Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

4. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Общие положения

Сопротивление стержня называется сложным, если оно мо-

жет быть представлено как сумма нескольких простых видов

деформации (растяжения, сжатия, прямого изгиба, сдвига, кру-

чения).

Строго говоря, в силу конструктивных особенностей, а

также наличия несовершенств изготовления и монтажа сопро-

тивление стержней в реальных конструкциях всегда является

сложным, при котором присутствуют все виды

простых дефор-

маций. Однако в ряде случаев, пренебрегая влиянием некоторых

видов деформации, мы можем упростить истинную картину со-

противления стержня без существенного ущерба надежности

сооружения. Такими упрощенными формами сопротивления

являются, собственно, сами простые виды деформации стержня,

а также их неполные комбинации.

Другим важным моментом, который необходимо здесь от-

метить, является

характер сочетания простых видов деформации

при сложном сопротивлении стержня. В той постановке, кото-

рая принята в рассматриваемых случаях сложного сопротивле-

ния стержня, в силу малости деформаций считается примени-

мым принцип независимости действия сил (принцип суперпози-

ции). Это позволяет пренебречь взаимным влиянием различных

видов деформации стержня и определять его напряженно-

деформированное состояние

(НДС) как линейную сумму НДС,

связанных отдельно с каждым из составляющих видов дефор-

мации.

4.2. Косой изгиб

Косым изгибом называется сопротивление прямого

стержня действию поперечных нагрузок, проходящих через

центры изгиба сечений, но не располагающихся только в одной

главной

плоскости инерции стержня. сечения понимается точ-

ка, обладающая следующим свойством: поперечная нагрузка,

проходящая через центр изгиба, не вызывает

закручивания

стержня

. В том случае, когда сечение имеет ось симметрии,

центр изгиба лежит на этой оси. При наличии двух и более осей

симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

В дальнейшем будем полагать, что сечение либо имеет две оси

симметрии, либо разница в положениях центра изгиба и центра

тяжести сечения несущественна

и ею можно пренебречь (что

справедливо для так называемых «массивных» (не тонкостен-

ных) стержней). Таким образом, в принятой далее постановке

считается, что поперечные нагрузки проходят через центры тя-

жести сечений, но не располагаются только в одной главной

центральной плоскости инерции. Если все силы располагаются в

одной центральной (но не главной) плоскости

инерции сечения,

косой изгиб называется плоским (рис.4.1.а), в противном случае

– пространственным (рис.4.1.б).

Раскладывая нагрузки по главным направлениям и исполь-

зуя принцип суперпозиции, представим НДС при косом изгибе

как сумму НДС при двух прямых изгибах.

Рис. 4.1

Тогда нормальные напряжения в точках поперечного сече-

ния (рис.4.2) определятся соотношением:

(y,z) ,

⋅

σ= + (4.1)

где

MMcos;

⋅α

MMsin

⋅α;

M – общий изгибающий момент в сечении,

α - угол наклона плоскости общей изгибающей пары к

плоскости YOX.

y, z – координаты точки, где определяется напряжение.

Формула (4.1) может быть записана в виде:

ycos zsin

(y,z) M( )

⋅

α⋅α

σ= + (4.2)

Из условия

(y ,z ) 0σ=

, где у

и z

– координаты точек, лежа-

щих на нейтральной оси, из (4.2) получим линейное уравнение

нейтральной оси:

ycos zsin

= (4.3)

Отсюда:

Isin

Icos

⋅

−⋅

⋅α

(4.3`)

Так как у

=0, z

=0 удовлетворяют (4.3’), нейтральная ось –

прямая, проходящая через центр тяжести сечения. Угол наклона

ϕ нейтральной оси к оси z (рис 4.2) находится из соотношения:

tg tg

=− α (4.4)

Проверка прочности при косом изгибе проводится, как пра-

вило, по нормальным напряжениям. Для выявления наиболь-

ших растягивающих и сжимающих нормальных напряжений

необходимо выбрать опасное (или подозрительно на опасное)

сечение. Если модули изгибающих моментов |M

|, |M

| достига-

ют наибольших значений в одном сечении, то это сечение и есть

опасное:

max

М =M,

max

М =M

оп

. К подозрительным на опас-

ные относятся сечения , где один из моментов – |M

| либо |M

достигают наибольшего значения или близки к максимальным, а

другой может быть и меньше.

