Валькова Т.А. и др. Теоретическая механика

Подождите немного. Документ загружается.

В (23.16) c

, c

, ..., c

– постоянные интегрирования, значения которых

определяются по начальным условиям движения (23.15).

Отметим, что рациональный выбор обобщенных координат

, q

, ... , q

может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа (23.14)

и тем самым облегчить процедуру интегрирования этой системы

дифференциальных уравнений.

Рассмотрим случай, когда движение системы происходит в

потенциальном поле и все действующие силы потенциальные. Для таких

систем обобщенные силы являются потенциальными и определяются

выражением (22.8)

( 1, 2, ..., )

Qms



 



Поэтому уравнения Лагранжа (23.14) принимают вид:

0 ( 1, 2, ..., ) ,.

mmm

dT T

dt q q q





 







(23.17)

Поскольку потенциальная энергия системы П является функцией только

обобщенных координат и времени

ПП( , ,..., , )

qq q t



и не зависит от

обобщенных скоростей

( 1, 2, ..., )

qm s



, то







. Тогда уравнение

(23.17) можно записать в виде

ПП

0 ( 1, 2, ..., )

dT T

m s

dt q q q q



 

 



 



или

0 ( 1, 2, ..., ),

dL L

dt q q





 







(23.18)

где

L = T – П. (23.19)

Функция L, равная разности кинетической и потенциальной энергий

системы, называется

функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом

системы.

Функция Лагранжа является функцией обобщенных координат,

обобщенных скоростей и времени:





, , ( 1, 2, ..., )

Lqqt m s

. Таким

образом, в случае движения в потенциальных полях, уравнения Лагранжа

имеют более простой вид (23.18) и содержат только одну функцию

L, вид

которой зависит от выбора системы координат.

Принцип Гамильтона-Остроградского

Часто в теоретической механике изучение движения материальной

системы сводится к составлению и исследованию ее дифференциальных

уравнений движения. Исходным при выводе уравнений Лагранжа второго

рода (23.14) являлось рассмотрение мгновенного состояния системы и

небольших возможных изменений этого состояния. То есть формировался

подход от «дифференциальных принципов», какими, например, являются

принцип возможных перемещений и общее

уравнение динамики. Такой

метод не является единственно возможным при описании движения системы.

Уравнение (23.14) можно получить и из других принципов, в которых

рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и

небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы

такого рода известны как

интегральные принципы. К ним, в частности,

относится

принцип Гамильтона-Остроградского. Для его изложения введем

некоторые понятия.

Рассмотрим движение голономной материальной системы с

степенями свободы, положение которой определяется обобщенными

координата-ми

, q

, ..., q

Пространством конфигураций называется S-мерное пространство,

каждая точка которого определяется заданием

S чисел – обобщенных

координат

, q

, ..., q

. Любому положению системы соответствует точка

конфигурационного пространства, называемая

изображающей точкой. При

движении системы изображающая точка описывает в пространстве

конфигураций кривую –

траекторию движения.

Прямым путем изображающей точки называется геометрическое место

ее действительных положений в

S-мерном пространстве.

Окольным путем называется геометрическое место воображаемых

смещений положений прямого пути, причем смещения в начальный и

конечный моменты времени должны равняться нулю. Движение системы по

окольному пути начинается и оканчивается в те же моменты времени, что и

её движение по прямому пути.

В соответствии с этими определениями прямой путь изображающей

точки параметрически представляется

уравнениями

( ) ( 1,2,..., )

qqt m S

. (23.20)

Окольные пути получаются из прямого при помощи возможных

перемещений

qδ

и задаются уравнениями:

),...,2,1( δ )()(

smqtqtq

mmm







, (23.21)

где

q 

изохронные вариации обобщенных координат q

представляют со-

бой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие

связей системы и подчиненные условиям

),...,2,1( 0δ ,0δ

smqq





. (23.22)

Здесь t

и t

– фиксированные, но произвольные начальный и конечный

моменты времени, в промежутке между которыми рассматривается движение

системы. Условия (23.22) называются

условиями закрепленности концов

окольных путей

Действием по Гамильтону за промежуток времени (t

, t

) называется

величина

J, определяемая выражением

JLdt



(23.23)

где

– функция Лагранжа (23.19). Значение J определяется выбором S функ-

ций времени

, q

, ..., q

, так как функция Лагранжа L системы является

в общем случае функцией обобщенных координат

, обобщенных скоростей



и времени t.

Одним из наиболее широко используемых интегральных вариационных

принципов является

принцип Гамильтона – Остроградского: действие по

Гамильтону в истинном движении достигает стационарного значения

в сравнении со значениями на всех близких движениях

Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки от

ее положения в момент

до ее положения в момент t

истинным будет то

движение, при котором функционал (23.23) имеет экстремум (минимум или

максимум). Этот принцип применяется для изучения движения голономных

систем, подчиненных идеальным, удерживающим стационарным связям

и находящимся под действием потенциальных сил (консервативных систем).

Согласно принципу Гамильтона–Остроградского, истинное движение

материальной системы таково, что вариация действия по Гамильтону при

фиксированных значениях

и t

равна нулю, т. е.

