Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа

VRT=

и заменим плотность по формуле

ρ=

. Тогда,

dP gdh

=− ⇒

dP g

PRT

=− .

Считая

Tconst=

и интегрируя по высоте от

до

, получим:

=− , или

PPe Pe

−

== (барометрическая формула).

Здесь

P — давление газа на высотах

8.6. Явления переноса

Газообразное вещество представляет собой огромное число

мельчайших частиц (молекул) диаметром

(2 5) 10d

−

≈÷⋅ м,

пролетающих большие расстояния без соударений (в среднем

1000 10l

−

≈⋅

м). Средняя арифметическая скорость равномерно-

го движения молекулы при обычных температурах велика

(

500≈u м/с), поэтому столкновения происходят, в среднем,

через

−

с. Можно считать, что молекулы сталкиваются упру-

го.

♦ Средняя длина свободного пробега

〈

λ〉 , м — это среднее рас-

стояние, которое проходит частица от одного соударения до сле-

дующего. Длина свободного пробега зависит от плотности частиц

газа

n и от размеров молекул. С увеличение этих параметров

〈λ〉 должно уменьшаться.

Эффективным диаметром

молекулы считается диаметр шарика

, за пределами которого молекула почти не взаимодействует со

своими соседями.

За единицу времени молекула сталкивается со всеми молекула-

ми-мишенями, центры которых лежат в цилиндре объемом

duπ⋅〈〉 (рис. 59). Тогда средняя частота столкновений равна

Zdun

〈

〉=π 〈 〉⋅ .

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Если учитывать движение моле-

кул–мишеней в цилиндре, то это

число увеличивается, так как эф-

фективный диаметр молекул-

мишеней при этом растет:

2Zdun

〈

〉= ⋅π 〈 〉⋅ . Средняя

длина свободного пробега

()

(

)

путь за секунду число столкновений за секунду/uZ〈λ〉 = 〈 〉 〈 〉 ⇒

/1/(2 )uZ dn〈λ〉 = 〈 〉 〈 〉 = ⋅π ⋅ .

Если учесть, что давление газа

nkT

(8.2), то при одинаковой

температуре и различных давлениях, имеем

11 22

/( 2 )

P const kT d〈λ 〉 ⋅ = 〈λ 〉 ⋅ = = ⋅π .

♦ Обратимые и необратимые процессы. Необратимыми назы-

ваются процессы, способные развиваться только в одном направ-

лении. Примерами таковых являются

процессы переноса, за счет

которых в системе устанавливается

термодинамическое равнове-

сие

(диффузия, теплопроводность, внутреннее трение).

♦ Диффузия — выравнивание концентрации вещества в объеме

системы. Вещество переходит из областей с большей концентра-

цией (плотностью) в области с меньшей.

Диффузия подчиняется закону Фика, который в простейшем слу-

чае одномерной диффузии (плотность газа зависит только от од-

ной координаты

()xρ=ρ ) записывается в виде:

=−

где

dSdt

— удельный поток массы — масса вещества,

диффундирующего за единицу времени через единицу площади,

перпендикулярной направлению переноса вещества;

D — коэф-

фициент диффузии;

— градиент плотности — скорость из-

менения плотности в пространстве.

Рис. 59

u〈

〉

u〈〉

молек

ла-мишень

ּd

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

♦ Теплопроводность — выравнивание температуры в объеме

замкнутой системы, при котором теплота переходит только от

горячего тела к холодному.

Теплопроводность подчиняется закону Фурье, который в случае

одномерной теплопроводности (температура газа зависит только

от одной координаты

()TTx

) записывается в виде:

=−

где

dSdt

— плотность теплового потока — количество теп-

лоты (внутренней энергии), которое переносится за единицу вре-

мени через единицу площади, перпендикулярной направлению

переноса;

K — коэффициент теплопроводности (теплопровод-

ность). Теплопроводность численно равна плотности теплового

потока при единичном градиенте температуры

/1dT dx

К/м.

♦ Внутреннее трение — выравнивание скоростей молекул сис-

темы. Области (слои), имеющие больший импульс (скорость) мо-

лекул, за счет соударений передают импульс (скорость) соседним

областям (слоям). В результате процессов переноса импульса

между областями возникают силы трения, направленные по каса-

тельной к поверхности соприкасающихся областей. Эти силы вы-

равнивают скорости слоев.

Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона

τ=η

где

/dF dSτ= — напряжение трения — сила, касательная к

слою и действующая на единицу его площади. Если сила ускоря-

ет слой, то

0τ> , если тормозит — 0

> .

