Валькова Т.А. и др. Теоретическая механика
Подождите немного. Документ загружается.
Поверхность конуса сцепления представляет собой геометрическое
место максимальных реакций
R
max
опорной плоскости. Пространство внутри
конуса сцепления соответствует совокупности возможных положений
реакции опорной плоскости в положении равновесия тела.
Следовательно, тело будет
находиться в равновесии, если реакция
R
опорной плоскости проходит внутри или
лежит на поверхности конуса сцепления.
Поэтому, если результирующая активных
сил
Q
(рис. 7.10) образует с нормалью к
шероховатой поверхности угол
меньший
угла сцепления
сц
, то никакой сколь угодно
большой силой
Q
нельзя сдвинуть тело
вдоль данной поверхности. Этим
объясняются явления заклинивания и самоторможения.
Трение качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении
одного тела по поверхности другого.
Рассмотрим круглый цилиндрический каток весом
Р
радиусом R,
лежащий на шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 7.11, а).
Приложим к оси катка горизонтальную силу
Q
меньшую
пр
F
. Тогда в точке
А контакта катка с неподвижной плоскостью возникнет нормальная реакция
N
и сила сцепления
сц
F
, которая будет препятствовать скольжению катка по
плоскости. При такой схеме качение должно начинаться под действием
любой малой силы
Q
, поскольку пара сил
сц
F ,Q
ничем не
уравновешивается. Однако опыт показывает, что этого не происходит.
В действительности вследствие деформаций тел касание катка с
плоскостью происходит по некоторой площадке АВ (рис. 7.11, б). При
действии сдвигающей силы
Q
интенсивность давления у края В больше чем
у края А. В результате нормальная реакция
N
(равнодействующая этих
давлений) оказывается смещенной на расстояние h в сторону действия силы
Q
. Следовательно, в положении равновесия на каток кроме пары сил
сц
F ,Q
с моментом
RQ
будет действовать уравновешивающая пара
Р,N
с моментом
hN
с
М
. (7.20)
сц
Q
R
Рис. 7.10
Этот момент
с
М
называется моментом трения качения.
Считая деформацию малой можно заменить систему сил на рис. 7.11, б
системой сил, изображенной на рис. 6.6, в, где в отличие от первой схемы
(рис. 7.11, а) к цилиндру приложен момент трения качения
с
М
.
Составим уравнения равновесия для цилиндра (рис. 7.11, в),
находящегося под действием плоской произвольной системы сил:
; 0m , 0 , 0
111
n
к
кА
n
к
ку
n
к
кx
)F(FF
или
.RQ
,PN
, FQ
C
сц
0M
0
0
Отсюда
,PN,FQ
сц
и с учетом (7.20)
hNRQ
C
M
. (7.21)
Из (7.21) находим
N
RQ
h
. (7.22)
Из (7.22) видно, что с увеличением силы
Q
растет расстояние h,
однако оно связано с размером площадки контакта АВ, и не может
неограниченно увеличиваться. Поэтому наступит такое состояние, когда
увеличение силы
Q
приведет к нарушению равновесия и цилиндрический
каток покатится.
Следовательно, каток находится в равновесии при
F
сц
Q
N
P
С
А
F
сц
Q
N
P
С
А
F
сц
Q
N
P
С
А
В
h
С
M
а б в
Рис 7.11
h
. (7.23)
Линейная величина
называется коэффициентом трения качения и
измеряется обычно в сантиметрах. Значение
зависит от материала и
определяется опытным путем. Например,
= 0,050,08 см при качении
дерева по дереву;
= 0,005 см при качении мягкой стали по стали (колесо по
рельсу);
= 0,001 см при качении закаленной стали по стали (шаровой
подшипник).
Условие равновесия (7.22) для катка можно записать в виде
M N
C
. (7.24)
или с учетом (7.21)
Q N
R
.