δδ( ,..., , ,..., , ) 0

Lq q q q tdt



. (23.24)

При этом сравниваются движения, для которых выполняются условия

закрепленности концов окольных путей (23.22).

Покажем, что принцип Гамильтона–Остроградского вытекает из

уравнения Лагранжа второго рода (23.18)для консервативной системы:

0 ( 1, 2, ..., ),

dL L

dt q q





 







(23.25)

Для этого умножим каждое из уравнений (23.25) на вариацию

соответствующей обобщенной координаты

, а затем полученные

выражения сложим:

δ 0

dL L

dt q q































. (23.26)

Преобразуем первое слагаемое, стоящее в квадратных скобках,

воспользовавшись свойством



uv uv uv





δδ δ = δδ,

mm mmm

mmm mm

dL dL Ld dL L

qq qqq

dtq dtq qdt dtq q

    

 

 

    

 

    

&&& &&

(23.27)

вследствие коммутативности операций варьирования и дифференцирования,

т. е.

δδ δ.

ddq

dt dt



(23.28)

С учетом (23.27) уравнение (23.26) принимает вид

111

δδδ0.

SSS

mmm

dL L L

qqq

dt q q q









  













(23.29)

Поскольку функция Лагранжа является функцией обобщенных координат,

обобщенных скоростей и времени

( , , ) ( 1, 2, ..., )

LLqqt m S



, то

вычислив вариацию этой функции, получим

δδ δ.

Lq q











(23.30)

Тогда с учетом (23.30) уравнение (23.29), умноженное на «

1», запишем

в виде

δδ0

dt q

























или

δδ0.

dt q































(23.31)

Проинтегрируем (23.31) по времени в пределах от

до t

δ δ 0.

Ldt q dt

dt q









































(23.32)

Вследствие коммутативности операций интегрирования с постоянными

пределами и варьирования, т. е.

δ δ ,

Ldt Ldt



уравнение (23.32) преобразуем к виду

δ δ 0,

Ldt d q

































или

δ δδ0.

Ldt q q













(23.33)

Теперь воспользовавшись условием закрепленности концов окольных путей

(23.22), находим

δ 0





или с учетом (23.23)

δ 0J



что и требовалось доказать.

Можно показать, что механику консервативных систем можно

построить исходя из принципа Гамильтона–Остроградского, как основного

постулата, заменяющего законы Ньютона.

Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона–

Остроградского имеет определенные преимущества: этот принцип не зависит

от координат, применяемых при составлении функции Лагранжа. Важным

является также то, что

этот принцип указывает путь, которому нужно

следовать при описании с математической строгостью явно немеханических

систем (например, в теории поля).

При изучении движения материальной системы, находящейся под

действием как потенциальных, так и непотенциальных сил, следует

пользоваться

интегральным принципом Гамильтона–Остроградского:

при движении изображающей точки вдоль траектории действительного

перемещения интеграл

(23.34) равен нулю:























dtqQT



. (23.34)

Следует отметить, что это уже не вариационная формулировка.

Действительно, выделяя в обобщенных силах консервативные силы

НП

( 1,2,..., )

QQmn



  



где

НП

Q – непотенциальная обобщенная сила, и учитывая, что

δП δ











, поскольку







принцип Гамильтона-Остроградского (23.34) для неконсервативной системы

можно записать в виде



НП

П 0

TAdt 



где

НП НП



 



– возможная работа непотенциальных сил. Поскольку

L = T – П, то получим

НП

dt A dt 



Введя величину J

и учитывая определение (23.23), можно записать

* НП

JJ Adt



   



(23.35)

Выражение (23.35) утверждает только то, что величина J

на прямом

пути равна нулю. Самого же функционала

не существует. Поэтому

принцип Гамильтона–Остроградского для неконсервативной системы

называют интегральным принципом Гамильтона–Остроградского.

Вариационным и интегральным принципами Гамильтона-–Остроградского

пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения

материальных систем с распределенными параметрами, при выводе

различных форм уравнений динамики (уравнений Лагранжа второго рода, а

также при решении задач динамики приближенными методами).

ЛЕКЦИЯ 24

МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО

ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

Рассмотрим колебания механической системы с

S степенями свободы

около положения устойчивого равновесия. Выберем начало отсчета

обобщенных координат

в положении равновесия, т. е.

00 0

= ... 0

qq q 

Для описания движения системы воспользуемся уравнениями Лагранжа

второго рода

( ) ( 1, 2, ..., ) ,

mmm

dT T

QQQt m s

dt q q







 











(24.1)

где



 



обобщенная потенциальная (восстанавливающая) сила,

Q 

обобщенная сила сопротивления,

()



обобщенная возмущающая

сила. В большинстве случаев при описании колебаний механических систем

уравнения (24.1) являются нелинейными и их интегрирование сопряжено

с большими трудностями.

При малых колебаниях механических систем около положения

устойчивого равновесия, когда отклонения (возмущения) малы, величины

обобщенных координат и обобщенных скоростей также малы. Поэтому

уравнения (24.1) можно линелизовать, сохранив в них обобщенные

координаты и обобщенные скорости только первого порядка малости

(в первой степени), и тем самым значительно упростить процедуру

интегрирования.

