Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

ef i

aka

rd0=

∗∗

∗

()

( ) sin[( ) ( )]

[(

32ν

ννν

νν

arctg

∗+

)]

()212ν

ãäå ââåäåíî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå èìïóëüñà ýëåêòðîíà â çîíå ïðîâîäè-

ìîñòè

km E

=−

∗

2( )hω

. Óäîáíî ââåñòè áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó

Xka m EmE

cIii

==−

∗∗ ∗

() ( )νω

2 h

. Â ñëó÷àå âîäîðîäîïîäîáíîãî äå-

ôåêòà

()ν=1

âêëàä â

εω

()

ïðîïîðöèîíàëåí

XX()1

, â ñëó÷àå êî-

ðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà ñî ñëàáûì êóëîíîâñêèì âêëàäîì –

1XX()+

. Êàê âèäèì, íà ïîðîãå ôîòîèîíèçàöèè ïðè

X <<1

âêëàä â

îáëàäàåò îñîáåííîñòüþ Âàí-Õîâà, êîòîðàÿ, åñòåñòâåííî,

ñâÿçàíà ñ îñîáåííîñòüþ ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé çîíû ïðîâîäèìîñòè.

Ïîãëîùåíèå ðàñòåò äî çíà÷åíèé ïîðÿäêà

X ~1

(òî åñòü

hω−

∗∗

EmEm

Iiic

). Â äàëüíåéøåì íàñòóïàåò ñïàä âêëàäà â

, áî-

ëåå ðåçêèé â âîäîðîäîïîäîáíîì ñëó÷àå ìåëêîãî äåôåêòà è áîëåå ñëà-

áûé â ñëó÷àå êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà (ðèñ. 28).

Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèè íå

ó÷èòûâàëèñü ýôôåêòû ýëåêòðîí-

íî-äûðî÷íûõ êîððåëÿöèé, ïðèâî-

äÿùèõ â ñëó÷àå ìåæçîííûõ ïåðå-

õîäîâ ê ýêñèòîííûì ýôôåêòàì. Â

äåéñòâèòåëüíîñòè âîëíîâàÿ ôóíê-

öèÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ

íå ÿâ-

ëÿåòñÿ ïëîñêîé âîëíîé. Ìîæíî è

äëÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ââåñòè

îãèáàþùóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ â

ðàìêàõ ïðèáëèæåíèÿ ýôôåêòèâ-

íîé ìàññû èìååò âîäîðîäîïîäîá-

íûé õàðàêòåð äëÿ íåïðåðûâíîãî

ñïåêòðà. Âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íûõ

ýëåìåíòîâ â ýòîì ñëó÷àå ïðèâîäèò

ê èíòåãðàëó, âêëþ÷àþùåìó íå

òîëüêî

()r

, íî è âîäîðîäîïîäîá-

íóþ ôóíêöèþ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, ñîîòâåòñòâóþùóþ âîëíîâîìó

âåêòîðó

. Àíàëîãè÷íûå èíòåãðàëû âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè ôî-

òîèîíèçàöèè àòîìà âîäîðîäà. Â ýòîé çàäà÷å (Bethe, Salpeter, 1957)

ïîêàçàíî, ÷òî íà ïîðîãå ôîòîèîíèçàöèè çàâèñèìîñòü âêëàäà â

ïðî-

ïîðöèîíàëüíà íå

, à âåëè÷èíå

exp( )

−

−−

42 2

122

arctg ( )

Ýòà âåëè÷èíà èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå ïðè

X →0

. Êîíå÷íîå

142 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

0,3

0,5

0,7

1,0

∆

îòí.åä.

Ðèñ. 28. Çàâèñèìîñòü ñå÷åíèÿ ôî-

òîèîíèçàöèè îò ýíåðãèè íàä ïîðî-

ãîì äëÿ ðàçíîé äîëè äàëüíîäåéñò-

âóþùèõ ñèë: îò êóëîíîâñêîãî

ν=1

äî êîðîòêîäåéñòâóþùåãî

ν→0

ïî-

òåíöèàëà.

