Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Рис. 49

(,)

xct

′

♦

Связь длины волны λ со скоростью ее распространения v

Длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за вре-

мя, равное периоду колебаний источника волн:

=⋅ λ⋅ν=cc

♦ Звуковые волны — упругие волны в слышимом диапазоне частот:

инфразвук, 16 Гц < слышимый диапазон < 20 000 Гц, ультразвук.

Громкость (сила) звука определяется квадратом амплитуды ко-

лебаний частицы среды.

Высота тона определяется частотой звуковых колебаний: чем

больше частота, тем выше тон.

7.2. Уравнение волны. Волновое уравнение

♦

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространя-

ющейся вдоль оси ОХ.

Определим смещение

(

)

y точек

среды в волне в любой точке

(

)

x луча

ОХ в любой момент времени

()

t .

Источник гармонических колебаний

(

)

(

)

,cosyx t A t

ω находится в точке

0x = . Отклонение (,)yxt в т. x в момент времени t совпадает

с отклонением источника колебаний в момент времени

′

−

(, )yx t t

′

−

. t

′

— время движения волны от до

xx. Так как

/xt tx

′′

=⇒=

cc(рис. 49). Таким образом, самый общий вид

уравнения бегущей волны:

(,) ( , /)yxt yx t x

− c .

В случае

плоской синусоидальной волны (,) cos ( /)yxt A t x

ω− c .

♦ Период колебаний волны T , частота

, циклическая частота

ω , совпадает с периодом, частотой и циклической частотой ко-

лебаний источника волн. Действительно, фиксируя точку наблю-

дения

x , получаем гармоническое колебание точки среды

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

где

1111

(,) cos( ), , /yx t A t x const=ω−ϕ ϕ=ω=c .

Причем,

22/Tω= πν= π .

♦ Пространственный период волны определяет длина волны λ .

Фиксируя время наблюдения

t , получаем

( , ) cos( / )yxt A t x

ω−ω c .

Из определения длины волны

11 2 1

(, ) ( , )yxt yx t

+λ , тогда

()/ /2xxω+λ −ω =π⇒cc

2 Tλ=πω= ν=⋅c/ c/ c .

Уравнение плоской синусоидальной волны обычно записывается в

виде:

(,) cos( )yxt A t kx=ω−, где 2/k

πλ — волновое число.

♦ Волновое уравнение

Уравнение плоской синусоидальной волны является решением

волнового уравнения:

222

1yy

∂

∂c

Действительно,

cos( )

kA t kx

∂

=− ω −

∂

()

22 2 2

cos( ) cos( )

Atkx Atkx

πν

∂ω

− ω−=− ω−=

∂

cc c

()

cos( ) cos( )

AtkxkAtkx

=− ω − =− ω −

7.3. Энергия волны

♦ Плотность энергии волны

Волновое движение переносит энергию из одного места про-

странства в другое. Однако, точки среды, участвующие в переда-

че энергии, колеблются около положения неизменного равнове-

сия. Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому

средняя

плотность энергии волны (энергия единицы объема), равна

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

/2w =ρ

v , где

— плотность,

ωv

— амплитудное значе-

ние скорости колебаний (6.2) точек среды. Поэтому,

/2wA=ρω .

♦ Интенсивность волны. I , Вт/м

— это энергия, переносимая

волной за единицу времени (мощность)

через единицу площади заданной по-

верхности (рис. 50).

Скорость переноса энергии называется

групповой скоростью u .

Для синусоидальной волны фазовая и

групповая скорости совпадают:

За единицу времени волна переносит энергию на расстояние

u в

объем цилиндра единичной площади и длиной

u (рис. 50). Так

как

w это плотность энергии, то значение интенсивности волны

будет равно:

Iwu

⋅

Интенсивность волны имеет смысл

потока энергии, проходящего

через единицу площади в единицу времени.

Поток энергии изображают вектором, направленным вдоль рас-

пространения энергии и величиной, равной интенсивности вол-

ны. Этот вектор называют

вектором Умова.

Рис. 50

м,lu=

1,мS =

мV,u=

энергия

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ 2

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

И ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Глава 8

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

8.1. Основные понятия и определения

♦ Опытное обоснование основных положений молекулярно-

кинетической теории. Молекулярно–кинетическая теория объяс-

няет строение и свойства тел движением и взаимодействием ато-

мом, молекул и ионов, из которых состоят тела.

1) Все тела состоят из атомов или молекул. Подтверждается хи-

мическими реакциями, прямыми микроскопическими наблюде-

ниями, диффузией (проникновением молекул и атомов одних

веществ в промежутки между молекулами и атомами других

веществ).

2) Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом

движении. Подтверждается диффузией и броунов-

ским движением — хаотическим движением мик-

рочастиц под

действием беспорядочных соударе-

ний молекул жидкости или газа. На рис.51 изо-

бражена траектория броуновской частицы.

