Валькова Т.А. и др. Теоретическая механика
Подождите немного. Документ загружается.
вращательном движении тела радиус-вектор
r
точки, изменяя своё
направление, остаётся постоянным по модулю
constr ОМ
r
. Тогда из
(2.18) получим выражение для полной производной по времени от вектора
r
изменяющегося по направлению с угловой скоростью
, но постоянного по
модулю:
ω .
dr
r
dt
r
r
r
(2.19)
Для определения ускорения точки М продифференцируем по времени
равенство (2.18):
ω
ω
dV d dr
r
dt dt dt
r
r
r
r
r
.
Отсюда находим выражение полного ускорения точки вращающегося тела
ε ω ar V
r
rr
rr
, (2.20)
где касательное и нормальное ускорения соответственно равны
ε ,
ω .
n
ar
aV
r
rr
r
r
r
(2.21)
Действительно, модули этих векторов одинаковы:
τ
ε ε sin ε, εrr rRa
rr r
rr r r
;
2
π
ω ω sin ω
2
n
VV Ra
rr
rr
r
.
Вектор
ε r
r
r
направлен так же, как вектор
τ
a
r
, по касательной к траектории
точки М, а вектор
ω V
r
r
так же, как вектор нормального ускорения
n
a
, по
радиусу МС к оси вращения (см. рис 2.7).
ЛЕКЦИЯ 3
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Плоскопараллельным (плоским) называется движение твердого тела, все
точки которого движутся в плоскостях, параллельных неподвижной
плоскости.
Качение цилиндра по плоскости
Охz является плоскопараллельным
движением, если плоскости его
оснований S и S
1
остаются
параллельными неподвижной
плоскости Оху (рис. 3.1). При этом
любая образующая ММ
1
цилиндра
совершает поступательное движение,
то есть кинематические
характеристики ее точек в
произвольный момент времени
одинаковы:
1
,
MM
VV
rr
1
M
M
aa
rr
и точки
М и М
1
описывают тождественные
траектории.
Следовательно, изучение плоскопараллельного движения твердого тела
сводится к изучению движения плоского сечения S в его плоскости.
Положение плоского сечения S в плоскости Оху (рис. 3.2) определяется
положением любого отрезка АМ, проведенного в этом сечении. Для этого
необходимо задать координаты х
А
, у
А
какой-нибудь точки А, называемой
полюсом, и угол
, который отрезок АМ образует с осью Ох.
При движении плоской фигуры (сечения S) координаты
х
А
, у
А
и угол φ
будут изменяться во времени:
123
, , .
AA
x
ft y ft ft
(3.1)
Зависимости (3.1) называются
уравнениями плоскопараллельного движения
твердого тела.
Из (3.1) видно, что изменение только
координат х
А
и у
А
приводит к
поступательному движению плоской
фигуры вместе с полюсом А, а
изменение только угла φ к
вращательному движению плоской фигуры
вокруг оси, проходящей через полюс А
и перпендикулярной плоскости движения
Оху.
Следовательно, движение плоской фигуры (сечения S) в ее плоскости
можно представить как совокупность поступательного движения вместе с
полюсом
и вращательного движения вокруг этого полюса. Подчеркнем, что
О
х
у
z
S
S
M
1
M
1
Рис. 3.1
х
у
О
х
А
А
у
А
М
(S)
Рис. 3.2
угловая скорость ω и угловое ускорение ε при плоскопараллельном движении
тела от выбора полюса не зависят.
По заданным уравнениям плоского движения тела (3.1) можно найти
скорость и ускорение полюса А, а также угловую скорость и угловое
ускорение тела по формулам:
22
22
;;
;;
; .
AA A A A A
AA A A A A
V x i y j V x y
a x i y j a x y
dd
dt dt
r
rr
&& & &
rr
r
&&&&&&&&
&&&
(3.2)
Угловая скорость ω и угловое ускорение ε изображаются дуговыми стрелками
(рис. 3.3).
