Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.2. Дифференциальное уравнение свободных гармонических

колебаний

♦ Скорость и ускорение гармонических колебаний

Для механических колебаний () ()At xt

, где

смещение маят-

ника (осциллятора) из положения равновесия.

Кинематическое уравнение движения имеет вид:

(

)

(

)

sinxt x t

ϕ=+.

Скорость колебаний, по определению, является первой производ-

ной смещения по времени:

() ()

cos

txt

ωϕ== +v ,

где

x ω

v — амплитуда скорости.

Ускорение определяется второй производной:

() ()

sin

at x t

ωϕ==− +,

где

x ω = a — амплитуда ускорения.

Легко заметить, что

=− , или

= .

♦ Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Если процесс подчиняется дифференциальному уравнению

= ,

то он является гармоническим колебанием

(

)

(

)

000

sinxt x t

ϕ=+

с собственной циклической частотой

ω= .

Амплитуда

x и начальная фаза

определяются из начальных

условий.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.3. Примеры свободных гармонических колебаний

♦ Пружинный маятник — груз массой m на пружине жестко-

стью

k , совершающий колебания под действием возвращающей

силы упругости (рис 35). По закону Гука

упр

− , по второму

закону Ньютона

упр

/mdxdt F⋅=⇒

/0mdxdt kx

⋅

+=⇒

dx k

= .

Получили уравнение, тожде-

ственное (6.2). Значит, коле-

бания пружинного маятника

происходят по гармониче-

скому закону

(

)

(

)

sinxt x tω= с собственной циклической частотой

/kmω =

и периодом 2/Tmkπ= .

♦ Физический маятник — твердое тело массой

, с моментом

инерции

I , имеющее ось вращения O ,

расположенную выше центра тяжести

(рис. 36). Тело совершает вращательно–

колебательные движения под действием

момента силы тяжести, приложенной в

центре тяжести

sinMmghmgL

−=− .

Для малых колебаний

hL<< ,

sin tan

ϕϕ

= . Таким образом,

MmgL

−⋅.

По второму закону Ньютона для вращательного движения

IMβ =⇒

/Id dt mgL

−⋅⇒

dmgL

⋅=

Получили уравнение, тождественное (6.2). Значит, малые колеба-

ния физического маятника происходят по гармоническому закону

(

)

(

)

sinttϕϕω=

Положение равновесия

Рис. 36

Рис. 35

пр

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

с собственной круговой частотой

/mgL Iω = и периодом

2/TImgLπ=

♦ Математический маятник — материальная точка массой

подвешенная на невесомой нерастяжимой нити

длиной

L . Предельный случай физического

маятника с моментом инерции

ImL= (рис

37). При малых углах (

ϕ < ) колебания ма-

тематического маятника являются гармониче-

скими. Период колебаний математического

маятника (для малых углов) определяется

формулой Гюйгенса

2/TLgπ= . Период не

зависит от массы и амплитуды колебаний (изо-

хронность колебаний). Изохронность колеба-

ний используется для измерения времени.

♦ Превращение энергии при гармонических колебаниях

При свободных гармонических колебаниях выполнятся закон со-

хранения механической энергии: в любой точке траектории сумма

кинетической и потенциальной энергий не меняется.

Для пружинного маятника:

()

sin

Utω==

— потенциальная энергия в момент вре-

мени

()

cos

==⋅

— кинетическая энергия в момент вре-

мени

2222

kx m

mkx

KU const=+= + = = =

— полная механиче-

ская энергия в любой момент времени одинакова.

Для математического маятника:

KU m

Hconst=+= + = = =

x , x — амплитуда и текущее значение смещения,

,Hh — максимальная и текущая высота подъема материальной

точки,

Положение равновесия

Рис.37

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

,vv — максимальная и текущая скорость материальной точки.

 Общий случай

Если в функции потенциальной энергии колеблющейся системы

есть минимум в т.

0x = (

(

)

min

0Ux U== ), ее можно разложить в

ряд Тейлора

()

...

2! 3!

dU dU

Ux x x

dx dx

=⋅+⋅+

Колебания называются малыми, если можно пренебречь всеми

членами, кроме первого, так что

()

Ux x

⋅ . Так как

=−

, то ()

xkx=− ⋅ — квазиупругая сила,

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

— коэффициент квазиупругой силы.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний приоб-

ретает вид

ω+=, где

ω =

— собственная цикли-

ческая частота,

M — мера инертности системы, например, масса,

момент инерции и др.

