Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

ρ(x) – функция радиусов кривизны.

М(х) – функция изгибающих моментов.

Е(х) – функция модуля упругости материала балки;

(х) – функция главного центрального момента инерции

сечения относительно оси, перпендикулярной к плоскости дей-

ствия сил.

Произведение E(х)I

(х) называется жесткостью стержня

при изгибе.

Рис 3.1

Будем полагать в дальнейшем, что соотношение (3.1) при-

менимо при рассмотрении прямого поперечного изгиба (Q

≠ 0,

M(x)

≠ const).

Для аналитического решения задачи определения переме-

щений сечений балки v(x),

(х),

(рис 3.1) используется извест-

ное из математического анализа выражение кривизны плоской

кривой:

(х) =

23/2

[1 ( v ') ]

(3.2)

где v(х) - функция вертикальных перемещений (проги-

бов) сечений балки;

(х)

- функция углов поворота сечений балки.

Учитывая (3.2), получим уравнение, которое называется точным

дифференциальным уравнением оси изогнутой балки:

23/2

v"(х) М(х)

[1 ( v '( х)) ] E(х)I(х)

(3.3)

В строительных конструкциях нагружение балок является,

как правило, монотонным, и на величины прогибов накладыва-

ются жесткие ограничения. (|v|max

≤

(

200 800

÷ ))L, L – пролет

балки. Поэтому величины

v (x) tg( (x)) (x)

′

θ≈θявляются ма-

лыми (значительно меньше единицы), и в левой части уравнения

(3.3) можно пренебречь квадратом первой производной функ-

ции прогибов. В результате получим приближенное дифферен-

циальное уравнение оси изогнутой балки:

d v(x) M(x)

v''(х)

dx E(х)I (х)

== (3.4)

В случае, когда ось У направлена вверх, знаки v(x)

′

и М(х)

совпадают. Если ось “У” направлена вниз, уравнение (3.4) пре-

образуется к виду:

d v(x) M(x)

v(х)

dx E(x)I (x)

′′

==− (3.5)

Уравнения (3.4), (3.5) – обыкновенные дифференциальные

уравнения второго порядка, приведенные к квадратурам. По-

этому метод непосредственного интегрирования заключается,

по сути, в двукратном интегрировании соотношений (3.4), (3.5)

на участках интегрирования и последующем определении по-

стоянных интегрирования. Под участком интегрирования пони-

мается такая протяженность балки, на которой функция:

M(x)

E(x)I (x)

не претерпевает изменений.

Пусть по вышеуказанному признаку балка разделилась на n

участков интегрирования. Рассматривая произвольный i-тый

участок, в результате двукратного интегрирования (3.4) полу-

чим выражение для функции

v(x),

(x)

izi

dv (x) M (x)

(x) dx C

dx E (x)I (x)

≈

θ= +

∫

(3.6)

iii

izi

M(x)

v (x) dxdx C x D

E (x)I (x)

=++

∫∫

, i=1,…,n (3.7)

Постоянные интегрирования С(i) и D(i), число которых

равно 2n, находятся из кинематических условий закрепления (их

число для статически определимой балки равно 2) и кинемати-

ческих условий стыковки участков. Для стыка

i-того и i+1-ого

участков эти условия имеют вид:

ii i1i1

v(b) v (a );

(b ) (a ),

θ=θ

(3.8)

где

, a

i+1

– координаты конца i-того и начала i+1 участков,

i+1

Общее число условий стыковки равно 2(n–1).

ПРИМЕР 3.1

Дано:

Стальная балка из прокатного двутавра N 20 (ГОСТ 8239 – 89)

(рис.3.2).

Требуется:

Определить прогиб и угол поворота свободного конца консоли.

РЕШЕНИЕ

1. Из условий равновесия определим реакции опоры (за-

щемления):

ΣМ

= 0; М

– F· l = 0; М

= F· l = 15·2 = 30 кН·м.

ΣX = 0; ΣУ = 0; V

– F = 0; V

= F = 15 кН.

Рис. 3.2

2. Определим жесткость балки EI

Из таблицы сортаментов для двутавра (ГОСТ 8239–89) номер 20

находим – I

= 1840 см

Для стали модуль упругости Е = 2·10

кПа.

