Валькова Т.А. и др. Теоретическая механика
Подождите немного. Документ загружается.
Здесь
,
M
M
dr
V
dt
r
r
A
A
dr
V
dt
r
r
, (4.4)
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
xk
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
d
, (4.5)
где
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
V
r
(4.6)
– относительная скорость точки
М в подвижной системы отсчета Ахуz.
Поскольку векторы
,i
,j
k
постоянные по модулю (
1 kji
), но
меняющие свое направление с угловой скоростью
ω
e
r
, то согласно (2.18)
получим формулы Пуассона:
ω
e
di
i
dt
r
r
r
;
ω
e
dj
j
dt
r
r
r
;
ω
e
dk
k
dt
r
r
r
. (4.7)
Тогда с учетом (4.6), (4.7) и (4.2) выражение (4.5) принимает вид
ρ
ωω ω
ωωρ.
r ее е
r е r е
d
Vixjykz
dt
VxiyjzkV
r
r
r
rr
rr r
r
rr
rr
rrr
(4.8)
Подставляя (4.4) и (4.8) в (4.3) получаем
ω ρ.
a А r е
VVV
rrr
rr
(4.9)
Мысленно остановим относительное движение (
0
r
V
r
), тогда точка М
участвует только в переносном движении вместе телом
D, и ее абсолютная
скорость равна переносной скорости
еa
VV
. Подставляя эти условия в (4.9)
получаем выражение для переносной скорости точки
М:
ω ρ.
e Ае
VV
rr
rr
(4.10)
Следовательно, переносная скорость равна скорости точки свободного
твердого тела
D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.
С учетом (4.10) выражение (4.9) принимает вид
,
a е r
VVV
rrr
(4.11)
где вектор абсолютной скорости
a
V
определяется
диагональю параллелограмма, построенного на
векторах переносной и относительной скоростей
как на сторонах (рис. 4.3). Модуль абсолютной
скорости определяется по теореме косинусов:
22
2 cos α
aer er
VVVVV
, (4.12)
где угол между векторами
e
V
и
r
V
.
Из (4.12) следуют частные случаи:
1) если
= 0,
rea
VVV
; (4.13)
2) если
= π,
rea
VVV
; (4.14)
3) если
= π/2,
22
rea
VVV
. (4.15)
Следовательно, для определения абсолютной скорости необходимо
знать модули и направления переносной и относительной скоростей.
Теорема Кориолиса о сложении ускорений
Абсолютное ускорение точки при сложном движении определяется при
помощи
теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно
геометрической сумме переносного, относительного ускорений и ускорения
Кориолиса.
Доказательство. Пусть ускорение точки А тела D равно
A
а
, а его
угловая скорость и угловое ускорение в данный момент времени
соответственно –
ω
e
r
и
ε
e
r
. Найдем абсолютное ускорение
а
а
точки М,
движущейся относительно тела
D. Вычислим производную по времени от
равенства (4.9):
ωρ
ρω
aAе r
е
dV dV d d dV
dt dt dt dt dt
rr r
rr
rr
.
Поскольку
ω
, , ε ,
aAe
aAe
dV dV d
aa
dt dt dt
rr
r
r
rr
VV
a
V
e
V
r
M
Рис. 4.3
то с учетом (4.6) и (4.8) имеем
22 2
222
ερω ωρ
ερωωρω
.
aAe e re
Ae e e er
ddx dy dz
aa V i j k
dt dt dt dt
dx dy dz
aVijk
dt dt dt
dx di dy dj dz dk
dt dt dt dt dt dt
r
r
rr
rrr r r
rr
r
r
rr
rrr r rr
r
r
rr
(4.16)
Так как относительное ускорение точки
М в подвижной системе координат
Ахуz
22 2
22 2
,
r
dx dy dz
a i j k
dt dt dt
r
rr
r
(4.17)
то, подставляя (4.17), (4.7) в (4.16), получаем
.
