Валькова Т.А. и др. Теоретическая механика

Подождите немного. Документ загружается.

Приравнивая правые части (11.19) и (11.16), находим коэффициент

жесткости с эквивалентной пружины

cc c





. (11.20)

Обобщая (11.20) на случай n параллельно соединенных пружин,

коэффициент жесткости

с эквивалентной пружины можно вычислить по

формуле





(11.21)

2. Если тело М подвешено к

двум последовательно

соединенным пружинам жесткости

(рис. 11.5, а), то эту

систему пружин заменяем одной

эквивалентной пружиной с

жесткостью

(рис. 11.3).

В положении статического

равновесия О (

0x 

на рис. 11.5, б)

для системы последовательно

соединенных пружин величину ее

полной статической деформации

ст

вычислим по формуле

ст 1ст 2ст

δδ δ





, (11.22)

где

1ст 2ст

δ , δ 

величины статических деформаций (удлинений) данных

пружин жесткостью

соответственно. Согласно (11.16) величины

статических деформаций (удлинений или сжатий) пружин под действием

силы

равны:

ст 1ст 2ст

δ , δ , δ .

PP P

cc c



(11.23)

Подставляя (11.23) в (11.22) и сокращая найденное равенство на величину

находим

111

cc c





. (11.24)



1ст



2ст



ст

2ст

1ст

а б

Рис. 11.5

Величины, обратные коэффициентам жесткости, называются

коэффициентами податливости.

Следовательно, при последовательном соединении пружин

податливость эквивалентной пружины равна сумме податливостей данных

пружин.

Из (11.24) найдем коэффициент жесткости

с эквивалентной пружины:





. (11.25)

Если обобщить формулу (11.24) на случай n последовательно

соединенных пружин с коэффициентами жесткости

, , ...,

cc c

, то

коэффициент жесткости

с эквивалентной пружины можно вычислить,

используя формулу





. (11.26)

В дальнейшем при решении задач о колебании тела М на произвольной

системе параллельно и последовательно соединенных пружин заменяем их

одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости с, который

определяем применением формул (11.21), (11.26) в зависимости от вида их

соединения.

Затухающие колебания точки

Рассмотрим материальную точку М массой m, движущуюся прямо-

линейно вдоль неподвижной оси Ох под действием восстанавливающей силы

и силы вязкого сопротивления среды





, которая направлена

противоположно вектору скорости

точки М (рис. 11.6).

Тогда

μμ

Vx 

, (11.27)

где

μ 

коэффициент пропорциональности, характеризующий вязкость

среды. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох:

ma F R





или

μmx cx x





. (11.28)

Разделив (11.28) на m и введя обозначение

F R

Рис. 11.6

, 2



, (11.29)

представляем уравнение (11.28) в виде

20xbxkx





&&&

, (11.30)

где параметр

характеризует влияние сопротивления среды на движение

материальной точки.

Уравнение (11.30) называется дифференциальным уравнением

свободных колебаний при линейно-вязком сопротивлении.

Будем искать решение линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (11.30) в виде





. Подставляя это решение в (11.30) и разделив найденное уравнение на





, получаем характеристическое уравнение

20bk







корни которого вычисляем по формуле

1,2

bbk





 

. (11.31)

Из (11.31) следует, что в зависимости от соотношений между k и b общее

решение уравнения (11.30) имеет разный характер.

1. Если

bk

(сопротивление мало), то корни (11.31)

характеристического уравнения различные и комплексные

1,2

bik b





 

В этом случае общее решение дифференциального уравнения (11.30)

имеет вид

22 22

()()

bi k b t bi k b t

xCe Ce

   



(11.32)

Перейдем в (11.32) от постоянных интегрирования

к новым

постоянным

по формулам:

12 12

CC CC







. (11.33)

Подставляя (11.33) в (11.32), получаем









22 22

cos sin

e C kbtC kbt











. (11.34)

Для наглядности в решении (11.34) перейдем от

к другим

постоянным

по формулам

= sinα, cosαCA C A



. (11.35)

Тогда подставляя (11.39) в (11.38), получаем общее решение уравнения

(11.30) в виде





sin α

xAe k bt





. (11.36)

Колебания, происходящие по закону (11.36), называются затухающими.

Постоянные интегрирования

можно определить, используя

начальные условия движения точки (11.5). В (11.36) величина

*22

kkb





(11.37)

называется циклической частотой затухающих колебаний.

