Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

При составлении уравнений внутренних усилий введем ме-

стную систему координат, когда начало координат принимаем в

начале рассматриваемого участка, ось «Х» обязательно направ-

ляем вдоль продольной оси бруса. Тогда изгибающий и крутя-

щий моменты будут обозначаться так:

и М

– изгибающие моменты; М

= М

– крутящий мо-

мент.

На грузовом участке 1 крутящий момент отсутствует, т.к. в

рассматриваемой части бруса (справа от сечения) единственная

сила F

пересекает продольную ось бруса ось Х (рис.4.19, а).

Изгибающий момент на этом участке дает только сила F в

горизонтальной плоскости относительно оси Z с плечом x

Рис.4.18

(1)

Z11

MFx25x=⋅ = ;

x0,

(1)

;

м;

(1)

M25

кН⋅м;

(растягиваются передние волокна, поэтому при построении

эпюры М

эту ординату откладываем вперед вдоль оси У, в гло-

бальной системе координат см рис.4.18, б).

(1)

=0; М

(1)

М =0.

2-й участок 0

(2)

≤

≤ 1м.

На 2-м грузовом участке (рис.4.19,б) крутящий момент то-

же отсутствует, т.к. на левой отсеченной части действует внеш-

ний момент М

= 20 кН⋅м и вызывает изгиб в вертикальной

плоскости, растягивая при этом верхние волокна Поэтому эта

ордината на эпюре изгибающих моментов откладывается вверх

(рис.4.18 б).

На вертикальном грузовом участке 3 рассматриваем верх-

нюю отсеченную часть (рис.4.19, б):

Изгибающие моменты -

Z13 3

MFх 25х

⋅= ;

=0,

;

=1,5 м;

M 37,5

кН⋅м;

(растягиваются передние волокна, поэтому на эпюре М

откла-

дываем вперед вдоль оси У в глобальной системе координат).

уу1

qх 10х

MM 20

=+ =+ ;

х 0= ,

M20= кН⋅м. (растягиваются правые

х 0, 75= м,

M22,81= кН⋅м. волокна, поэтому откла-

х 1, 5= м,

M31,25= кН⋅м. дываем вдоль оси Z вправо)

(рис. 4.18 б).

Крутящий момент – М

= М

= –F

⋅1м = –25 кН⋅м.

Эпюру крутящих моментов М

см. рис.4.18 в.

В рассматриваемом примере во всех 3-х грузовых участках продоль-

ная сила N равна нулю.

2. Определяем расчетный момент в опасном сечении. Таковым

является сечение на 3-м грузовом участке внизу у заделки.

у1

=20 кНм

у1

=20 кНм

= 37,5 кН⋅м; M

= 31,25 кН⋅м;

= 25 кН⋅м.

По формуле (4.19) находим общий изгибающий момент:

22 2 2

Z У

М M 37,5 31,25 48,81кНм.+= + =

Расчетный момент найдем по формуле (4.27) используя 3-ю тео-

рию прочности:

()

22 22

des В t

M M M 48,81 25 54,83=+= += кН⋅м.

3. По формуле (4.28) определяем требуемый осевой момент со-

противления сечения бруса:

()

33 3

des

тр

54,83кН м

W 0,274 10 м 274см

R 200 10 кПа

−

⋅

== =⋅=

⋅

4. Из условия равенства W = W

тр

для круглого сплошного

сечения находим требуемых диаметр бруса:

W274

== см

;

32 274

d14,08

⋅

см.

По таблице сортаментов для стального проката круглого

сечения (ГОСТ 2590-88) примем ближайший диаметр d = 140

мм = 14 см.

Проверим прочность и определим процент перенапряжения,

т.к. округление диаметра принято в меньшую сторону.

d3,1414

W269,26

32 32

π⋅

== = см

= 269,26⋅10

-6

()

des

54,83кН м

203,6 10 кПа R

W269,2610м

−

⋅

== =⋅ 〉

⋅

σ% =

100%

σ−

⋅

203,6 200

1, 8% 5

200

−

〈 %

Перенапряжение допустимое.

4.6. Учет влияния продольной силы

при изгибе с кручением

При использовании принципа суперпозиции наличие в чис-

ле внутренних силовых факторов продольной силы N приведет

лишь к корректировке соотношения для нормальных напряже-

ний в сечениях. Для стержней круглого сплошного и трубчатого

поперечных сечений формула для максимального по модулю

нормального напряжения в опасной точке контура имеет вид:

max

WA W A

σ= += + (4.32)

Условие прочности, например, по третьей теории прочно-

сти запишется следующим образом:

(3) 2 2

des

|N|

44R

WA 2W

⎛⎞

σ=σ+τ= + + ≤

⎜⎟

⎝⎠

(4.33)

В случае рассмотрения стержня прямоугольного сечения в

соотношениях (4.30), (4.30’) также необходимо учесть соответ-

ствующую добавку. Для решения проектной задачи подбора

сечения из условия прочности можно в данном случае рассмот-

реть следующий алгоритм:

На начальном этапе сечение подбирается без учета про-

дольной силы по методике, изложенной ранее. Подобранные

размеры (номер в сортаменте) округляется с учетом требований

ГОСТ-ов в большую сторону.