çíà÷åíèå

εω

()

íà ïîðãå ôîòîèîíèçàöèè íå îçíà÷àåò ñêà÷êà ïîãëîùå-

íèÿ. Â äåéñòâèòåëüíîñòè äëÿ çàðÿæåííûõ äåôåêòîâ áåç ýêðàíèðîâà-

íèÿ, ê êîòîðûì òîëüêî è ïðèìåíèìî âñå âûøåèçëîæåííîå, ñóùåñòâó-

åò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî óðîâíåé íèæå ïîðîãà èîíèçàöèè. Èíòåíñèâ-

íîñòü ïåðåõîäà â ýòè êâàçèäèñêðåòíûå ñîñòîÿíèÿ òàêîâà, ÷òî, êàê è

äëÿ ýêñèòîíà Âàíüå—Ìîòòà, íà ïîðîãå èîíèçàöèè íèêàêèõ îñîáåí-

íîñòåé â

εω

()

íå âîçíèêàåò.

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, âûøåèçëîæåííîå íå ñîâñåì ïðèìåíèìî ê

ôîòîèîíèçàöèè öåíòðîâ òèïà

−

, ïîñêîëüêó îòðûâàåìûé ýëåêòðîí

ñâÿçàí ñ îñòîâîì ëèøü êîðîòêîäåéñòâóþùèì ïîòåíöèàëîì. Íàëè÷èå

òàêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ìîæåò ïðèâîäèòü ê óñèëåíèþ ïîãëîùåíèÿ

ñðàçó çà ïîðîãîì è ê ñìåùåíèþ ìàêñèìóìà ïîãëîùåíèÿ â îáëàñòü

ìåíüøèõ ýíåðãèé ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì

ν→0

ïðåäûäóùåãî ðàññ-

ìîòðåíèÿ. Ïîñêîëüêó ÷èñëî óðîâíåé â êîðîòêîäåéñòâóþùåì ïîòåí-

öèàëå êîíå÷íî, îñîáåííîñòè Âàí-Õîâà ïðè ïîãëîùåíèè ñ ôîòîèîíè-

çàöèåé òàêèõ öåíòðîâ äîëæíû ïðîÿâëÿòüñÿ.

§10. Ôîòîèîíèçàöèÿ äåôåêòîâ 143

§11 Íåóïîðÿäî÷åííûå ñèñòåìû

Äåôåêòû êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè èìåþòñÿ âî âñåõ êðèñòàëëàõ.

×àñòî èõ êîíöåíòðàöèÿ ñòàíîâèòñÿ íàñòîëüêî áîëüøîé, ÷òî ñòàíîâèò-

ñÿ áåññìûñëåííî ãîâîðèòü î òðàíñëÿöèîííîé ñèììåòðèè. Óâåëè÷åíèå

êîíöåíòðàöèè äåôåêòîâ â ïåðâóþ î÷åðåäü íàðóøàåò äàëüíèé ïîðÿ-

äîê. Îäíàêî äëÿ óìåðåííûõ êîíöåíòðàöèé áëèæíèé ïîðÿäîê ìåíÿåò-

ñÿ ñëàáî (íàïðèìåð, íå ìåíÿåòñÿ êîîðäèíàöèîííîå ÷èñëî äëÿ àòîìîâ

êðèñòàëëà). Äëÿ áîëüøîé êîíöåíòðàöèè äåôåêòîâ íàðóøàåòñÿ è

áëèæíèé ïîðÿäîê, è òâåðäîå òåëî ñòàíîâèòñÿ ñòåêëîì èëè àìîðôíûì

âåùåñòâîì.

Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ñîâðå-

ìåííîé è áûñòðî ðàçâèâàþùåéñÿ îáëàñòüþ íàóêè, è èì ïîñâÿùåíî

áîëüøîå ÷èñëî êíèã (Ìîòò, Äåâèñ, 1971, Çàéìàí, 1979, Ëèôøèö è

äð, 1982, Áîí÷-Áðóåâè÷ è äð., 1981). Çäåñü ìû îáñóäèì òîëüêî íåêî-

òîðûå àñïåêòû ïîâåäåíèÿ ýòèõ èíòåðåñíûõ ñèñòåì, êîòîðûå âàæíû â

ñïåêòðîñêîïèè òâåðäûõ òåë.