aAe ee err e e e
Ae e e er r e
dx dy dz
aa Va i j k
dt dt dt
dx dy dz
aVaijk
dt dt dt
r
v
rr
rrr rrr r r r
rr r
r
r
rr
rrr r rr r
rr
(4.18)
Поскольку
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
V
r
,
то (4.18) принимает вид
ερωωρ 2 ω
aAe ee r er
aa a V
r
rrr r r r
rr r
. (4.19)
Если остановить относительное движение (
0, 0
rr
Va
r
r
), тогда абсолютное
ускорение точки
М равно ее переносному ускорению
еa
aa
. Подставляя эти
условия в (4.19), получаем выражение для переносного ускорения точки
М:
ερωωρ
eAe ee
aa
rrr r r
rr
. (4.20)
Последнее слагаемое в (4.19) является ускорением Кориолиса:
2 ω
С er
aV
r
r
r
. (4.21)
Следовательно, с учетом (4.20) и (4.21) теорема Кориолиса (4.19) принимает
вид
a е rC
aaaa
rrrr
, (4.22)
что и требовалось доказать.
Модуль ускорения Кориолиса (4.21) вычисляется по формуле
2 ω sin α
С er
aV
r
r
. (4.23)
Из (4.23) следуют частные случаи, когда ускорение Кориолиса равно
нулю, и абсолютное ускорение точки вычисляется по формуле
a е r
aaa
rrr
:
1)
0,
С
a
если
ω 0
e
r
, т. е. переносное движение поступательное;
2)
0,
С
a
если
0
r
V
r
, т. е. в точках остановки относительного
движения
;
3)
0,
С
a
если
sin α 0
, т. е. векторы
ω
е
r
и
r
V
коллинеарные.
Появление ускорения Кориолиса связано с изменением абсолютной
скорости, обусловленным двумя причинами:
1) влиянием переносного движения на относительную скорость (при
ω 0
е
r
вектор
r
V
поворачивается относительно абсолютной системы
координат за счет вращения подвижной системы – тела D);
2) влиянием относительного движения на переносную скорость (при
0
r
V
r
положение точки в подвижной системе координат изменяется и,
следовательно, изменяется переносная скорость).
Согласно определению (4.21) вектор ускорения Кориолиса
С
a
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы
ω
е
r
и
r
V
в
ту сторону, откуда кратчайшее совмещение первого вектора с вторым видно
происходящим против хода часовой стрелки (рис. 4.4).
Направление вектора ускорения Кориолиса можно также найти по
правилу Жуковского. Для этого следует (см. рис. 4.4):
1) спроецировать вектор
относительной скорости
r
V
на
плоскость Q, перпендикулярную
вектору
ω
е
r
;
2) повернуть эту проекцию
r
V
в плоскости Q на 90 в направлении
переносного вращения
ω
е
.
В случае, когда вектор
относительной скорости
r
V
лежит в
плоскости Q ( = 90), для определения направления вектора
C
a
r
достаточно повернуть вектор
r
V
в плоскости Q на 90 в сторону
переносного вращения (по направлению
ω
е
).
Модуль абсолютного ускорения точки при сложном движении
определяется аналитически. Для этого сначала находят модули и
Q
M
V
r
V
r
C
a
90
o
Рис. 4.4
направления векторов
,
е
a
r
r
a
r
и
C
a
r
. Затем проецируют теорему Кориолиса (4.22)
на оси неподвиж-ного трехгранника ОХYZ и по найденным проекциям
абсолютного ускорения
aX
a
,
aY
a
и
aZ
a
на эти оси вычисляют модуль
абсолютного ускорения точки
222
aZaYaXa
aaa a
. (4.24)
МОДУЛЬ 2. СТАТИКА
ЛЕКЦИЯ 5. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ
Статикой называется раздел механики, в котором излагается учение
о силах и исследуются условия равновесия материальных тел, находящихся
под действием сил.
Под равновесием понимают состояние покоя тела по отношению
к инерциальной системе отсчета, связанной обычно с неподвижным телом.
В качестве модели реального материального тела в статике рассматривается
абсолютно твердое тело
тело, расстояние между любыми точками
которого не изменяется
.
Мерой механического взаимодействия материальных тел является
сила.
Сила
F
векторная величина, действие которой на тело
определяется модулем, направлением и точкой приложения
.
