Ваган В.А. и др. Физика. В 3 ч. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Подождите немного. Документ загружается.

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

♦ Основной закон динамики вращательного движения

Перепишем второй закона Ньютона в следующем виде:

(

)

MI I

dt dt

β== =

Введем

LIω=

, кг⋅м

/с — момент импульса тела как меру коли-

чества механического движения при вращении, совпадающий по

направлению с угловой скоростью.

♦ Моментом импульса системы из N тел, обладающих моментами

инерции

I и скоростями

, называется векторная сумма

∑

, Тогда

— основной закон динамики вращательного движения.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна век-

торной сумме внешних моментов сил.

♦ Закон сохранения момента импульса

Если сумма моментов внешних сил равна нулю (замкнутая сис-

тема тел), то в замкнутой системе

тел векторная сумма моментов

импульса тел не

меняется.

Iconst.ω

∑

Закон сохранения момента импульса является следствием изо-

тропности пространства. Например, свободно вращающиеся ма-

ховики (гироскопы, Земля) сохраняют направление оси враще-

ния, так как все направления равнозначны и нет внешних причин

для его изменения.

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.5. ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ

поступательное вращательное

КИНЕМАТИКА

положение тела в пространстве

(м) — радиус-вектор

(рад) — угловая координата

скорость

dr dt=

(м/с) — скорость

ddt

(рад/с) — угловая ско-

рость

ускорение

(м/с

) — ускорение

β = (рад/с

) — угловое ускорение

ДИНАМИКА

мера инертности тел

(кг) — масса

I (кг⋅м

) — момент инерции

мера взаимодействия тел

(Н) — сила

MFh

⋅ (Н⋅м) — момент силы

мера количества механического движения

pmv

= (кг⋅м/с) — импульс

(кг⋅м

/с) — момент импульса

основной закон динамики (второй закон Ньютона)

dP dt=

ma=

MdLdt

⋅

закон сохранения количества движения

mconstv

∑

LI constω

∑

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

элементарная механическая работа

cosdA Fdr α= (Дж) dA Md

(Дж)

мощность

/cosNdAdtF

= v (Вт) /NdAdtMω

=⋅ (Вт)

кинетическая энергия

2Km= v (Дж)

2KI= ω (Дж)

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Глава.5

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

раздел механики, в котором изучается движение тел, чьи скоро-

сти соизмеримы со скоростью света.

5.1. Принцип относительности Галилея

♦ Преобразования Галилея

Рассмотрим преобразования координат материальной точки М и

времени при переходе от одной инерциальной системы к другой

(рис. 29).

Система

′

движется вдоль оси ОХ

инерциальной системы

с постоян-

ной скоростью

uconst

, причем при

координаты точки М совпадают

в обеих системах отсчета

′

. В

классической механике считается, что

время во всех системах отсчета идет одинаково

′

, тогда по-

лучаем связь между координатами т.

М в системах

′

xx ut

′

⇒

rr ut

′

+⋅

′

Это преобразования Галилея, позволяющие переходить в класси-

ческой механике от одной инерциальной системы к другой.

Дифференцируя полученное соотношение

dr dr

dt dt

′

, получа-

ем формулу преобразования скоростей при переходе от одной

инерциальной системы к другой:

′

+vv

Скорость — относительная величина и зависит от выбора систе-

мы отсчета.

Дифференцируя еще раз

(

)

du dt

, получаем:

′

Ускорение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

Следовательно, сила взаимодействия

⋅Fa

будет одинакова в

любой инерциальной системе отсчета. При этом предполагается,

что масса одинакова во всех системах отсчета

′

Рис. 29

′

⋅

′

,xx

′

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Принцип относительности Галилея. Механические явления про-

текают одинаково, а законы механики имеют одинаковый вид в

любой инерциальной системе отсчета.

5.2. Принцип относительности Эйнштейна

♦ В классической механике предполагается, что взаимодействие

между телами осуществляется мгновенно, а, следовательно, вре-

мя во всех системах отсчета идет одинаково

′

. Это допуще-

ние приводит к классическим преобразованиям Галилея. Однако

опыт показывает, что мгновенных взаимодействий не существу-

ет. Значит, есть процесс, осуществляющийся с максимальной

скоростью, быстрее которой материальные объекты двигаться не

могут. Таким процессом является распространение света в ва-

кууме. Его скорость

2,998 10 3 10c

⋅≈⋅

м/с.

♦ Принцип относительности Эйнштейна

Первый постулат

В любых инерциальных системах отсчета все физические явления

при одних и тех же условиях протекают одинаково. Физические

законы имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе

отсчета.

Второй постулат (принцип инвариантности скорости света)

Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света.