Следовательно, при равновесии катка отсутствие скольжения и качения
будет при одновременном выполнении двух условий:
NfQ
сц
;
.N
R
Q
(7.25)
Однако отношение
/ R
для большинства материалов меньше
коэффициента сцепления
cц
f
. Поэтому по мере увеличения сдвигающей силы
Q
сначала преодолевается второе условие (7.25), и для
/
сц
R
QfN
каток катится без скольжения. При
NfQ
сц
кроме качения катка
происходит еще и его скольжение.
Следовательно, для большинства материалов преодолеть
сопротивление качению легче, чем преодолеть сопротивление скольжению.
Поэтому в технике, когда возможно, стремятся скольжение заменить
качением (колеса, катки, шариковые и роликовые подшипники).
ЛЕКЦИЯ 8
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
Момент силы относительно оси
Проекция момента
)(m F
O
силы
F
относительно центра (точки) О, на
ось z, проходящую через этот центр, называется моментом силы
F
относительно оси z
, т. е.
m( ) m( ) cos
γ
ZO
FF
rr
r
(8.1)
где
γ
угол между вектором
m( )
O
F
r
r
и осью z (рис. 8.1).
Из (8.1) имеем, что момент силы
относительно оси
z
m( )
Z
F
r
r
является
алгебраической величиной, знак
которой определяется знаком
cos
γ
:
1) если
o
0 γ 90
, то
m( ) 0
Z
F
r
r
;
2) если
90 γ 180
oo
, то
m( ) 0
Z
F
r
r
;
3) если
o
90
, т. е. сила
F
коллинеарная оси z, то
m( ) 0
Z
F
r
.
Пусть точка О начало координат
декартовой системы. Тогда, проецируя
вектор
m( )
O
F
r
r
на оси, разложим его по
трем взаимно перпендикулярным
направлениям (рис. 8.2):
m( ) m( ) m( ) m( )
Ox y z
FFiFjFk
r
rr r r
rr
r
, (8.5)
где
m ( ), m ( ), m ( )
xyz
F
FF
rrr
моменты
силы
F
r
относительно осей Ох, Оу, Оz
соответственно.
Для получения аналитических формул для определения моментов силы
относительно декартовых осей распишем формулу (6.4) в декартовой системе
координат:
m ( )
O
xyz
ij k
FrF xyz
FFF
r
rr
rr
r
r
zy xz y x
y
FzFi zFxFj xF yFk
r
rr
. (8.6)
Сопоставляя (8.6) с (8.5), находим аналитические формулы для вычисления
моментов силы
F
относительно осей Ох, Оу, Оz:
m ( ) , m ( ) , m ( ) .
x
zy y xz z y x
FyFzF FzFxF FxFyF
rrr
(8.7)
O
F
h
A
F
O
()
m
r
x
y
z
F
z
()
m
Рис. 8.1
O
x
y
k
z
F
z
()
m
F
y
()
m
i
j
F
x
(
)
m
F
O
()
m
Рис. 8.2
Теперь получим простое правило вычисления момента силы
F
относительно оси z
. Для этого определим алгебраический момент
ху
F
r
проекции силы
F
на плоскость Оху, перпендикулярную оси z, относительно
точки О, лежащей в этой плоскости (рис. 8.3).
Воспользуемся теоремой Вариньона и разложим силу
ху
F
в точке
А
1
(х,у,0) на составляющие
1
F
и
2
F
, где
1
x
FF
и
2 y
FF
. Тогда согласно (6.3)
и (6.20)
12
m
O
х
уху yx
F
Fh FyF xF yF
rr
. (8.8)
Сравнивая (8.8) с (8.7), получаем
m( ) m
zOху ху
F
FFh
rrr
, (8.9)
где h − плечо силы
ху
F
относительно точки О.
Формула (8.9) дает простое правило вычисления момента силы
относительно оси: для вычисления момента силы относительно оси следует
спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и затем
определить алгебраический момент полученной проекции силы
относительно точки пересечения данной оси с этой плоскостью.
В (8.9)
m( )
Z
F
r
будет иметь знак «+», если с конца оси z сила
ху
F
видна,
стремящейся повернуть тело вокруг оси против хода часовой стрелки, и знак
«» по ходу часовой стрелки.