Тогда: EI

= 2·10

кПа·1840·10

-8

= 3680 кН·м

3. Выбираем начало координат на левом конце балки, в

точке А и для сечения на расстоянии "X" напишем выражение

для изгибающего момента:

М(х) = V

·x – M

4. Подставим функцию М(х) в дифференциальное уравне-

ние изогнутой оси балки и, выполнив двукратное интегрирова-

ние, получим уравнения для углов поворота и прогибов сече-

ний:

M(x) 1

v"(x) (V x M );

EI EI

== ⋅−

(3.9)

M(x) 1

v'(x) (x) dx C (V x /2 M x) C;

EI EI

=θ = + = − +

∫

(3.10)

M(x)

v(x) dx dx Cx D

=++=

∫∫

(V x / 6 M x / 2) Cx D.

−++ (3.11)

Постоянные интегрирования С и D найдем из кинематиче-

ских граничных условий т.е. из условий закрепления балки.

В начале координат (левый конец балки) имеется жесткое за-

щемление, поэтому там угол поворота и прогиб сечения равны

нулю;

а) x=0 θ = 0;

б) x=0 v = 0;

Условие

а) подставим в уравнение (3.10) и получим: С = 0.

Условие

б) подставим в уравнение (3.11) и получим: D = 0.

Тогда окончательно получаем следующие уравнения для углов

поворота и прогибов сечений балки:

(x) (V x / 2 M x) (15x / 2 30x);

EI 3680

θ= ⋅ − ⋅= −

32 32

v(x) (V x / 6 M x / 2) (15 x / 6 30x / 2).

EI 3680

=⋅−⋅= ⋅−

Определим угол поворота и прогиб на правом конце балки

при х=

l =2 м.

222

1F F 152

( F ) 0,00815рад

EI 2 2EI 2 3680

⋅

θ= − =− =− =−

⋅

32 3 3

х 2

1F F F 152

v ( ) 0,01087м.

EI 6 2 3EI 3 3680

⋅

= − =− =− =−

⋅

lll l

В дальнейшем, для таких типовых балок с одним защем-

ленным концом длиной

l , загруженных с одного конца сосре-

доточенной силой F угол поворота и прогиб свободного конца

можно определять по полученным стандартным формулам:

х x

;v .

2EI 3EI

θ=− =−

ПРИМЕР 3.2

Дано: Стальная балка (см. рис.3) из прокатного двутавра N27

(ГОСТ 8239-89).

Требуется:

Построить эпюры поперечных сил Q, изгибающих момен-

тов М, углов поворота θ и прогибов сечений

v с учетом диффе-

ренциальных зависимостей между всеми эпюрами.

РЕШЕНИЕ

1. Определим жесткость балки. Из таблицы сортаментов

для двутавра N 27 имеем – I

= 5010 см

= 5010·10

-8

Модуль упругости для стали примем– Е=2·10

кПа.

Тогда – EI

= 2·10

·5010·10

-8

= 10020 кН·м

2.Из уравнений равновесия определяем реакции опор и по-

строим эпюры Q и М.

ΣX = 0; H

= 0.

ΣM

= 0; V

·6 – q·6·3 + M = 0. Отсюда находим V

q63 M 2063 60

V50кН.

⋅

⋅− ⋅⋅−

== =

ΣМ

= 0; –V

·6 + q·6·3 + М = 0.

Отсюда находим V

q63 M 2063 60

V70кН.

⋅⋅+ ⋅⋅+

== =

Проверка: ΣУ = 0; V

+ V

–q·6 = 70 + 50 – 20·6 = 0. По-

строим эпюры Q и М (см. рис. 3 б; и 3 в).

3. Выбираем начало координат на левом конце балки и для се-

чения на расстоянии "x" напишем выражение для изгибающего

момента:

М(х) = V

·Х – q·x

/2 – М = 70·x – 20·x

/2 –60.

4. Подставим функцию М(х) в дифференциальное уравнение

изогнутой оси балки и выполнив двукратное интегрирование,

получим:

Рис. 3.3

M(x) 1

v"(x) (70 x 20 x /2 60).

EI EI

== ⋅−⋅− (3.12)

M(x) 1

v'(x) dx (70 x /2 20 x /6 60 x) С.

EI EI

=θ= = ⋅ − ⋅ − ⋅ +

∫

(3.13)

34 2

M(x) 1

v(x) dx dx (70x / 6 20x / 24 60x / 2) СxD.

EI EI

==−−++

∫∫

(3.14)

Постоянные интегрирования С и D найдем из кинематиче-

ских граничных условий, т.е. из условий закрепления балки:

а) x=0, v = 0;

б) x=6 м, v = 0.

