Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 6. Модели иерархического управления 241

ставки; d

— жёсткость q-коррупции, т. е. величина благосклонности Ве-

дущего по отношению к Ведомому применительно к расширению области

гомеостаза; β

— доля от ожидаемых доходов Ведомого, направленная на

незаконное изменение налоговой ставки (является управлением Ведомо-

го); β

— доля от ожидаемых доходов Ведомого, направленная на увели-

чение квот (является управлением Ведомого); c

— доходность сделки для

Ведущего на единицу добытого Ведомым ресурса; k

— технологический

коэффициент использования ресурса для Ведущего.

Задачей Ведомого является добыча ресурса в пределах установленных

ведущим квот и оплата налога на добычу. Однако Ведомый также может

дополнительно максимизировать свой доход, предложив Ведущему в ка-

честве взятки некоторую часть своего ожидаемого дохода.

Задача Ведомого:

Jc pu

=- --

()( )max.

(6.3.44)

Выражения (6.3.32)–(6.3.41) являются общими как для задачи Веду-

щего, так и для задачи Ведомого. Параметры u, p, p

, q, q

, γ, σ, d

, d

, β

и ограничения (6.3.32)–(6.3.41) в задаче Ведомого имеют тот же смысл,

что и в задаче Ведущего. Кроме того, дополнительные параметры в задаче

Ведомого имеют следующий смысл: c

— доходность сделки для Ведомо-

го на единицу добытого ресурса с учётом издержек на его добычу и пе-

реработку; k

— технологический коэффициент использования ресурса

для Ведомого.

На первом этапе исследования модели было найдено аналитическое

решение задачи нелинейной оптимизации (6.3.32)–(6.3.41), (6.3.44) для

идентификации областей реакции Ведомого, а также с целью поиска оп-

тимальных значений параметров управления Ведомого для каждого из

классов найденных областей. Параметры управления Ведущего в зада-

че (6.3.32)–(6.3.41),(6.3.44) рассматривались как свободные, поскольку,

согласно устройству модели, Ведомый не может иметь на них прямого

воздействия.

По мере решения задачи и анализа реакций, а также стратегий оп-

тимального поведения был проведён поиск и группировка сходных

элементов в полученных формулах, результатом чего явилось выявле-

ние параметра, позволяющего описать жёсткость коррупции для мо-

дели, включающей в себя более одного вида взяток. Вышеуказанный

параметр был назван индикатором сводной относительной жёсткости

(ИСОЖ). В случае присутствия в модели двух взяток он имеет сле-

дующий вид:

242 Иерархическое управление устойчивым развитием

=- - Î-111

[,].

(6.3.45)

При дальнейшем поиске и выявлении схожих компонентов с помощью

ИСОЖ в модели (6.3.31)–(6.3.44) жёсткость коррупции была ранжиро-

вана согласно следующей шкале, градации которой обобщают понятия

попустительства и вымогательства:

«Мягкая»

<=> = I

«Полумягкая»

<=> Î I

(,);01

«Умеренная»

<=> = I

«Полужёсткая»

<=> Î - I

(,);10

«Жёсткая»

<=> =- I

Данная шкала позволяет соотнести численные значения параметров

жёсткости и эффективности для каждого из подвидов коррупции с ме-

рой общего усложнения работы Ведомого вследствие устанавливаемых

Ведущим барьеров.

При дальнейшем анализе модели была найдена функция-критерий,

позволяющая выделить и охарактеризовать области реакции Ведомого,

названная «функцией характеристик реакций» (ФХР или RCF). Она име-

ет следующий вид:

RCF p q I

(,) .=+

-11

Значения ФХР с учётом знака вспомогательного выражения

Iak

RCF

=-gs

названного «уточняющим индикатором ФХР», однозначно определяют

реакцию Ведомого.

При решении оптимизационной задачи (6.3.32)–(6.3.41),(6.3.44) были

выделены пять областей, существенно различных по реакции Ведомого.

