Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 6. Модели иерархического управления 231

Из условия

ua£

имеем, что данный случай целесообразно рассмат-

ривать при

qaÎ-

121;.

Тогда максимум данной функции достигает-

ся при бесконечно больших значениях параметра

и при

qa=-12:

lim .

d+¥

=Jca

Таким образом,

qaN

,=- + -

()

12 1

где N — бесконечно большая величина;

Jca

Выпишем результаты исследования для данного случая:

pqu p aa

*** *

,,, , ,, ;b

()

=- -

(N — бесконечно большая величина)

Jca

.@ 0

Таким образом, «жесткая» q-коррупция позволяет Ведущему полно-

стью контролировать весь ресурс системы, при этом доходы Ведомого

близки к нулю. Манипуляция опять ничего не дает Ведущему.

Контригра Ведомого приводит к следующим результатам для целевой

функции Ведущего:

cp q

сp

()

2211

()

+¥

÷÷

Тогда на отрезке

d Î

;

максимум функции

достигается при

d = 0

qa=-1;

при этом

Jcpa

()

На полуинтервале же

d Î

+¥

;

максимум

достигается при

d =+¥,

qa=-12;

тогда

Jca

()

Таким образом, при контригре Ведомого стратегия

Ведущего не претерпевает изменений.

232 Иерархическое управление устойчивым развитием

Равновесие принуждения, a-коррупция. Множество стратегий устойчи-

вого развития приобретает вид:

0; ( ) ,ab

где

ab lb

() .=-d

a) «Мягкая» коррупция.

В этом случае

ab lb

() .=

Тогда задача Ведомого может быть пред-

ставлена в виде:

Jpq c p u

,max.

()

11b

Очевидно,

,=-1

или, с учетом оптимальной стратегии Ведущего

(которая, как легко заметить имеет вид

(),=- +

()

1 ab

имеем:

Jpq c p a

,max.

()

11blb

Решив уравнение

()

найдем для функции

()b

точку ло-

кального максимума

-a

Однако из условия (6.3.24) следует, что

это справедливо лишь при

l ³ a.

В противном случае Ведомому выгодно

выбирать стратегию без взятки, т. е.

.= 0

Также из условия

a +£a 1

имеем, что при

l ³-2 a

Ведомому выгодно выбирать ту стратегию, ко-

торая позволит ему использовать весь возможный ресурс, т. е.

-1 a

Итак,

Î-

Î-+¥

)

îî

cpa a

,;=

()

Î-

()

Î-+¥

)

2 a

Таким образом, выбор Ведомым той или иной стратегии зависит от

того, насколько широким является множество стратегий, отвечающих го-

Глава 6. Модели иерархического управления 233

меостазу. Если это множество достаточно широко, то Ведомый не предла-

гает Ведущему взятку, ничего не теряя по сравнению с «чистым» случаем.

Если же это множество не столь широко, то Ведомый может посредством

взятки увеличить свой доход по сравнению с «чистым» случаем. Очевид-

но, что доход Ведомого возрастает с увеличением параметра

Тогда имеем:

pqu p

*** *

,,, ,,, ;b

()

Jc p

.=-

()

Соответственно, функция выигрыша Ведущего с учетом оптимальной

стратегии Ведомого имеет следующий вид:

cpa a

aaa

()

Î-

ëë

Î-+¥

)

l,;

ïï

Максимум функции выигрыша Ведущего по

достигается в точке

.=-2 a

При этом

()

Учет контригры Ведомого приводит лишь к изменению равновесных

значений целевой функции Ведущего. А именно, значения целевой функ-

ции Ведущего уменьшаются на величину

p1-

b) «Жесткая» коррупция.

Аналогично предыдущим случаям получаем следующие результаты

для функции выигрыша Ведомого:

Î+¥

)

234 Иерархическое управление устойчивым развитием

()

Î+¥

)

Отличие от «мягкой» коррупции здесь заключается в том, что для Ведо-

мого всегда выгодно давать взятку. Максимум функции выигрыша Веду-

щего достигается при

= 2

, что приводит к следующим результатам:

pqu p

*** *

,,, ,,, ;b

()

-1

Учет контригры Ведомого аналогичен случаю «мягкой» коррупции.

Общие результаты исследования (без учета равновесия убеждения)

приведены в таблице 6.3.1.