Ïåðâûì î÷åâèäíûì ðàçëè÷èåì ìåæäó ñèñòåìîé áåç äàëüíåãî ïî-

ðÿäêà è êðèñòàëëîì ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîñòü ââåäåíèÿ êâàçèèìïóëü-

ñà, ïîñêîëüêó íàðóøàåòñÿ òðàíñëÿöèîííàÿ ñèììåòðèÿ, è ïîýòîìó òåî-

ðåìà Áëîõà ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâîé. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî ââåñòè

ïîíÿòèå çîíû Áðèëëþýíà, çàêîíà äèñïåðñèè è âñå äðóãèå ïîíÿòèÿ,

ÿâëÿþùèåñÿ îñíîâîé ñïåêòðîñêîïèè êðèñòàëëîâ. Îäíàêî èìååòñÿ

áîëüøîé êëàññ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ ýòè ïîíÿòèÿ â

íåêîòîðîé ñòåïåíè ïðèìåíèìû. Ýòî ñèñòåìû ñ áëèæíèì ïîðÿäêîì,

äëÿ êîòîðûõ ìîæíî ââåñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ðàçìåðû

êâàçèêðèñ-

òàëëè÷åñêèõ îáëàñòåé (äëÿ ñèñòåì ñ òî÷å÷íûìè äåôåêòàìè, äèñëîêà-

öèÿìè, äâóìåðíûìè äåôåêòàìè è ïðî÷.) Ýòè ðàçìåðû çàâèñÿò îò êîí-

öåíòðàöèè äåôåêòîâ, íàïðèìåð, äëÿ òî÷å÷íûõ äåôåêòîâ ñ êîíöåíòðà-

öèåé

ýòîò ðàçìåð ïîðÿäêà

−13

. Òåì ñàìûì â îáëàñòÿõ ñ ëèíåéíû-

ìè ðàçìåðàìè

ìîæíî ââåñòè êâàçèâîëíîâîé âåêòîð

, íåîïðåäåëåí-

íîñòü çàäàíèÿ êîòîðîãî

∆k

çàâèñèò îò

∆k ≈π d

. (11.1)

Åñëè ñðåäíåå ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå

ìíîãî ìåíüøå

, òî ýòà íåîï-

ðåäåëåííîñòü ìíîãî ìåíüøå ìàêñèìàëüíîãî âîëíîâîãî âåêòîðà (

êîòîðûé ïîðÿäêà

π a

). Äëÿ îïèñàíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ÿâëåíèé â òà-

êèõ ñëàáî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàðòèíó,

îñíîâàííóþ íà ñâîéñòâàõ èäåàëüíîãî êðèñòàëëà. Ñîñòîÿíèÿ êðèñòàë-

ëà ìîãóò ÿâëÿòüñÿ íà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ ðàññå-

èâàþòñÿ äåôåêòàìè è òåì ñàìûì ïðèîáðåòàþò êîíå÷íîå âðåìÿ æèçíè.

Íåîïðåäåëåííîñòü ýíåðãèè

∆E

ïîðÿäêà

∆∆

∆

≈≈≈

∂

ππ

kvh

(11.2)

ãäå èñïîëüçîâàíî îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè âîçáóæäåíèÿ

vk=

−

∂∂E

ñîîòíîøåíèå (11.1). Èíòåðâàë âðåìåíè

∆t

ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíè, íå-

îáõîäèìîìó âîçáóæäåíèþ íà ïåðåñå÷åíèå îáëàñòè ðàçìåðîì ïîðÿäêà

∆td= v

. Ñîîòíîøåíèå (11.2) ìîæåò áûòü òàêæå ïîëó÷åíî èç ñîîò-

íîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ìåæäó ýíåðãèåé è âðåìåíåì. Ýòîò ðå-

çóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå ñèíãóëÿðíîñòè â ñïåêòðå ýíåðãèé (â ÷àñò-

íîñòè, ñèíãóëÿðíîñòè Âàí Õîâà) ñãëàæèâàþòñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî

èíòåðâàëó ýíåðãèè ïîðÿäêà (11.2).

Ñïåêòðû îïòè÷åñêîãî ïîãëîùåíèÿ òàêèõ ñèñòåì â îáëàñòè ôóíäà-

ìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ áëèçêè ê ñïåêòðàì êðèñòàëëîâ, çà èñêëþ÷å-

íèåì îòñóòñòâèÿ âûðàæåííûõ îñîáåííîñòåé.

