Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

126

a6,3

z20

=− =− =− см;

419

a22,9

y18,3

=− =− =− см.

Отложим отрезки

a и

a на соответствующих осях и через

полученные точки проведем нейтральную линию (см. рис. 4.11).

Эта нейтральная линия делит площадь поперечного сечения на

две зоны – растянутую и сжатую.

5. Проведем касательные к сечению, параллельные ней-

тральной линии. Точки касания этих линий и определяют поло-

жение опасных точек с координатами:

В растянутой зоне – это точка

“А”

Aon

zz 20==−см;

Aon

yy 41,67==− см.

В сжатой зоне – точка “В”

Bon

zz 20==см;

Bon

yy 18,33== см.

6. Из условий прочности (4.18) и (4.19) найдем значение до-

пускаемой силы [F]:

Fon Fon

max

yy zz

(1 ) R

Ai i

σ=−+ + ≤;

сс

F оп F оп

max

yy zz

(1 R

Ai i

σ=− + + ≤

Здесь:

– координаты точки приложения силы F;

оп

, z

оп

– координаты опасной точки в растянутой зоне;

оп

, z

оп

– координаты опасной точки в сжатой зоне.

Принимая правые части этих условий со знаком равенства,

вычислим значения допускаемой силы два раза – из условия

прочности в растянутой зоне и из условия прочности в сжатой

зоне:

[]

Fon Fon

yy zz

⋅

⋅⋅

42 3

2700 10 м 0, 25 10 кПа 67,5

16,92кН

18,33 ( 41,67) 20 ( 20)

3, 99

419 126

−

⋅⋅⋅

===

⋅− ⋅−

[]

Fon Fon

yy zz

⋅

⋅⋅

42 3

2700 10 м 2,5 10 кПа 675

135,54кН

18,33 18,33 20 20

4,98

419 126

−

⋅⋅⋅

===

⋅⋅

Из двух найденных значений [F] окончательно принимаем

меньшую силу - [F] = 16,92 кН.

7. Найдем нормальные напряжения в опасных точках “А” и

“В” от допускаемой силы [F] = 16,92 кН.

FA FA

yy zz

(1 )

Ai i

⋅⋅

σ=− + + =

16,9кН 18,33 ( 41,67) 20 ( 20)

(1 ) 0, 25 10 кПа

2700 10 м 419 126

−

⋅

−⋅−

−+ +=⋅

⋅

;

F В FB

yy zz

(1 )

Ai i

⋅⋅

σ=− + + =

16,6кН 18,33 18,33 20 20

(1 ) 0, 31 10 кПа.

2700 10 м 419 126

−

⋅⋅

−++=−⋅

⋅

Используя полученные значения напряжений, построим

эпюру

(см. рис.4.11).

4.3.1 Ядро сечения

Для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению

(чугун, бетон, кирпич, и др.), желательно прикладывать про-

дольную сжимающую нагрузку таким образом, чтобы отсутст-

вовала растянутая зона. Это условие выполняется, если про-

дольная нагрузка F приложена в пределах ядра сечения.

Таким образом,

ядром сечения называется область вокруг

центра тяжести сечения, обладающая следующим свойством:

продольная нагрузка, приложенная в пределах этой области,

вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения од-

ного знака.

При постоянстве знака напряжений во всем сечении ней-

тральная ось не пересекает сечения (в предельном случае - ка-

сается

). Это обстоятельство определяет алгоритм построения

ядра сечения.

Пусть нейтральная ось касается поперечного сечения, а ве-

личины

a - отрезки, отсекаемые такой нейтральной осью

на осях координат. Тогда из (4.15) следует выражение для соот-

ветствующих координат y

FЯ

, z

FЯ

точек приложения нагрузки F

(эти точки лежат на границе ядра сечения):

FЯ

=− ;

FЯ

− (4.18)

Алгоритм построения ядра сечения заключается в следую-

щем

Сечение описывается семейством n касательных; для

каждой i-той касательной, i=1, 2, …, n, определяются ве-

личины

a отрезков, отсекаемых ею на осях коор-

динат.

По формулам (4.18) определяются координаты y

Fяi

, z

Fяi

точек границы ядра сечения.

Полученные точки соединяют, замыкая границы ядра

сечения.

Анализируя приведенный алгоритм и соотношения (4.14),

(4.18), нетрудно показать, что:

ядро сечения – выпуклая фигура;

при вращении нейтральной оси вокруг точки

(полюса), граница ядра сечения – прямая;

ядро сечения выпуклого n-угольника также вы-

пуклый n-угольник.

