Валиев Ф.С., Гребенюк Г.И. Сопротивление материалов: основы теории и примеры решения задач (часть 2)

Подождите немного. Документ загружается.

101

5. РАСЧЕТ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА

УСТОЙЧИВОСТЬ.

5.1. Понятие об устойчивости форм равновесия

Опыт эксплуатации конструктивных систем показал, что в

некоторых случаях исходная форма их равновесия становится

неустойчивой, и разрушение может произойти при напряжениях

в элементах, удовлетворяющих условиям прочности. Такое яв-

ление было названо потерей устойчивости. Причина потери ус-

тойчивости связана с состоянием сооружения в момент, пред-

шествующий потере устойчивости, а поводом для потери

устой-

чивости могут послужить любые возмущения исходного со-

стояний. В соответствии с этим форму равновесия системы на-

зывают устойчивой, если малым возмущающим воздействиям

соответствуют малые отклонения от этой формы, и при снятии

возмущения система возвращается в исходное состояние.

Нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости,

называют критическими (F

), а соответствующее им состояние

системы - критическим состоянием.

Для иллюстрации введенных определений рассмотрим про-

стейшую конструктивную систему в виде консольно-

защемленного стержня, нагруженного центрально сжимающей

силой F (рис.5.1).

При действии осевой сжимающей силы F, меньшей некото-

рого критического значения (рис. 5.1.а ) стержень находится в

состоянии устойчивого равновесия.

Если при этом задать малое возмущающее

воздействие, на-

пример, в виде изгибающей поперечной силы, то стержень по-

лучит малую изгибную деформацию, которая исчезнет, если си-

лу убрать, т.е. после снятия возмущения.

При F=Fcr исходная форма равновесия стержня становится

неустойчивой (рис. 5.1.б), и снятие возмущения не приведет к

восстановлению исходной формы равновесия. При F>Fcr любое

102

возмущение приводит систему к новой криволинейной форме

равновесия, которая может оказаться устойчивой (рис. 5.1.в).

Исследования показывают, что, пока сжимающая сила

меньше критической, прогибы стержня, возникающие за счет

наличия некоторого эксцентриситета приложения силы и не-

большой начальной кривизны стержня, будут небольшими. Но

при приближении значения силы к критическому они начинают

чрезвычайно

быстро возрастать.

В целях обеспечения надежности работы конструкции в

расчет водится допускаемое значение нагрузки F

adm

, (5.1)

где к

>1-коэффициент запаса устойчивости.

Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько

большим, чем коэффициент запаса прочности (к

>к), так как

при его назначении учитывается возможность дополнительных

неблагоприятных обстоятельств (начальная кривизна стержня,

наличие эксцентриситета, приложенная нагрузка и д.р.).

При расчете строительных конструкций нормативное зна-

чение к

принимается равным: для стали – от 1,8 до 3,2; для чу-

гуна – от 1,5 до 5,5; для дерева – от 2,8 до 3,2.

F<F

l l

F=F

F>F

а) б) в)

Рис. 5.1

103

5.2. Формула Эйлера для критической силы.

Учет способов закрепления стержня

Задачу об устойчивости центрально сжатого силой F пря-

молинейного стержня часто называют задачей Эйлера, так как

именно им она была впервые рассмотрена в 1744 г. Для решения

этой задачи Эйлером была предложена математическая модель,

которая послужила в дальнейшем основой статического метода

(метода Эйлера) исследования устойчивости.

Согласно методу Эйлера исследуется возможность сущест-

вования,

наряду с исходной, другой формы упругого равнове-

сия, порожденной возмущениями.

Такой формой в рассматриваемой задаче является изгибная

(рис. 5.2), и при ее описании в силу малости возмущений, можно

воспользоваться приближенным дифференциальным уравнени-

ем оси изогнутой балки.

EI(x) v (x) M(x)

′

⋅

= (5.2)

Так как в данном случае M(x) F v(x)

−⋅ , то

(5.2) преобразуется виду:

v(x) kv(x) 0

′′

= , (5.3)

где

EI(x)

Пусть EI(x)=EI=const. Тогда уравнение (5.3)

– линейное дифференциальное уравнение второ-

го порядка с постоянными коэффициентами.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

v(x) A sin kx B cos kx

⋅+⋅ , (5.4)

где А, В – постоянные интегрирования. Для оп-

ределения А, В необходимо использовать кине-

матические граничные условия, которые в данном случае запи-

шутся следующим образом:

x=0, v(0) 0

а)

l, v(l) 0

б)

Подставляя а) в (5.4) получим В=0.