Исходя из результатов, приведенных в таблице 6.3.1, можно провес-

ти сравнительный анализ результатов Ведущего и Ведомого для разных

видов коррупции. Очевидно, что наличие коррупции во всех случаях яв-

ляется выгодным для Ведущего. Кроме того, «жесткая» коррупция все-

гда выгоднее для Ведущего, чем «мягкая», и, наоборот, менее выгодна

для Ведомого.

При принуждении «жесткая» a-коррупция выгоднее для Ведущего,

чем «жесткая» q-коррупция при условии

pa>-21.

Это условие является

тождественно верным при

a <

Таким образом, при сильном условии

гомеостаза a-коррупция является более выгодной для Ведущего, так как

она позволяет обойти это условие. Опасность a-коррупции подтвержда-

ется также и тем, что она очень часто является выгодной и для Ведомого.

Например, при принуждении «мягкая» a-коррупция всегда более выгодна

для Ведомого, чем «чистый» случай. И даже «жесткая» a-коррупция при

определенных условиях, а именно при условии

a <

является для Ве-

домого более выгодной, чем «чистый» случай.

При побуждении «жесткая» a-коррупция более выгодна для Ведуще-

го, чем «жесткая» p-коррупция при условии

a <-1

которое выполня-

ется практически всегда.

Как видно из постановки задачи, у Ведущего есть два источника дохо-

да: взимаемый налог и взятка Ведомого. Анализ соотношения этих двух

источников для равновесных значений целевой функции Ведущего при-

веден в таблице 6.3.2.

Глава 6. Модели иерархического управления 235

Таблица 6.3.1

Результаты исследования модели иерархического управления

эколого-экономической системой с учетом коррупции

p* q* u* β* J

Принуждение

«Чистый» случай p 1-a a - cpa c(1-p)a

p-коррупция («мягкая») - - - - - -

p-коррупция («жесткая») - - - - - -

q-коррупция («мягкая») p 1-a a ½ c(1+p)a/2 c(1-p)a/2

q-коррупция («жесткая») p 1-a a 1 ca 0

a-коррупция («мягкая») p 0 1 (1-a)/(2-a) c(p+1-a)/(2-a) c(1-p)/(2-a)

a-коррупция («жесткая») p 0 1 1/2 c(1+p)/2 c(1-p)/2

Побуждение

«Чистый» случай 1-ε 0 a - c(1-ε)a cεa

p-коррупция («мягкая») 1-ε 0 a 0 c(1-ε)a cεa

p-коррупция («жесткая») (1-ε)/2 0 a 1 ca 0

q-коррупция («мягкая») - - - - - -

q-коррупция («жесткая») - - - - - -

a-коррупция («мягкая») 1-ε 0 1 (1-a)/(2-a) c(2-ε-a)/(2-a) cε/(2-a)

a-коррупция («жесткая») 1-ε 0 1 1/2 c(1-ε/2) cε/2

236 Иерархическое управление устойчивым развитием

Принуждение-побуждение

«Чистый» случай 1-ε 1-a a - c(1-ε)a cεa

p-коррупция («мягкая») 1-ε 1-a a 0 c(1-ε)a cεa

p-коррупция («жесткая») (1+p)/2 1-a a 1 ca 0

q-коррупция («мягкая») 1-ε 1-a a 1/2 c(2-ε)a/2 cεa/2

q-коррупция («жесткая») p 1-a a 1 ca 0

a-коррупция («мягкая») 1-ε 0 1 (1-a)/(2-a) c(2-ε+a)/(2-a) cε/(2-a)

a-коррупция («жесткая») 1-ε 0 1 1/2 c(1-ε/2) cε/2

Побуждение-принуждение

«Чистый» случай 1- ε 0 a - c(1-ε)a ca

p-коррупция («мягкая») 1- ε 0 a 0 c(1-ε)a cεa

p-коррупция («жесткая») 1- ε 0 a 1 ca 0

q-коррупция («мягкая») - - - - - -

q-коррупция («жесткая») - - - - - -

a-коррупция («мягкая») 1- ε 0 1 (1-a)/(2-a) c(2-ε a)/(2-a) cε/(2-a)

a-коррупция («жесткая») 1- ε 0 1 1/2 c(1-ε/2) cε/2

Окончание табл. 6.3.1

Глава 6. Модели иерархического управления 237

Таблица 6.3.2

Сравнительный анализ источников доходов Ведущего

Налог Взятка

Принуждение

«Чистый» случай cpa -

p-коррупция(«мягкая») - -

p-коррупция(«жесткая») - -

q-коррупция(«мягкая») cpa/2 ca/2

q-коррупция(«жесткая») 0 ca

a-коррупция(«мягкая») cp/(2-a) c(1-a)/(2-a)

