Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)
Подождите немного. Документ загружается.
21
Рис. 2.6
М
1-1
=0; М
2-2
= F·1,5–q·2·1 = 30·1,5–10·2 = 25 кН·м (растягиваются
нижние волокна).
М
3-3
= F·3 – q·4·2 = 30·3 –10·4·2 = 10 кН·м.(нижние волокна).
М
4-4
= F·3 – q·4·2 = 30·3 –10·4·2 = 10 кН·м.(правые волокна).
М
5-5
= F·5 – q·4·2 = 30·5 –10·4·2 = 70 кН·м.(правые волокна).
Находим поперечные силы, как суммы проекций всех
22
Рис. 2.7
внешних сил, действующих правее от каждого сечения на ось,
перпендикулярную продольной оси стержня на рассматривае-
мом участке (рис. 2.7):
Q
1-1
= –F·sinα = –30·0,6 = –18 кН.
Q
3-3
= –F·sinα +q·4·cosα= –30·0,6 +10·4·0,8 = 14 кН.
Находим продольные силы, как суммы проекций всех
внешних сил, действующих правее от каждого сечения, на про-
дольную ось стержня на рассматриваемом участке (рис. 2.7):
N
1-1
= –F·cosα = –30·0,8 = –24 кН.
N
3-3
= –F·cosα – q·4·sinα= –30·0,8 –10·4·0,6 = –48 кН.
N
4-4
= N
5-5
= –q·4 = –10·4 = –40 кН.
По полученным результатам строим эпюры M, Q, N, (рис.
2.6 б, в, г). Из эпюры Q видно, что между сечениями 1-1 и 3-3
эпюра Q идет по прямой и пересекает осевую линию. Из-за на-
личия дифференциальной зависимости между внутренними
усилиями М и Q, а именно: dM/dx= Q, на эпюре М есть экстре-
мум в том сечении, где Q=0. Расстояние до
этого сечения от се
чения 1-1 по горизонтали определим, приравнивая уравнение
для Q на этом участке нулю:
Q
Xo
= –F·sinα + q·x
0
·cosα = 0,
–30·0,6 +10·x
0
·0,8 =0;
откуда – x
0
= 18/8 = 2,25 м.
Находим экстремальное значение изгибающего момента в
этом сечении. При этом учитываем:
у
0
=x
0
·tgα = 2,25·0,75 = 1,69 м.
М
экстр.
=М
Xo
= F·y
0
– q·x
0
·x
0
/2=30·1,69-10·2,25·1,125= 25,39 кН·м.
23
Проверим правильность эпюр методом вырезания узлов. В
данном примере имеется только один узел, где имеется излом
оси стержня. Вырежем узел сечениями 3-3 и 4-4, проведенными
бесконечно близко от точки излома оси и приложем в этих мес-
тах имеющиеся на эпюрах внутренние усилия с учетом их на-
правлений в соответствии со знаками (рис. 2.8) и
проверим вы-
полнение условий равновесия:
∑М
А
=0, 10–10=0.
∑Х=0, 30–48·сosα+14·sinα=30–
48·0,8+14·0,6=0.
∑У=0, 40–48·sinα–14·cosα=40–
48·0,6–14·0,8=0.
Условия равновесия выполняются.
ПРИМЕР 2.3.4
Требуется построить эпюры M, Q и N для стержня с лома-
ной в плоскости осью, изображенного на рис. 2. 9.
РЕШЕНИЕ
Предварительно определим тригонометрические функции
угла α.
При катетах 3м. и 4м. гипотенуза ВС = 5 м. Тогда:
sinα = 3/5 = 0,6; cosα = 4/5 = 0,8; tgα = 3/4 = 0,75.
1. Определяем опорные реакции.
∑Х = 0; q
1
·3 – H
B
– F
2
= 0;
H
B
= q
1
·3 – F
2
= 8·3 – 16 = 8 кН.
∑М
В
=0; –V
A
·8 – q
1
·3·1,5 – M
1
+ M
2
+ F
2
·3+F
3
·2+q
2
·2·1+F
1
·6=0;
–V
A
·8 – 8·3·1,5 – 40 +80 + 16·3 + 24·2+20·2·1+20·6=0;
A
36 40 80 48 48 40 120 260
V32,5кН;
88
−−+++++
===
24
1
3 4
5
6
2
АВ
ДС
V =32,5 кН
A
V =51,5 кН
B
H=8 к
Н
B
2м
Х
1
Х
2
Х
3
Х
4
Х
5
Х
6
3м
2м 2м 2м
α
q=8кН/м
1
q=20 кН/м
2
M=40 кН м
1
⋅
M =80 кН м
2
⋅
F=16 кН
2
F=20 кН
2
F=24 кН
3
Рис.2.9
ΣМ
А
=0; V
B
·8 – q
1
·3·1,5 – M
1
+ M
2
+ F
2
·3 –F
3
·6–q
2
·2·7–
F
1
·2=0;
V
B
·8 – 8·3·1,5 – 40 +80 + 16·3 – 24·6–20·2·7–20·2=0;
В
36 40 80 48 144 280 40 412
V51,5кН.
