Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

Для системы материальных точек

ii i

∑∑

где

iii

mpv — масса, скорость и импульс

-ой частицы,

—

число частиц.

Примеры использования кинетической энергии: пресс, молоток,

пуля, парус.

♦ Вывод теоремы о кинетической энергии материальной точки.

Пусть материальная точка массой

m изменила свою скорость от

v до

v под действием результирующей силы

. Работа силы

привела к изменению кинетической энергии. Определим работу

результирующей силы:

22 2 2 2 2

11 1 1 1 1

ddr m

A dA Fdr madr m dr m d m d

dt dt

vv v v v v

vvv

rr r

rrr r rrr

== = = = = = ⇒

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=−

AK K K

−=Δ.

Работа результирующей силы равна приращению кинетической

энергии материальной точки.

♦ Потенциальная энергия.

Взаимодействие тел передается соответствующим полем — осо-

бой формой материи. Например:

1) электромагнитное взаимодействие передается электрическим

и магнитным полями;

2) гравитационное — гравитационным полем;

3) ядерное — ядерным.

Поля, в отличие от частиц, непрерывно заполняют пространство.

Взаимодействие осуществляется по схеме: частица создает поле,

это поле действует на другую частицу.

♦ Поле консервативных (потенциальных) сил.

При движении материальной точки в поле консервативных сил

работа не зависит от траектории, а определяется только началь-

ным и конечным положением точки. При движении по замкнутой

траектории (контуру) работа таких сил равна нулю. Консерватив-

ными являются гравитационное поле и создаваемая им сила тя-

жести, электростатические силы и поля. Силы, не

обладающие

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

этими свойствами, называются диссипативными (например, силы

трения). Работа этих сил переводит энергию из механической в

другие формы, например, во внутреннюю энергию.

♦ Потенциальная энергия материальной точи в поле консерва-

тивных сил )(rU

— это работа, которую могут совершить кон-

сервативные силы при перемещении тела из данной точки

точку

, принятую за начало отсчета потенциальной энергии

(рис 19). Потенциальная энергия — величина относительная, за-

висящая от выбора начала отсчета энергии.

Например, потенциальная энергия тела массой m , находящегося

на высоте

h над поверхностью земли,

равна работе силы тяжести

mg при пе-

ремещении тела из точки

в любую

точку

, лежащую на поверхности зем-

ли, принятой за начало отсчета энергии

(рис 19):

()

U r A mgdr mg dr

===

∫

rr r r

(

)

mg r r mgh

⋅−= ⇒

() ()Ur Uh mgh

Следствие 1. Работа, совершаемая силами поля при переходе мате-

риальной точки из положения

, равна разности потенциаль-

ных энергий в этих точках:

12 1 2

AUU

− .

Следствие 2. Работа консервативных сил при перемещении мате-

риальной точки осуществляется за счет убыли ее потенциальной

энергии:

12 1 2

AUU=− U

−Δ ⇒ dA dU

− .

3.3. Потенциальные кривые

это графический способ изображения потенциальной энергии,

позволяющий судить о силах и характере движения тела

Рис. 19

0U =

()Ur

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

Консервативная сила — градиент потенциальной энергии.

Пусть частица находится в поле

консервативных сил (например, в

гравитационном) и ее потенциаль-

ная энергия зависит только от од-

ной координаты (рис 20). Работа

консервативных сил осуществляется

за счет убыли потенциальной энер-

гии

dA F dx dU=⋅ =− ⇒

=−

Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обрат-

ным знаком.

Градиент определяет скорость изменения скалярной величины в

пространстве.

Следствие. Точки локального максимума и минимума потенци-

альной кривой являются точками, соответственно, устойчивого

(А) и неустойчивого (В) равновесия (рис.20). Действительно, в

этих точках со стороны поля на тело не действуют силы

−=

♦ Определение вида потенциальной энергии по силе.

;

dU F dx

=− =− ⇒

(

)

(

)

Ux dU F xdx==−

∫∫

♦ Потенциальная энергия деформированной пружины.

По закону Гука сила упругости

упр

− , где

— жесткость

пружины,

— удлинение. При изменении длины пружины от 0

до

() ()

упр

U x F x dx kxdx=− = =

∫∫

♦ Потенциальная энергия поля центральных сил

Центральными называются силы, линия действия которых про-

ходит всегда через одну и ту же точку.

Например, для гравитационных сил эта точка — центр масс.

Рис. 20

A B

()Ux

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

гравит

,mm — массы, взаимодействующих тел, r

— расстояние между центрами масс.

