñòü

ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ (

01≤≤µ

). Â ñëó÷àå

µµ

1<<

(ìîæíî ïîêà-

çàòü, ÷òî îí ðåàëèçóåòñÿ

ïðè

+<32

) ó ôóíê-

öèîíàëà

E()µ

èìååòñÿ

òîëüêî îäèí ìèíèìóì,

ñîîòâåòñòâóþùèé ñîñòîÿ-

íèþ ñ îòíîñèòåëüíî áîëü-

øèì ðàäèóñîì (òàê íàçû-

âàåìûé ñâîáîäíûé ïîëÿ-

ðîí, îáîçíà÷àåìûé áóê-

âîé

Åñëè óðàâíåíèå

(14.19) íå èìååò ðåøåíèé

180 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

E()µ

FS()

SF()

13/

23/

Ðèñ. 37. Çàâèñèìîñòü ýíåãðèè

E()µ

îò âàðèà-

öèîííîãî ïàðàìåòðà

(ëåâàÿ ïàíåëü) è ôàçî-

âàÿ äèàãàðììà ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ñî-

ñòîÿíèé ïîëÿðîíà (ïðàâàÿ ïàíåëü).

(

31gg

) èëè

(

31g

+>32

) ýíåðãèÿ

E()µ

óìåíüøà-

åòñÿ ñ ðîñòîì

äî òåõ ïîð, ïîêà íå ñòàíåò íàðóøàòüñÿ óñëîâèå

ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ (

µ<1

). Òåì ñàìûì äëÿ

ýòîãî ñëó÷àÿ íåò âàðèàöèîííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î ìèíèìèçàöèè ôóí-

êöèîíàëà

E()µ

â îáëàñòè

µ<1

, è äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîñòîÿíèÿ àâòîëîêà-

ëèçîâàííîãî ïîëÿðîíà òðåáóåòñÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèé ïîäõîä. Òàêîå

ñîñòîÿíèå îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé

. Êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå äàåò

òîëüêî òîò ðåçóëüòàò, ÷òî íåò ðåøåíèé ñ áîëüøèì ðàäèóñîì, è ÷òî ñòà-

áèëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿðîíà èìååò ìàëûé ðàäèóñ. Ýíåðãèÿ òàêîãî ïî-

ëÿðîíà ìîæåò áûòü ãðóáî îöåíåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû

(14.18) ïðè

µ=1

Â òîé ÷àñòè ôàçîâîé äèàãðàììû, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ

31gg

31g

+>32

, îäíîâðåìåííî ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü

îáà òèïà ðåøåíèé. Â çàâèñèìîñòè îò èõ îòíîñèòåëüíûõ ýíåðãèé ìîãóò

ðåàëèçîâûâàòüñÿ äâà ñëó÷àÿ: ñòàáèëüíîå ñâîáîäíîå ðåøåíèå è ìåòàñ-

òàáèëüíîå àâòîëîêàëèçîâàííîå (îáîçíà÷àåìîå êàê

FS()

), èëè íàîáî-

ðîò (

SF()

). Äëÿ ñëó÷àÿ

SF()

àêòèâàöèîííûé áàðüåð ìåæäó äâóìÿ

ñîñòîÿíèÿìè ìîæåò áûòü îöåíåí êàê

EBgg g

=−413 27

32 2

()

Â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå

FS()

àêòèâàöèîííûé áàðüåð íå ìîæåò

áûòü îöåíåí äîñòàòî÷íî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó êîíòèíóàëüíîå ïðèá-

ëèæåíèå óæå ïëîõî ïðèìåíèìî äëÿ

µ=1

Ïîäîáíûé àíàëèç áûë ïðîâåäåí Òîÿçàâîé (1980, 1983) äëÿ áîëåå

ñëîæíîãî ñëó÷àÿ àâòîëîêàëèçàöèè ïîëÿðîíà â ïðèñóòñòâèè äåôåêòà.

Àâòîëîêàëèçàöèÿ èãðàåò çíà÷èòåëüíóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè

âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ òâåðäûìè òåëàìè. Ïðè ïðåäûäóùåì ðàññìîò-

ðåíèè îáñóæäàëàñü àâòîëîêàëèçàöèÿ çàðÿäà áåç óòî÷íåíèÿ, ýëåêòðîí

ýòî èëè äûðêà. ×àùå âñåãî íàáëþäàåòñÿ àâòîëîêàëèçàöèÿ äûðêè, êî-

òîðàÿ õîðîøî èçó÷åíà â èîííûõ êðèñòàëëàõ. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå

ñòðóêòóðû òàêîé äûðêè ïðåäñòàâëåíî íèæå.

Â òâåðäûõ òåëàõ ìîãóò íàáëþäàòüñÿ áîëåå ñëîæíûå ñëó÷àè îáðà-

çîâàíèÿ àâòîëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé. Àâòîëîêàëèçîâàííûé ýêñè-

òîí (self-trapped exciton, STE) ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì òàêîãî âîçáóæäå-

íèÿ. ×èñëî ïàðàìåòðîâ ïðè ýòîì ìíîãî áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå îòäåëü-

íîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó ïîâåäåíèå ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû áîëåå

ñëîæíîå è ðàçíîîáðàçíîå. Â ñëó÷àå äâóõ ÷àñòèö ñ ïðîòèâîïîëîæíûì

çíàêîì çàðÿäà ðîëü ïîëÿðèçàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýôôåêòèâíî

îñëàáåâàåò èç-çà äàëüíîäåéñòâóþùåãî õàðàêòåðà ýòîãî âçàèìîäåéñò-

âèÿ (ïîëÿ ýëåêòðîíà è äûðêè ÷àñòè÷íî êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà).

Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîðîòêîäåéñòâóþùåå äåôîð-

ìàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ñ ðåøåòêîé. Îñíîâíîå âëèÿíèå ïî-

ëÿðèçàöèÿ ðåøåòêè èìååò íà èçìåíåíèå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñò-

âèÿ (÷òî âûðàæàåòñÿ âî ââåäåíèè ïîñòîÿííûõ

èëè

∞

, êàê ýòî

§14. Ïîëÿðîíû 181