Момент силы относительно оси характеризует вращательный
эффект силы вокруг оси.
Из (8.9) следуют два важных для практики частных случая:
O
x
y
z
k
j
i
F
y
y
F
2
1
F
x
F
x
h
1
A
A
x
,
y
,
z
(
)
F
x
y
F
Рис. 8.3
1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен
нулю (
0
ху
F
r
);
2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент
относительно данной оси также равен нулю (h = 0
).
При вычислении момента силы относительно оси обычно пользуются
теоремой Вариньона для моментов силы относительно оси. Проецируя
векторное выражение (6.20) на ось
z, получим
1
m( ) m ( )
n
zzк
к
R
F
rr
. (8.10)
Момент равнодействующей относительно выбранной оси равен
алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси.
Вычисление главного вектора и главного момента
пространственной системы сил
Главный вектор
R
, равный геометрической сумме сил
12,3
, , , ...,FF F
rr r
n
F
r
, в декартовых координатах определяется по модулю и направлению
применением полученных выше формул (5.8) – (5.11).
Для вычисления главного момента
M
O
r
системы сил
12,3
, , , ...,
n
FF F F
rr r r
относительно центра (точки) О:
11
М m( ) ,
nn
ОО ккк
кк
F
rF
rrr
r
r
(8.11)
следует начало декартовой системы координат Охуz поместить в центре О,
и затем разложить вектор
M
O
r
по трем взаимно перпендикулярным
направлениям аналогично (8.5):
M( ) M M M
Oxyz
Fijk
r
rr
rr
. (8.12)
Здесь
zyx
M,M,M
− главные моменты системы сил
12,3
, , , ...,
n
FF F F
rr r r
относительно осей Ох, Оу, Оz соответственно, определяются как проекции
главного момента
M
O
r
на эти координатные оси:
111
M m ( ), M m ( ), M m ( ).
nnn
xxк yyк zzк
ккк
F
FF
rrr
(8.13)
Модуль и направление главного момента вычисляются по формулам:
222
MMMM ,
Oxyz
(8.14)
M
MM
cos M , cos M , cos M .
MMM
y
xz
OOO
OOO
ijk
r
rrr
rr
(8.15)
Частные случаи приведения пространственной системы сил
Согласно теореме Пуансо любую систему сил, действующую на
абсолютно твердое тело, можно заменить главным вектором
1
n
к
к
FR
,
приложенным в центре приведения, и парой сил с моментом
)(mМ
n
1к
кОО
F
, равным главному моменту системы сил относительно
центра приведения.
Рассмотрим частные случаи приведения системы сил к произвольному
центру О.
1)
.0М ,0
О
R
Если главный вектор системы сил не равен нулю, а её главный момент
относительно этого центра равен нулю, то система сил приводится к
равнодействующей
R
равной главному вектору, линия действия которой
проходит через центр приведения О.
2)
.0М ,0
О
R
Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент
относительно центра приведения О не равен гулю, то система сил
приводится к паре с моментом равным главному моменту
М
О
системы сил
относительно центра приведения О. Поскольку момент пары вектор
свободный, то в этом случае главные моменты системы сил
относительно любых центров приведения геометрически равны.
3)
RR
ОО
М ,0М ,0
(рис. 8.4, а).
Представим главный вектор
М
О
парой сил
RR
,
, лежащей в
перпендикулярной ему плоскости, такой, что
RRRR
,
, а плечо пары
/М Rd
О
(рис. 8.4, б).
Так как силы
R
и
R
образуют уравновешенную систему сил, то
согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что
исходная система сил приводится к равнодействующей
RR
, линия
действия которой проходит через точку О
1
, находящуюся в
перпендикулярной вектору
М
О
плоскости и отстоящую от центра
приведения О на расстоянии
1
М /
О
ОО d R
.
Так как силы
R
и
R
образуют уравновешенную систему сил, то
согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что
исходная система сил приводится к равнодействующей
RR
, линия
действия которой проходит через точку О
1
, находящуюся в
перпендикулярной вектору
М
О
плоскости и отстоящую от центра
приведения О на расстоянии
1
М /
О
ОО d R
.
