Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
420
1.6.11. Та а уловая сорость всех точе твердоо тела оди-
наова, то линейные сорости точе тела соответственно равны
v
1
= ωR, v
2
= ω(R – d). Подставив последнее выражение в условие
v
1
= kv
2
, получим: ωR = kω(R – d), отуда R = — радиус олеса.
Зная радиус, можно найти уловую сорость:
ω == ,
а частота вращения олеса равна
n == =3,2Гц.
О т в е т: n = 3,2 Гц.
1.6.13. Сорость любой точи
диса можно найти по заону сло-
жения соростей: v
т
= v + v
вращ
, де
v
вращ
— линейная сорость точи
относительно оси вращения диса.
Та а просальзывания нет, то
v
A
= 0 (рис. 1.6.13), отуда следует,
что v
вращ
= v.
Сорость точи B (рис. 1.6.13):
v
B
==v = 5,6 м/с,
сорость точи C (рис. 1.6.13):
v
C
==v =7,7м/с.
Та а точа D лежит посередине радиуса, то v
вращD
= = ,
а сорость точи D
v
D
= v + v
вращD
= v + = = 6 м/с.
Ответ: v
A
= 0; v
B
= 5,6 м/с; v
C
= 7,7 м/с; v
D
= 6 м/с.
1.6.14. Та а олесо просальзывает, то сорость нижней
точи олеса v
1
= v
вращ
– v
ц
, а верхней v
2
= v
вращ
+ v
ц
, де v
вращ
—
линейная сорость любой точи обода олеса относительно оси
врещения, v
ц
— сорость поступательноо движения олеса или
сорость оси вращения (центра олеса) относительно земли. Сло-
жив приведенные уравнения, получим v
вращ
= = 6 м/с. Уло-
вая сорость вращения олеса: ω = = 20 рад/с.
О т в е т: ω = 20 рад/с.
kd
k 1−
-------------
v
1
R
------
v
1
k 1−()
kd
----------------------- -
ω
2π
------ -
v
1
k 1−()
2πkd
----------------------- -
Рис. 1.6.13
B
A
Ñ
D
v
v
α
v
v
âðàù
v
âðàù
v
âðàù
v
âðàù D
v
D
v
v
Ñ
v
v
B
v
2
v
вращ
2
+ 2v
v
2
v
вращ
2
2vv
вращ
90°α−()cos++ 21 αsin+()
v
вращ
2
--------------
v
2
---
v
2
---
3v
2
-------
v
1
v
2
+
2
----------------- -
v
вращ
R
--------------
421
1.6.15. Сорость самой верхней точи олеса v
1
= v + v
вращ
, от-
сюда v
вращ
= v
1
– v. Сорость нижней точи равна
v
2
= v – v
вращ
= v–(v
1
– v)=2v – v
1
=4м/с
и направлена в сторону сорости центра олеса.
О т в е т: v
2
= 4 м/с, совпадает по направлению со соростью
центра олеса.
1.6.17. Та а просальзывания
нет, то сорости точе шара, принадле-
жащих отрезу AB, равны нулю; AB —
мновенная ось вращения.
Из рисуна 1.6.14, а найдем
x = ; x =
см =
=24см.
Из рисуна 1.6.14, б найдем сорость
верхней точи:
=; v
в
= ; v
в
=4,5м/с.
Сорость нижней точи
v
н
=; v
н
= м/с = 0,4 м/с.
О т в е т: cорость верхней точи v
в
=
= 4,5 м/с, нижней v
н
= 0,4 м/с.
1.6.18. 1. Та а у атуши про-
сальзывания нет, то у нижней точи A атуши относительно зем-
ли сорость равна нулю. Через эту точу проходит мновенная ось
вращения перпендиулярно плосости чертежа (рис. 1.6.15).
Построим прямую AB, проходящую
через точу A и онец ветора сорости
нити v. Проведем ветор сорости цент-
ра атуши v
ц
. Из подобия треуольни-
ов запишем: = , отуда
v
ц
=; v
ц
= см/с = 10 см/с.
2. Сорость v
ц
центра олеса совпадает
по направлению со соростью v нити.