Области, обеспечивающие выбор различных видов поведения Ведущего,

представляют собой пересечение прямоугольника (p,q)

[0,1]

[1–a,1]

в осях p и (1–q) и набора полуплоскостей, образуемых параллельными

прямыми, описываемыми следующими системами неравенств:

I =<RCF p q(,) ;0

(6.3.46)

II =

££

RCF p q

(,)

()

;

(6.3.47)

Глава 6. Модели иерархического управления 243

III =

££

RCF p q

(,)

()

(,)

;

(6.3.48)

IV =

RCF p q

(,)

()

(,)

ïï

;

(6.3.49)

V =

()

RCF p q

(,)

;

(6.3.50)

При любом заданном наборе экзогенных параметров области любого

из видов не пересекаются, а их совокупность покрывает прямоугольник

(p,q)

[0,1]

[1–a,1]. Установлено, что дополнительным условием непус-

тоты областей видов II и III является знак выражения (6.3.33), однако од-

новременно обе эти области существовать не могут. Доказано, что при лю-

бом фиксированном наборе экзогенных параметров одновременно могут

существовать области не менее одного, но не более четырёх видов.

Для каждого из видов областей (6.3.46)–(6.3.50) определены оптималь-

ные стратегии субъектов взаимодействия. Стратегии-взятки Ведомого над

соответствующими видами областей выглядят следующим образом:

÷÷

при

(,) ;pq Î I

;

pII

qII

()

(

11-+

)

при

(,) ;pq ÎII

244 Иерархическое управление устойчивым развитием

pIII

qIII

-* +

при

(,) ;pq ÎIII

pIV

qIV

()

÷÷

при

(,) ;pq ÎIV

qad

()

-- +

÷÷

при

(,) ,pq Î V

где

Apd

=- -1;

Cqd

=--1.

Оптимальные значения целевых функций при выборе Ведомым стра-

тегий из областей видов I–V соответственно равны:

= 0;

= 0

при

(,) .pq Î I

При выборе Ведущим управления, попадающего в область вида I,

оба субъекта получают нулевой доход, поскольку Ведомому становится

невыгодно добывать ресурс. В данном случае оказывает влияние значи-

тельная неблагосклонность Ведущего. Последнему требуется давать взят-

ку лишь для того, чтобы повысить благосклонность Ведущего до мини-

мально приемлемого уровня и получить право добывать ресурс (будем

считать, что Ведущий лишает Ведомого такого права, пытаясь предло-

жить изначально отрицательную квоту либо налоговую ставку, большую

100 %). Данный вариант управления является крайне невыгодным для

обоих игроков.

RCF p q a

(,)

при

(,) ;pq ÎII

RCF p q

(,) (,) aa

при

(,) .pq Î II

Глава 6. Модели иерархического управления 245

Выбор Ведущим стратегии из области вида II приводит к тому, что

Ведомому становится выгодно максимизировать свой доход в большей

степени из-за увеличения квоты, чем за счёт снижения налоговой став-

ки. Данный эффект наблюдается вследствие того, что благосклонность

Ведущего при распределении квот намного выше, чем соответствую-

щая благосклонность при сборе налогов. Настоящий вариант управле-

ния является относительно выгодным для Ведущего, поскольку он га-

рантированно получает положительный доход. Доход Ведомого также

положителен.

= 0

при

(,) ;pq ÎIII

Jc qd

=--

при

(,) .pq ÎIII

При выборе Ведущим стратегии из области вида III Ведомому выгод-

нее давать взятку для полного освобождения от налогов, чем доплачи-

вать за увеличение квот вследствие чрезвычайно высокой благосклон-

ности Ведущего применительно к назначению налоговой ставки, но не

квот. Данное управление является невыгодным для Ведущего, поскольку

освобождение Ведомого от налога на изъятие ресурса приносит первому

нулевой доход.

g()

при

(,) ;pq ÎIV

Jck

()

при

(,) .pq Î IV

Доказано, что выбор стратегии из данного множества управлений даёт

Ведущему глобальный максимум целевой функции при выполнении ог-

раничений (6.3.33)–(6.3.44). Вместе с этим, оказывают влияние условия

существования области, описываемые системой неравенств (6.3.37). Не-

сложно найти набор экзогенных параметров, при котором область вида

IV будет пустой.