3) Молекулы и атомы взаимодействуют между

собой. На близких расстояниях отталкиваются, при увеличении

расстояния притягиваются, на расстоянии, намного большем

диаметра молекул, практически не взаимодействуют. Подтвер-

ждается упругими свойствами твердых тел, жидкостей и газов.

♦ Моль

, моль — мера количества вещества в СИ.

В одном моле содержится

= 6,02 10

моль

–1

(постоянная Аво-

гадро) молекул или атомов.

Молярная масса μ , кг/моль — масса одного моля вещества,

= .

— масса одной молекулы.

определяется по таблице Мен-

делеева, например, для углерода

() 1210C

−

μ=⋅ кг/моль.

Масса одной молекулы

/10

−

≈=μ

кг.

Рис. 51

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Размеры молекул и атомов определяются размерами орбиталей

внешних электронов и составляют, примерно,

–10

м = 1 Å( анг-

стрем).

♦ Идеальный газ. Считается, что молекулы такого газа состоят

из материальных точек, и не взаимодействуют друг с другом на

расстоянии. Соударения таких молекул являются абсолютно уп-

ругими.

♦ Термодинамические параметры определяют состояние газа.:

Р, Па — давление газа на стенки сосуда (

, где

—

сила нормального давления,

— площадь действия силы.);

— объем, занимаемый газом;

Т, К (кельвин) — термодинамическая, абсолютная температура.

Температура по шкалам Кельвина и Цельсия связаны между со-

бой:

Т,К = 273 К + t °C.

Абсолютная температура является мерой средней кинетической

энергии молекул.

♦ Термодинамическое равновесие — состояние системы, при

котором температура и давление в любой точке системы одина-

ковы.

Равновесными

называются термодинамические процессы, при

которых в любой момент времени в любой точке объема темпе-

ратуру и давление можно считать одинаковыми.

Термометры — приборы для измерения температуры. Использу-

ют зависимость давления, объема, электрического сопротивления

и др. параметров от изменения температуры.

8.2.Уравнение состояния идеального газа

♦ Уравнение состояния определяет связь термодинамических

параметров в состоянии термодинамического равновесия и в рав-

новесных термодинамических процессах.

♦ Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-

Клапейрона) определяет связь термодинамических параметров

для идеального газа:

VRT=

где Дж/(моль К)

8,31R =⋅ — универсальная газовая постоянная,

m — масса газа; μ — молярная масса газа.

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Рис. 54

Этому уравнению можно придать другой вид, вводя постоянную

Больцмана

/1,3810kRN

−

==⋅Дж/К, тогда

⇒

nkT

где

/nNV= — концентрация молекул.

Плотность идеального газа можно определить по формуле:

ρ= .

8.3. Основное уравнение молекулярно–кинетической теории

идеального газа (основное уравнение МКТ)

позволяет определить макроскопические термодинамические па-

раметры (

T ), исходя из микроскопических представлений о

строении и поведении молекул.

♦ Число степеней свободы молекулы

— это количество неза-

висимых координат, необходимое для определения положения

молекулы в пространстве.

Одноатомный газ имеет молекулы, состоящие из

одной материальной точки (рис. 52). Материальная

точка обладает тремя степенями свободы (

), так

как может двигаться вдоль осей X,Y,Z.

Двухатомный газ имеет молекулы, состоящие из

двух жестко связанных материальных точек (рис.

53) и обладает пятью степенями свободы (

5i = ):

может двигаться вдоль осей X,Y,Z и вращаться во-

круг осей X,Z. (Относительно оси Y

момент инер-

ции молекулы равен нулю).

Многоатомный газ имеет молекулы, состоящие из

трех и более жестко связанных между собой

материальных точек (рис. 54). Такая молекула, как

любое абсолютно твердое тело, обладает шестью

степенями свободы (

) — тремя

поступательными и тремя вращательными.

Рис. 52

Рис. 53

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Средняя квадратичная скорость молекулы u (м/с).

За счет хаотичности движений и столкновений кинетиче-

ские энергии молекул газа близки по значениям. Будем считать,

что любая молекула идеального одноатомного газа обладает

средней кинетической энергией:

mu m

==〈〉

∑

, где

m v

— кинетическая энергия i –

ой молекулы, тогда

uN=

∑

v — средняя квадратичная ско-

рость молекулы.

♦ Вывод основного уравнения молекулярно–кинетической тео-

рии идеального газа

Рассмотрим движение

молекул иде-

ального одноатомного газа, находящихся в

кубическом сосуде (рис. 55) объемом

1V = м

тогда

— численно равно концентрации мо-

лекул газа. Считаем, что:

1) молекулы между столкновениями со стен-

ками сосуда движутся равномерно со средней

квадратичной скоростью

;

2) вследствие хаотичности движения молекул вдоль каждой оси

координат движется

/3n молекул;

3) удар молекул о стенку сосуда — абсолютно упругий.

