Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 6. Модели иерархического управления 211

Сценарий 7.

Этот сценарий показывает, что неограниченное увеличение емкости

курорта недопустимо. Качество среды резко снижается до нуля, что при-

водит к потере аттрактивности и большим затратам на очистку. Первона-

чально высокий доход быстро сменяется значительными убытками.

Сценарий 8.

Во многом аналогичен предыдущему. Меньшие потери обусловлены

меньшим количеством вводимых объектов.

Группа сценариев 9.

Результаты показывают, что при практически одинаковой нагрузке на

природную среду предпочтительнее строительство гостиниц, рассчитан-

ных на рекреантов со средним уровнем доходов.

Сценарий 10.

Резкое снижение качества среды приводит к столь же резкому сниже-

нию численности рекреантов и большим затратам на очистку.

Сценарий 11.

При строительстве большого числа объектов на пятом году критиче-

ское ухудшение среды находится за пределами рассматриваемого перио-

да планирования.

Теперь рассмотрим задачи иерархического управления качеством вод-

ных объектов на примере речных водохозяйственных систем (Угольниц-

кий и Усов 2005, 2007а-в, 2008, 2009, Усов 2006, Ougolnitsky and Usov 2009).

Пусть вдоль реки расположено N производственных предприятий (ПП),

которые сбрасывают загрязняющие вещества (ЗВ) в реку вместе со сточ-

ными водами. Сбрасываемые ЗВ условно делятся на углерод- и азотсо-

держащие. ПП платят штрафы за сброс загрязнений в водоток.

Заметим, что плата за сброс загрязняющих веществ в водоток явля-

ется неналоговым доходом бюджетов различных уровней. Нормативы

распределения штрафа по бюджетам различных уровней определяются

Бюджетным кодексом РФ, то есть федеральным центром. Федеральный

центр можно трактовать как субъект управления верхнего уровня и счи-

тать, что он определяет, какая доля штрафа за сброс загрязнений посту-

пает к субъектам управления среднего уровня (органам субъектов управ-

ления РФ — ОУ). Органы субъектов управления РФ (ОУ) могут влиять

на величину штрафов для отдельных налогоплательщиков (ПП), то есть

определяют для них величины платы за сброс загрязнений и минимально

допустимые степени очистки сточных вод. ПП рассматриваются в качест-

ве субъектов управления нижнего уровня. Таким образом, изучаются ие-

рархические трехуровневые системы управления качеством речной воды,

212 Иерархическое управление устойчивым развитием

которые включают в себя источники воздействия верхнего (федеральный

центр — ФЦ), среднего (органы субъектов управления РФ — ОУ), нижне-

го (промышленные предприятия — ПП) уровней и иерархически управ-

ляемую динамическую систему (ИУДС или водоток). Взаимоотношения

между элементами исследуемой системы показаны на рис. 6.2.6.

В системе предполагается наличие обратной связи: информация о те-

кущем состоянии ИУДС поступает ко всем субъектам управления. ФЦ

поддерживает условия гомеостаза для ИУДС и осуществляет как непо-

средственное, так и опосредованное воздействие на ИУДС, которое со-

стоит в определении того, какая часть средств, полученных с ПП в виде

платы за сброс загрязнений в водоток, поступает к ОУ.

Задача ФЦ состоит в том, чтобы создать условия, при которых ОУ

и, как следствие, ПП выгодно, максимизируя поступающие к ним сред-

ства, придерживаться установленных стандартов качества речной и сточ-

ных вод (условие гомеостаза). Добиться этого ФЦ может неединственным

образом, поэтому кроме поддержания гомеостаза ИУДС он стремится

к определению оптимальных (в смысле объема получаемых средств) нор-

Рис. 6.2.6. Трехуровневая система управления качеством воды

Ɏɐ

Ɉɍ

ɉɉ

ɂɍȾɋ

Глава 6. Модели иерархического управления 213

мативов распределения штрафа по бюджетам различных уровней, то есть

к максимизации целевой функции вида

JCyyHFTPW

HF T

ФФcni

=- +

{

(

(, ) ( )( )

()

(() max

)

}



{}

PW dt H

(6.2.38)

Здесь

yPW

()

;

k = c,n; t — временная координата;

T FT

(())

— размер (функция) платы за единицу сброшенных углеро-

до- (k = c) и азотосодержащих (k = n) загрязняющих веществ на i-м ПП

в момент времени t;

WPW

()1-

()

– количество ЗВ (k = c,n), сбрасы-

ваемых в реку до (после) очистки сточных вод в единицу времени;

()

—

доля ЗВ, удаляемых на i-м ПП в процессе очистки сточных вод;

— мо-

мент времени, до которого ведется рассмотрение; H

c,n

(t) — доля платы

ПП за сброс загрязнений в водоток, остающаяся у ФЦ в момент времени

t; C

— функция затрат ФЦ на очистку речной воды.