Прямая линия, вдоль которой направлен вектор
F
, называется линией
действия силы.
Совокупность сил, действующих на тело, называется системой сил.
Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то система сил
называется
плоской.
Если линии действия сил не лежат в одной плоскости, то система сил
является
пространственной. Система сил, линии действия которых
пересекаются в одной точке, называется
сходящейся.
Две системы сил, оказывающие на тело одинаковое действие,
называются
эквивалентными.
Система сил, под действием которой свободное твердое тело находится
в покое, называется
уравновешенной или эквивалентной нулю.
Аксиомы статики
В основе статики лежат аксиомы экспериментально установленные
законы, справедливость которых проверена
практической деятельностью.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно
твердое тело действуют две силы, то тело
может находиться в равновесии только тогда,
когда эти силы равны по модулю, и направлены
A
B
1
F
2
F
Рис. 5.1
вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 5.1):
12
FF
rr
.
Силы
1
F
r
и
2
F
r
являются уравновешенными.
Аксиома 2. Действие данной
системы сил на абсолютно твердое
тело не изменится, если к ней
добавить или отнять
уравновешенную систему сил.
Следствие. Не нарушая
состоя-ния твердого тела, силу
можно переносить по линии ее
действия в любую точку тела, т. е.
сила
вектор скользящий (рис. 5.2).
Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно
заме-нить одной силой, приложенной в той же точке и изображаемой
диагональю параллелограмма
, построенного на этих силах как на сторонах
(рис. 5.3):
21
FFR
. (5.1)
Сила
R
эквивалентная системе сил
1
F
r
и
2
F
r
называется
равнодействующей:
12
~ ,
R
FF
rrr
.
Модуль ее вычисляется по формуле
22
12 12
2cosαRFF FF
, (5.2)
где угол между силами
1
F
r
и
2
F
r
.
Аксиома 4. Силы, с которыми два
тела действуют друг на друга, равны по
модулю и направлены по одной прямой
в противоположные стороны
(рис. 5.4):
А
В
FF
rr
.
Силы
A
F
r
и
B
F
r
не образуют
уравновешенную систему сил, так как они
приложены к разным телам.
Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если его
считать отвердевшим (абсолютно твердым)
.
Две основные задачи статики. В статике решаются две задачи:
A
B
F
A
B
F
Рис. 5.2
A
1
F
2
F
R
Рис. 5.3
A B
BA
F
F
Рис. 5.4
1) задача о приведении системы сил заключается в замене данной
системы сил другой, более простой, ей эквивалентной;
2)
задача о равновесии состоит в определении условий, при которых
система сил, приложенная к телу, будет уравновешенной системой.
Связи и их реакции
Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-
нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется
несвободным. Все, что ограничивает перемещение данного тела в
пространстве, называется
связью.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или
иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи
направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает
перемещаться телу.
Одним из основных положений теоретической механики является
принцип освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно
рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей,
заменив их действие реакциями связей.
В статике этот принцип позволяет рассматривать равновесие
несвободного твердого тела как свободного, находящегося под действием
активных (заданных) сил и реакций связей.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей и направления
их реакций.
1.
Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Реакция
N
гладкой
плоскости (поверхности) или опоры направлена по общей нормали к
поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой
точке (рис. 5.5).
2.
Гибкая нить (провода, канаты, цепи, ремни). Реакция
Т
нити
направлена от тела вдоль нити к точке подвеса (рис. 5.6).
3.
Невесомый стержень с шарнирами. Реакция
N
шарнира направлена
вдоль невесомого стержня. Обычно реакция
N
изображается от тела по
стержню в предположении, что в равновесии стержень растянут (рис. 5.7).
4.
Неподвижный цилиндрический шарнир (подшипник). Реакция
A
R
цилиндрического шарнира лежит в плоскости
Аху перпендикулярной оси
A
B
N
A
A
C
N
B
N
C
N
A
Рис. 5.5
B
A
T
B
T
A
Рис. 5.6
шарнира и может иметь любое направление. Обычно
A
R
раскладывают в
точке
А на две взаимно перпендикулярные составляющие
A
Х
и
A
Y
(рис. 5.8).