Условие а) подставим в уравнение для прогибов (3.14) и по-

лучим: D = 0.

Условие б) подставим в то же уравнение и получим:

34 2

х 6

v (706/6 206/24 606/2) C6 0.

=⋅−⋅−⋅+⋅=

Откуда:

34 2

160

C (70 6 / 6 20 6 / 24 60 6 / 2) 0,00599

6 EI 10020

=⋅−⋅−⋅=−=−

⋅

рад

Подстановка в уравнение для "θ" координаты левого конца

балки – х=0 показывает, что θ

(Х=0)

=θ

= С =–0,00599 рад., а под-

становка в уравнение для "v" координаты х=0 показывает, что

(Х=0)

= v

= D = 0. Это означает, что постоянная интегрирования

С равна углу поворота в начале координат, a "D" – соответст-

вует прогибу в начале координат, т.е. геометрический смысл

постоянных интегрирования заключается в том, что С= θ

, а

D = v

Перепишем в окончательном виде уравнения (3.13) для опреде-

ления θ и (3.14) для определения v:

(70 x / 2 20 x / 6 60 x) 0,00599.

10020

θ= ⋅ − ⋅ − ⋅ − (3.15)

34 2

v (70 x / 6 20 x / 24 60 x / 2) 0,00599 х.

10020

=⋅−⋅−⋅−⋅

(3.16)

Для определения угла поворота какого-либо сечения, под-

ставим в уравнение (3.15) координату этого сечения, напри-

мер, для определения угла поворота сечения на правом конце

балки подставим – x=6м.:

(Х 6)

(70 6 / 2 20 6 / 6 60 6) 0,00599

10020

180

0,00599 0,01197рад.

10020

θ= ⋅ −⋅ −⋅− =

=− =

Для определения прогиба сечения, например, посередине

пролета, подставим в уравнение (3.16) координату этого сече-

ния - x = 3 м.

34 2

(х 3)

v (703/6 203/24 603/2) 0,005993

10020

22,5

0,01797 0,02022м.2,02см.

10020

=⋅−⋅−⋅−⋅=

−

=− =− =−

Подставляя в формулы (3.15) и (3.16) значения

x через 1

метр, вычислим в этих сечениях углы поворота и прогибы.

Результаты вычислений представлены в следующей таблице:

x(м) θ(рад) v(м)

0 –0,00599 0

1 –0,00882 –0,00790

2 –0,00666 –0,01597

3 –0,00150 –0,02022

4 0,00466 –0,01863

5 0,00981 –0,01127

6 0,01197 0

По этим результатам, под эпюрами Q и М, строим эпюры θ

и v, соединяя точки между собой с учетом дифференциальных

зависимостей между всеми эпюрами:

q = dQ/dx = d

М/dx

= EI

·d

θ/dx

= EI

·d

v/dx

, (см. рис.3.3г; д).

3.2. Метод начальных параметров

Метод непосредственного интегрирования позволяет решать

задачи определения перемещений при любом законе изменения

жесткости сечений балки. В случае, когда балка имеет постоян-

ную жесткость (EI

=const) и несколько грузовых участков, его

применение становится нерациональным, так как для определе-

ния постоянных интегрирования зачастую требуется составлять

и решать достаточно громоздкую систему линейных алгебраи-

ческих уравнений. Этих трудностей можно избежать, если при

составлении и интегрировании на участках дифференциальных

уравнений упругой оси изогнутой балки придерживаться сле-

дующих правил (правил Клебша):

1. Начало общей для всех участков системы координат не-

обходимо располагать в центре тяжести левого (или пра-

вого) концевого сечения балки.

Распределенную нагрузку продолжать (с сохранением

ее характера) до конца балки, противоположному началу

координат. При этом несуществующая часть нагрузки

уравновешивается нагрузкой обратного направления

(см. рис. 3.4).

Сосредоточенный момент M

, входящий в выражение

для правой части (3.4), записывать с множителем

(x a )−

, здесь a

– координата точки приложения мо-

мента.

При интегрировании выражения типа

(x a) dx− скобки

не раскрывать, т.е.

(x a)

(x a) dx

−

−=

∫

(3.17)

Опуская доказательство, отметим, что при соблюдении вы-

шеперечисленные правил постоянные интегрирования на участ-

ках соответственно равны друг другу, и число их сокращается

до двух:

С(1)=С(2)=…=С(n)=C; D1= D2=…= D n= D (3.18)