Эти постулаты приводят к изменению классических пред-

ставлений о времени и пространстве. На их основе Эйнштейном

была создана релятивистская (относительная) механика процес-

сов, происходящих со скоростями, близкими к скорости света.

Одновременность событий

Допустим, что в центре вагона (т.

), движущегося в системе

отсчета

со скоростью

, вспы-

хивает лампочка (рис. 30).

Событиями здесь являются дости-

жение светом передней (событие

) и задней (событие

) стенок

вагона.

Система

′

связана с вагоном,

поэтому в ней вагон покоится, и

события

происходят одно-

временно как в классической, так и в релятивистской механике. У

Рис. 30

′

,xx

′

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Ньютона события остаются одновременными и в системе

, где

вагон движется, так как скорости движения сигнала «вперед» и

«назад» становятся различными. В релятивистской механике ско-

рость света не зависит от движения источника света, поэтому со-

бытие

происходит раньше, чем событие

5.3. Интервал

♦ Событие в механике определяется координатами и временем,

где и когда оно произошло. Событие изображается

мировой точ-

кой

в четырехмерном пространстве, на осях которого откладыва-

ются

,,,x

zct

. Для простоты будем считать, что

0yz

и в

начальный момент со-

бытие произошло в ми-

ровой точке

0 (рис. 31).

При изменении коор-

динат и времени миро-

вая точка рисует

миро-

вую линию.

Например,

(рис. 31):

1. мировая ли-

ния частицы, покоя-

щейся в точке

;

2. мировая ли-

ния частицы, движу-

щейся равномерно

вдоль оси

x со скоро-

стью

;

3. мировая ли-

ния объекта (например,

фотона), движущегося вдоль оси

со скоростью света

Абсолютно удаленные мировые точки не могут быть причинно

связаны с событием

0, так как для попадания в них из 0 надо дви-

гаться со скоростью, большей скорости света, что невозможно.

Мировые точки, лежащие в конусах «абсолютное прошлое, бу-

дущее» могут быть причинно связаны с событием

, являясь ли-

бо его причиной («абсолютное прошлое»), либо следствием («аб-

солютное будущее»).

ct⋅

абсолютно

удаленные

точки

абсолютное

прошлое

абсолютно

удаленные

точки

Рис. 31

абсолютное

будущее

системаK

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Интервал. Свойства пространства-времени характеризуются ин-

тервалом

— расстоянием между двумя мировыми точками

(событиями):

22 2 2 2

12 2 1 2 1 2 1 2 1

()( )( )( )sctt xx

zz=−−−−−−−

Если

0s ≥

между событиями возможна причинная связь, а если

0s <

— невозможна. Интервал имеет одинаковое значение (т.е.

инвариантен) в любой инерциальной системе отсчета.

5.4. Преобразования Лоренца

Определяют изменение события при переходе от одной инерци-

альной системы к другой.

В системе отсчета

частица движется со скоростью

вдоль

оси 0X. В системе отсчета

′

, связанной с частицей, частица по-

коится и ее мировая линия (рис. 31 линия 2) системы

: станет

осью

′

системы

′

(рис. 32).

Переход от инерциальной сис-

темы

′

(где частица по-

коится) сводится в четырехмер-

ном пространстве к повороту

оси

на угол

(рис.32), при-

чем

tan / /xct utct

== =β

где

/uc

= .

Из геометрических соображений

можно получить преобразования

Лоренца — связь между стары-

ми

,,,xyzt и новыми

,,,xyzt

′

′′′

координатами мировой точки:

(/ )

,,,

xut t uc x

xyyzzt

′′ ′ ′

+⋅ + ⋅

′′

====

−β −β

, или

(/ )

,,,

xut t uc x

xyyzzt

−⋅ − ⋅

′′′′

====

−β −β

Если

, то 0β→ и преобразования Лоренца переходят в

преобразования Галилея. При малых (по сравнению со скоростью

системаK −

xt=⋅v

Рис. 32

′

⋅

ct⋅

системаK

′

−

′

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

света) скоростях релятивистская механика переходит в классиче-

скую.

Дифференцируя преобразования Лоренца по времени, получаем

закон сложения скоростей в релятивистской механике:

xyz

222

xxx

1/ 1/ 1/

uc uc uc

′

−β

′

−

===

′′′

+++

vvv

 Например:

(/ )

dx u dt dt u c dx

dx dt

′

′′ ′

⋅+⋅

−β −β

22 2

(/ ) 1 (/ ) 1 /

dx dx u dt dt

dt dt

dt u c dx u c u c

′

′′ ′

+⋅

== = ⋅=

′

′′ ′ ′

+⋅+⋅ +

При uc

< они дают закон сложения скоростей классической

механики Ньютона:

′

+vv

rr r

♦ Лоренцево сокращение длины

Из преобразований Лоренца сле-

дует, что линейный размер тела,

движущегося относительно инер-

циальной системы отсчета

со

скоростью

, уменьшается в на-

правлении движения

. В направле-

ниях, перпендикулярных движе-

нию, размеры тела не меняются.