88
−+ − − + + +
===Пр
оверка: ∑Y=0; V
A
+V
B
–F
3
–q
2
·2–F
1
=32,5+51,5–24–20·2–20=0.
2. Выделим грузовые участки – 1–6.
3. В пределах каждого грузового участка проводим сечения
на расстоянии “x
i
” или “y
i
”от начала данного грузового участка,
в отличии от предыдущих примеров, когда сечения проводили
на конкретном расстоянии, бесконечно близко в начале и конце
грузового участка.
4. Используя рабочие правила метода сечений и принятые
правила знаков, записываем уравнения для вычисления внут-
ренних усилий – М, Q и N.
1-й грузовой участок: 0 ≤x
1
≤2м (рассматриваем правую
отсеченную часть).
N
1
=0; Q
1
=F
1
=20 кН; M
1
= –F·x
1
= –20·x
1
; (функция линей-
ная, график строим по двум точкам):
x
1
=0, М
1
=0;
25
x
1
=2м, М
1
= –40 кН·м (растягиваются верхние волокна).
2-й грузовой участок: 0≤y
2
≤3м (рассматриваем нижнюю
отсеченную часть).
N
2
= –V
A
+F
1
= –32,5+20= –12,5 кН; Q
2
= –q
1
·у
2
= –8·у
2
; (функ-
ция линейная, график будем строить по двум точкам).
y
2
=0, Q
2
=0; y
2
=3м, Q
2
= –8·3= –24 кН.
М
2
= F
1
·2 – q
1
·y
2
·y
2
/2 = 20·2 – 8·y
2
2
/2; (функция квадратной
параболы, график будем строить, как минимум, по 3-м точкам).
y
2
=0, М
2
=40 кН·м (растягиваются правые волокна);
y
2
=1,5м, М
2
=31 кН·м (растягиваются правые волокна);
y
2
=3м, М
2
=4 кН·м (растягиваются правые волокна).
3-й грузовой участок: 0 ≤x
3
≤2м (рассматриваем левую от-
сеченную часть).
N
3
= –q
1
·3 = –8·3 = –24 кН; Q
3
= V
A
–F
1
= 32,5 –20 = 12,5 кН.
М
3
= F
1
·(2–x
3
) + V
A
·x
3
– q
1
·3·1,5 + M
1
=
= 20·(2–x
3
) + 32,5·x
3
– 8·3·1,5 + 40 =
= 20·(2–x
3
) + 32,5·x
3
+ 4; (функция линейная, график
строим по двум точкам):
x
3
= 0, М
3
= 44 кН·м, (растягиваются нижние волокна);
x
3
= 2, М
3
= 69 кН·м, (растягиваются нижние волокна).
4-й грузовой участок: 0 ≤x
4
≤2м (далее рассматриваем пра-
вую отсеченную часть).
N
4
= –F
2
– H
B
= –16–8 = –24 кН;
Q
4
= –V
B
+ F
3
+ q
2
·2 = –51,5 + 24 + 20·2 = 12,5 кН;
М
4
= V
B
·(4+x
4
) – F
3
·(2+x
4
) – q
2
·2·(3+x
4
) – H
B
·3 =
= 51,5·(4+x
4
) – 24·(2+x
4
) – 20·2·(3+x
4
) – 8·3;
(функция линейная, график будем строить по двум точкам):
x
4
=0, М
4
=51,5·(4+0) – 24·(2+0) – 20·2·(3+0) – 24 = 14кН·м;
(растягиваются нижние волокна).
x
4
=2м, М
4
=51,5·(4+2) –24·(2+2) – 20·2·(3+2) - 24 = –11кН·м;
(растягиваются верхние волокна).
5-й грузовой участок: 0 ≤x
5
≤2, y
5
=x
5
·tgα.
N
5
= –V
B
sinα – H
B
cosα + F
3
sinα + q
2
·2·sinα =
= –51,5·0,6 – 8·0,8 + 24·0,6 + 20·2·0,6 = 1,1 кН.
Q
5
= –V
B
cosα – H
B
sinα + F
3
cosα + q
2
·2·cosα =
= –51,5·0,8 – 8·0,6 + 24·0,8 + 20·2·0,8 = 14,8 кН.