Скорости точек плоской фигуры
Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное
движение, определяется по
теореме о скоростях точек плоской фигуры:
скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме
скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг
полюса.
Доказательство. Пусть в произвольный момент времени t скорость
точки А плоской фигуры равна
A
V
r
, а угловая скорость фигуры ω (рис. 3.3).
Приняв точку А за полюс, найдем скорость любой точки М фигуры. Проведем
из неподвижной точки О в точки А и М радиус-векторы
A
r
r
,
M
r
r
и соединим эти
точки вектором
А
М
uuuur
постоянным по модулю (
constАМ
uuuur
, так как тело
абсолютно твердое). Положения точек А и М в любой момент времени t
связаны равенством
М A
rrA
М
uuuur
rr
. (3.3)
Вычислив от обеих частей
равенства (3.3) производную по
времени, получим
MA
dAM
dr dr
dt dt dt
uuuur
rr
или с учетом (1.2) и (2.18), находим
А
х
М
у
О
r
A
r
М
V
A
V
A
V
М
,
А
V
М
х
у
О
(S)
Рис. 3.3
М
A МA
VVV
rrr
. (3.4)
Здесь
dt
rd
V
M
М
скорость точки М,
dt
rd
V
A
A
скорость точки А, а вектор
ω
MА
VAM
uuuur
r
r
(3.5)
вращательная скорость точки М вокруг полюса А. Вектор
MА
V
по модулю
равен
ω
MA
VAM
(3.6)
и изображается на рис. 3.3 в точке М перпендикулярно АМ (
AM
V
А
М
)
в направлении вращения плоской фигуры (в направлении
ω
).
Вектор скорости
М
V
точки М определяется диагональю
параллелограмма, построенного на векторах
A
V
и
MА
V
как на сторонах (рис.
3.3), и его модуль равен
22
2 cos( )
M
AMA AMA AMA
VVV VV VV
rr
. (3.7)
Когда уравнения (3.1) неизвестны, из формулы (3.4) определяют угло-
вую скорость плоской фигуры по известным величинам скорости
MА
V
и
расстояния АМ.
ω
M
A
V
A
M
(3.8)
Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры
Соотношение между величинами скоростей точек А и М плоской
фигуры можно найти более простым способом по
теореме о проекциях
скоростей двух точек фигуры
: проекции скоростей двух точек плоской
фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.
Доказательство. Спроецируем
векторное равенство (3.4) на ось
Ах, проходящую через точки А
и М (рис. 3.4). Учитывая, что
вектор
MA
V
перпендикулярен
АМ, получим
А
х
М
V
A
V
A
V
М,А
V
М
(S)
V
Mx
V
A
x
Рис. 3.4
AхMх
VV
или
cosβ cosα
MA
VV
. (3.9)
Теорема (3.9) позволяет находить скорость любой точки М плоской фигуры,
если известно ее направление и скорость другой точки А по модулю и
направлению. Теорема (3.9) имеет место для любого движения абсолютно
твердого тела.
Мгновенный центр скоростей
Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской
фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю (
0
P
V
).
Пусть известны скорости двух любых точек А и В плоской фигуры
по направлению (рис. 3.5). Докажем, что МЦС находится в точке пересечения
перпендикуляров, восстановленных в этих точках к их скоростям
A
V
и
B
V
.
Доказательство. Пусть
0
P
V
, тогда по теореме (3.9) проекция
вектора
P
V
на прямую АР равна нулю, и
APV
P
. Но по той же теореме
проекция вектора
P
V
на прямую ВР также равна нулю и
ВPV
P
. Поэтому
вектор
P
V
одновременно должен быть перпендикулярным двум
непараллельным прямым АР и ВР, что невозможно. Следовательно,
допущение, что скорость точки Р не равна нулю неверно (
0
P
V
).
Примем МЦС, т. е. точку Р за полюс.
Тогда по теореме о скоростях (3.4) для любых
точек А и В плоской фигуры S имеем:
; ;
; .