Åñëè ñòåïåíü íåóïîðÿäî÷åííîñòè äîñòàòî÷íî âûñîêà, òî â ñèñòå-

ìå ìîæåò íå íàáëþäàòüñÿ è áëèæíèé ïîðÿäîê. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì

ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå âîëíîâîãî âåêòîðà è

äðóãèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë, òðàäèöèîííî èñïîëüçóåìûõ â ôèçèêå êðèñ-

òàëëîâ. Åäèíñòâåííîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòü

ñïåêòð ýíåðãèé, ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé

gE()

. Êàê âûøå îòìå-

÷àëîñü, äëÿ ñëàáî íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íåçíà-

÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé äëÿ êðèñòàëëà. Íàè-

áîëüøèå îòëè÷èÿ ïðîÿâëÿþòñÿ â çîíàõ çàïðåùåííûõ ýíåðãèé è âáëè-

çè îò êðàåâ çîí. Ïðèìåðîì ýòîãî ñëóæèò ðàññìîòðåííàÿ â ðàçäåëå 9.4

ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ çàðÿæåííûõ äåôåêòîâ. Õâîñòû ïëîòíîñòè

ñîñòîÿíèé ïîÿâëÿþòñÿ ó êàæäîãî êðàÿ çîí. Ýòîò ïðèìåð ÿâëÿåòñÿ îä-

íèì èç âîçìîæíûõ èçìåíåíèé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé. Åñëè äåôåêòû

ãëóáîêèå, íåéòðàëüíûå è ò.ä., òî ðåçóëüòàòû îòëè÷àþòñÿ îò îïèñûâà-

åìûõ ôîðìóëîé (9.4). Õâîñòû ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ìîãóò èìåòü äðó-

ãóþ çàâèñèìîñòü îò ýíåðãèè (íàïðèìåð, ýêñïîíåíöèàëüíóþ), îíè ìî-

ãóò áûòü íåìîíîòîííûìè è ïðî÷. Òåì ñàìûì â çîíå, áûâøåé çàïðå-

ùåííîé, ìîãóò íàáëþäàòüñÿ íîâû ïèêè ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé. Äëÿ

ñèëüíî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì õâîñòû îò äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè è

îò ïîòîëêà âàëåíòíîé çîíû ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ. Òåì ñàìûì íèêàêîé

çàïðåùåííîé çîíû (â ïðåæíåì ñìûñëå ýòîãî ïîíÿòèÿ) ìîæåò íå íàá-

ëþäàòüñÿ.

Íåñìîòðÿ íà ýòî, äàæå ñèñòåìû ñ ïåðåêðûâàþùèìèñÿ õâîñòàì

§11. Íåóïîðÿäî÷åííûå ñèñòåìû 145

ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ìîãóò áûòü äèýëåêòðèêàìè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì,

÷òî íåïðåðûâíîñòü ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé íå ãàðàíòèðóåò äåëîêàëèçî-

âàííûé õàðàêòåð âîëíîâûõ ôóíêöèé. Ãëóáîêèå ñîñòîÿíèÿ îêàçûâà-

þòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-ðàçäåëåííûìè, è ïåðåíîñ âîçáóæäåíèÿ ñ îäíî-

ãî ñîñòîÿíèÿ íà äðóãîå èìååò ìàëóþ âåðîÿòíîñòü. Îïðåäåëåíèå ãðà-

íèöû ïîäâèæíîñòè âîçáóæäåíèé ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ

òåîðèè ïåðêîëÿöèè (ïðîòåêàíèÿ).

Ñïåêòð ïîãëîùåíèÿ íåóïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü ðàññ-

÷èòàí àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ êðèñòàëëîâ. Ôîðìóëû

(3.8) è (3.32) ìîãóò áûòü âûâåäåíû áåç êàêèõ-ëèáî ïðåäïîëîæåíèé î

òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ñèñòåìû. Åäèíñòâåííûì ïðåäïîëî-

æåíèåì ÿâëÿåòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ îäíîðîäíîñòü

ñèñòåìû. Ñëåäñòâèåì òåîðåìû Áëîõà äëÿ êðèñòàëëà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî

âõîäÿùèé â (3.32) êâàäðàò ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà

()

−

îòëè÷åí

îò íóëÿ òîëüêî äëÿ ñîñòîÿíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèþ

kk k

. Äëÿ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì ýòî íåñïðàâåäëèâî. Â ñî-

îòâåòñòâèè ñ âûøåñêàçàííûì, äëÿ ñëàáî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì

âîëíîâîé âåêòîð óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ

kk k

d−−≤π

â òî âðåìÿ êàê äëÿ ñèëüíî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì íà âîëíîâûå âåê-