По закону сохранения импульса при каждом упругом соударе-

нии молекула передает стенке (

0,5y = )

импульс (рис. 56):

00 0 0

()2mu mu mu mu

=−− =

rrr

За одну секунду молекула совершает /2u

таких передач, а переданный импульс ста-

нет равным по величине

mu .

Вдоль каждой оси координат движется

/3n молекул, которые за

одну секунду передадут

1м

поверхности грани куба импульс

nm u .

Рис. 55

м1

Рис. 56

mu−

()muΔ

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

По второму закону Ньютона изменение импульса грани куба в

единицу времени равно средней силе давления частиц. Так как

площадь грани

0,5y = равна 1м

, эта сила численно равна давле-

нию газа. Поэтому, основное уравнение МКТ

nm u= ,

где /nNV= — концентрация молекул газа,

m , u — масса и средняя квадратичная скорость молекулы.

♦ Средняя энергия молекулы и температура

Основное уравнение МКТ можно переписать в виде:

32 3

nPnE=⇒=

〈

〉

Сравнивая с уравнением состояния

nkT

, получаем

kT〈〉= .

Таким образом, абсолютная температура является мерой средней

кинетической энергии поступательного движения

молекулы.

♦ Внутренняя энергия идеального газа U , Дж — это кинетиче-

ская энергия поступательного и вращательного движения его мо-

лекул. В классической физике вводится

закон равнораспределе-

ния,

согласно которому на каждую степень свободы молекулы

приходится одинаковая энергия, равная

. Поэтому, в общем

случае многоатомных молекул внутренняя энергия идеального

газа:

()

22 2

ii i

UNkT NkT RT

==ν =ν, где i — число степеней

свободы молекулы.

8.4. Закон распределения молекул по скоростям

♦ Распределение молекул по скоростям Максвелла. В параграфе

8.3 мы ввели понятие средней квадратичной скорости, справед-

ливо считая, что скорости конкретных молекул отличаются друг

от друга даже в состоянии термодинамического равновесия:

kT RT

===

∑

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Максвелл установил закон, определяющий число молекул dn из

общего их числа в единице объема

n , которые обладают при

данной температуре

T скоростями поступательного движения в

интервале от

v до d+vv:

dn n e d

−

⎛⎞

=⋅⋅π

⎜⎟

⎝⎠

vv , где

m — масса молекулы,

— постоянная Больцмана.

На рис.57 приведена кривая распределения молекул по скоро-

стям. Число частиц

dn со скоростями в интервале от v до

d+vv равно площади криволинейной трапеции. Очевидно, что

вся площадь, ограниченная кривой

, равна концентрации мо-

лекул газа

n . С увеличением температуры газа максимум кри-

вой смещается в сторону больших скоростей, а его высота

уменьшается (рис. 58).

♦ Наиболее вероятная скорость молекул

Из закона распределения молекул по скоростям

можно опреде-

лить наиболее вероятную скорость молекул

u . Решая задачу на

экстремум функции

−

⎡⎤

⎛⎞

⎢⎥

⎜⎟

⋅

⎢⎥

⎜⎟

⎢⎥

⎝⎠

⎣⎦

Рис. 57

d+vv

Рис. 58

123

TTT

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

−

⎛⎞

−+=

⎜⎟

⎝⎠

2kT

⇒=u ,

получаем

22 2

kT RT

===

. Таким образом наиболее

вероятная скорость молекул меньше средней квадратичной и за-

висит только от температуры и массы (молярной массы) молекул.

Закон максвелловского распределения молекул по скоростям мо-

жет быть записан в виде:

ВВ

dn e d

−

⎛⎞⎛⎞

=⋅ ⋅

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

, где ско-

рости молекул

v рассматриваются в единицах наиболее вероят-

ной скорости

u .

♦ Средняя арифметическая скорость молекул определяется ин-

тегралом

nu d

〈〉=

∫

==⋅

μπ

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие со-

стояние газа:

1,73

RT RT

— средняя квадратичная скорость;

u〈〉

1,60

RT RT

πμ μ

— средняя арифметическая скорость;

1,41

RT RT

— наиболее вероятная скорость.

8.5. Барометрическая формула

В реальных земных условиях на молекулы газа всегда действует

сила тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к тому,

что концентрация молекул и давление убывают с высотой. Най-

дем закон изменения давления газа с высотой. По формуле Пас-

каля при увеличении высоты на бесконечно малую величину

dh ,

давление газа понизится на

dP :

dP g dh

−ρ ⋅ .