Для кулоновских сил данная точка — центр "тяжести" зарядов.

кулон

rπεε

,qq — заряды взаимодействующих тел, r

— расстояние между центрами "тяжести" зарядов. Таким обра-

зом, для центральных сил справедливо

()

~~~

Ur Fdr

∫∫

Потенциальная энергия поля центральных сил обратно пропор-

циональна расстоянию до центра тела, создающего поле.

3.4. Закон сохранения механической энергии

♦

Одно тело.

Пусть тело движется под действием консервативных

и дисси-

пативных

сил (например, трения). По теореме о кинетической

энергии, работа результирующей силы равна приращению кине-

тической энергии тела

(

)

fdr dK+=

Так как

dr dU=−

, то fdr dK dU=+

или

fdr dE=

Диссипативные силы направлены против перемещения, поэтому

0fdr <

. Следовательно, работа диссипативных сил приводит к

уменьшению механической энергии

Если материальная точка находится в поле только консерватив-

ных сил, то полная механическая энергия материальной

точки

сохраняется.

KUconst=+= — закон сохранения механиче-

ской энергии.

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

♦ Закон сохранения энергии системы материальных точек

Полная механическая энергия системы N материальных точек

определяется формулой

()

12 N

, ...

Urr r

∑

где

m v

∑

— сумма кинетических энергий материальных то-

чек,

(

)

12 N

,...Urr r

— их потенциальная энергия.

Полная механическая энергия системы тел без диссипативных

взаимодействий не меняется, хотя в системе возможны переходы

механической энергии из одной формы в другую:

()

12 N

, ...

Urr r const

rr r

=+ =

∑

3.5. Соударения

Соударением (ударом) называются кратковременные взаимодей-

ствия тел, при которых возникающие силы столь велики, что

внешними силами можно пренебречь и рассматривать соуда-

ряющиеся тела как замкнутую систему.

♦ Абсолютно неупругий удар

При таком ударе тела объединяются и

движутся как единое целое (рис. 21).

Выберем систему отсчета, связанную с

центром инерции. В ней импульс тел

после удара, а, следовательно, их ско-

рость и кинетическая энергия будут

равны нулю (по закону сохранения им-

пульса). Кинетическая энергия неупру-

го соударяющихся тел переходит во внутреннюю энергию.

Закон

сохранения механической энергии не выполняется, но вы-

полняется закон сохранения импульса:

pp p

Или в проекциях на координатные оси:

X11X22X

x) mm m

+vv v;

Y11Y22Y

y) mm m

+vv v

;

где

mm m=+. Зная массы и скорости исходных частиц, можно

определить скорость и импульс объединенного тела после удара.

Рис. 21

pp p=+

rr r

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

По теореме Пифагора , pm

vvv v

=+ =

♦ Абсолютно упругий удар

После такого удара тела полностью восстанавливают свою форму

и объем. Рассмотрим соударение двух упругих шаров массами

иmM.

До соударения большой шар поко-

ится, малый движется со скоро-

стью

и импульсом pmu

(рис

22). Считая систему замкнутой,

можно использовать следующие

законы сохранения:

1) mu m M=+vV

— закон сохранения импульса;

22 2

mu m M

— закон сохранения энергии.

Рассмотрим центральный удар, при котором линия удара прохо-

дит через центр тяжести обоих тел (рис. 23). Тогда в проекциях

на ось

(

)

xx x

mu MvV−= , 2)

(

)

22 2

xx x

mu MvV−= .

Разделив второе уравнение на первое, получаем

xxx

uVv

+ .

Подставляя в первое уравнение,

получаем скорость налетавшего

шара после удара:

−

Если массы шаров равны

, налетающий шар останавлива-

ется, а второй движется с его скоростью. Если шар ударяется о

стенку

∞→M ,

uv =− — шар отскакивает с начальной скоро-

стью

u , причем стенке передается импульс 2mu .

Рис. 22

pmu=

Рис. 23

pmu=

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Глава 4

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент

инерции.

♦

Вывод формулы кинетической энергии вращательного движе-

ния.

Пусть тело массой

вращается со скоростью

вокруг оси ОО׳. Разобьем тело на N мате-

риальных точек (рис. 24), где

— масса

и скорость

-ой материальной точки,

r — длина перпендикуляра, соединяющего ось

вращения с

-ой материальной точкой. Кине-

тическая энергия системы материальных точек

определяется суммой их кинетических энер-

гий:

∑

. Линейная скорость

-ой

материальной точки

. Так как угловая скорость

одина-

кова для всех точек, то

Kmr

∑∑

♦ Момент инерции I, кг м

тела относительно выбранной оси вра-

щения это сумма:

Imr

∑

Момент инерции является мерой инертности тел во вращатель-

ном движении

. Момент инерции зависит от массы тела и от рас-

пределения массы относительно оси вращения

Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения

определяется формулой:

вр

аналогично,

K =

Рис. 24

m v

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Моменты инерции тел правильной геометрической формы.



Рассмотрим момент инерции материальной точки, кольца или

пустого цилиндра с массой m и радиусом R :

ii i

()

ImrrR

=Δ ===

∑

RmmR

Δ=

∑

mRI = .

 В диске (сплошной однородный цилиндр) часть массы сме-

щена к оси вращения, поэтому его момент инерции уменьша-

ется

диск

mRI = .

 Момент инерции шара по той же причине меньше, чем у диска

mRI = .

♦ Теорема Штейнера.

В теоретической механике доказывается, что кинетическую

энергию любого движения твердого тела можно представить в

виде суммы кинетической энергии центра масс и кинетической

энергии вращения тела относительно оси, проходящей через

центр масс:

ЦМ

ЦМ ВР

KK K

=+= +

Вращение тела c угловой скоростью

вокруг произвольной оси

aa' можно представить как вращение

вокруг этой оси центра масс и враще-

ние самого тела с этой же угловой

скоростью вокруг оси

oo', параллель-

ной заданной и проходящей через

центр масс (рис 25). Поэтому, учиты-

вая, что

ЦМ

v , получим:

aa oo

222

ωω

=+⇒

aa oo

ImLI=+

Момент инерции тела относительно произвольной оси

aa' равен

сумме момента инерции центра масс относительно этой же оси

и момента инерции тела относительно оси

oo', параллельной за-

данной и проходящей через центр инерции.

′

Рис. 25

′

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.2. Механическая работа вращательного движения. Момент

силы. Мощность

♦

Вывод формулы механической работы вращательного дви-

жения

Пусть тело под действием силы

поворачивается на бесконечно

малый угол

d . На (рис.

26):

R — расстояние от оси

вращения до точки прило-

жения силы,

—угол между направле-

нием перемещения и силой,

AB — линия действия си-

лы,

coshR

— плечо силы.

Элементарная работа

cosdA F dS

⋅⋅ .

По определению радиана /ddSRdSRd

⇒=⋅.

Тогда,

cosdA F R d F h d M d

ϕϕϕ=⋅ ⋅ =⋅⋅ = ⋅⋅ .

Элементарная механическая работа вращательного движения

равна произведению момента силы

M на угловое перемещение dϕ :

dA M d

=⋅ аналогично, dA Fdr

= .

Конечная работа получается интегрированием

AMd

⋅

∫

♦ Момент силы M

, Нּм — вектор,

направленный по оси вращения (пра-

вило правого винта), и характеризую-

щий силовое взаимодействие тел при

вращательном движении. Он равен

произведению силы на плечо (рис 27):

MFh=⋅.

— плечо силы — длина перпендику-

ляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Рис. 26

Линия действия силы

Направление перемещения

Линия действия силы

Рис. 27

плечо h

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Если на тело действуют несколько моментов сил, то результи-

рующий момент находится векторным сложением этих моментов:

MM=

∑

Угловое ускорение совпадает по направлению с результирующим

моментом (рис 27).

♦ Механическая мощность вращательного движения

Мощность — это скорость совершения работы:

вр

dA Md

dt dt

== =

Таким образом,

вр

= аналогично,

⋅v

4.3. Второй закон Ньютона для вращательного движения

♦ Используя аналогию формул поступательного и вращательно-

го движения, получаем, что мера взаимо-

действия между телами (

) должна

быть пропорциональна вызываемому ус-

корению

(,)a

, коэффициентом пропор-

циональности является мера инертности

тел

(,)mI , поэтому

⋅

по аналогии

ma=

Результирующий момент сил равен произведению момента инер-

ции и углового ускорения

(рис 28). Результирующий момент сил

определяется по правилу сложения векторов.

♦ Вывод второго закона Ньютона вращательного движения.

По теореме о кинетической энергии мощность результирующего

момента сил равна скорости изменения кинетической энергии

вращающегося тела:

вр вр

dA dK

⇒

вр вр

dA dK

dt dt

⇒

⎛⎞

=⇒

⎜⎟

⎝⎠

()

ωω

⇒ MI

⋅ .

Рис. 28