6.4. Свободные затухающие колебания

♦ Определение. Свободными затухающими называются колеба-

ния, механическая энергия которых расходуется на работу против

диссипативных сил (сил трения):

dEdA

−

тр

. Амплитуда коле-

баний уменьшается, колебания затухают.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Для слу-

чая малых колебаний в отсутствии сухого трения можно считать,

что сила трения равна

тр

dx dt

−=−⋅v ,

— коэффициент

сопротивления.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

(

)

(

)

//m d x dt a dx dt kx=− − ⇒

(

)

(

)

22 2

/2/ 0d x dt dx dt xδω

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

где /2mδα= — коэффициент затухания,

/kmω = — собствен-

ная частота свободных колебаний.

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний.

выбирается в виде гармонической функ-

ции

(

)

(

)

()sinxt At t

ϕ=+, амплитуда

которой

()At экспоненциально убывает

со временем (рис. 38):

()

At xe

δ−

= .

Циклическая частота определяется фор-

мулой

ωδ=−.

Логарифмическим декрементом затуха-

ния

θ называется натуральный логарифм отношения амплитуд

соседних колебаний в моменты времени

t и tT

(

)

()

At T

δ==

Время релаксации:

1NTτδ== — время, за которое амплитуда

колебаний уменьшается в

e раз. 1/N

— количество колеба-

ний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в

e раз.

6.5. Вынужденные колебания

Вынужденные гармонические колебания происходят под действием

внешней вынуждающей силы, которая меняется по гармоническо-

му закону:

(

)

(

)

sin

tF t=Ω, где

Ω — циклическая частота вынуждающей силы,

— максимальное значение (амплитуда) силы.

Кроме вынуждающей на систему действуют силы

упр

− и

тр

dx dt

−⋅ .

Установившиеся колебания также являются гармоническими,

причем совершаются с циклической частотой вынуждающей си-

лы

Ω .

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

Рис. 38

()

txe

δ−

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

(

)

(/) (/) sinmd x dt dx dt kx F t

−α − + Ω ⇒

(

)

(

)

22 2

/2 / /sind x dt dx dt x F m t+δ⋅ +ω = ⋅ Ω ,

где

/2mδ=α

— коэффициент затухания (6.4),

/kmω= — собственная циклическая частота свободных коле-

баний.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний

выбирается в виде гармонической функции

(

)

(

)

sinxt A t

Ω+ϕ ,

где

δΩ

ϕ=−

ω−Ω

— сдвиг фазы между смещением

()

xt и

вынуждающей силой

(

)

t . Амплитуда колебаний

()

22 22

4AF m

⎡

⎤

=ω−Ω+δΩ

⎢

⎥

⎣

⎦

— зависит от соотношения

и Ω .

Анализ амплитуды вынужденных колебаний. Резонанс

На рисунке 39 приведены кривые

зависимости амплитуды

А от цик-

лической частоты вынуждающей

силы

(резонансные кривые).

1) При

<< ω амплитуда

ст 0

/AA Fk

≈

= , что соответствует

статической деформации системы

под действием постоянной внешней

силы

2) При

>> ω

, 0A → .

3) При

=ω−δ

наступает резонанс — явление резкого

возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе-

нии циклической частоты вынуждающей силы

к собственной

частоте системы

ω (рис.39). Амплитуда увеличивается до тех

пор, пока работа сил трения не сравняется с работой внешней си-

лы. При отсутствии трения

= возрастание амплитуды неог-

раниченно.

Рис. 39

ст

0δ=

δ>δ

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.6. Автоколебания

Автоколебательной называется система, совершающая незатухаю-

щие колебания за счет

действия источника энер-

гии, не обладающего ко-

лебательными свойства-

ми. Например, механиче-

ские часы, анкерный ме-

ханизм которых обеспе-

чивает положительную

обратную связь постоян-

ного источника энергии

(гиря) с маятником (рис

40).

На рис.41 показана автоколебательная система с отрицательной

обратной связью (сифон).

Негармонические колебания совершает

уровень воды в сосуде.

Обратная связь.