= 0

при

(,) ;pq Î V

JcIa

Fpq

при

(,) .pq Î V

Если Ведущий выбирает управление из множества вида V, Ведомый

приобретает полное освобождение от налогов, а также квоту, расши-

ренную до максимально возможной величины a. Данный эффект име-

ет место вследствие чрезвычайно высокой благосклонности Ведущего

применительно к обоим видам управления при одновременном нали-

чии высоких эффективностей обоих видов коррупции. Данный вари-

ант управления является наиболее благоприятным для Ведомого, одна-

ко Ведущий будет придерживаться такого рода стратегии только в том

случае, если области видов II и IV в его управлении будут пустыми,

246 Иерархическое управление устойчивым развитием

поскольку при выборе управления из этой области Ведущий также по-

лучает нулевой доход.

Предпочтительность выбора управлений Ведущим согласно классам

реакции Ведомого выглядит следующим образом:

1) область вида IV (если она не пуста);

2) область вида II (если она не пуста, но область вида IV пуста);

3) области любого из видов I, III, V если области вида II и IV пусты.

Следует также заметить, что выбор управлений из соответствующих

областей может быть осуществлён в случае их непустоты, определяемой

наличием хотя бы одной стратегии Ведущего (p

), для которой имеется

значение функции RCF(p

), удовлетворяющее соответствующему на-

бору неравенств из (6.3.34)–(6.3.38), на что существенное влияние ока-

зывает набор значений экзогенных параметров. Следует подчеркнуть,

что при любом наборе экзогенных параметров области не менее одного,

но не более четырёх видов являются непустыми. Следовательно, общий

набор стратегий Ведущего всегда является непустым множеством. Одна-

ко выбор максимально выгодной для него стратегии не всегда возможен,

как, например, в случае пустоты области вида IV. Более того, над облас-

тями видов III и V Ведомый получает ненулевой доход, в результате чего

при выдвижении дополнительного предположения о благосклонности

Ведущего относительно Ведомого в нейтральных ситуациях, первый мо-

жет дополнительно как минимизировать, так и максимизировать доход

Ведомого.

Рассмотрим в качестве примера модель (6.3.31)–(6.3.44) при следую-

щем наборе параметров: γ=1.63; σ=0.171; d

=0.488; d

=0.145; a=0.3; c

=1;

=1; k

=1. В этом случае значение ИСОЖ

=- - =-1

0488

163

0145

0171

015

что позволяет отнести сводную жёсткость коррупции в модели к классу

«полужёсткая». Данный класс жёсткости характеризуется общей умерен-

ной неблагосклонностью Ведущего.

Определим существование областей реакции различных классов:

RCF p q

(,) .

;=- +

015

163

0171

184

()

263

RCF

= 0318..

Согласно (6.3.33) область класса II при данном наборе внешних парамет-

ров является пустой. Кроме того, поскольку максимально возможное зна-

Глава 6. Модели иерархического управления 247

чение RCF над областью управлений Ведущего

RCF(, .) . . ,007 2217 263 »<

область класса V также является пустой. Минимальное значение RCF над

областью управлений Ведущего

RCF(, ) . .11 015 =-

Следовательно, суще-

ствуют непустые области реакции трёх классов: I,III,IV. Оптимальное

управление следует искать среди точек области IV. Действительно, мак-

симизирующей стратегией является точка (1, 0.757), дающая Ведущему

выигрыш в размере

..= 0304

Частные величины жёсткостей для нало-

гов и квот соответственно равны

=0.3;