Наличие в решении (11.36) множителя



приводит к тому, что с

течением времени амплитуда



этих колебаний убывает, стремясь к

нулю.

Период Т затухающих колебаний вычисляем по формуле:

2π 2π





. (11.38)

Для моментов времени 0,

и т. д. амплитуда колебаний (11.36)

принимает соответствующие значения



2bT



3bT



и т. д.

Следовательно, размахи колебаний (11.36) будут убывать по закону

геометрической прогрессии, знаменатель которой



называется

декрементом колебаний, а величина

ebT







логарифмическим

декрементом.

Сравнивая значения частот (11.8), (11.37), и периодов (11.12), (11.38),

можно сделать вывод, что наличие линейно-вязкого сопротивления, приводит

к уменьшению частоты и увеличению периода свободных колебаний точки.

График затухающих колебаний (11.36) материальной точки приведен

на рис. 11.7, а, а график ее фазовой траектории



на рис. 11.7, б.

На рис. 11.7, б видно, что при затухающих колебания изображающая

точка с течением времени стремится к началу координат О на фазовой

плоскости.

2. Если

bk

(сопротивление велико), то корни (11.31) вещественные

и различные. В этом случае общее решение уравнения (11.30) запишем

в виде





22 22

** * *

12 1 2

bt b k t b k t

x Ce Ce e Ce Ce





 

. (11.39)

или, используя (11.33), находим









22 22

ch sh

e C bktC bkt











. (11.40)

Перейдем от

к постоянным интегрирования

, полагая,

что

= shα, chαCA C A



. (11.41)

Подставляя (11.41) в (11.40), находим вид общего решения (11.39) для

рассматриваемого случая





sh α

xAe b kt





. (11.42)

Из вида зависимости (11.42) координаты х от времени t следует, что

движение материальной точки в случае большого сопротивления среды

(

bk

) не носит колебательного характера, и точка M под действием

восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться

к положению равновесия О.

Следовательно, в случае большого сопротивления движение точки

является апериодическим движением.



x =



а б

Рис. 11.7

Очевидно, что при известных начальных условиях движения точки

0 (0) 0,txx

(0)

xV

возможные графики апериодического

движения (11.42), приведенные на рис. 11.8,

зависят от величины и направления начальной

скорости

точки:

кривая 1 соответствует

0V 

;

кривая 2 отражает случай

0V 

и величина

начальной скорости не велика;

кривая 3 соответствует



, но величина

начальной скорости велика.

2. Если

bk

, то корни (11.31) характеристического уравнения

вещественные и кратные

1,2







. Тогда общее решение уравнения (11.30)

имеет вид уравнения апериодического движения





eCCt





. (11.43)

Для различных величин и направлений начальной скорости

точки М

возможные графики апериодического движения (11.43) будут качественно

аналогичны графикам, изображенным на рис. 11.8.

ЛЕКЦИЯ 12

Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки М масссой

m вдоль неподвижной оси Ох под действием восстанавливающей силы

(11.1) и возмущающей силы

(рис. 12.1), изменяющейся по гармоничес-

кому закону

sin ω



, (12.1)

где

H 

амплитуда, а

ω 

частота возмущающей силы.

Запишем основное уравнение динамики

точки в проекции на ось Ох:

ma F H

или с учетом (1) и (43)

sin ωmx cx H t





. (12.2)

Разделим (12.2) на m и оставим в правой части только слагаемое, зависящее

от времени t, введя обозначения

Рис. 11.8

Ри

с.



. (12.3)

Тогда исходное уравнение (44) принимает вид

sin ω

kx h t

, (12.4)

Уравнение (12.4) называется дифференциальным уравнением вынуж-

денных колебаний при отсутствии сопротивления.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение урав-

нения (12.4) можно записать в виде суммы общего решения

однородного

дифференциального уравнения (11.3) и частного решения

исходного

неоднородного уравнения (12.4), т. е.





. (12.5)

Согласно (11.7) запишем общее решение однородного дифференциального

уравнения (11.3)

sin( α)xA kt





. (12.6)

Частное решение

неоднородного уравнения (12.4) зависит от вида

правой части этого дифференциального уравнения.