Любая автоколебательная система состоит из четырех частей

(рис. 42):

а)

колебательной системы;

б)

источника энергии, компенсирующего потери энергии;

в)

клапана – устройства, регулирующего поступление энергии в

колебательную систему;

г)

обратной связи — основного признака автоколебательной сис-

темы – устройства для обратного воздействия автоколебательной

системы на клапан. Положительная обратная связь "раскачивает",

возбуждает систему, отрицательная — возвращает систему в ис-

ходное положение.

об

атная связь

Рис. 42

источник энергии

клапан

колебательная

система

Рис. 41

сифон

вода

Рис. 40

ось маятника

анкер

маятник

гиря

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

tω

() sin( )xt x t=ω+ϕ

Рис. 43

0ϕ=

– вектор амплитуды

6.7. Сложение колебаний

♦

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления

Гармонические

колебания

моделируются

колебаниями

проекции радиус-

вектора амплитуды

x при его вращении

с угловой скоростью

ω (рис.43). С помощи

векторов амплитуд

можно складывать колебания

одинаковой частоты и направ-

ления, но разной амплитуды и

фазы (рис.44). Из рисунка вид-

но, что

222

03 01 02

xxx

(

)

01 02 2 1

2cosxx

ϕ−ϕ .

В общем случае амплитуда

результирующего колебания

будет меняться в пределах

01 02 03 01 02

xx xxx−≤≤+.

Происходит увеличение или

уменьшение результирующей амплитуды. Частота колебаний не

меняется.

♦ Биения. (Сложение колебаний близкой частоты и одинакового

направления)

101 1

202 2

303 3

() sin( )

xt x t

=ω+ϕ

Рис. 44

() cos

() cos( )

() (2 cos )cos

xt x t

xt x t t

=ω+Δω

Δω

Рис. 45

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Результирующее движение в этом случае можно рассматривать

как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой (рис.

45) —

биения.

♦ Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим

материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендику-

лярных колебаниях одинаковой частоты, но отличающихся по

фазе на

: иcos cos( )xa t yb t=ω = ω+ϕ или

/cos,/cos( )xa t yb t=ω = ω+ϕ.

Это параметрические уравнения траектории. Исключая время ,

получаем различные типы колебаний.

♦

Линейно поляризованные колебания

0,ϕ= π:

=±



⇒=±

— траектория — прямая линия.

♦

Эллиптически поляризованные колебания

ππ

ϕ=

cos , sin

=ω = ωm



⇒+=

— траекто-

рия — эллипс (рис. 46а).

♦

Круговая поляризация

Если

материальная точка движется по окружности радиуса

Rab==.

Таким образом, в зависимости от разности фаз двух взаимно

перпендикулярных колебаний одинаковой частоты траектория

меняется от прямой линии до эллипса.

В случае рационального отношения частот

ω траектории

движения материальной точки замкнуты и называются фигурами

Лиссажу (рис. 46 а,б).

Рис. 46

x x

=ω

ω=ω

)

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Глава 7.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

7.1. Основные понятия

Бегущей волной называется всякое возмущение (изменение) со-

стояния вещества или поля, распространяющееся в простран-

стве без переноса элементов среды.

♦ Распространение колебаний в упругих средах происходит за

счет упругих волн. Упруго деформированный участок среды, воз-

вращая начальную форму, деформирует соседние участки и т.д.

Волны переносят энергию и импульс без переноса вещества.

Поперечной называется волна, в которой частицы среды колеб-

лются в направлении,

перпендикулярном на-

правлению распростра-

нения волны (наблюда-

ются только в твердых

телах, рис.47а).

Продольной называется волна, в которой ко-

лебание частиц происходит в направлении

распространения волны, изменяя плотность

среды

(наблюдаются в газах, жидкостях и

твердых телах , рис.47б).

Длина волны

, м — расстояние между двумя

ближайшими точками среды, которые колеблются в одинаковой

фазе (рис.48).

Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометри-

ческое место точек среды, которые колеблются в одной фазе. По

форме фронта волны делятся на плоские, цилиндрические, сфе-

рические.

♦ Фазовая скорость распространения упругих волн

— ско-

рость движения фронта волны. Она зависит от упругости и плот-

ности среды.

ρc

, где

— модуль объемной упругости,

— плотность среды.

Рис. 47

а) б)

Рис. 48