=0.85, что побуждает Ведо-

мого покупать снижение налогов в значительно больших масштабах, чем

дополнительную часть квоты. Этим пользуется Ведущий, назначающий

начальную ставку налога в размере 100 % и вымогающий взятку за её сни-

жение. В итоге Ведомый, отдавая 72.4 % от своего ожидаемого выигрыша,

снижает ставку налога до 31 %. Одновременно с этим Ведущий вследствие

неблагожелательности применительно к распределению квот увеличива-

ет долю ресурса, который будет оставлен в системе, с 0.757 до 0.902, что

оставляет Ведомому максимально возможную квоту для добычи ресурса

в размере 1 – 0.902 = 0.098. Ведомому невыгодно докупать квоту вследст-

вие низкой эффективности и высокой частной жёсткости q-коррупции,

что побуждает его использовать максимально возможное количество ре-

сурса, за которое не нужно давать взятку. В результате, Ведомый реаги-

рует на действия следующей стратегией:

(,,)(. ,,. ),

***

u = 0724 0 0098

что

даёт ему выигрыш в размере

..= 00186

Помимо анализа областей реакции, была проведена оценка примени-

мости используемых методов иерархического управления. В рассмотрен-

ной модели было обнаружено существенное структурное ограничение на

метод побуждения, являющееся следствием взаимозависимости страте-

гий-взяток и параметров-критериев модели. Данное ограничение можно

описать следующим образом.

В модели механизмы побуждения являются неприменимыми, посколь-

ку при использовании Ведомым оптимальных стратегий реакции (6.3.39)–

(6.3.43) реализуется цепочка зависимостей u

(β

)=u

(β

(p))=u

(p),

в результате чего образуется «порочный» круг: Ведущий не может уста-

новить систему поощрений и наказаний p = p(q(u)) применительно к на-

логообложению, поскольку не может чётко определить множество опти-

мальных (для Ведомого) долей изъятия, которое, в свою очередь, зависит

от налоговой ставки, но она должна быть назначена самим Ведущим, при-

чём все вышеуказанные действия должны быть реализованы игроками за

один ход. Аналогичная ситуация реализуется при использовании метода

побуждения применительно к распределению квот, в результате чего при

дальнейшем исследовании модели принцип побуждения был заменён

248 Иерархическое управление устойчивым развитием

принципом принуждения. Данное ограничение можно отнести к клас-

су неустранимых для принятого определения метода побуждения. По-

тенциальным решением указанной проблемы может служить внедрение

в модель механизма манипуляций со стороны Ведущего применительно

к Ведомому либо использование игр Гермейера класса Г

в качестве ба-

зисной модели иерархического взаимодействия.

Итак, получено выражение, названное индикатором сводной относи-

тельной жёсткости (6.3.45), адекватно отражающее совместную жёсткость

множественной коррупции. Найдена функция характеристик реакций,

значения которой однозначно указывают на принадлежность управле-

ния к области реакции соответствующего класса. С помощью ФХР полу-

чены условия существования видов областей реакции. Оценены доходы

игроков для областей реакции каждого найденного вида и указана пред-

почтительность выбора управления Ведущим согласно классификации

его доходов по соответствующему классу реакции. Важным результатом

является обнаружение и формализация структурного ограничения при-

менимости метода побуждения.

Рассмотрим теперь модель распределения ресурсов в иерархической

системе с учетом коррупции (Горбанева и Угольницкий 2009). Рассмат-

ривается двухуровневая древовидная модель управления, состоящая из

экономического Центра и n подчиненных ему подразделений. Центр

имеет некоторое количество ресурсов R, которое необходимо распреде-

лить между Подчиненными. Не исключено, что Центр оставляет часть

ресурсов на собственные цели, и что Подчиненные, в свою очередь, мо-

гут распределить доставшееся им количество ресурсов как на общесис-

темные цели, так и на свои частные цели. Также учтена возможность

влияния Подчиненных на количество распределенных им ресурсов при

помощи механизма коррупции. И Центр, и Подчиненные стремятся

максимизировать свои целевые функции от использования ресурсов J

и J

, i=1,...,n соответственно. Без ограничения общности примем коли-

чество R = 1.