Опуская вычисления, приведем данные для некоторых про-

стых фигур:

ядро сечения прямоугольника со сторонами

- ромб с

размерами по диагоналям

(рис. 4.12); ромбом яв-

ляется также ядро сечения двутавра (рис 4.14);

ядро сечения круга с диаметром d – круг с диаметром d/4

(рис. 4.13),

В заключение рассмотрим

пример построения ядра сечения

для более сложной фигуры.

ПРИМЕР 4.5.

Требуется.

Для сечения, заданного в ре-

шенном ранее примере 4.4, по-

строить ядро сечения (рис. 4.15).

РЕШЕНИЕ

1. Проводим нейтральные линии, являющиеся касательными к

сечению – 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5.

2. Для каждой из этих нейтральных линий по чертежу найдем

отрезки, которые они отсекают на осях координат.

Нейтральная линия 1-1.

()

a(20х)=− +

Из подобия треугольников «abc» и «dae», (рис. 4.15) находим:

18,33 30

x20

; отсюда нахо-

дим

18,33 20

x12,22

⋅

==см.

(

)

a (20 12,22) 32,22см.=− + =−

(

)

a (18,33 30) 48,33см.=+=

Нейтральная линия 2-2.

(

)

a (20 12,22) 32,22=+ = см

(

)

a (18,33 30) 48,33 см.=+=

Нейтральная линия 3-3.

(

)

a20

см;

(

)

∞

Нейтральная линия 4-4.

()

a =∞;

(

)

a41,67=−

см.

Нейтральная линия 5-5.

()

a20=− см;

(

)

∞ .

Используя эти отрезки, найдем координаты точек прило-

жения сил, т.е. координаты точек контура ядра сечения. Квадра-

ты главных радиусов инерции сечения были определены в пре-

дыдущем примере 4.4

= 419 см; i

= 126 см.

Т.1.

Fя1

126

z3,91

a32,22

==− =

−

см;

Fя1

419

y8,67

48,33

=− =− см.

Т.2.

Fя2

126

z3,91

32,22

=− =− см;

Fя2

419

y8,67

48,33

=− =− см;

Т.3.

Fя3

126

z6,3

=− =− см;

Fя3

419

−=

∞

Т.4.

Fя4

126

z0=− =

∞

;

Fя4

419

y10,06

41,67

=− =

−

см;

Т.5.

Fя5

126

z6,3

=− =

−

см;

Fя5

419

y0.

−=

∞

По этим координатам находим точки 1, 2, 3, 4, 5 контура

ядра сечения. В данном примере найденные точки соединяем

прямыми линиями, т.к. нейтральные линии – касательные при

переходе из одной грани к другой поворачивались вокруг точки

на контуре сечения.

4.4. Изгиб с кручением прямых стержней

В случае изгиба с кручением прямых стержней силы взаи-

модействия между частицами материала суммируются в попе-

речных сечениях к крутящему моменту M

, изгибающим

моментам M

, M

и поперечным силам Q

, Q

(Х–продольная ось

стержня, У, Z – главные центральные оси поперечных сечений).

При расчетах на прочность стержней круглого и круглого

трубчатого поперечных сечений нет необходимости рассматри-

вать косой изгиб и удобно находить общий изгибающий мо-

мент:

Mв MM=+ (4.19)

Величины касательных напряжений от изгиба в таких

стержнях, как правило, значительно меньше касательных на-

пряжений, связанных с кручением. Поэтому их влиянием в дан-

ном случае пренебрегаем. Эпюры нормальных напряжений, свя-

занных с изгибом, и касательных напряжений от кручения в по-

перечных сечениях имеют аналогичный вид. (см. рис. 4.16).

Максимальные

напряжения возникают в точках, лежащих на

контуре сечений, и равны соответственно:

max

σ= ;

max

τ= (4.20)

В формулах (4.20) W, W

=2W – осевой и полярный момен-

ты сопротивления сечения.

Рис. 4.16

Для круглого сечения:

π⋅

= (4.21)

Для круглого трубчатого сечения:

ext

W(1c),

π⋅

=− (4.22)

где

int

ext

int

ext

d– внутренний и внешний диаметры трубы.

Опасные сечения стержня выявляются после построения

эпюр M

, M

При постоянных по длине стержня размерах поперечных

сечений наиболее опасным будет сечение, в котором величины

, M

значительны.