26
Рис 2.10
M
5
= V
B
·(2+x
5
) – H
B
·(1,5+y
5
) – F
3
·x
5
– q·2·(1+x
5
) =
= 51,5·(2+x
5
) – 8·(1,5+y
5
) – 24·x
5
– 20·2·(1+x
5
);
(функция линейная, график будем строить по двум точкам):
x
5
=0, y
5
=0; М
5
=51,5·2 – 8·1,5 – 24·0 – 20·2·1= 51 кН·м.
-
-
27
x
5
= 2м, y
5
= 2·0,75 = 1,5 м;
М
5
= 51,5·(2+2) – 8·(1,5+1,5) – 24·2 – 20·2·(1+2)=14 кН·м.
(Растягиваются нижние волокна).
6-й грузовой участок: 0 ≤x
6
≤2м, y
6
=x
6
·tgα.
N
6
= –V
B
sinα – H
B
cosα + q
2
·x
6
·sinα =
= –51,5·0,6 – 8·0,8 + 20·x
6
·0,6 = –37,3 + 12x
6
;
(функция линейная, график будем строить по двум точкам):
x
6
=0, N
6
= –37,3 кН; Х
6
=2м, N
6
= –13,3 кН.
Q
6
= –V
B
cosα + H
B
sinα + q
2
·x
6
·cosα =
= –51,5·0,8 + 8·0,6 + 20·x
6
·0,8 = –36,4 + 16x
6
;
(функция линейная, график будем строить по двум точкам):
x
6
=0, Q
6
= –36,4 кН; x
6
=2м, Q
6
= –4,4 кН.
M
6
= V
B
·x
6
– H
B
·y
6
– q·x
6
2
/2= 51,5·x
6
– 8·y
6
–20·x
6
2
/2;
(функция нелинейная, график будем строить по трем точкам):
x
6
=0, y
6
=0, М
6
=0; x
6
=1м, y
6
=0,75м, М
6
=35,5 кН·м;
x
6
= 2 м, y
6
= 2·0,75 = 1,5 м, М
6
=51 кН·м.
(растягиваются нижние волокна).
По полученным данным строим эпюры М, Q и N (см. рис.
2.10).
28
Проверка эпюр методом вырезания узлов.
Узел А Узел Д
α
8,88
29
2.2. Стержни с криволинейными участками
ПРИМЕР 2.3.5
Требуется.
Построить эпюры внутренних силовых факторов для
стержня с ломаной в плоскости осью с криволинейными участ-
ками, изображенного на рис.2.11.
•
1м
1м 1м 1м 1м 1м
С
Рис. 2.11
у f
30
22
4f 4 2
ух(l x) x(6 x)
l6
⋅
=−=⋅−=1,33x–0,22x
2
;
dy
у'tg 1,330,44x.
dx
==α= −
РЕШЕНИЕ
1. Определяем реакции опор.
∑Х=0; H
A
-F
1
=0; H
A
= F
1
= 25 кН.
∑М
А
=0; -q·3·1,5 – F
2
·3 +M +V
B
·6 + F
1
·4 = 0;
21
B
q31,5 F 3 M F 4
15 3 1,5 30 3 20 25 4
V
66
⋅
⋅+⋅−−⋅
⋅
⋅+⋅−−⋅
== =
=37,5/6 = 6,25 кН.
Для получения уравнения с одним неизвестным составляем
уравнение суммы моментов относительно точки “C”, где схо-
дятся две опорные реакции – V
B
и Н
А
.
∑М
С
=0; F
1
·4 + F
2
·3 + q·3·4,5 + M – V
A
·6 = 0;
21
A
q34,5 F 3 M F 4
15 3 4,5 30 3 20 25 4
V
66
⋅
⋅+⋅++⋅
⋅
⋅+⋅++⋅
== =
=412,5/6 = 68,75 кН.
Проверка:
∑У=0; V
A
+ V
B
– q·3 – F
2
= 68,75 + 6,25 – 15·3 – 30 =
=75–75=0.
2. Разбиваем на грузовые участки: 1, 2, 3.
3. Проведем характерные сечения: на прямолинейном уча-
стке 1 проводим два сечения 1-1 и 2-2 (начало и конец грузового
участка).
На криволинейных участках 2 и 3 необходимо проводить не
менее 3-х сечений, т.к. там не будет прямолинейных эпюр. В
нашем примере проведем сечения через 1м. горизонтальной
проекции криволинейного участка – 3-3, 4-4, 5-5, 6-6, 7-7, 8-8, 9-
9, 10-10.(
см. рис. 2.11).
4. На прямолинейном участке 1 внутренние усилия опреде-
ляем по аналогии с предыдущими примерами.
N
1-1
= N
2-2
= –V
A
= –68,75 кН. (“минус” – значит сжатие).