ОУ стремятся к максимизации средств, поступающих к ним от ПП

в виде платы за сброс загрязнений, их целевая функция имеет вид

JCyy HFTPW

уocn i

=- +

{

(

(, ) ( ) ( )( )

()

FFT PW dt T q

()( ) max ;

)

}



{}

(6.2.39)

где C

— функция затрат ОУ на улучшение качества речной воды; q

—

минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП, которые

входят в состав ограничений на управления ПП. В функциях C

и C

от-

ражены материальные потери общества и регионов из-за загрязненной

воды (затраты на устройство новых мест отдыха в других регионах, допол-

нительные расходы по очистке речной воды для потребительских нужд

населения и т. п.).

Цель ПП — максимизация своей прибыли, то есть

JzRФCPWFTPW

CPW

iiiip

=---

{

() () ()( )

()

FT PW dt P--

)

}



{}

()( ) max

(6.2.40)

214 Иерархическое управление устойчивым развитием

Здесь

()

— функции затрат i-го ПП на очистку единицы сбрасы-

ваемых загрязнений (k=c,n); Ф

— производственные фонды;

RФ

()

—

производственная функция i-го ПП; z

(t) — прибыль ПП от реализации

единицы продукции в момент времени t.

Динамика изменения производственных фондов i-го предприятия

описывается уравнением

dФ

kФ Y Ф Ф

ii i

=- + = =,()0

const.

(6.2.41)

Здесь

— коэффициент амортизации производственных фондов;

— инвестиции, которые можно считать как постоянной величиной, так

и переменной, зависящей от полученной ПП прибыли.

Пусть общее количество сбрасываемых ЗВ (до очистки) зависит от ко-

личества произведенной на ПП продукции линейно и их производствен-

ные функции имеют вид (i = 1,...,N)

WRФRФФ const

ii ii ii ii

===bggb(), () ; , .

.05

(6.2.42)

Основные характеристики качества речной воды — концентрации

углеродного и азотного биохимического потребления кислорода

(, )BB

и концентрация растворенного в воде кислорода

()B

в случае простран-

ственной неоднородности только вдоль русла реки описываются следую-

щими уравнениями:

xAx

()(())

;;,;kcn=

(6.2.43)

-+ -

xAt

kB k B B

oнас

[

xt F F F(,)] ,+--

012

(6.2.44)

где x – пространственная координата;

0 ££xL;

L — длина реки; E —

коэффициент дисперсии; A — площадь поперечного сечения реки;

—

скорость воды в реке;

kB kB

— изменение во времени биохимического

потребления кислорода из-за распада;

kB B

нас

— добавка растворен-

ного кислорода вследствие реаэрации;

нас

— концентрация насыщения

кислорода; F

— добавка вследствие фотосинтеза; F

— потребление рас-

творенного кислорода на дыхание; F

— придонное потребление раство-

ренного кислорода.

Глава 6. Модели иерархического управления 215

Функции

(),()WP

kk00

отражают наличие источников поступления ЗВ

в водоток и определяются формулами

()(,)

, ; , ,...,

(),

;Pxt

xxi N

012

¹=

если

впротивномслучае

íí

=knc,;

()(,)

, ; , ,...,

(),

Wxt

xxi N

012

¹=

если

впротивном случае

ïï

В точках x

расположены ПП

( , ,..., ).iN=12

Задачи (6.2.38)-(6.2.40) решаются при ограничениях на управления

( , ,..., ; ; , )iNtkcn=££=12 0 D

£<-1 e;

(6.2.45)

010£<- £ £qTT

e;;

max

(6.2.46)

0101££ ££HH

(6.2.47)

где значение величины

определяется технологическими возможно-

стями ПП по очистке сточных вод; значения

max

заданы.

Известны государственные стандарты на концентрации ЗВ

в водотоке,

на концентрацию растворенного в воде кислорода

()0 ££t D

0 ££ £ =BB B Bkcn

kk o o

max min

,;,;

(6.2.48)

и качество сточной воды, сбрасываемой в водоток

()0 ££t D

Wt Pt Wt Pt

()[ ()] ()[ ()]

()

max

-+ -

(6.2.49)

где

()

— расход воды на i-м ПП в момент времени t; величины

BBQ

max min max

— заданы.

Исследуется модель, описываемая системой уравнений и неравенств

(6.2.38)–(6.2.49). Задача поставлена корректно, если ФЦ имеет в своих

руках достаточные экономические рычаги воздействия на ОУ, то есть

величины

cn,

делают для ОУ экономически выгодными стратегии,

позволяющие выполнить условия (6.2.48), (6.2.49) при оптимальных ре-

акциях ПП. Рассмотрим различные методы иерархического управления

(принуждение, побуждение, убеждение), отличающиеся друг от друга

направлением воздействия (на целевую функцию или на область допус-

тимых управлений).