При косом изгибе, как и при прямом, нейтральная ось делит

сечение на две зоны – зону растяжения и зону сжатия. Для пря-

моугольного сечения эти зоны показаны на рис. 4.3. На этом ри-

сунке

p-p –след плоскости действия общей изгибающей пары М.

Для выявления экстремальных растягивающих и сжимаю-

щих напряжений необходимо провести касательные к сечению в

зонах растяжения и сжатия, параллельные нейтральной оси (рис.

4.3). Наиболее удаленные от нейтральной оси точки касания D

и D

– опасные в зонах растяжения и сжатия. Если расчетные

сопротивления материала стержня при растяжении R

и сжатии

равны между собой, т. е. R

= R

= R (пластичные материалы),

то в опасном сечении выявляется

max

σ и условие прочности

имеет вид:

D1 D 2

max

max( ,| |) Rσ= σσ ≤. (4.5)

Для сечений, имеющих явные опасные точки по углам, ко-

гда |y|

оп

=|y|

max

, |z|

оп

=|z|

max

(прямоугольное сечение, двутавровое

сечение и т.п.) условие прочности (4.5) можно представить в ви-

де:

оп Y оп

max

|M |

σ= + ≤ (4.6)

или:

max оп

оп

MM R

⎛⎞

σ= + ⋅ ≤

⎜⎟

⎝⎠

(4.6`)

Если R

≠ R

, (хрупкие материалы), то составляются два ус-

ловия:

раст

max D1 t

Rσ=σ≤; |

сж

max

≤

(4.7)

Рис. 4.3.

В выражениях (4.5), (4.7),

- нормальные напряже-

ния в опасных точках D

и D

. Для их определения необходимо

найти координаты точек y(

), z(

), y(

), z(

), и далее восполь-

зоваться формулой (4.1).

Тогда условия прочности будут иметь вид:

оп

pаст D1 D1

max t

оп

сж D2 D2

max

yzR;

yzR.

σ= ⋅ + ⋅ ≤

σ= ⋅+ ⋅≤

(4.8)

Перемещения сечений при косом изгибе определяются как

геометрическая сумма перемещений, соответствующих состав-

ляющим прямым изгиба. Например общий прогиб (рис 4.4) ра-

вен:

fvw=+ (4.9)

Аналогично общий угол поворота:

.θ= θ +θ (4.10)

Условия жесткости записываются в виде:

[]

max

ff≤ ;

[

]

max

≤θ (4.11)

Полученные соотношения (4.1) – (4.11) позволяют решать 2

разновидности задач расчета:

поверочную; проектную (назначе-

ние размеров сечений или допускаемых величин нагрузок). При

этом для однозначного решения проектных задач подбора сече-

ний зачастую необходимо предварительно задаваться соотно-

шением размеров сечения (например, величиной b/h для прямо-

угольного сечения (рис. 4.3)), либо отношением моментов инер-

ции I

или моментов сопротивления W

, характерным для

сечения проката. В качестве дополнительного условия при под-

боре сечения может выступать также требование минимума рас-

хода материала.

Примеры расчетов на прочность при косом изгибе.

ПРИМЕР 4.1

Требуется

Подобрать размер поперечного сечения балки, изображен-

ной на рис.4.5а. Принять -R 14МПа

Рис. 4.5

РЕШЕНИЕ

1.Строим эпюры изгибающих моментов.

При этом удобнее эпюры М построить в каждой плоскости

отдельно (М

и М

) и общую эпюру изобразить в аксонометрии

на одном рис. 4.5 б.

