Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

111

5.5. Примеры определения критических значений

параметра нагрузки

ПРИМЕР 5.1.

Требуется

определить:

– критическое значение силы

при которой сжатый

112

подкос может потерять устойчивость, т.е. когда

NN= (рис.

5.7 а)

– нормальное напряжение в растянутом стержне AB , воз-

никающее от внешней силы

Стержни AB и BC выполнены из стальных труб (сталь-

3) с наружным диаметром

ext

d12

см, и внутренним диамет-

ром

int

d10

см. тогда

int

ext

c0,83

d12

=== .

РЕШЕНИЕ

1.Предварительные вычисления. Длина стержня

22,53,2м 320=+ = =l см

2,5

cos 0,781; sin 0,625

3, 2 3, 2

α= = α= =

2. Определим гибкость стержня ВС, предполагая одина-

ковое (шарнирное) закрепление концов стержня в обоих глав-

ных плоскостях , т.е.

=μ =μ = .

Сначала определим осевой момент инерции для трубча-

того сечения :

ext

I (1c) (10,834) 534,5см

64 64

=−=−=

Площадь поперечного сечения:

222

ext

A(1c)(10,83)35,17см

=−=−=

Радиус инерции сечения:

zymin

I534,5

iii i 3,9см

A35,17

== == = =

113

Тогда гибкость

min

l 1 320см

i3,9cм

⋅

λ= = =

3.Определим критическую сжимающую силу для подкоса

ВС: т.к. гибкость

82 100λ= <λ =

(для стали 3), критическую

силу определяем по формуле Ясинского (5.23) и (5.25). Из

табл. 5.1 для Ст.3 находим a310МПа

b 1,14 МПа.

a b 310 1,14 82 216,5МПа 216,5 10 кПаσ=−λ= − ⋅ = = ⋅

cr(BC) cr

N A 216,5 10 37,15 10 761,4кН.

−

=σ = ⋅ ⋅ ⋅ =

4.Вырежем узел "В" и из уравнений равновесия устано-

вим связь между силой F и продольной силой в подкосе

BС N− (рис. 5.7 б).

BC BC

y0; FN sin 0; N

sin

−

=−− ⋅α= =

∑

Знак "минус" показывает сжимающий характер продоль-

ной силы в подкосе.

Отсюда выразим F:

BC BC

F N sin N 0,625.=⋅α=⋅

Найдем критическое значение силы

F :

114

cr BC

F N 0,625 761,4 0,625 475,9=⋅ = ⋅ = кН.

5.Определим нормальное напряжение в растянутом стержне

АВ по формуле:

σ=

Для этого из уравнения равновесия найдем силу N

АВ

сr

АВ ВС

X0; N N cos 0.=− −⋅α=

∑

Отсюда находим –

AB BC

475,9

N N cos cos 0,781 594,7

sin 0,625

=− ⋅ α= ⋅ α= ⋅ =

кН.

Определяем

594,7

169,1 10

A 35,17 10

−

σ= = = ⋅

⋅

кПа.

ПРИМЕР 5.2.

Требуется:

Определить критическую силу

F и критиче-

ское напряжение в поперечном сечении сжатой стойки, изо-

браженной на рис. 5.8. Поперечное сечение – на рис. 5.8 б.

Нижний конец бруса защемлен в обоих главных плоско-

стях. Закрепление верхнего конца принять: относительно оси

"Z" –шарнирное, относительно оси "Y" – жесткое защемление.

Материал – сталь 3,

E2,0610

⋅ кПа.

H14см h 12см==

0,5

B8см b 6см==

0,7

РЕШЕНИЕ

1. Определяем величины главных центральных моментов

инерции поперечного сечения стержня

33 3 3

HB hb 14 8 12 6

I381,3см;

12 12 12 12

⋅⋅

=−= − =

33 3 3

BH bh 8 14 6 12

I 965 см.

12 12 12 12

⋅⋅

=−= − =

115

2. Площадь поперечного сечения

ABHbh81461240см=−=⋅−⋅=

Главные радиусы инерции -

381,3

i3,09см

A40

== =

965

i4,91см

A40

== =

4. Определим гибкости в обоих главных плоскостях –

0,5 850см

137,5

i3,09см

0,7 850см

121

i4,91см

⋅

λ= = =

⋅

λ= = =

5. Критическую силу определяем по большей гибкости

max y

137,5λ=λ=

Т.к.

max 0

137,5 100λ= >λ=

(для Ст.3), критическую силу

определяем по формуле Эйлера, в которой вместо I

min

подставим

116

28 82

2,06 10 381,3 10 м

F 428,8

(l) (0,58,5м)

−

π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

== =

μ⋅

кН

6. Определим критическое напряжение:

сr

428,8

107,2 10 кПа 107,2

A4010м

−

σ= = = ⋅ =

⋅

МПа << 200 МПа

Критическое напряжение значительно меньше предела

пропорциональности для Ст.3, равного 200 МПа, что под-

тверждает правомерность использования формулы Эйлера.

ПИМЕР 5.3.

Требуется.

Определить критическое значение интенсивности рас-

пределенной нагрузки

q, при которой деревянная сжатая

стойка

ВС может потерять устойчивость (рис. 5.9). При этом

принять:

E 1,1 10=⋅ кПа,

110

= .