5.
Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция
В
R
проходит через ось шарнира
В и направлена перпендикулярно к опорной
поверхности (рис. 5.9).
A
x
y
z
1
2
3
X
A
Z
A
Y
A
Рис.5.11
x
y
1
2
3
X
A
Z
A
Y
A
z
A
Рис. 5.12
m
A
A
R
A
X
A
Y
A
Рис. 5.10
B
R
B
B
R
B
Рис. 5.9
B
A
N
B
N
A
Рис. 5.7
x
A
R
A
y
X
A
Y
A
Рис. 5.8
6. Жесткая заделка. Нахождение реакции жесткой заделки сводится
к определению составляющих
A
Х
и
A
Y
препятствующих линейному
перемещению точки
А балки в плоскости действия активных сил и
алгебраической величины реактивного момента
m
A
, препятствующего
вращению балки под действием заданных сил (рис. 5.10).
7.
Сферический шарнир. Сферическим шарниром называется
устройство (рис. 5.11), которое допускает сферическое движение тела 3
вокруг неподвижной точки
А центр внутренней сферы 1, с которой жестко
скреплено рассматриваемое тело 3. При условии, что сферическая
поверхность идеально гладкая, реакция
А
R
направлена в точке А по нормали
к этой поверхности. Обычно на схемах реакцию
А
R
сферического шарнира
раскладывают на три взаимно перпендикулярные составляющие
A
Х
,
A
Y
,
A
Z
r
,
неизвестные по величине.
8.
Подпятник. Подпятник (рис. 5.12) представляет собой соединение
цилиндрического шарнира 2 с опорной плоскостью 3, на которую опирается
вал 1. Реакция подпятника складывается из реакции цилиндрического
подшипника, которая раскладывается в плоскости
перпендикулярной его оси на две взаимно
перпендикулярные составляющие
A
Х
и
A
Y
, и
нормальной реакции
A
Z
r
опорной плоскости 3.
9.
Шероховатая неподвижная поверхность.
Реакция шероховатой поверхности представляет
собой равнодействующую
R
силы нормальной
реакции
N
и силы трения
тр
F
r
(рис. 5.13).
Проекция силы на ось и на плоскость
С математической точки зрения описание сил в статике эквивалентно
описанию векторов в векторной алгебре. Рассмотрим основные положения.
Проекцией силы
F
на ось называется алгебраическая величина равная
произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и
положительным направлением оси:
cosα
x
FF
, (5.3)
где
F
модуль силы
F
r
;
α
угол между вектором
F
r
и положительным
направлением оси
х.
RN
тр
F
Рис. 5.13
Проекция силы является:
1) положительной (
0
x
F
), если угол
α
острый (рис. 5.14, а);
2) отрицательной (
0
x
F
), если угол
α
тупой (рис. 5.14, б), так как
cosα cos 180 β cosβ
о
x
FF F F
;
3) равняется нулю (
0
x
F
), если угол
π
α
2
(рис. 5.14, в).
Проекцией силы
F
r
на плоскость
Оху называется вектор
1ху
F ОВ
uuur
r
,
заключенный между проекциями
начала и конца силы
F
на эту
плоскость (рис. 5.15), где
cosθ
ху
FF
.
В случае произвольной
ориентации силы в пространстве ее
проекцию на координатные оси обычно
определяют методом двойного
проецирования. Сначала силу
проецируют на одну из координатных
осей (например ось
z) и на
координатную плоскость двух других
осей (на
Оху), проекция силы на плоскость
ху
F
является вектором, который
затем проецируют на оси координат
Ох и Оу, расположенные в плоскости
(рис. 5.15):
2
3
cos cosθ cos ,
sin cosθ sin ,
sin θ .
хху
y ху
z
F ОВ FF
F ОВ FF
FF
Аналитический способ задания силы
F
x
F
x
F
x
0
2
x
0
x
F
F
x
0
2
2
F
а б в
Рис. 5.14
F
x
F
x
B
O
y
z
1
B
2
B
3
B
xy
F
A
y
F
Рис. 5.15