a-коррупция(«жесткая») cp/2 c/2

Побуждение

«Чистый» случай c(1-ε)a -

p-коррупция(«мягкая») c(1-ε)a 0

p-коррупция(«жесткая») 0 ca

q-коррупция(«мягкая») - -

q-коррупция(«жесткая») - -

a-коррупция(«мягкая») c(1-ε)/(2-a) c(1-a)/(2-a)

a-коррупция(«жесткая») c(1-ε)/2 c/2

Принуждение-побуждение

«Чистый» случай c(1-ε)a -

p-коррупция(«мягкая») c(1-ε)a 0

p-коррупция(«жесткая») 0 ca

q-коррупция(«мягкая») c(1-ε)a/2 ca/2

q-коррупция(«жесткая») 0 ca

a-коррупция(«мягкая») c(1-ε)/(2-a) c(1-a)/(2-a)

a-коррупция(«жесткая») c(1-ε)/2 c/2

Побуждение-принуждение

«Чистый» случай c(1-ε)a -

p-коррупция(«мягкая») c(1-ε)a 0

p-коррупция(«жесткая») 0 ca

q-коррупция(«мягкая») - -

q-коррупция(«жесткая») - -

a-коррупция(«мягкая») c(1-ε)/(2-a) c(1-a)/(2-a)

a-коррупция(«жесткая») c(1-ε)/2 c/2

238 Иерархическое управление устойчивым развитием

Как видно из таблицы 6.3.2, в тех случаях, когда в равновесии присут-

ствует взятка, коррупционный доход Ведущего превышает налоговый до-

ход. В некоторых случаях весь полученный Ведущим доход приходится

на взятку, что может самым негативным образом сказаться на состоянии

эколого-экономической системы.

Следующая модель (Денин и Угольницкий 2010) является развитием

базовой модели иерархического управления эколого-экономической сис-

темой с учетом коррупции. В качестве новых элементов в модели присут-

ствует возможность взяткодателя давать одновременно несколько взяток,

имеющих различную природу, а также обобщение понятия благосклон-

ности Ведущего при совершении коррупционных сделок.

Рассматривается статическая двухуровневая теоретико-игровая мо-

дель множественной коррупции с применением методов иерархиче-

ского управления с учётом возможной подачи двух видов взяток при

одновременном требовании выполнения условий гомеостаза. Необ-

ходимо отметить, что данная модель может быть использована в раз-

личных предметных областях. В качестве примеров можно привести

эколого-экономические системы (например, распределение квот на

добычу и переработку биоресурсов), системы социально-экономиче-

ских отношений внутри трудовых коллективов (например, определе-

ние рабочей нагрузки на отдельно рассматриваемого работника либо

команды), и т. д. В дальнейшем будет использована терминология эко-

лого-экономических систем, поскольку она позволяет описать модель

наиболее наглядно.

Субъектами игрового взаимодействия являются чиновник, выдающий

квоты на некоторый возобновляемый ресурс и собирающий налоги на его

добычу, далее именуемый «Ведущий» (субъект верхнего уровня) и лицо

(либо предприятие), занимающееся добычей и переработкой этого ресур-

са, именуемое в дальнейшем «Ведомый» (субъект нижнего уровня).

В качестве базисной теоретико-игровой модели иерархического взаи-

модействия выступает игра Ю.Б. Гермейера (1976) класса Г

с дополни-

тельным предположением об осведомлённости обоих участников о зна-

чении всех экзогенных параметров. Для количественного учёта уровня

благосклонности Ведущего введены параметры, названные величинами

жёсткости коррупции. Примером неблагосклонного отношения (вымога-

тельства) может служить изначально завышенная налоговая ставка либо

заниженная квота, предоставляемая Ведомому, причём величина такого

отклонения от нормативов определяется соответствующим параметром

жёсткости. В соответствии с концепцией иерархического управления ус-

тойчивым развитием роль обеспечения условия гомеостаза в модели от-

дана исключительно Ведущему как лицу, несущему непосредственную

Глава 6. Модели иерархического управления 239

ответственность за рациональное распределение квот. Нарушение го-

меостаза ведет к штрафованию Ведущего при добыче ресурса Ведомым

сверх квоты, выданной с учётом взяток, что позволяет избежать чрезмер-

ной добычи ресурса последним. Функцию штрафа выполняет бесконечно

большая константа M (6.3.42), входящая в последнее слагаемое критерия

(6.3.31). Ставка налога считается заданной экзогенно (как законодатель-

но установленная величина), однако Ведущий может её менять за взятку

или вследствие влияния фактора благосклонности.