Рис.5.9

РЕШЕНИЕ

1.Определим критическое значение продольной силы для

стержня

ВС. Оба конца стержня закреплены шарнирно, значит

1μ= . а) Определим минимальный момент инерции сечения

117

bh 8 6

I144

12 12

⋅

== = см

hb 6 8

I256

12 12

⋅

== = см

< I

, значит I

= I

min

= 144 см

б ) Определим минимальный радиус инерции сечения –

min

144см

i1,73см

A40см

== =

в ) Определим гибкость стержня:

min

l1300см

173.

i1,73см

μ⋅ ⋅

λ= = =

г ) По таблице 5.1 находим предельную гибкость стерж-

ня из дерева –

=110. Так как гибкость 173 > λ

= 110, то кри-

тическую силу определяем по формуле Эйлера:

27 84

min

1,1 10 кПа 144 10 м

N15,78кН

(l) (13м)

−

π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

== =

μ⋅

Из уравнения равновесия, ∑М

= 0 , установим связь между ин-

тенсивностью распределенной нагрузки q и сжимающей силой

=|N

q6м 3м R2м 0;

q0,111R.

18 м

⋅⋅− ⋅=

3.Определяем критическое значение интенсивности нагруз-

ки q:

cr cr

q 0,111N 0,111 15,78 1,75кН / м.==⋅=

Ответ: q

= 1,75 кН/м.

ПРИМЕР 5.4.

Требуется:

Определить критическую силу F

для сжатого стержня, по-

казанного на рис. 5.10. Материал стержня – Ст.3, сечение со-

ставлено из 4-х неравнополочных уголков 63х40х5мм. (ГОСТ

8510-86), λ

=100.

118

РЕШЕНИЕ

Определим минимальный радиус инерции сечения:

а ) Определим главные центральные моменты инерции.

I4(I yA);

zz1011

I4(I zA).

yy1011

=+⋅

Из таблицы сортаментов для прокатных неравнополочных

стальных уголков для уголка № 63х40х5 мм. выписываем:

= 19,9 см

; y

=2,08 см.

= 6,3 см

; z

= 0,95 см.

b= 4 см; А

= 4,98 см

В=6,3 см.

Проводим оси симметрии всего сечения У и Z и централь-

ные оси отдельных уголков У

и Z

(рис. 5.10),

Вычисляем расстояния от общих осей У и Z до осей У

и Z

= B – y

= 6,3 – 2,08 = 4,22 см.

= b – z

= 4 – 0,95 = 3,05 см.

Учитывая наличие осей симметрии, определяем главные

центральные моменты инерции всего сечения:

I 4(19,9 4, 22 4,98) 434, 4см .

I 4(6,3 3,05 4,98) 210,52см .

=+⋅=

119

Так как оси Z и У являются осями симметрии, центробеж-

ный момент инерции равен нулю. ( I

=0). Значит найденные I

– главные центральные моменты инерции, при этом I

Значит – I

min

= I

=210,52 см

б ) Определяем минимальный радиус инерции сечения:

min

210,52cм

i3,25см.

A44,98см

== =

⋅

Определяем гибкость при μ=0,5 (оба конца стержня за-

щемлены):

min

l 0,5 500cм

77.

i3,25см

⋅⋅

λ= = =

Определяем критическое напряжение и критическую си-

лу.

Так как гибкость λ=77<λ

=100 (для стали 3), критическую

силу определяем по формуле Ф. Ясинского, при коэффициентах

–

а=310 МПа, в=1,14 МПа.

ав 310 1,14 77 222,22МПа 222,2 10 кПа;

342

F A 222,22 10 кПа 44,9810 м 442,7кН.

cr cr

σ=−λ= − ⋅ = = ⋅

−

=σ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Ответ:

=442,7 кН.

5.6 Практический метод расчета центрально сжатых

стержней на устойчивость

При расчетах центрально сжатых стержней на устойчивость

весьма удобным оказалось использование так называемого ко-

эффициента продольного изгиба (коэффициента

Сравним условие прочности при растяжении-сжатии с ус-

ловием устойчивости центрально сжатого стержня (5.13):

σ= ≤

; (условие устойчивости).

σ= ≤ (условие прочности);

120

здесь А

–площадь сечения после вычета ослаблений отвер-

стиями.

Обозначим отношение расчетных сопротивлений при рас-

чете на устойчивость R

и при центральном растяжении-сжатии

R через коэффициент

и после их расшифровки (

= и

= ), получим:

st cr

st 0

⋅

ϕ= =

⋅

(5.26)

где k, k

– коэффициенты запаса прочности и устойчивости,

- предел текучести (пластичные материалы)

- предел прочности при сжатии (хрупкие материалы)

Из (5.26) получим:

R (5.27)

Таблицы коэффициентов

(5.26), зависящих от материа-

ла и гибкости

стержня, имеются в нормативной литературе (в

частности для сталей – в СНиП II-23-81-Стальные конструкции).

Данные о значениях коэффициентов

для различных материа-

лов в диапазоне гибкости стержней 10 220

≤

λ≤ приведены в

таблице 5.2. (см. приложение 2). Коэффициенты

, называемые

коэффициентами продольного изгиба, изменяются в пределах от

1 до 0.

С учетом (5.27) условие устойчивости (5.13) центрально

сжатого стержня можно записать в виде:

σ= ≤ϕ

(5.28)

где N–продольная сила.

Соотношение (5.28) при наличии достаточно полных таб-

лиц коэффициентов

может быть использовано для решения

как поверочных, так и проектных задач (подбор сечений, подбор

нагрузок). В случае подбора сечений возникают затруднения в

связи с тем, что коэффициент

зависит от гибкости стержня, а