называется динами-

ческой вязкостью (коэффициент внутреннего трения). Она чис-

ленно равна напряжению при

1ddnv/ = с

-1

. dv/dn — градиент

скорости в направлении внешней нормали к слою газа (жидко-

сти).

ТЕРМОДИНАМИКА

Коэффициенты явлений переноса пропорциональны средней

арифметической скорости

u и средней длине свободного про-

бега

λ .

Процессы переноса переводят материю в состояние предельной

дезорганизации (хаоса), которым является термодинамическое

равновесие.

Глава 9

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

9.1. Первый закон термодинамики

является законом сохранения энергии в термодинамических про-

цессах.

♦ Внутренняя энергия

, Дж — это кинетическая и потенци-

альная энергия атомов и молекул, из которых состоит тело. Для

идеального газа это кинетическая энергия его молекул (8.3).

URT=ν

, где i — число степеней свободы молекулы.

Внутренняя энергия является однозначной функцией термодина-

мических параметров

,TV и не зависит от предыстории состоя-

ния, поэтому

dU является полным дифференциалом. Например,

для идеального газа:

dU RdT=ν

♦ Количество теплоты Q

, Дж — это энергия, передаваемая

системе в процессе теплообмена, т.е. без совершения механиче-

ской работы.

Количество теплоты зависит от предыстории состояния. Напри-

мер, для изменения температуры системы на один градус в раз-

личных процессах требуется разное количество теплоты. Количе-

ство теплоты не является полным дифференциалом. Его можно

определить, зная теплоемкость

процесса.

♦ Теплоемкость C , Дж/К — это количество теплоты, необхо-

димое для изменения температуры системы на один градус:

/CQdT

δ .

ТЕРМОДИНАМИКА

Удельная теплоемкость — это теплоемкость одного килограмма

вещества. Зависит от строения вещества и температу-

ры:

()

УД

/CQmdT=δ

♦ Работа, совершаемая системой при изменении объема Aδ ,

Дж — не является полным дифференциалом

и зависит от типа термодинамического про-

цесса. Элементарная работа (рис. 60)

(/)AFdh PFS PSdh

=⋅ = = = ⇒

APdV

= .

Работа при конечном изменении объема от

до

определяется интегрированием

APdV=

∫

. Она численно равна площади

криволинейной трапеции на графике

()

(рис. 61).

На графиках стрелками указаны направления процессов. При уве-

личении объема системы (рис. 61) работа газа положительна, при

уменьшении (рис. 62)— отрицательна. В циклических (замкну-

тых) процессах при возвращении в исходное состояние

(рис.

63,64) знак общей работы зависит от направления процесса.

Рис. 64

0AA A

+−

Рис. 63

0AA A

+−

=+>

Рис. 62

−

Рис. 61

Рис. 60

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Первый закон термодинамики является законом сохранения

энергии в термодинамических процессах:

Количество теплоты

Qδ , сообщенное системе, идет на приращение

ее внутренней энергии

Ud и на совершение системой работы Aδ :

AUdQ

9.2. Простейшие процессы в идеальных газах

♦ Изохорный процесс происходит без изменения объема (рис. 66, 67):

(

Vconst

а)Уравнение состояния.

PV RT=ν ⇒ ,

⋅ где /aRVconst

ν= .

Давление растет прямо пропорционально росту температуры

(рис. 65).

Диаграммы (графики) изохорного процесса.

б)Первый закон термодинамики.

Так как 00V const dV A=⇒=⇒δ=. Работа в изохорном про-

цессе не совершается, поэтому

QdU

= . Теплота расходуется на

изменение внутренней энергии (нагревание).

в)Теплоемкость.

По определению изохорная теплоемкость

/CQdT

δ .

Так как

QdU

, где

URT

=ν

, то

dU i

=ν

, а

dU C dT

г)Работа в изохорном процессе не совершается

0Vconst dV=⇒=

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 65

VV<

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Изобарный процесс происходит при постоянном давлении

(рис. 69, 70): (

const

а)

Уравнение состояния. PV RT

ν⇒ VbT

⋅ , где

/bRPconst=ν =

. Объем газа растет пропорционально темпера-

туре (рис. 68).

Диаграммы (графики) изобарного процесса

б) Первый закон термодинамики.

AdUQ

. Теплота расходу-

ется на изменение внутренней энергии (нагревание) и соверше-

ние газом работы.

в) Работа в изобарном процессе APdV

= , из уравнения состоя-

ния получаем:

dV R dT=ν , поэтому ARdT

=ν . После интег-

рирования:

12 2 1

()APVV=− или

(

)

12 2 1

ARTT=ν − .

Следствие: универсальная газовая постоянная R численно равна

работе одного моля идеального газа в изобарном процессе при

изменении его температуры на один градус.