Пусть при рассмотрении опасного (или подозрительном на

опасное) сечения плоскость YOX – плоскость изгиба. Тогда т.1,

лежащая на контуре, - наиболее опасная. Так как в данном слу-

чае реализуется плоское напряженное состояние, то величины

главных напряжений

определяются из соотношения:

1,3

σ= ± σ+τ (4.23)

Для пластичных материалов при использовании третьей

теории прочности условие прочности имеет вид:

(3) 2 2 2 2

р 13 в t

4MMR

σ =σ−σ= σ+τ= + ≤ , (4.24)

где R – расчетное сопротивление материала стержня.

При использовании энергетической (четвертой) теории

прочности условия прочности приводятся к виду:

(4) 2 2

рвt

M 0,75M R

σ= + ≤ (4.25)

Учитывая аналогию в соотношениях (4.24) (4.25), можно

ввести в рассмотрение так называемый расчетный момент M

des

Тогда условие прочности по любой теории прочности имеет

стандартный вид:

des

=≤

(4.26)

Причем, как было показано выше, согласно третьей теории

прочности:

(3) 2 2

des В t

MMM=+ (4.27)

а по четвертой теории прочности:

(4) 2 2

des в t

M M 0,75M=+ (4.28)

Условие (4.26) позволяет решать 3 следующих типа задач:

1. Проверочная задача, т.е. проверка прочности при изгибе

с кручением – проверка выполнения условия (4.26).

2. Проектная задача, т.е. подбор сечения

Для подбора сечения необходимо:

построить эпюры изгибающих и крутящих моментов;

найти опасное сечение и определить расчетный момент

des

, как наибольший для даннго бруса;

из формулы (4.26), определяем требуемый момент со-

противления сечения.

des

тр

≥ ; (4.29)

определим неизвестный диаметр из условия:

тр

Здесь W – осевой момент сопротивления сечения, выражает-

ся по формуле (4.21) (для круглого сплошного сечения) или

(4.22) (для трубчатого сечения).

3.Определение допускаемого значения расчетного момента

по формуле:

[]

des

MWR=⋅, а далее – допускаемых значений па-

раметров нагрузки.

Эпюры напряжений, соответствующие изгибу с кручением

стержня прямоугольного сечения, представлены на рис. 4.17.

Рис 4.17

При расчете стержня на прочность можно выделить две

группы точек, подозрительных на опасные. В точках 1, 3, 6, 8

реализуется линейное напряженное состояние, и условия проч-

ности по всем теориям прочности заключаются в проверке по

максимальным нормальным напряжениям (см. косой изгиб

стержня). В точках 2, 4, 5, 7 реализуется плоское напряженное

состояние.

С учетом касательных напряжений от

изгиба (эпюра

) ус-

ловия прочности по третьей теории прочности запишутся:

т.4 (или т.5)

Whb2bh

⎛⎞

+≤

⎜⎟

⎝⎠

; (4.30)

т.2 (или т.7)

Whb2bh

⎛⎞

γ+ ≤

⎜⎟

⎝⎠

(4.30’)

где

,αγ

-коэффициенты Сен-Венана (определяются по таб-

лице с учетом отношения h/b). На основе соотношений (4.30),

(4.30’) можно решать все три вида упомянутых выше задач рас-

чета: поверочную; проектную (подбор сечения); подбор допус-

каемых нагрузок.

Расчеты на жесткость стержней при изгибе с кручением от-

носят к конкретным сооружениям. При рассмотрении конструк-

ций балочного типа

(прямой стержень, закрепленный линейны-

ми и угловыми связями) расчет на жесткость проводят отдельно

при косом изгибе балок и отдельно при кручении прямого

стержня (см. 4.2, [9, 12]).

ПРИМЕР 4.5

Требуется.

Для ломаного бруса, изображенного на рис.4.18 а, подоб-

рать диаметр (сечение бруса круглое сплошное). R=200 МПа.

РЕШЕНИЕ

1. Строим эпюры изгибающих и крутящих моментов.

При вычислении изгибающих моментов в брусьях с ло-

маной в пространстве осью или когда линии действия внешних

сил не лежат в плоскости, в которой лежат оси ломаного стерж-

ня, введем следующее правило знаков:

Изгибающий момент будем считать положительным,

если он вызывает растяжение в точках сечения с положитель-

ными координатами.

Поэтому знаки изгибающих моментов бу-

дут зависеть от того, куда направлены стрелки на осях коорди-

нат.