òîðà íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé. Â ïîñëåäíåì ïðåäåëü-

íîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî çàìåíèòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîíñòàíòîé. Ýòî

ïðèâîäèò ê èçâåñòíîìó ñîîòíîøåíèþ

εω ω ω

1()~ ()()( )[ ( )]dEgE fE gE fE+−+

∫

, (11.3)

òî åñòü äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ñâåðòêå

ïëîòíîñòåé ñîñòîÿíèé äëÿ ñâîáîäíîé

gE()+ hω

è çàïîëíåííîé

gE()

çîí. Ïîñêîëüêó

gE()

äëÿ äåëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé áëèçêè ê

ïëîòíîñòÿì ñîñòîÿíèé êðèñòàëëà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèå

gE E E

()~ −

äëÿ çîíû ïðîâîäèìîñòè è

gE E()~ −

äëÿ âàëåíòíîé

çîíû âáëèçè èõ äíà è ïîòîëêà, ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

εω ω

()~( )h − E

âáëèçè ïîðîãà ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ

()hω>E

. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî îñîáåííîñòè Âàí Õîâà â

ñïåêòðå ïîãëîùåíèÿ ïðîïàäàþò.

Íèæå îáëàñòè ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ ôîðìóëà (11.3)

ïåðåîöåíèâàåò ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. Ýòî

ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàçëè÷íûå ëîêàëèçîâàííûå ñîñòîÿíèÿ ïðîñòðàíñò-

âåííî ìîãóò íå ïåðåêðûâàòüñÿ, è òåì ñàìûì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îòëè-

÷åí îò íóëÿ òîëüêî äëÿ ñîñòîÿíèé ñ ïåðåêðûâàþùèìèñÿ âîëíîâûìè

ôóíêöèÿìè. Òåì ñàìûì â (11.3) ïðîÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèÿ

146 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

çàïîëíåííûõ è ñâîáîäíûõ ñîñòîÿíèé.

Ðàññìîòðèì äâà ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ ñèñòåì ñ ïàðàìåòðàìè, êîòî-

ðûå ìåäëåííî ìåíÿþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì êàæäûé

ôèçè÷åñêè ìàëûé îáúåì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èäåàëüíûé êðèñ-

òàëë, íî ïàðàìåòðû ýòèõ êðèñòàëëèêîâ ìåíÿþòñÿ îò îäíîé òî÷êè ê

äðóãîé. Ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòðàíñòâåííîìó èçìåíåíèþ

çàïðåùåííîé çîíû. Äíî çîíû ïðîâîäèìîñòè

()r

è ïîòîëîê âàëåíò-

íîé çîíû

()r

ìîãóò ïëàâíî èçìåíÿòüñÿ. Òåì ñàìûì çàïðåùåííàÿ

çîíà

EUU

gcv

() () ()rrr=−

òàêæå ìåíÿåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå. Ïîýòîìó

äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü òàêîãî êðèñòàëëà ìîæåò áûòü çàïè-

ñàíà â ôîðìå

εω εω;

() () ( )=+

∫

dP E

∆∆ ∆

, (11.4)

ãäå

εω;

()E

— äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü êðèñòàëëà ñ çàïðå-

ùåííîé çîíîé

,à

P()∆

— âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðàçíèöà

()r −

ìåæäó ìèêðîñêîïè÷åñêîé è ñðåäíåé çàïðåùåííîé çîíàìè ðàâíà

∆

Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ïëàâíûõ ôëóêòóàöèé ñ ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëå-

íèåì õâîñò

εω

()

òàêæå èìååò ãàóññîâñêèé õàðàêòåð:

εω ω

()~exp[ ( )]−−CE

, ãäå

— êîíñòàíòà, óìåíüøàþùàÿñÿ ñ

óâåëè÷åíèåì ñòåïåíè íåóïîðÿäî÷åííîñòè.