Из б) следует: Asink

l=0 (5.5)

104

Так как А ≠ 0 (из условия существования возмущенной формы),

то из (5.5) следует уравнение:

sink

l=0 (5.6)

Корни трансцендентного уравнения (5.6) (исключая триви-

альный k

l=0) определяют критические значения нагрузки, при

которых возможно существование изгибной формы равновесия:

kl l , 2 ,...,n ,...

==πππ

Отсюда при

n=πl

получаем:

nEI

= , n=1,…,

∞

(5.7)

Соотношение (5.7) определяет бесконечный ряд критиче-

ских значений нагрузки, соответствующим различным формам

изгиба стержня в результате потери устойчивости. Однако прак-

тическое значение имеет только первая форма, соответствующая

минимальной критической силе

cr1 cr

В том случае, когда на деформацию стержня не наложены

какие-либо дополнительные ограничения, возмущенная форма

равновесия реализуется в плоскости минимального сопротивле-

ния изгибу, и критическое значение силы равно:

min

= (5.8)

Полученное выражение и есть формула Эйлера для крити-

ческой силы.

Формула (5.8) получена в предположении закрепления кон-

цов стержня недеформируемыми шарнирными опорами (рис.

5.2), которым соответствуют кинематические условия а), б). При

этом возмущенная форма равновесия (первая собственная фор-

ма) соответствует полуволне синусоиды:

v(x) A sin x

=⋅ (5.9)

105

Рассматривая первые формы потери устойчивости (рис.

5.3), можно распространить полученное выражение (5.8) для

критической силы на другие способы закрепления стержня. Для

этого достаточно на каждой из схем деформации выделить уча-

стки стержня, соответствующие полуволне

l . Так как задан-

ный стержень теряет устойчивость при той же критической си-

ле, что и шарнирно опертый с длиной, соответствующей полу

волне, то в общем случае

min

(l)

(5.10)

где lμ - приведенная длина стержня (длина шарнирноопертого

стержня, теряющего устойчивость при той же критической силе,

что и заданный); μ - коэффициент приведения длины. Величины

коэффициентов приведения, соответствующих схемам а) - г),

приведены на рис. 5.3.

l =

ll 2

ll 7,0

ll 5,0

Рис. 5.3

106

5.3. Критическое напряжение.

Проверка устойчивости стержня

Критическое напряжение потери устойчивости по формуле

Эйлера находится путем деления величины критической силы,

определенной по (5.10) на площадь сечения A

(без учета воз-

можных ослаблений сечения):

min

rbr

A(l)A

σ= =

(5.11)

Обозначим –

min

= – минимальный радиус инерции

сечения;

min

=λ

– гибкость стержня.

Преобразуя (5.11) используя эти обозначения, получим:

Eπ

σ=

, (5.12)

Величина

= называется расчетным сопротивлением

по устойчивости. Условие устойчивости центрально сжатого

стержня можно записать в виде

σ= ≤ (5.13)

Условие устойчивости также может быть записано по отноше-

нию к нагрузке:

adm

≤= , (5.14)

где F

adm

– допускаемая нагрузка.

При более сложном характере нагружения условия устой-

чивости запишутся по отношению к параметру загружения. При

однопараметрическом нагружении (все нагрузки пропорцио-

нальны одному параметру Р

) условие устойчивости имеет вид:

107

0cr

≤

, (5.15)

где P

0cr

– критическое значение параметра нагружения.

5.4. Потеря устойчивости за пределом

пропорциональности материала стержня

Формулы (5.10) и (5.12) получены в предположении линей-

но упругой работы материала, что соответствует условию:

cr pr

Eπ⋅

σ= ≤σ

, (5.16)

где

σ - предел пропорциональности.

Отсюда вытекает условие, определяющее пределы

применимости формулы Эйлера:

λ≥

(5.17)

Предельная гибкость

, выше которой применима форму-

ла Эйлера, определяется соотношением:

λ=

. Эта вели-

чина зависит от физико-механических характеристик материала,

из которого изготовлен стержень. В частности, для стержней,

изготовленных из стали 3: (

=200 МПа; Е =

210

⋅

МПа);

100λ≈ . Стержни, удовлетворяющие условию

≥λ , называ-

ются гибкими.

В том случае, когда гибкость стержня ниже предельной

(

λ<λ ), потеря устойчивости происходит при напряжениях,

превышающих предел пропорциональности, и применение фор-

мул (5.10), (5.11) может внести существенную погрешность в

расчет.