В случае принуждения ОУ воздействуют на область допустимых управ-

лений ПП, выбирая минимально допустимые степени очистки сточных

216 Иерархическое управление устойчивым развитием

вод. Величина платы за сброс загрязнений при этом остается постоян-

ной.

Алгоритм построения равновесия принуждения

1) В результате минимизации (6.2.40) с ограничениями (6.2.45) опре-

деляются оптимальные стратегии ПП в зависимости от управлений ОУ

( ) ( , ) , ,..., ; , .

PTqi Nkcn

==12

2) Найденные в пункте 1 алгоритма оптимальные стратегии ПП под-

ставляются в (6.2.39). После этого проводится максимизация критерия

(6.2.39) по величинам

qknc

{}

при фиксированных величинах

Ti Nk nc

( , ,..., ; , )==12

с ограничениями (6.2.46). В результате определя-

ются оптимальные управления ОУ в зависимости от стратегии ФЦ

( ) ( ) , ,..., ; , .

qH i Nkcn

==12

3) Максимизируется критерий (6.2.38), в который подставляются

найденные на предыдущих шагах алгоритма функции с ограничениями

(6.2.47). Оптимальными для ФЦ являются величины

Hk cn

(,),=

при-

носящие ему максимальный доход при выполненных условиях (6.2.48),

(6.2.49).

4) Равновесие принуждения определим, как набор величин

HqP knc

()()()

{}

,, ; ,,

где

() ()(( ));( ) ( )((), ).

qqHPPqT

Равновесия принуждения в общем случае определяются с помощью

численных расчетов.

Пусть

CY D

Cxy CxCy

() ; (,) ;=

(6.2.50)

Cxy Cx CyFT ATDCC constk cn

k k kkk

(,) ; ( ) ; , , ; ,.=+ = = =

22 12

Если

DFTi Nknc

<= =( ); , ,..., ; , ,12

то критические стратегии ФЦ,

ОУ, ПП определяются равенствами (k = n,c)

() ;Pq

()

() ()

11=- <-если

Глава 6. Модели иерархического управления 217

() ;()

()

;HH

1==-

() ;()

()

11=- =-e

Тогда, если

e <

FT C C

FT C

kkk

()

; , ,...,

и стандарты качества выполняются при

knci Nt

=- = = Î1120

()

; , ; , ,..., ; [ , ],D

то равновесие принуждения определяется равенствами

() /() ;()()

()

HCFTqP

=- - = =-11

(6.2.51)

В противных случаях, по крайней мере, в какой-то момент времени

выполняются равенства

() ;()() ; ,.

HqP knc

===-=11e

(6.2.55)

Если

DFTi Nknc

>= =( ); , ,..., ; , ,12

то критические стратегии ФЦ,

ОУ, ПП определяются равенствами

Pqq q H knc

()

==-===

101;( ) ;( ) ;( ) ; ,e

()

--e

Тогда, если (k = n, c)

e <

-++

FT C C

FT C

kkk

()

; , ,...,

и стандарты качества выполняются при

Pknci Nt

== = Î0120;,;,,...,;[,],D

то равновесие принуждения определяется равенствами

() /() ()() .

;* *

HCFTqP

=- - = =10

В противных случаях, по крайней мере, в некоторый момент времени

выполняются равенства (6.2.52).

218 Иерархическое управление устойчивым развитием

Пример 1. Исследуем модель (6.2.38) — (6.2.49) в случае (6.2.50), для

следующего набора входных данных (у.е. — стоимость; сут — сутки; м–

метр; мг — миллиграмм; л — литр)

ii i

kQFTT== = =02 0001 10 05

..; ;().;у.е.;

сут

TTуеFTTiAм

== ===20 50 2 1 2 100

у.е.; ;..; ( ) ; ,;

max

.;.;.;== =1000 0 003 0 003у.е

мг

сут у.е.

мг

сут у.е.

Bx BLt B t N L

ooo

(,) (,) (,) ; ;00102100=== ==

мг

м;

Bx BLt B t Ф E(,) (,) (,) ; ; ;0 0 5 10 24000

=== ==

мг

сут

CCC

ncc

112

60 40 30===

сут у.е.

мг

сут у.е.

мг

сут у.е.

мг

;;;

YB B C

iнас

== ==0181470

у.е

мг

сут у.е.