Òàêèå íåêîððåëèðîâàííûå èçìåíåíèÿ

()r

ìîãóò áûòü

âûçâàíû êîðîòêîäåéñòâóþùèì ôëóêòóàöèîííûì ïîòåíöèàëîì, ñâÿ-

çàííûì, íàïðèìåð, ñ èçìåíåíèÿìè ïîñòîÿííîé ðåøåòêè. Åñëè ñäâèã

çîí ñâÿçàí ñ ôëóêòóàöèÿìè çàðÿæåííûõ îáëàñòåé â ñèñòåìå, ýëåêòðè-

÷åñêîå ïîëå äåéñòâóåò íà ýëåêòðîíû â çîíå ïðîâîäèìîñòè è â âàëåíò-

íîé çîíå îäèíàêîâî. Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå

UU E

cvg

() ()rr=+

, è îò-

ñþäà

()r =

. Òåì ñàìûì ôîðìóëà (11.4) ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíè-

ìîé. Äðóãîé ïîäõîä ê ýòîé ïðîáëåìå ìîæåò ïðèâåñòè â ïîëó÷åíèþ ðå-

çóëüòàòà. Çàðÿæåííûå îáëàñòè â êðèñòàëëå ñîçäàþò ýëåêòðè÷åñêîå

ïîëå

E()r

. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü âûðàæåíèÿ äëÿ äèýëåêò-

ðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå (5.5). Òåì ñàìûì äèý-

ëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñèñòåìû ñ çàðÿæåííûìè îáëàñòÿìè ìî-

æåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

εω εω;

() () ( )=

∫

dPEE E

, (11.5)

ãäå

P()E)

— âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå

â îáðàçöå.

Â ñëó÷àå ñëó÷àéíî ðàñïðåäåëåííûõ çàðÿæåííûõ ïðèìåñåé ñ êîíöåíò-

ðàöèåé

ðàñïðåäåëåíèå

P()E)

ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Õîëüöìàðêà

(ñì., íàïðèìåð, Êëèìîíòîâè÷, 1980):

PH() ( )E) E E E=

−

§11. Íåóïîðÿäî÷åííûå ñèñòåìû 147

ãäå

26= , en

, òî åñòü èìååò ïîðÿäîê ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè

−13

îò

ïðèìåñè, à íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ

H()β

ðàâíà

Hdxxxe

( ) sin( )βπβ β=

−−

∞

∫

è èìååò ìàêñèìóì âáëèçè

β≈16,

, è àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå

H()~ββ

ïðè

β<<1

H()~ββ

−52

ïðè

β>> 1

Äëÿ ïëàâíûõ ïîëåé ñ ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì äèýëåêòðè÷åñ-

êàÿ ïðîíèöàåìîñòü èìååò âèä

εω ω

( ) ~ exp[ ( )]−−GE

, òî åñòü âåäåò

ñåáÿ ýêñïîíåíöèàëüíî â îáëàñòè ýíåðãèé

hω<E

â ýòîé ôîðìóëå

ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé (Áîí÷-Áðóåâè÷ è äð., 1981). Òàêàÿ çàâèñèìîñòü

äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè íèæå êðàÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîã-

ëîùåíèÿ èçâåñòíà êàê ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííîå ïðàâèëî Óð-

áàõà. Ýòîò çàêîí áûë îáíàðóæåí äëÿ êðèñòàëëîâ (Urbach, 1953), äëÿ

êîòîðûõ îí èìååò äðóãîå îáúÿñíåíèå (ñì. ïàðàãðàô 15). Îäíàêî àíà-

ëîãè÷íàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü òî

æå íàèìåíîâàíèå è äëÿ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì.

148 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

Ãëàâà 3

Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé

ðåøåòêå

§12 Ôîíîíû â êðèñòàëëàõ

12.1 Ôîíîíû â èäåàëüíîì êðèñòàëëå

Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ èñõîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà êðèñòàëëà

(4.1). Â ïðåäûäóùåé ãëàâå ïðåíåáðåãàëîñü äâèæåíèåì ÿäåðíîé ïîä-

ñèñòåìû. Çäåñü ìû ó÷òåì âëèÿíèå äâèæåíèÿ ÿäåð íà ýëåêòðîííûå

ñâîéñòâà. Çàïèøåì ýòîò ãàìèëüòîíèàí â âèäå

$$$ $

(, )HTT V

=+ +

, (12.1)

ãäå

— ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò âñåõ ýëåêòðîíîâ è ÿäåð,

— êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ÿäåð è ýëåêòðîíîâ, à

(, )V rR

— îïåðàòîð ïî-

òåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Èññëåäóåì áîëåå ïîäðîáíî ïðèáëèæåíèå ïî