Проводится проверка прочности подобранного на пер-

вом этапе сечения с учетом влияния продольной силы. При не-

выполнении условия прочности делаются шаги в сторону уве-

личения сечения вплоть до выполнения условия прочности. На

случай, если шаг принят слишком большим и скорректирован-

ное сечение недонапряжено больше 5%, в алгоритме необходи-

мо предусмотреть возврат и

уменьшение шага корректировки.

ПРИМЕР 4.6

Дано: Стержень с ломаной осью загружен силами, как

показано на рис. 4.20 а.

Требуется:

Подобрать диаметр стержня трубчатого се-

чения при следующих условиях: R = 200 МПа, с = d

int

ext

= 0,8.

РЕШЕНИЕ

1. Строим эпюры внутренних усилий, используя приве-

денную в предыдущем примере методику. (Для каждого грузо-

вого участка используем местную систему координат).

Рис. 4.20

1-й участок, 0

≤

1м. (4.21).

Изгибающие моменты:

= M

=15+20

;

=0; М

=15кН⋅м (растягиваются верхние волокна).

=0,5м; М

=15+20

0,5

=17,5кН⋅м.

=1м; М

=15+20

=25 кН⋅м.

⋅x

=20 x

;

=0; М

=0;

=1м; М

=20⋅1м=20 кН⋅м (растягиваются передние волокна).

Крутящие моменты – M

Продольные силы – N=0

2-й участок; 0

≤

2м.

Изгибающие моменты:

=–М

–q⋅1⋅

= –15–20⋅1⋅0,5=

= –25 кН⋅м. (Растягиваются левые

волокна).

⋅х

=20х

;

=0; М

(0)=0;

=2м; М

(2)=40 кН⋅м (растягива-

ются передние волокна)

Крутящие моменты:

⋅1м=20 кН⋅м.

Продольная сила:

N= –300–q⋅1м= –320 кНм

По полученным значениям строим

эпюры М

, М

и N (рис.4.20 б, в и г).

2. Выясняем опасное сечение. Из визуального анализа эпюр

видно, что наиболее опасным является сечение в нижней части 2-

го участка – т.е. сечение у жесткой заделки.

Выпишем все внутренние усилия в указанном опасном сече-

нии:

=⎜40⎜ кН⋅м; M

=⎜25⎜ кН⋅м; М

=⎜20⎜ кН⋅м; N=⎜320⎜ кН.

=20кН

q=20кН/м

Рис. 4.21

1м

=20 кН

Х Z

Рис. 4. 22

=300 кН

q=20 кН/м

=25 кН/м

3. Определим общий изгибающий момент M

22 22

M M 25 40 47, 2+= += кН⋅м.

4. Определим расчетный момент по 3-й гипотезе прочности.

()

III

22 22

des И t

M M M 47,2 20 51,3=+= += кН⋅м.

5. Подбор диаметра сечения стержня ведем по методу по-

следовательных приближений, т.к. в опасном сечении, кроме

изгибающего и крутящего моментов, имеется продольная сила

N=⎜320⎜ кН.

а) В первом приближении определим диаметр стержня без

учета продольной силы по аналогии с предыдущим примером

4.6.

()

III

33 3

des

тр

51,3кН м

W 0,2565 10 м 256,5см

R 200 10 кПа

−

⋅

== =⋅=

⋅

Из условия равенства W = W

тр

для кольцевого сечения на-

ходим наружный диаметр трубы [11]:

ext

W(1с ) 256,5см

=−= , здесь

int

ext

с 0,8

ext

32 256,5

d16,42см.

(1 0, 8 )

⋅

π−

По таблице сортаментов для круглого горячекатаного

стального проката (ГОСТ 2590-88) примем ближайший больший

диаметр:

ext

= 165 мм = 16,5 см.

Проверим прочность по 3-й гипотезе прочности, по форму-

ле (4.24), но уже с учетом влияния нормальной силы N на нор-

мальное напряжение

()

III

des

=σ+⋅τ≤

Предварительно определим площадь поперечного сечения А

и осевой момент сопротивления W при принятом диаметре

ext

=16,5см.

22242

ext

3,14 16, 5

A(1с )(10,8)76,9см 76,9 10 м

−

⋅

=−= −= =⋅

443

ext

3,14 16, 5

W(1с )(10,8)260,1см

32 32

260,10 м .