Результаты многочисленных экспериментов показали, что

стержни, гибкость которых меньше некоторого минимального

значения

min

λ (жесткие стержни), разрушаются при напряжени-

108

ях близких к пределу текучести

(пластичные материалы),

либо к временному сопротивлению

(хрупкие материалы).

При этом прямолинейная форма равновесия практически не на-

рушается. Следовательно, составление условий устойчивости

вида (5.13), (5.14), для таких стержней может привести к излиш-

ним запасам надежности, и в данном случае достаточно ограни-

читься только расчетом на прочность.

Стержни средней гибкости (

min 0

<λ<λ

), широко распро-

страненные в инженерной практике (в том числе и в практике

строительства), могут терять устойчивость при напряжениях

существенно ниже

σ ,

, и расчет на устойчивость таких

стержней необходим.

Существующие теории расчета на устойчивость стержней

средней и малой гибкости сводятся к двум концепциям.

Концепция Энгессера-Шенли.

Согласно этой концепции потеря устойчивости центрально

сжатого стержня связывается с возможностью появления и раз-

вития смежной изгибной формы равновесия при монотонно воз-

растающей нагрузке, причем появление изгибной формы равно-

весия возможно уже при касательно-модульной нагрузке (рис.

5.4):

cr min

E( )I

(l)

πσ

, (5.18)

где

E( )

- касательный модуль при критическом значении на-

пряжения.

109

При

FF→ прогибы формально обращаются в бесконечность.

Однако критическим считается напряжение

E( )

σ=

, (5.19)

соответствующее касательно-модульной нагрузке. Кривая

представленная на рис. 5.4., является верхней границей кривых

деформирования внецентренно сжатого стержня.

Концепция Ясинского-Кармана.

Эта концепция основана на идее Эйлера о появлении

смежной изгибной формы равновесия при неизменной нагрузке.

Из условий равновесия системы сил внутреннего

взаимодействия, соответствующей продольному изгибу,

вытекают следущие соотношения:

tcrc

ES E ( )S=σ ; (5.20)

red cr min

E( )I

(l)

πσ

;

red cr

E( )

σ=

, (5.21)

где

tcrc

red cr

min

EI E ( )I

E( )

+σ

σ= (5.22)

приведенный (редуцированный) модуль, соответствующий

критическому напряжению.

В выражениях (5.20), (5.22), S

, S

, I

– статические

моменты и моменты инерции растянутой и сжатой зон при

продольном изгибе.

Соотношение (5.20) служит для определения положения

нейтральной оси при продольном изгибе. Величины

E( ),σ

red

E()σ зависят от уровня напряжений

и определяются с

использованием диаграммы

ε . Поэтому определение

по

формулам (5.19), (5.21) требует решения данных уравнений.

При исследовании потери устойчивости за пределом

пропорциональности наряду с теоретическими построениями

проводились эксперименты по выявлению зависимостей

−λ.

Особенно обширный опытный материал собрал Ф. Ясинский,

составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в

110

зависимости от гибкости для целого ряда материалов.

Обобщение данных экспериментов позволило ему заметить, что

для большинства конструкционных материалов эти

завистимости близки к линейным, т.е.

=−λ (5.23)

Исключения составляет чугун, для которого

ab c

=−λ+λ (5.24)

В выражениях (5.23), (5.24)

a, b, c – эмпирические коэффи-

циенты. Данные об этих коэффициентах для различных мате-

риалов приведены в таблице 5.1 (см. приложение).

Если строить график

÷λ для пластичного материала, то

получим кривую, имеющую 2 участка (рис. 5.5). Аппроксими-

руя эту кривую на участке стержней малой гибкости (

min

<λ )

прямой

cr s

const

=σ = , а на участке стержней средней гибкости

(

min 0

λ<λ<λ

) – прямой Ясинского

=−λ

, получим, на-

пример, для стержней, выполненных из строительной стали 3

(

240σ= МПа,

200σ= МПа), график представленный на рис.

5.6.

Пользуясь графиками, приведенными на рис. 5.5., и рис.

5.6., можно определить критическое напряжение, а затем вычис-

лить критическую силу по формуле:

cr cr br

σ (5.25)

В тех случаях, когда внешняя нагрузка на конструкции не

является осевой сжимающей силой F для конкретного стержня,

но стержень при этом центрально сжат, по формуле (5.25) опре-

деляют критическое значение продольной силы для этого

стержня –

cr cr br

NA=σ , а далее (зная зависимость продольной

силы в стержне от нагрузки F из уравнения равновесия) – кри-

тическое значение нагрузки.