ìàëîìó ïàðàìåòðó

, ãäå

— ìàññû ýëåêòðîíà è ÿäðà. ×àñòî-

òû äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ íàìíîãî âûøå, ÷åì ÿäåð. Ïîýòîìó ýëåêòðî-

íû â êàæäûé ìîìåíò íàõîäÿòñÿ êàê áû â ñòàòè÷åñêîì ïîëå ÿäåðíîé

ïîäñèñòåìû. Íàïðîòèâ, ÿäðà «÷óâñòâóþò» òîëüêî óñðåäíåííûé ïî

áûñòðîìó äâèæåíèþ ýëåêòðîíîâ ïîòåíöèàë. Íàèáîëåå ïîñëåäîâà-

òåëüíî ýòî îòðàæåíî â èäåå àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ, èëè ïðèá-

ëèæåíèÿ Áîðíà—Îïïåíãåéìåðà. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ

ôóíêöèÿ èùåòñÿ â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ôóí-

êöèé, çàâèñÿùèõ îò ýëåêòðîííûõ è èîííûõ êîîðäèíàò:

Φ(, ) (; ) ( )rR rR R=ψ χ

(12.2)

Ýëåêòðîííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ

ψ(; )rR

çàâèñèò îò èîííûõ êîîðäè-

íàò

êàê îò ïàðàìåòðîâ. Ôèêñèðóÿ êîîðäèíàòû ÿäåðíîé ïîäñèñòåìû

è ïîëàãàÿ

, ïîëó÷àþò óðàâíåíèå äëÿ

ψ(; )rR

è ïîëàãàÿ

, ïîëó÷àþò óðàâíåíèå äëÿ

ψ(; )rR

[

(, )] (; ) ( ) (; )TV

E+=rR rR R rRψψ

. (12.3)

Çäåñü

()R

— ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå óðàâíåíèÿ (12.3) äëÿ äàííîé

êîíôèãóðàöèè ÿäåð

. Â ïðåäûäóùåé ãëàâå ýòî óðàâíåíèå èññëåäîâà-

ëîñü äëÿ ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè

. Óðàâíåíèå (12.3) ñëîæíåå

ïîñëåäíåãî õîòÿ áû òåì, ÷òî ïðè

RR≠

÷àñòè÷íî èëè ïîëíîñòüþ ñíè-

ìàåòñÿ òðàíñëÿöèîííàÿ è òî÷å÷íàÿ ñèììåòðèÿ ñèñòåìû.

Óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè

χ()R

ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì ñïîñî-

áîì. Ïðèìåíèì îïåðàòîð

(12.1) ê ôóíêöèè (12.2):

(, ) ( ) (; ) ( )

(; ) ( )

(

Φ rR R rR R rR R

=+ =

∑

ψχ ψχ

;) ()

()

(; )

RR R

RrR













∑

χψ

[

()][

( ; )] .PPχψRrR

∑













(12.4)

Â òåîðèè àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷ëåíû â

ôèãóðíîé ñêîáêå ìàëû, ïîñêîëüêó

ψ(; )rR

çàâèñèò îò

îòíîñèòåëüíî

ñëàáî. Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè è

âîëíîâîé ôóíêöèè ðåøåòêè:

() () ()

∑













=RR Rχχ

Ýòî æå óðàâíåíèå ìîæíî âûâåñòè è èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà, èñ-

ïîëüçóÿ ôóíêöèþ (12.2) â êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè. Â ýíåðãèþ

()R

âõîäÿò êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èîí-

íûõ îñòîâîâ (÷ëåí

ZZ e

RR−

≠

∑

), òàê è ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó

îñòîâîì è ýëåêòðîííûìè îáîëî÷êàìè.

Êàê âûøå óæå óêàçûâàëîñü,

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü

êîîðäèíàò âñåõ àòîìîâ. Åñëè â îñíîâíîé îáëàñòè êðèñòàëëà íàõîäèò-

ñÿ

ýëåìåíòàðíûõ ÿ÷ååê, à êàæäàÿ ÿ÷åéêà ñîñòîèò èç

àòîìîâ, òî

èìååò

3Nσ

êîìïîíåíò. Ââåäåì

Nσ

òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ îòêëîíåíèé

nα

(

– íîìåð àòîìà â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå, ñîîòâåòñâóþùåé ðàäè-

óñ-âåêòîðó

). Òîãäà

()R

ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî îòêëîíåíèÿì:

150 Ãëàâà 3. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â äåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

EE A uu

ee ijij

() ()