мг

.; ; ; ;

max

BFFF x Q

min max

;;;.;.;==== == =4 0 20 0 001 0 4

012 1

мг

лсут

м e

vkkx

xcn

== = = =01 365 003

001

.; ; . ; . ;

сут

сут сут

м;D

zz k

o12

30 0 2

== ===

сут сут

D5;D ;

сут

;; .;

Равновесие принуждения определяется формулами (6.2.52), причем

Фy

==-⋅473 1 6 10

у.е.; у.е..;

2310 2510=- ⋅ =- ⋅.;.у.е. у.е.

Стандарты качества речных и сточных вод в этом случае удается выпол-

нить, но ПП и ОУ терпят убытки. Экономическая эффективность метода

принуждения для всей системы в этом примере минимальна.

Глава 6. Модели иерархического управления 219

Пример 2. В случае входных данных примера 1 и

TуеTуеi

===333 100 1 2.; . ; ,

равновесие принуждения определяется формулами (6.2.52) для вели-

чин, связанных с углеродосодержащими загрязняющими веществами,

и (6.2.51) — с азотосодержащими загрязняющими веществами (i = 1, 2)

( ) ;( ) . ;( ) ( ) . ;

HH qP

== ==1 0 8948 0 999

() ( ) . ; .

qP J

== =⋅09134 647610

у.е.;

JJ J

=⋅ =- ⋅ =-⋅1 16 10 2 034 10 2 14 10

..;. ;.у.е у.е. у.е.

Возможности ОУ в данном примере возросли по сравнению с приме-

ром 1. Как следствие, вырос доход ОУ, но экономическая эффективность

принуждения для системы в целом и в этом случае невелика.

Пример 3. В случае входных данных примера 2 и

Tуеi

==390 1 2.; ,

равновесие принуждения определяется формулами (6.2.51) (i = 1, 2)

().;().;()().;

HHqP

====0 8461 0 8948 0 6078

() ( ) . ; .

qP J

== =⋅0 9134 1 65 10

у.е.;

JJуеJ

=- ⋅ = ⋅ = ⋅6 17 10 5 16 10 4 1 10

..;...;.у.е у.е.

Этот пример показывает, что дальнейший рост возможностей ОУ

приводит к изменению оптимальных стратегий ПП и росту доходов всех

субъектов управления (кроме ОУ) по сравнению с примером 2. Исполь-

зование метода принуждения в этом случае становится экономически

выгодным для системы в целом.

Пример 4. В случае входных данных примера 3 и

i==008 12.;,

мг

сут у.е.

получим, что

( ) ;( ) . ;( ) ( ) . ;

HH qP

== ==1 0 8948 0 999

() ( ) . ; .

qP J

== =⋅0 9134 7 09 10

у.е.;

JJJ

=- ⋅ =- ⋅ =- ⋅2 76 10 5 06 10 5 1 10

..;. ;.у.е у.е. у.е.

220 Иерархическое управление устойчивым развитием

В этом примере рост интенсивности сброса загрязняющих веществ по

сравнению с предыдущими примерами приводит к увеличению убытков

всей системы в целом для принуждения. Экономическая эффективность

метода принуждения и в этом случае минимальна.

Пример 5. В случае входных данных примера 1 и

TT iC

====510123

у.е.; у.е.;

сут у.е.

мг

,; ;

CCC

ncc

112

212===

сут у.е.

мг

сут у.е.

мг

сут у.е.

мг

;;;

имеем, что

( ) .;( ) .;( ) ( ) ;

HH qP

====06 07 0

() ( ) . ; .

qP J

== =⋅0 2929 5 909 10

у.е.;

JJ J

=⋅ = ⋅ = ⋅2 9 10 5 33 10 4 26 10

..;. ;.у.е у.е. у.е.

При уменьшении возможностей ОУ по сравнению с примером 1 мо-

жет наблюдаться рост доходов всех субъектов управления, в том числе

и ОУ. Примеры 1–5 иллюстрируют противоречивую роль ОУ, показы-

вают экономическую необоснованность в ряде случаев присутствия ОУ

в системе управления.

Пример 6. В случае входных данных примера 1 и

TT iFTTFTT

cnс

==== =150 100 1 2 0 5 2

у.е.; у.е.; , ; ( ) . ; ( ) ;

CCFTT

nтc

21 2

20 10=

⋅

сут у.е.

мг

сут у.е.

мг

;;();

⋅

=006 0025 12.;. ;,

мг

сут у.е.

мг

сут у.е.

равновесие принуждения определяется формулами (6.2.51), кроме

величин, связанных с углеродосодержащими ЗВ на втором предприятии

в некоторый момент времени t

()*. ;()*. ;()*.;()*.;HHHH

CnCn

1122

0 8499 0 9332 0 7 0 733====

().;().;()().;

****

qPqP

сссс

11 22

0 6127 0 6127 0 4522====

() ( ) . ;() . ;( ) . ;

** * *

qP q P

nn n n

11 2 2

0 8709 0 7418 0 7418== = =