A P AP AP A
BPBPBP B
VVV V V AP
VVV V V BP
rrr r r
rrr r r
(3.10)
Следовательно, скорость любой точки
тела, лежащей в сечении S, равна
вращательной скорости точки вокруг
мгновенного центра скоростей Р. МЦС является центром вращения плоской
фигуры (сечения S) в данный момент времени и находится в точке
пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных в точках А и В
к их скоростям
A
V
и
B
V
.
В
V
V
А
A
B
(S)
P
Рис. 3.5
Согласно (3.10) и с учетом (3.6) модули скоростей точек определяются
по формулам:
ω ;
ω .
A
B
VAP
VBP
(3.11)
Из равенства (3.11) следует пропорция
.
BP
AP
V
V
B
A
(3.12)
Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям
до мгновенного центра скоростей.
Соотношение (3.11) позволяет определить угловую скорость тела при
плоском движении
ω .
A
V
A
P
(3.13)
Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна
отношению скорости любой точки плоской фигуры к её расстоянию до
мгновенного центра скоростей.
Для применения формул (3.9) и (3.10) при решении задач необходимо
уметь определять положение мгновенного центра скоростей в данный момент
времени.
Кроме способа нахождения МСЦ, представленного на рис. 3.5,
рассмотрим еще
некоторые частные случаи:
1. Если известны скорости
A
V
и
B
V
двух точек А и В
плоской фигуры параллельные
между собой и
перпендикулярные прямой АВ,
то МЦС находится в точке
пересечения прямой АВ с
прямой, соединяющей концы
векторов скоростей точек
(рис. 3.6).
2. Если скорости
A
V
и
B
V
двух точек А и В плоской фигуры параллельные между собой и не
перпендикулярные прямой АВ (рис. 3.7, а), или скорости двух точек фигуры
параллельные, равные и перпендикулярные отрезку АВ (рис. 3.7, б), то МЦС
находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный
момент времени равна нулю:
0ω
и тело имеет мгновенно
поступательное
B
P
P
В
V
B
В
V
V
А
A
V
А
A
(S)
(S)
а б
Рис. 3.6
распределение скоростей, т. е. в данный момент времени скорости всех точек
плоской фигуры геометрически равны:
A
V
=
B
V
.
3. При качении одного цилиндрического
тела по поверхности другого неподвижного тела
(рис. 3.8) точка касания Р катящегося тела о
неподвижную поверхность имеет в данный
момент времени скорость равную нулю (
0
P
V
) и
является мгновенным центром скоростей.
4. Если известен вектор скорости
A
V
точки А
плоской фигуры и ее угловая скорость ω, то для
определения МЦС точки Р следует вектор
A
V
повернуть вокруг точки А на 90 в направлении ω
и на этой полуоси отложить расстояние АР
(рис. 3.9), которое определяется согласно (3.13)
равенством
ω
A
V
АР
.
Ускорения точек плоской фигуры
Ускорение любой точки тела, совершающего плоскопараллельное
движение, определяется по
теореме об ускорениях точек плоской фигуры:
ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме
ускорения полюса и ускорения точки во вращении вокруг полюса.
A
V
A
( )
S
P
Рис. 3.8
P
V
А
A
(S)
Рис. 3.9
В
V
V
А
A
B
(S)
В
V
V
А
A
B
(S)
а б
Рис. 3.7
Доказательство. Пусть в произвольный
момент времени t ускорение точки А плоской
фигуры равно
A
а
, угловая скорость фигуры
ω, а угловое ускорение ε (рис. 3.10).
Примем точку А за полюс и найдем
ускорение любой точки М фигуры.
Согласно теореме о скоростях (3.4)
MAAМ
VVV
или с учетом (3.5)
ω
М A
VV
А
М
uuuur
rr
r
. (3.14)
Вычислив производные по времени от левой и правой частей равенства
(3.14), получим
ω
ω
MA
dAM
dV dV d
АМ
dt dt dt dt
uuuur
rr
r
uuuur
r
. (3.15)
Здесь
;
М
M
a
dt
Vd
A
A
a
d
t
Vd
ускорения точек М и А соответственно;
τ
ω
ε
М
А
d
А
МАМа
dt
r
uuuur uuuur
r
r
(3.16)
согласно (2.21) касательное ускорение точки М во вращение вокруг полюса
А;
ωω
n
M
AMA
dAM
Va
dt
uuuur
r
rr
r
(3.17)
нормальное ускорение точки М во вращение вокруг полюса А.