Из этой эпюры видно, что опасное сечение будет в защем-

лении, на левом конце балки. Получаем:

оп оп

M 20кН м, M 15кН м.=⋅ =⋅

В этом случае (поперечное сечение в виде прямоугольника),

условие прочности запишем в виде (4.6)`:

оп оп

max Z Y

MM R.

⎛⎞

σ= + ⋅ ≤

⎜⎟

⎝⎠

Отсюда находим при

max

= :

оп оп

тр

⎛⎞

+⋅

⎜⎟

⎝⎠

= (4.13)

Для прямоугольного сечения имеем -

max

;

max

;

h=2b

max

hbh

W= = = ;

y12h26⋅

max

hb hb

z12b26

== =

⋅

Тогда отношение

h6 h

W6hbb

⋅

Определим,

тр

W используя формулу (4.13) при

тр 33 3

(20 15 2)

W3,5710м 3570см .

14 10

−

+⋅

==⋅=

⋅

Здесь

тр

W– требуемое значение осевого момента сопротив-

ления.

Из условия:

тр

WW=

, найдем размер сечения

hb(2b)

3570см .

⋅⋅

Отсюда

17,5= см; h2b35

= см.

Проверим прочность подобранного сечения.

b h 17,5 35

W 3573см ;

⋅⋅

== =

h b 35 17,5

W1786,5см ;

⋅⋅

== =

оп оп

max Z Y

13573

20 15 14 10 кПа R

3573 10 м 1786,5

−

⎛⎞

σ= + ⋅ =

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

=+⋅=⋅=

⎜⎟

⋅

⎝⎠

Условие прочности выполняется.

ПРИМЕР 4.2.

Требуется:

Подобрать номер двутавра для балки, изображенной на

рис.27а, при

R200 МПа, 20 .=α=

Рис.4.6

РЕШЕНИЕ

1. Строим эпюру М и определяем изгибающий момент в

опасном сечении. Из эпюры М (рис.4.6, в) видно, что опасное

сечение находится по середине балки и

max

M8,75кН м

⋅ .

2. Запишем условие прочности при косом изгибе при нали-

чии двух осей симметрии поперечного сечения по формуле

(4.6):

оп оп

max

σ= + ≤

Но,

оп оп

max max

MMcos; MMsin.=α=α

После подстановки этих выражений в условие прочности и

выноса за скобки выражения

max

MW, получим условие проч-

ности в следующем виде:

max

cos sin R.

⎛⎞

σ= α+α⋅ ≤

⎜⎟

⎝⎠

Отсюда получаем при

max

= :

тр

max

Wcossin.

⎛⎞

=α+α⋅

⎜⎟

⎝⎠

Таким образом, для определения требуемого момента со-

противления при косом изгибе, нужно знать отношение осевых

моментов сопротивления сечения

WW.

Согласно таблице сортаментов для прокатных двутавров,

эта величина находится в пределах от 6 до 15.

Подберем двутавр при

WW 6.

Предварительно найдем

cos200,94 ; sin200,342.==

()

тр 3

8, 75

W 0,94 0,342 6 130,9см

200 10

=+⋅=

⋅

По сортаменту (ГОСТ 8239–89) находим ближайший дву-

тавр – №18, который имеет

W 143 см .=

Подберем двутавр при

WW 15.

()

тр 3

8,75

W 0,94 0,342 15 265,6см .

200 10

=+⋅=

⋅

По сортаменту находим двутавр №24,

W289 см .=

Таким образом, необходимый нам двутавр находится среди

следующих номеров: 18, 20, 22, 24.

Проверим прочность двутавра №20:

Для этого двутавра из сортамента находим:

W184см ; W 23,1см .==

Тогда

WW 18423,17,97.==

Определим максимальное напряжение:

()

max

8, 75

0,94 0,342 7,97 174,32 10 кПа R.

184 10 м

−

σ= + ⋅ = ⋅ <

⋅

Имеет место недонапряжение, определим его в процентах:

max

174,32 200

% 100% 12,84%.

R200

σ−

−

Δσ = ⋅ = = −

Проверим прочность меньшего двутавра 18:

Для этого двутавра из сортамента находим: