Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

КИНЕМАТИКА

Угловая скорость

, рад/с — определяет направление и быстро-

ту вращения. Вектор угловой скорости лежит на оси вращения и

связан с направлением вращения правилом правого винта.

ω=

, или в проекции на ось OO׳

ω=

♦ Угловое ускорение

, рад/с

— определяет быстроту измене-

ния угловой скорости. При неподвижной оси вращения угловое

ускорение направлено вдоль (ускоренное движение) или против

(замедленное движение, рис.7) направления угловой скорости:

β=

, или в проекции на ось OO׳

β= .

При равномерном вращении вокруг неподвижной оси 0

constω=

. В проекциях на ось ОО׳ (аналогично равномерному

прямолинейному движению):

0; ( 0); 2

β= ϕ=ω⋅ ϕ = ω= = πν.

,с — период вращения, т.е. время одного оборота.

,1/с — частота вращения — количество оборотов в единицу вре-

мени.

Равнопеременное вращение вокруг неподвижной оси происходит

с постоянным угловым ускорением, направ-

ленным вдоль (+) или против (–) начальной

угловой скорости (рис.8):

β⋅

=ω ⋅ ± ω=ω ±β⋅

, где

,ωω — проекции начальной и конечной уг-

ловой скорости на направление

, β — мо-

дуль углового ускорения

Связь угловых и линейных переменных

Из определения радиана

ϕ⋅ .

Продифференцировав это выражение по времени

′

ϕ⋅ , по-

лучаем связь линейной и угловой скоростей:

ω⋅v .

Дифференцируя повторно, получаем связь модулей тангенциаль-

ного и углового ускорений:

Рис. 8

ДИНАМИКА

β⋅ .

Нормальное ускорение приводится к виду:

222

/()/aRRRR==ω =ωv .

Глава 2

ДИНАМИКА

раздел механики, в котором изучается движение тел и причины

этого движения. Основа динамики

поступательного движения

тела — три закона Ньютона.

2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)

♦ Тело сохраняет свою скорость (движется по инерции), если на

него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

♦

Инерциальными называются системы отсчета, в которых вы-

полняется первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета

движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, называются неинер-

циальными (тормозящий автобус).

В дальнейшем мы будем использовать только инерциальные сис-

темы отсчета.

♦

Инертность — способность тел сохранять свою скорость.

♦

Масса m, (кг) — мера инертности тел при поступательном

движении.

♦

Плотность ρ, кг/ м

—

/Vm

— масса в единице объема.

Зависит от вещества, из которого состоит тело и внешних усло-

вий. Табличная величина .

V — объем тела.

♦

Принцип относительности Галилея: Механические явления

протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета

Законы механики имеют одинаковый вид в любой инерциальной

системе отсчета.

ДИНАМИКА

2.2. Второй и третий законы Ньютона

♦ Сила ,, ,

fNT

rrr

, Н — векторная величина, являющаяся

мерой взаимодействия тел при поступательном движении. Действие

тел заменяется действием сил

(рис. 9 а, б, в):

♦

Сложение сил: если на тело действуют несколько сил

то их можно заменять равнодействующей силой

, равной их век-

торной сумме (рис. 10).

Силы в механике

(для самостоятельного повторения)

♦ Силы упругости возникают при упругих деформациях тел. Они

стремятся вернуть телу исходную форму и объем (рис. 11).

Деформация — изменение формы и объема

тела.

Упругая деформация исчезает после сня-

тия нагрузки. При этом силы упругости

возвращают телу исходную форму и объ-

ем.

Закон Гука

: сила упругости

УПР

F пропор-

циональна удлинению пружины x:

УПР

−⋅ ,

где l

— начальная и l — конечная длина пружины, x = l - l

знак минус означает, что сила упругости направлена против удлинения,

k, Н/м — коэффициент жесткости (упругости), зависящий от упругих

свойств материала.

♦ Сила трения

тр

возникает между поверхностями соприкасающихся

тел и препятствует их относительному перемещению.

Сила трения покоя

препятствует возникновению относительного пере-

мещения соприкасающихся тел. Сила трения покоя равна по модулю

результирующей

()T

всех остальных сил, действующих на тело (рис.

12).

Рис. 9а

тр

Рис. 9б

Рис. 9в

Рис. 10

Рис. 11

ДИНАМИКА

Закон трения скольжения:

сила трения скольже-

ния возникает при движении соприкасающихся

тел и пропорциональна силе реакции опоры

или равной ей по величине силе нормального

давления

ТР

Nμ=⋅

где

μ — коэффициент трения скольжения, зави-

сящий от материала соприкасающихся тел и качества обработки их по-

верхностей.

♦ Гравитационные силы (силы тяготения) — силы притяжения, суще-

ствующие между любыми телами.

♦ Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягивают-

ся друг к другу (рис. 13) с силой, прямо пропорциональ-

ной массам

этих точек и обратно пропорциональ-

ной квадрату расстояния

r между ними. Модуль силы

тяготения

⋅

где

11 2 2

6, 7 10 Нм/кгG

−

=⋅ ⋅ — гравитационная постоянная.

♦ Сила тяжести

тяж

— сила, с которой планета (Земля) притягивает

тело. Под действием одной силы тяжести тело свободно падает с уско-

рением

. По второму закону Ньютона:

тяж

♦ Вес тела P

— сила, с которой тело давит на опору или растягивает

подвес. Вес приложен к опоре или подвесу (рис. 14).

Если опора покоится или движется равномерно и

прямолинейно, то вес тела равен силе тяжести:

P = mg.

Если опора движется с ускорением вверх, то вес

увеличивается (+), вниз — уменьшается (-):

P = m(g

a).

При свободном падении (a = g) тело не давит на

опору. Отсутствие веса (Р = 0) называется неве-

сомостью.

♦ Движение под действием силы тяжести — свободное падение.

При этом все тела движутся с одинаковым ускорением — ускорением

свободного падения. Вблизи поверхности Земли g = 9,8 м/с

Рис. 12

тр

Рис. 13

Рис. 14

ДИНАМИКА

а) если начальная скорость v

направлена вертикально, то движение

прямолинейное;

б) если начальная скорость v

направлена горизонтально, то тело бу-

дет двигаться по параболе,

в) если v

направлена горизонтально и v

= v

=7,9 км/с, то тело стано-

вится искусственным спутником Земли и движется по круговой орби-

те. Роль центростремительного ускорения выполняет ускорение сво-

бодного падения:

Земли

ag R==v .

Отсюда найдем первую космическую скорость:

Земли

7,9Rgv =⋅= км/с.

Так как спутник свободно падает, в нем наблюдается невесомость.

♦

Импульс

, кг м/с — мера количества поступательного дви-

жения тела

m= v

♦

Второй закон Ньютона (основной закон динамики).

Скорость изменения импульса тела в инерциальной системе от-

счета равна силе, приложенной к телу.

1 следствие. Если масса тела не меняется

mma

⋅=⇒

ma=

2 следствие. Если равнодействующая сила равна нулю, то им-

пульс тела не меняется:

const

♦ Закон изменения количества движения.

, dP Fdt

⇒

PFdt−=

∫

rr r

, где

∫

— импульс силы за время

tt t

−

=Δ .

Изменение импульса (количества движения) за время

равно

импульсу силы за это же время.

ДИНАМИКА

♦ Третий закон Ньютона.

При взаимодействии двух тел возникают силы,

равные по величине, направленные в противо-

положные стороны вдоль одной прямой и при-

ложенные к разным телам (рис. 15)

12 21

F=−

2.3. Сохраняющиеся величины

♦ Внутренними силами механической системы тел называются

силы, действующие между телами этой системы:

— внутренняя сила, действующая на i-ую частицу со стороны

j-ой.

Внешние силы описывают действие на систему других тел:

— равнодействующая внешних сил, действующая на i-ую час-

тицу.

♦ Система тел называется замкнутой, если она включает в се-

бя все взаимодействующие тела или равнодействующая внешних

сил и их моментов равна нулю. В случае замкнутой системы

суммарные (интегральные) ее характеристики могут быть изме-

нены только свойствами пространства и времени. Неизменность

этих свойств приводит к сохранению интегральных характеристик.

♦ Основными свойствами пространства и времени в инерци-

альных системах отсчета являются:

1) однородность пространства — равнозначность всех его точек

— приводит к закону сохранения импульса механической сис-

темы;

2) однородность времени приводит к закону сохранения энергии;

3) изотропность пространства — равнозначность всех направле-

ний — приводит к закону сохранения момента импульса.

2.4. Закон сохранения импульса механической системы

♦ Импульсом системы из N материальных точек, обладающих

массами

и скоростями

, называется векторная сумма

Pm=

∑

Рис. 15

ДИНАМИКА

Вывод закона изменения импульса механической системы.