Тогда (3.15) принимает вид
τ
МА
n
МААМ
аааа
(3.18)
или
МААМ
ааа
, (3.19)
где
МА
а
полное ускорение точки М во вращении вокруг полюса А:
А
М
х
у
О
(S)
A
а
М
,
А
а
М
,
А
а
n
Рис. 3.10
τ
МА
n
МАМА
ааа
. (3.20)
Модули
n
МА
а
и
τ
МА
а
вычисляются по
формулам:
2
ω
n
МА
аАМ
; (3.21)
τ
ε
МА
аАМ
. (3.22)
Вектор
n
МА
а
проведем из М к полюсу А
по АМ, а вектор
τ
МА
а
приложим в точке М и
направим перпендикулярно
n
МА
а
в направлении
ε
r
, (рис. 3.10).
На рис. 3.11 вектор полного ускорения
М
а
точки М определяется
построением многоугольника ускорений (3.18): начало вектора
М
а
совпадает
с началом вектора ускорения полюса
А
а
, а его конец с концом вектора
τ
МА
а
.
ЛЕКЦИЯ 4
СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Теорема о сложении скоростей
Сложное (составное) движение точки это такое движение, при
котором она одновременно участвует в двух или более движениях.
Для характеристики сложного
движения точки введем две
системы отсчета: ОХYZ
неподвижную и Ахуz
подвижную, связанную с
движущимся телом D,
относительно которого
перемещается точка М (рис. 4.1).
Движение точки
М по
отношению к подвижной системе
отсчета Ахуz называется
относительным движением.
Скорость и ускорение точки М в
М
а
А
М
х
у
О
(S)
A
а
М
,
А
а
М
,
А
а
n
Рис. 3.11
Х
Z
z
M
A
у
х
D
Y
O
Рис. 4.1
этом движении называются относительной скоростью
r
V
и относительным
ускорением
r
a
.
Движение тела D и связанного с ним подвижного трехгранника Ахуz
относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называется переносным
движением. Скорость и ускорение точки подвижного тела D, с которой в
данный момент времени совпадает точка М, являются для нее переносной
скоростью
е
V
и переносным ускорением
е
a
.
Движение точки М относительно неподвижной системы координат
ОХYZ называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки М
относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называются абсолютной
скоростью
а
V
и абсолютным ускорением
а
a
r
.
Основная задача сложного движения точки заключается в
установлении связей между основными кинематическими характеристиками
относительного, переносного и абсолютного движений точки.
Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями
точки выражается
теоремой о сложении скоростей: абсолютная скорость
точки при сложном движении равна геометрической сумме переносной
и относительной скоростей.
Доказательство. Пусть скорость точки А тела D равна
A
V
, а его
угловая скорость в данный момент времени
ω
e
r
. Найдем абсолютную
скорость
a
V
точки М, движущейся относительно тела D. Положения точек А
и
М относительно неподвижной системы отсчета ОХУZ определяются
радиус-векторами
A
r
и
М
r
соответственно. Положение точки М
относительно подвижной системы отсчета
Ахуz (тела D) задано радиус-
вектором
ρ
А
М
uuuur
r
(рис. 4.2). В каждый момент движения положения точек А
и
М связаны равенством
AM
rr
. (4.1)
Здесь
kzjyix
, (4.2)
где i
, j
, k
– орты подвижной
системы
Ахуz, а х, у, z – координаты
точки
М в этой системе отсчета.
Дифференцируя (4.1) по времени,
получим
dt
d
dt
rd
dt
rd
AM
. (4.3)
Х
Z
z
M
A
у
х
r
A
r
M
D
Y
O
Рис. 4.2