1. Если частота возмущающей силы

не равна собственной частоте

свободных колебаний (

ω k

), то частное решение уравнения (12.4) будем

искать в виде

sin ω



, (12.7)

где постоянную интегрирования

можно определить подстановкой реше-

ния (12.7) в исходное уравнение (12.4). Для этого дважды дифференцируя по

времени (12.7)

sin ωxBp t

(12.8)

и подставляя (12.7) и (12.8) в (12.4), получаем

sin ω sin ω sin ωBp t k B t h t 

или

()sinω sin ωkpB th t

. (12.9)

Приравнивая коэффициенты, стоящие при функции

sin ωt

в левой и

правой частях равенства (12.9), имеем

( ω )kBh





откуда находим





. (12.10)

С учетом (12.10) частное решение (12.7), соответствующее вынужденным

колебаниям точки, принимает вид

sin ω





. (12.11)

Подставляя (12.7) и (12.11) в (12.5), получаем общее решение

дифференциального уравнения (12.4) вынужденных колебаний при

отсутствии сопротивления:

sin( α) sinω

xA kt t





, (12.12)

где постоянные интегрирования

определяем по начальным условиям

движения точки (11.5).

Из (12.12) следует, что колебания точки являются сложными, которые

складываются из собственных колебаний с амплитудой А и частотой k

и вынужденных колебаний с амплитудой В и частотой

, совпадающей с

частотой возмущающей силы

2. Если частота возмущающей силы

равна собственной частоте

колебаний (

ω = k

), то имеет место явление резонанса



неограниченного

возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

В этом случае частное решение

дифференциального уравнения

(12.4) следует искать в виде

cosω

Bt t



. (12.13)

Определим величину постоянной В. Для этого вычислим

2 ω sin ωωcosωxB tBt t 

. (12.14)

Подставляя решение (12.13), выражение (12.14) и

ωk 

в исходное

дифференциальное уравнение (12.4), получаем

2 ω sin ωω cosωω cosω sinωBtBttBttht  

. (12.15)

Приведя подобные слагаемые в (12.15) и приравнивая коэффициенты при

sin ωt

в левой и правой частях этого равенства, определяем коэффициент

2ω

B 

(12.16)

Подставляя (12.16) в (12.13), находим закон

вынужденных колебаний при резонансе при

отсутствии сопротивления:

cosω

2ω

t

Используя формулы приведения, окончательно

получаем

sin ω

2ω 2









. (12.17)

Из (59) следует, что при резонансе амплитуда вынужденных колебаний

возрастает пропорционально времени (рис. 12.2), а сдвиг фазы

вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы

равен

π /2

Вынужденные колебания точки при вязком сопротивлении

Рассмотрим прямолинейное движение точки М массой m вдоль

неподвижной оси Ох (рис. 12.3). Пусть на нее действуют восстанавливающая

сила

(11.1), сила сопротивления

(11.27) и возмущающая сила

изменяющаяся по гармоническому закону

sin(ωδ)

HH t





, (12.18)

где



амплитуда,



частота,



начальная фаза возмущающей силы.

Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох:

xx x

ma F R H





или с учетом зависимостей (11.1), (11.27) и (12.18)

sin(ωδ)mx x cx H t





 

&&&

. (12.19)

Разделив (12.19) на m и введя обозначения

, 2 ,

kbh

mm m

 

, (12.20)

x =

x = -

h t



h t



Рис. 12.2

Рис. 12.3

запишем дифференциальное уравнение (12.19) в виде

2sin(ωδ)xbxkxh t 

&&&

. (12.21)

Уравнение (12.21) называется дифференциальным уравнением

вынужденных колебаний при линейно-вязком сопротивлении.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение

уравнения (12.21) следует записать в виде суммы общего решения

однородного дифференциального уравнения (11.30) и частного решения

исходного неоднородного уравнения (12.21), т. е.





. (12.22)

Ограничимся рассмотрением случая малого сопротивления среды

(

bk

). Тогда согласно (11.36)





sin α

xAe kbt







. (12.23)

Частное решение

будем искать, исходя из вида правой части

уравнения (12.21):

sin(ωδβ)xB t





, (12.24)

где

β 

постоянные интегрирования. Для их определения вычислим

ω cos(ωδβ),

ω sin(ωδβ).

xB t

xBt









Подставляя найденные выражения

и решение (12.24) в

уравнение (12.21), получаем

ω sin(ωδβ)2ω cos(ωδβ)

sin(ωδβ)sin(ωδ).

Bt bB t

kB t h t

 



(12.25)

Полагая

ωδβγt 

и используя соотношение

sin(ωδ)sin(γβ)sinγ cosβ cos γ sinβt     

запишем (12.25) в виде