Свяжем с движущимся стержнем

систему отсчета

′

(рис. 33):

()

021 21

/1lxx xx

′′

=−= − −β=

/1 1lll

−

β⇒ = −β

где

— наибольшая длина стержня (в системе

′

, где стержень

покоится),

— длина стержня в системе отсчета

♦ Замедление времени

События, происходящие в одной точке системы

′

с интервалом

021

′′

τ= −

, в системе

происходят в разных точках на расстоя-

нии

xxu

−

=⋅τ

, где

=−

— интервал времени между

событиями в системе

Рис. 33

′

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Из преобразований Лоренца следует, что

τ=

−

Промежутки времени, измеряемые часами, движущимися вместе

с объектом, называются

собственным временем этого объекта.

Неподвижные часы (

τ ) идут быстрее движущихся (

). Все про-

цессы в движущейся системе протекают медленнее, чем в непод-

вижной (подтверждаются экспериментально).

5.5. Релятивистская динамика

♦ Импульс. Из принципа относительности следует, что запись

любого закона физики должна быть одинакова (инвариантна) во

всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в релятивистской

динамике импульс является нелинейной функцией скорости час-

тицы

22 2

1/ 1

−

−β

Только в этом случае

основное уравнение релятивистской дина-

мики

остается инвариантным относительно инерциальных сис-

тем.

⎛⎞

⎜⎟

−

⎝⎠

или

♦ Масса. Новое определение импульса иногда трактуют, как

изменение массы движущегося тела:

1/mm c=−v

, где

m — масса покоя. При приближении к скорости света его масса

неограниченно увеличивается, неограниченно растет инерт-

ность и энергия необходимая для увеличения скорости, поэтому

объекты, имеющие массу покоя, не могут двигаться со скорость

света.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

♦ Релятивистская энергия тела определяется формулой

2222

mc c mc=−=v

и неограниченно возрастает при

c→v .

Эта формула определяет взаимосвязь массы и энергии. Масса —

мера энергии заключенной в телах. Если меняется энергия тела,

меняется его масса.

mc= можно трактовать, как полную внутреннюю энергию

тела, а

KEE=−

как его кинетическую энергию.

 Вывод релятивистской энергии тела.

Энергия тела растет за счет работы внешней силы dE dA

. Тогда,

dp dr

dE Fdr dr dp dp md dm m d dm

dt dt

=====

vv(v+v)=vv++v

r r rrrr rr

dE dm d

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

vv v

, так как

()

−

, то

()()

12 32

22 22 2

1/ 1/

mmd

dm d

ccc

⎛⎞

⎜⎟

−−

⎝⎠

Подставляя, получаем

()

22 2

222 2 2 2 2 2

md c c

dE dm

md c

dm c c dm c c dm

⎛⎞

−

⎜⎟

=+=

⎜⎟

−

⎝⎠

=− +=−+=

vv v

vv vv

cdm E mc=⇒=

∫

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Глава 6.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.1. Основные понятия

♦ Колебаниями называются процессы в той или иной степени

повторяющиеся во времени.

Периодическими называются колебания, при которых значения

физических величин повторяются через равные промежутки вре-

мени.

Период колебаний T , с — время одного полного колебания.

Частота ν , Гц — количество полных колебаний, совершаемых

за единицу времени.

1/Tν

Циклическая ( круговая) частота

, рад/с — количество полных

колебаний за

2π секунд. 22/T

πν π

= .

Гармонические колебания — это процессы, в которых физические

величины меняются по гармоническому закону (рис. 34):

(

)

(

)

sinAt A t

ϕ=+.

A — амплитуда колебаний —

максимальное значение колеб-

лющейся величины

A . Напри-

мер, наибольшее отклонение

маятника

x , наибольшая

скорость и ускорение маятни-

ка

(

)

,av .

(

)

ωϕ=+ — фаза колеба-

ний — определяет значение A

в данный момент времени,

ϕ — начальная фаза колебаний — определяет состояние систе-

мы в момент старта колебаний.

В механике колебания осуществляются

маятниками (осциллято-

рами

) — любыми телами, колеблющимися вблизи положения

равновесия.

Рис. 34

-фаза

2π

/2T

армонические коле

ания.

Начальная фаза

0ϕ=