Для составления уравнений Лагранжа второго рода получим

выражения для кинетической энергии механической системы, состоящей из

материальных точек, как функции обобщенных координат и обобщенных

скоростей. В случае стационарных связей радиус-векторы точек системы

явно от времени не зависят, т. е.



( , , ..., ) 1, 2, ...,

кк S

rrqq q к n

и для

кинетической энергии системы получаем

11 111

11 1 11

11 1

22 2

nn nSS

кк

кк кк к к ij

кк кij

SS n SS

кк

к ij ij ij

ij к ij

TmV mVVm q q

m qq aqq

 

  



 















 

  

&& &&

(24.2)

где введено обозначение

кк

ij к











. (24.3)

Очевидно, что коэффициенты

, зависящие от обобщенных координат,

являются симметричными:

ij ji



. В случае движения абсолютно твердого

тела коэффициенты

a соответствуют при поступательном движении массе

тела, а при вращательном движении



моменту инерции тела относительно

оси вращения. Поэтому коэффициенты

, характеризующие меру

инертности механической системы, называются

обобщенными

коэффициентами инерции

или обобщенными массами.

Разложим коэффициенты

в ряды Маклорена в окрестности

положения равновесия по малым отклонениям



111

...

SSS

ij ij

ij ij k k l

kkl

aa q qq

qqq









  









. (24.4)

Здесь и ниже индексом «0» отмечены значения производных от функций,

вычисленные в положении устойчивого равновесия при q

= 0, q

= 0, ..., q

= 0.

Подставляя (24.4) в (24.2) и учитывая, что рассматриваются малые

колебания, для получения линеаризованного уравнения (24.1) ограничимся

в выражении кинетической энергии только слагаемыми не выше второго

порядка малости (второй степени) по обобщенным координатам и

обобщенным скоростям, так как в уравнении (24.1)

Т стоит под знаками

первых производных по

. Тогда получим



ij i j

Taqq







. (24.5)

Следовательно, в случае малых колебаний,

кинетическая энергия

механической системы является однородной квадратичной формой

обобщенных скоростей

Здесь обобщенные коэффициенты инерции





являются

постоянными числами, которые ниже будем обозначать

. Отметим, что

квадратичная форма (24.5) является невырожденной, т. е. определитель,

составленный из коэффициентов

, отличен от нуля: при любых

, , ...,

qq q

, =1

det 0

a 

. Поэтому квадратичная форма (2.5) является

определенно положительной

0T 

, причем



, только если все

обобщенные скорости одновременно равны нулю.

Вычислим производные от кинетической энергии (24.5), входящие

в уравнение Лагранжа второго рода (24.1), получим

11 11 1

= δ + δ

ij i j

SS SS S

ij mi j ij mj i mj j

ij ij j

aqq

aq aq aq



  























  

&&&

. (24.6)

Здесь использовалось свойство симметрии обобщенных коэффициентов

инерции

и символ Кронекера

1, если ,

0, если ;













(24.7)

;

mj j mj j

dT d

aq aq

dt q dt

















&&&

(24.8)







(24.9)

Предполагая, что механическая система движется в стационарном

потенциальном поле, разложим потенциальную энергию системы

( , , ..., )

qq q

в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия

00 0

= ... 0

qq q 

по степеням обобщенных координат (малым

отклонениям от этого положения):



111

П 1 П

ПП0, 0, ..., 0 ...

SSS

iij

qqq













 























. (24.10)

Поскольку потенциальная энергия

определяется с точностью до

аддитивной константы, то без ограничения общности можно выбрать начало

ее отсчета в положении равновесия, т. е.

П(0, 0, ..., 0) 0



Первая сумма в (24.10) тоже равна нулю, так как в положении

равновесия все обобщенные силы равны нулю:



0 ( 1, 2, ..., )

Qms







  











Учитывая, что рассматриваются малые колебания и так как потенциальная

энергия системы П входит в уравнение (24.1) под знаками первых

производных по

, то для получения линеаризованного вида уравнения

(24.1) ограничимся в (24.10) только слагаемыми не выше второго порядка

малости (второй степени) по обобщенным координатам. В этом случае

выражение (24.10) принимает вид

ij i j

cqq







, (24.11)

где постоянные коэффициенты





















называются обобщенными коэффициентами жесткости.

Будем считать, что квадратичная форма (24.11) является определенно

положительной, тогда согласно критерию Сильвестера главные

диагональные миноры матрицы

квадратичной формы должны быть

положительными, т. е.

11 12 1

11 12 13

11 12

21 22 2

111 2 2 212223 2

21 22

31 32 33

...

0, 0, 0, 0.

..............

...

SS SS

cc c

ccc

cc c

cccc

ccc

cc c

       

В этом случае при

=0, q

=0, ..., q

=0 потенциальная энергия П будет иметь

локальный минимум, и согласно теоремы Лагранжа-Дирихле равновесие

консервативной системы будет устойчивым.

Следовательно, в случае малых колебаний

потенциальная энергия

системы является положительно определенной квадратичной формой

обобщенных координат.