;

RR=+ + +

∑∑

′′ ′′

′′

nn n n

αα

αα α α

αα

Âûñøèå ÷ëåíû, îòâåòñòâåííûå çà àíãàðìîíè÷íîñòü êîëåáàíèé ðåøåò-

êè, ìîæíî îïóñòèòü âñëåäñòâèå èõ ìàëîñòè â áîëüøèíñòâå èíòåðåñ-

íûõ äëÿ ñïåêòðîñêîïèè ñëó÷àåâ. Â èäåàëüíîì êðèñòàëëå ìàòðèöà

ijnnαα;

′′

ìîæåò çàâèñåòü ëèøü îò

nn−′

. Âñëåäñòâèå ýòîãî óäîáíî ïå-

ðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì ñìåùåíèé:

αα

()ku

−−

∑

i12

ãäå

ïðèíèìàåò

äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé èç ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà.

Ïåðåõîäÿ è â âîëíîâîé ôóíêöèè ê íîâûì êîîðäèíàòàì, ìîæíî ïîëó-

÷èòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, äåéñòâóþùèé íà

, â âèäå ìàòðèöû

33σσ×

, êîìïîíåíòû êîòîðîé çàâèñÿò îò âîëíîâîãî âåêòîðà

. Äèàãî-

íàëèçàöèÿ ýòîé ìàòðèöû ïðèâåäåò ê

3σ

óðàâíåíèÿì äëÿ êàæäîãî

îïðåäåëÿþùèõ íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ, íàçûâàåìûå ìîäàìè, ñ ñîáñò-

âåííûìè çíà÷åíèÿìè

Ω

()k

. Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ

êâàíòîâûì óðàâíåíèåì äëÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé

Ω

()k

, ãäå

— íî-

ìåð âåòâè êîëåáàíèé. Âåêòîð Ôóðüå-êîìïîíåíò ñìåùåíèé

, ñîîò-

âåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ

Ω

()k

, îïðåäåëÿåò ñìåùåíèå

àòîìà ðåøåòêè ïðè êîëåáàíèÿõ ìîäû

. Ñìåùåíèå êàêîãî-ëèáî àòîìà

áóäåò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû

ýòîãî

îñöèëëÿòîðà ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ

uek

αα

−

∑

NQe

()

. (12.5)

Â êðèñòàëëàõ, ñîäåðæàùèõ îäèí àòîì â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå, ñó-

ùåñòâóþò òðè âåòâè êîëåáàíèé. Äëÿ âñåõ ýòèõ âåòâåé

lim ( )

→

=Ω

. Îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì êîëåáàíèÿ êðèñòàë-

ëà íàçûâàþòñÿ àêóñòè÷åñêèìè, ïîñêîëüêó îíè ñâÿçàíû ñ ðàñïðîñòðà-

íåíèåì çâóêà â òâåðäîì òåëå. Â êóáè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ êîëåáàíèÿ

ìîæíî ðàçäåëèòü íà ïðîäîëüíûå, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèåì îáúåìà

ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè (îäíà âåòâü), è ïîïåðå÷íûå (äâå âåòâè). ×àñòî

ýòè òèïû íàçûâàþòñÿ

-è

-âåòâÿìè êîëåáàíèé. Åñëè ýëåìåíòàð-

íàÿ ÿ÷åéêà ñîäåðæèò íåñêîëüêî àòîìîâ, òî ïîÿâëÿþòñÿ, â äîïîëíåíèå

ê òðåì àêóñòè÷åñêèì âåòâÿì, åùå

31()σ−

âåòâåé. Äëÿ íèõ óæå

Ω

()0 ≠0

. Ïîñêîëüêó ÷àñòîòû

Ω

()k

ýòèõ âåòâåé ëåæàò â èíôðàêðàñ-

íîì äèàïàçîíå, òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ îïòè÷åñêèìè. Â êóáè-

÷åñêèõ êðèñòàëëàõ èõ òàêæå ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà ïðîäîëüíûå

è ïîïåðå÷íûå

-êîëåáàíèÿ.

Øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíû ñëåäóþùèå àïïðîêñèìàöèè ÷àñòîò êî-

ëåáàíèé. Äëÿ àêóñòè÷åñêèõ âåòâåé â çíà÷èòåëüíîé îáëàñòè çîíû

§12. Ôîíîíû â êðèñòàëëàõ 151