Взаимодействие игроков осуществляется следующим образом: Веду-

щий, зная значения всех экзогенных параметров, рассчитывает выгод-

ность своих действий относительно возможного выбора собственных

стратегий и потенциальной реакции Ведомого, одновременно с этим

предполагая, что последний реагирует наименее выгодным для Ведуще-

го образом. Далее Ведущий, реализуя механизм побуждения, определя-

ет функции поощрения-наказания применительно к налогообложению

()

где

Uq()

— множество отображений вида

pUq:() [,]. 01

Таким

образом, Ведущий делает наиболее доходные для себя стратегии-реакции

Ведомого выгодными для самого Ведомого, не ограничивая при этом об-

ласти допустимых стратегий последнего. На следующем этапе Ведущий

реализует механизм принуждения, определяя наиболее выгодный для

него диапазон квот

Qqs a pP JpsJpq

="Î- "Î £{: [ ,], (,) (,)},

()

сужая тем самым область стратегий Ведомого до выгодных Ведущему

значений. Основываясь на этом, Ведущий определяет оптимальные для

себя стратегии и делает ход. Ведомый реагирует на него выбором взяток

и доли изъятия

Rpq u a

(, ) {( , ,) [, ) [, ) [,]: [, ),

[, ),

= Î +¥ ´ +¥ ´ " Î +¥

"Î +¥

bb m

000 0

0 ""Îsa[,]0

J u pq J s pq

Fpq F

( , ,,,) (,,,,)}.bb mh³

В модели присутствуют два вида коррупционного взаимодействия:

p-коррупция — снижение налоговой ставки на добычу ресурса за взятку;

q-коррупция — повышение квот на добычу ресурса за взятку.

Задача Ведущего описывается следующим критерием:

JcpuMUu

uRpq

=- 

((,))maxmaxmin;

()

(,)

(6.3.31)

при ограничениях

pp d

ppb

gb=- + ;

(6.3.32)

240 Иерархическое управление устойчивым развитием

uqÎ-[, ];01

(6.3.33)

qq d

qqb

sb=- + ;

(6.3.34)

pq p q,, , [,];

Î 01

(6.3.35)

Ua=[,];0

(6.3.36)

a Î[,];01

(6.3.37)

Î[, ];0 g

(6.3.38)

Î[, ];0 s

(6.3.39)

0,,, ;gs>

(6.3.40)

,;³0

(6.3.41)

M +¥;

(6.3.42)

r(, )

(6.3.43)

Параметры модели применительно к задаче Ведущего можно описать

следующим образом: U — область гомеостаза, т. е. множество долей изъ-

ятия, добыча ресурса в рамках которых не приведёт к необратимому ис-

тощению его запасов; a — размер области гомеостаза как максимально

позволенная величина добычи ресурса; u — доля изъятия ресурса Ведо-

мым (является управлением Ведомого); p — налоговая ставка на изъятие

ресурсов (является управлением Ведущего); p

— налоговая ставка с учё-

том взятки; q — доля ресурса, которую необходимо оставить в системе для

обеспечения воспроизводства ресурса (резерв). Квота в этом случае оп-

ределяется как 1 – q (является управлением Ведущего); q

— доля ресурса

с учётом взятки; M — бесконечно большая штрафная константа, выпол-

няющая роль штрафа Ведущего в случае нарушения условий гомеостаза;

ρ(⋅) — функция-индикатор множества, позволяющая выявить нарушения

условия гомеостаза (условие считается нарушенным, если

uUÏ );

γ — эф-

фективность p-коррупции, рассчитываемая как величина, на которую

Ведущий снизит налоговую ставку при условии, что Ведомый отдаст ему

весь ожидаемый доход; σ — эффективность q-коррупции, т. е. величина,

на которую Ведущий расширит законодательно установленные рамки об-

ласти гомеостаза при условии, что Ведомый отдаст ему весь ожидаемый

доход; d

— жёсткость p-коррупции — величина благосклонности Веду-

щего по отношению к Ведомому применительно к снижению налоговой