Рассмотрим систему из

материальных точек, на каждую из

которых действуют внутренние силы

и внешняя

Запишем для каждой из них второй закон Ньютона:

ij i

≠

∑

(

)

Ni ,...,2,1

Сложим все

уравнений

NNNN

ij i

ijii

≠

∑

∑∑ ∑

По третьему закону Ньютона

ij ji

−

, поэтому

iji

≠

∑∑

Таким образом,

(

)

NN N

ii i

dt dt

⇒=⇒

∑

∑∑ ∑

Закон изменения импульса механической системы.

∑

Скорость изменения импульса системы материальных точек рав-

на векторной сумме внешних сил (главному вектору внешних

сил).

♦ Вывод закона сохранения импульса механической системы.

Для замкнутой системы материальных точек результирующая

внешняя сила равна нулю, поэтому:

const

=⇒ =

При любых событиях в замкнутой системе материальных точек

импульс системы не меняется (сохраняется).

2.5. Центр масс (центр инерции)

♦ Центром масс или центром инерции системы из N матери-

альных точек называется точка с радиус–вектором

ii i

rmrm=

∑

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

где ,

— масса и радиус-вектор

-ой материальной точки,

mm=

∑

— масса системы.

♦ Скорость центра масс (инерции):

NNN

iiii

iii

mmmm

== =

∑∑∑

♦ Импульс центра масс (инерции) совпадает с импульсом систе-

мы материальных точек:

ccii

Pm m=⋅ =

∑

♦ Закон движения центра масс.

Из предыдущего ясно что

∑

Таким образом, центр инерции механической системы движется

как материальная точка массой

∑

, на которую действует

сила

∑

(главный вектор сил). Для замкнутой системы тел

центр инерции движется равномерно.

Глава 3

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный инте-

грал. Мощность силы

♦ Работа A , Дж = Н·м, постоянной силы

при прямолиней-

ном перемещении

rΔ

определяется формулой cosAFr

Δα,

где

α — угол между силой и перемещением. Но, что делать, ко-

гда сила меняется в процессе движения, а траектория криволи-

нейна? Для этого определяют

элементарную работу.

♦ Работа при бесконечно малом перемещении dr

, когда можно

считать

const=

, а траекторию — прямолинейной:

cosdA Fdr Fdr F dr F ds

ττ

== α= =

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

где

— скалярное произведение силы и элементарного пере-

мещения,

cosFF

⋅= α — проекция силы на направление дви-

жения,

||ds dr=

— приращение дуговой координаты (путь точки)

за малое время

dt .

♦ Работа при конечном перемещении находится суммированием

(интегрированием) всех элементарных работ вдоль траектории

(рис. 16):

()

AdAFrdr==

∑

∫

()cos ()

rrdr=α

∫

♦ Пример. Работа постоянной силы при прямолинейном движении.

Под действием силы

const=

материальная точка движется

прямолинейно из положения

. Определить работу силы

(рис. 17).

()

AFrdr

∫

⋅

∫

() cos cosFr r F r F r FS=⋅ − =⋅Δ=⋅Δ α⋅=⋅ α⋅⋅

rr r

Рис. 17

const=

const

Рис. 16

()

()rα

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

♦ Графическое вычисление работы

Работу можно представить в

виде интеграла

AFds

∫

поэтому она равна площади

криволинейной трапеции

abs

под кривой ()F s

(рис.

18).

s — дуговая координата мате-

риальной точки, отсчитанная вдоль траектории.

♦ Мощность силы

Мощность

N , Дж/с=Вт — это скорость совершения работы

= .

Мощность силы cos

dA F dr

NFF

dt dt

⋅

== = ⋅⋅= ⋅

⋅v

Мощность силы равна скалярному произведению силы на ско-

рость точки ее приложения.

Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.

3.2.Энергия

— это общая количественная мера движения и взаимодействия

всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчеза-

ет в никуда, а только переходит из одной формы в другую. При

этом может совершаться механическая работа

. Понятие энергии

объединяет все явления в природе.

♦ Кинетическая энергия K, Дж — это запас работы, связанный с

движением тела. Кинетическая энергия, как и скорость, величина

относительная. Ее значение можно изменить выбором системы

отсчета. Для материальной точки:

Рис. 18

dA F ds

+ds