г) Теплоемкость.

По определению, изобарная теплоемкость

/CQdT

δ . Так как

QCdT RdTδ= +ν , получаем уравнение Майера:

(1)

CC R R

+ν = + ν

Изобарная теплоемкость больше изохорной, так как часть тепло-

ты идет на совершение работы.

Рис. 68

Рис. 69

Рис. 70

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Изотермический процесс

происходит при постоянной темпера-

туре (

Tconst

, рис.73, 74) в контакте

термостатом. Термостат (рис.71) —

устройство для поддержания постоян-

ной температуры. Например, организм

теплокровного животного (человека),

атмосфера и океаны Земли.

а) Уравнение состояния.

PV RT=ν ⇒ , /

, где

dRTconst=ν = . Давление уменьшает-

ся с ростом объема (рис. 72).

Диаграммы (графики) изотермического процесса

б) Первый закон термодинамики.

По определению,

Tconst=⇒ 0dT

⇒ 0dU

. Внутренняя

энергия идеального газа при изотермическом процессе постоян-

на.

QAδ=δ. Теплота расходуется только на совершение газом

работы.

в) Работа в изотермическом процессе APdV

= . Интегрируя,

получим,

APdVPRT RTdV

⎛⎞

===ν=ν ⇒

⎜⎟

⎝⎠

∫∫

ln ln

ART RT

=ν =ν

г) Теплоемкость.

По определению,

/CQdT=δ

. Так как 0dT

C ⇒∞

Изотермическая теплоемкость стремиться к бесконечности.

Рис. 72

TT<

Рис. 73

Рис. 74

Рис. 71

Термостат

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Адиабатный процесс происходит без теплообмена 0Q

= .

Такой процесс наблюдается в теплоизолированных системах или

при быстропротекающих процессах.

а) Первый закон термодинамики.

AdUδ=− — работа совершается за счет уменьшения внутренней

энергии, или

dU A=−δ — внутренняя энергия растет за счет ра-

боты внешних сил.

б) Уравнение состояния.

В адиабатном процессе меняются все термодинамические пара-

метры, следовательно

VRT

ν . Для графического отображе-

ния адиабатного процесса удобно иметь зависимость

()

как в изотермическом процессе.

Для ее нахождения воспользуемся уравнением состояния:

()dPV RT PdV VdP RdT=ν ⇒ + =ν ,

а также первым законом термодинамики:

dU A=−δ ⇒

CdT PdV=−

Подставляя

в первое уравнение, получаем

dV VdP PdV

+=− 1

dV V dP

⎛⎞

⇒+ ⋅ =−

⎜⎟

⎝⎠

Так как

RC Cν= −

, //dV V dP P⇒χ =− ,

где

/CCχ= — показатель адиабаты. Для идеального газа

(/2 1)/(/2)iiχ= + . После интегрирования находим уравнение

адиабаты:

dV dP

χ=−⇒

∫∫

ln ln

χ=−⇒

11 2 2

VPVconst

χχ

==.

Диаграммы (графики) адиабатного процесса (рис.75-77)

Рис. 75

адиабата

изоте

Рис. 76

Рис. 77

ТЕРМОДИНАМИКА

Адиабата проходит круче изотермы. Это связано с повышением

температуры при адиабатном сжатии газа.

) Работа в адиабатном процессе

AdU ACdT

=− ⇒δ =− . Ин-

тегрируя, получим:

()()

12 V V12 12

ACdTCTTRTT=− = − = −

∫

г)Теплоемкость. По определению, адиабатная теплоемкость

CQdT

δ .

Так как

= ,

0C = . Адиабатная теплоемкость равна нулю.

♦ Политропный процесс является обобщением рассмотренных

выше четырех процессов.

а) Уравнение состояния.

Vconst= , где n — показатель политропы.

0n = — изобарный процесс,

const

1n =

— изотермический процесс,

Tconst

n =χ — адиабатный процесс, 0Q

= .

n =±∞

— изохорный процесс,

Vconst

б) Первый закон термодинамики AUdQ

в) Работа

()

12 1 2

AVV

−

⎡

⎤

=−

⎢

⎥

⎣

⎦

−

г) Теплоемкость

()()

C ν

−−χ

χ−

9.3. Второй закон термодинамики

определяет направление протекания процессов в замкнутой сис-

теме.

♦ Энтропия (приведенное количество теплоты)

, Дж/К —

однозначная функция состояния равновесной термодинамиче-

ской системы (термодинамических параметров), описывает на-

правление протекания процессов в замкнутой термодинамиче-

ской системе. Как и внутренняя энергия, является полным диф-

ференциалом. По определению, для равновесных процессов:

= . 0

∫∫