−

⋅

=−= −= =

Определяем суммарное нормальное напряжение:

47,2 320

223, 08 10 кПа

W A 260,1 10 76,9 10

−−

σ= + = + = ⋅ =

⋅⋅

=223,08 МПа.

Определяем касательное напряжение от крутящего момента:

20кН м

38,45 10 кПа 38,45 МПа

2W 2 260,1 10 м

−

⋅

τ= = = ⋅ =

⋅⋅

Полученные напряжения σ и τ подставим в условие прочно-

сти (4.24).

()

III

22 2 2

des

4 223,08 4 38,45 236МПа Rσ=σ+⋅τ= +⋅ = 〉

Имеет место перенапряжение, определим его в процентах:

des

236 200

% 100% 100% 18% 5%

R200

σ−

−

Δσ = ⋅ = ⋅ = 〉 -

(недопустимо)

Выполним 2-е приближение проверим прочность следующе-

го большего диаметра по таблице ГОСТа, d

ext

=170 мм=17 см.

Повторим расчет при этом диаметре:

22242

ext

3,14 17,0

A(1C) (10,8)81,7см 81,79 10 м

−

⋅

=−= −==⋅

443

ext

3,14 17,0

W (1C) (10,8) 284,4см 284,4

32 32

⋅

=−= −= =⋅10

-6

Определяем суммарное нормальное напряжение

| N | 47.2 320

202.73 10 кПа

W A 284.4 10 81.7 10

−−

σ= + = + = ⋅

⋅⋅

=202,73 Мпа.

Определяем касательное напряжение от крутящего момента:

20кН

35,20 10 кПа 35,20

2W 2 284,4 10 м

−

τ= = = ⋅ =

⋅⋅

МПа

Полученные напряжения σ и τ подставим в условие прочно-

сти (4.26).

()

III

22 2 2

des

4 202,73 4 35,20 214,6σ=σ+⋅τ= +⋅ = МПа > R

Имеет место перенапряжение, определим его в процентах:

des

214,6 200

% 100% 100% 7,37% 5%

R 200

σ−

−

Δσ = ⋅ = ⋅ = 〉 -

(недопустимо)

Имеет место недопустимое перенапряжение.

Повторим расчет при , d

ext

=175 мм=17,5 см:

22242

ext

3,14 17,5

A (1C) (10,8) 86,5см 86,5 10 м

−

⋅

=−= −= =⋅

443

ext

3,14 17,5

W (1C) (10,8) 310,3см 310,3

32 32

⋅

=−= −= =⋅10

-6

Определяем суммарное нормальное напряжение:

47, 2 320

186,79 10 кПа

W A 310,3 10 86,5 10

−−

σ= + = + = ⋅ =

⋅⋅

=186,79 МПа.

Определяем касательное напряжение от крутящего момента:

20кН

32,20 10 кПа 32, 20

2W 2 310,3 10 м

−

τ= = = ⋅ =

⋅⋅

МПа

Полученные напряжения σ и τ подставим в условие прочно-

сти (4.24).

()

III

22 2 2

des

4 186,79 4 32,20 197,6σ=σ+⋅τ= +⋅ = МПа>R

Условие прочности выполняется с незначительным запасом.

Окончательно принимаем: d

ext

=17,5 см =175 мм.

int

=0,8d

ext

=0,8⋅175=140 мм.

Вопросы для самопроверки.

1. Назовите виды сложного сопротивления. На какие 2 группы

их можно разделить по виду напряженного состояния в опас-

ной точке?

100

2. Какой случай изгиба называется косым?

Как находится опасная точка при косом изгибе?

Как строится нейтральная линия при косом изгибе?

Напишите формулу для определения нормальных напряже-

ний в произвольной точке поперечного сечения.

Напишите условия прочности при косом изгибе балки.

Как подбирается сечение балки при косом изгибе?

Как определяется прогиб балки при косом изгибе?

Какой вид деформации называется внецентренным растяже-

нием-сжатием?

10.

Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном

сечении бруса при внецентренном действии сил?

11.

Напишите формулу для определения нормальных напряже-

ний при внецентренном действии сил.

12.

Приведите условие прочности.

13.

Как определяется положение опасной точки, поперечного

сечения при внецентренном действии сил?

14.

Как строится нейтральная линия

15.

Что такое ядро сечения? Приведите примеры ядер сечения.

16.

Покажите порядок построения ядра сечения.

17.

Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса

при совместном действии изгиба и кручения?

18.

Где находится опасная точка поперечного сечения при изгибе

с кручением? Какой там вид напряженного состояния?

19.

Напишите условие прочности сечения при изгибе с кручени-

ем стержня.

20.

Покажите порядок подбора сечения бруса круглого сечения

при изгибе с кручением.

21.

Как выполняется проверка прочности бруса круглого сечения

при наличии изгибающего и крутящего моментов и продоль-

ной силы? Покажите порядок подбора сечения в этом случае.