В целевую функцию Центра включаются средства, полученные от ис-

пользования ресурсов Подчиненными в общих целях, средства, получен-

ные от использования оставшихся ресурсов в своих собственных интере-

сах и средства, полученные от Подчиненных в качестве взятки.

Целевая функция Подчиненного состоит из дохода от его деятельно-

сти, направленной на общесистемные цели, и от деятельности, направ-

ленной на свои частные цели. Центр может задать минимальную долю

ресурсов, которую Подчиненный должен потратить на общесистемные

цели.

Математическая модель выглядит следующим образом:

Глава 6. Модели иерархического управления 249

Задача Центра:

JH rb gur brb

iii

ii i

11 1

1=-

++

== =

åå å

() ( ) () mmax;

(6.3.51)

01££qb

() ;

(6.3.52)

01££rb

() ;

(6.3.53)

() .

(6.3.54)

Задача Подчиненного:

Jh bur gur

ii iii iii

=--

()

1max;

(6.3.55)

qb u

ii i

() ;££1

(6.3.56)

+£1;

(6.3.57)

01££ =bn

,, i 1,...,

(6.3.58)

где b

— доля выделенного ресурса, возвращаемая i-м Подчиненным

Центру в качестве взятки (от r

); r

) — доля ресурса, выделяемая i-му Под-

чиненному Центром (от R); u

— доля выделенного ресурса, используемая

i-м Подчиненным для решения общесистемных задач; q

) — нижняя

граница значений u

, контролируемая Центром (от r

); g

) — выигрыш

системы от деятельности i-го Подчиненного; h

((1-u

-b

) — выигрыш i-го

субъекта от его частной деятельности;

Hrb

()

— выигрыш Центра

от нецелевого использования ресурсов. Функции g

(x), h

(x) и H(x) явля-

ются производственными с коэффициентом отдачи β.

Задачи (6.3.51)–(6.3.54) и (6.3.55)–(6.3.58) — иерархическая игра двух

лиц в нормальной форме. Стратегиями Центра являются распределение

ресурсов r

и назначение контроля над использованием ресурсов q

. Стра-

тегиями Подчиненных являются следующие величины: доля ресурса u

выделенного Центром, используемая на общесистемные цели, и доля

ресурсов b

, возвращаемая Центру в качестве взятки. Центр имеет право

первого хода. В качестве решения ищется равновесие по Штакельбергу.

Рассматриваются следующие механизмы коррупции:

1) r

) — коррупция при выделении ресурсов;

250 Иерархическое управление устойчивым развитием

2) q

= q

) — коррупция при контроле выполнения общесистемных

требований, причем каждый из этих видов коррупции рассматри-

вается в двух случаях: попустительства и вымогательства.

Использованы следующие виды параметризаций:

1) функция контроля Центром использования ресурсов i-м Подчи-

ненным от количества взятки q



qb q

ii i

()º

(отсутствие коррупции при контроле выполнения обще-

системных требований);



qb q b

ii i i

() ( )=-

(случай попустительства, q

— начальный уровень

контроля над использованием ресурсов при отсутствии взятки, ко-

торый уменьшается с увеличением размера предложенной взятки

до нуля);



qb q b

ii i i

() ( )=- -11

(случай вымогательства, q

— конечный уровень

контроля над использованием ресурсов при уровне взятки, равном

100 %, который увеличивается с уменьшением размера предложен-

ной взятки до единицы);

2) функция доли ресурса, выделяемой i-му Подчиненному Центром,

от уровня взятки r

);



rb r

ii i

()º

(отсутствие коррупции при распределении ресурсов);



rb r

ii i

()

(случай попустительства, r

— начальная доля

ресурсов, выделенная Подчиненному при отсутствии взятки, кото-

рая увеличивается с увеличением размера предложенной взятки);



()=

(случай вымогательства, начальная доля ресурсов, выде-

ленных Подчиненному, равна нулю).

В случае отсутствия механизма коррупции равновесие по Штакель-

бергу выглядит следующим образом:

= 1,

= 0,

=1,

gx Hx

()

gx Hx

()