4)
RR
ОО
М ,0М ,0
(рис. 8.5, а).
Представим главный вектор
М
О
парой сил
FF
,
, лежащей в
перпендикулярной ему плоскости (рис. 8.5, б).
Совокупность главного вектора
R
и пары сил
FF
,
с моментом
М
О
, лежащей в плоскости перпендикулярной линии действия силы
R
,
называется силовым винтом, или динамой. Прямая, по которой направлены
векторы
R
и
М
О
, называется осью динамы.
Следует отметить, что динама не допускает дальнейшего упрощения.
Действительно, сложив в точке О силы
R
и
F
, найдем вектор
FRQ
,
который лежит в плоскости перпендикулярной силе
F
. Поскольку силы
Q
и
F
направлены по скрещивающимся прямым, то их нельзя сложить (рис. 8.5, в).
O
R
О
O
d
1
R R
R R
=
90
О
M
О
а б
Рис. 8.4
5)
0, М 0, (М ,)
ОО
RR
rr rr
(см. рис. 8.6, а).
Разложим главный момент
М
О
в точке О на два вектора
М
О
и
М
О
(
OOО
MM М
), где
М
О
перпендикулярен главному вектору
, R
а
М
О
напра-
влен по нему (рис. 8.6, а). Определим модули этих векторов:
sinM М
OО
,
cosM М
OО
.
Согласно частному случаю 3) представим вектор
М
О
парой сил
R R
,
, лежащей в перпендикулярной ему плоскости, такой, что
RR ,
RR
, а плечо этой пары
/М Rd
О
(рис. 8.6, б). В точке О
силы
R
и
R
образуют уравновешенную систему сил, которая может быть
отброшена.
Поскольку момент
М
О
пары сил есть вектор свободный, то его можно
из центра О перенести в центр О
1
.
Тогда получаем, что исходная система сил приводится к главному
вектору
RR
, линия действия которого проходит через точку О
1
, и к паре
O
R
M
О
O
R
F
F
O
R
F
F
Q
а б в
Рис. 8.5
O
R
M
О
R
R
O
1
d
O
R
M
О
M
О
M
О
O
R
M
О
O
1
d
а б в
Рис 8.6
сил с моментом
М
О
параллельным вектору
R
r
. Согласно случаю 4) такая
система сил приводится к динаме, ось которой проходит через точку О
1
на
расстоянии
sinМ
1
R
d ОО
О
от центра приведения О (рис. 8.6, в).
6).
.0М ,0
О
R
В этом случае на абсолютно твердое тело действует уравновешенная
система сил. Следовательно, тело будет находиться в равновесии.
Уравнения равновесия для пространственной системы сил
В (7.17) было установлено, что для равновесия твердого тела,
находящегося под действием произвольной системы сил, необходимо и
достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно любого
центра для этой системы сил были равны нулю:
0, М 0
О
R
rr
. (8.16)
Найдем вытекающие из (8.16) аналитические условия равновесия для
пространственной системы сил.
1.
Произвольная пространственная система сил. Пусть абсолютное
твердое тело находится в равновесии под действием произвольной
пространственной системы сил (рис. 8.7). Условия (8.16) означают, что при
равновесии проекции векторов
R
r
и
М
О
r
на оси декартовой системы
координат Охуz
должны быть равны нулю, т. е.
0, 0, 0,
M 0, M 0, M 0.
х yz
xy z
RRR
(8.17)
С учетом (5.8) и (8.13) уравнения (8.17) запишем в виде шести скалярных
уравнений равновесия:
1
1
1
1) 0;
2) = 0;
3) 0;
n
кx
к
n
кy
к
n
кz
к
F
F
F
1
1
1
4) m ( ) 0;
5) m ( ) 0;
6) m ( ) 0.
n
x к
к
n
y к
к
n
z к
к
F
F
F
r
r
r
( 8.18)
Уравнения (8.18) называются
O
x
y
z
1
F
3
F
2
F
F
n
Рис. 8.7