а)
x
d
R
A
B
Рис. 1.6.14
x
v
v
в
v
н
б)
R
2
d
2
---
⎝⎠
⎛⎞
2
− 30
2
36
2
------
⎝⎠
⎛⎞
2
−
v
в
v
-----
Rx+
x
------------- -
vR x+()
x
----------------------
vR x−()
R
----------------------
230 24−()
30
-----------------------------
B
A
v
v
ö
Рис. 1.6.15
v
ц
v
----- -
R
Rr−
------------ -
vR
Rr−
------------ -
4
10,6−
------------------
422
Посольу просальзывания нет, то v
ц
= v
вращ
(сорость точи A),
поэтому
ω ==;ω d 1,7 рад/c.
Ответ: 1) v
ц
= 10 см/с, совпадает по направлению со соростью
нити v; 2) ω d 1,7 рад/с.
1.6.21. Все точи земной поверхности участвуют во вращении
Земли вору собственной оси вращения с уловой соростью
ω =, (1)
следовательно, имеют линейную сорость
v = ωr (2)
и центростремительное усорение
a = ω
2
r, (3)
де T = 24 ч — период вращения Земли вору собственной оси враще-
ния, r = R cos ϕ — радиус оружности, по оторой движется точа,
R — радиус Земли, ϕ — еорафичесая широта. Из уравнений (1) и (2)
получаем v = R cos ϕ, отуда сорости точе на эваторе, на ши-
роте ϕ =45° и на полюсе соответственно равны
v
эв
=465м/с; v
ϕ
= 328 м/с; v
пол
= 0.
Из уравнений (1) и (3) получаем a = R cos ϕ, отуда усорения то-
че на эваторе, на широте ϕ =45° и на полюсе соответственно равны
a
эв
=0,034м/с
2
; a
ϕ
= 0,024 м/с
2
; a
пол
=0.
О т в е т: v
эв
= 465 м/с, v
ϕ
= 328 м/с, v
пол
= 0; a
эв
= 0,034 м/с
2
,
a
ϕ
= 0,024 м/с
2
, a
пол
= 0.
1.6.26. Посольу начальная уловая сорость равна нулю, то
заон движения имеет вид ϕ = . Та а уловое перемещение за
один полный оборот равно 2π, то уловое перемещение вала
ϕ =2πN. Подставив данное выражение в заон движения, получим
2πN = , отуда уловое усорение
ε =; ε =6,28рад/с
2
.
v
вращ
R
--------------
v
ц
R
----- -
2π
T
------ -
2π
T
------ -
4π
2
T
2
--------- -
εt
2
2
------- -
εt
2
2
------- -
4πN
t
2
------------
423
Вычислим онечную уловую сорость вращения:
ω = εt = 62,8 рад/с.
Далее находим: таненциальное усорение
a
τ
= εR d 0,3 м/с
2
,
линейную сорость
v = ω R; v = 3,14 м/с,
нормальное усорение
a
n
= ω
2
R; a
n
=197,2м/с
2
.
О т в е т: ε = 6,28 рад/с
2
; ω = 62,8 рад/с; a
τ
d 0,3 м/с
2
; a
n
=
=197,2м/с
2
; v = 3,14 м/с.
1.6.27. Зависимость уловой сорости от времени:
ω =(ϕ)′ =50–50t.
В момент останови ω = 0, поэтому 0 = 50 – 50t ⇒ t
1
= 1 с.
Уловая оордината в момент останови:
ϕ
1
=40+50t
1
–;
ϕ
1
= (40 + 50 · 1 – 25 · 1
2
) рад = 65 рад;
уол поворота до останови:
∆ϕ = ϕ
1
– ϕ
0
; ∆ϕ =25рад;
число оборотов олеса до полной останови:
N == d 4;
путь, пройденный точой обода олеса до полной останови:
s = ∆ϕR =12,5 м.
О т в е т: N d 4, s = 12,5 м.
1.6.28. По определению, v = a
τ
t. Подставив это выражение в
формулу центростремительноо усорения, получим a
n
= = .
По условию задачи a
n
= ka
τ
, или = ka
τ
, отуда
t = = 4 c.
25t
1
2
∆ϕ
2π
-------
25
23,14⋅
--------------------
v
2
R
------
a
τ
t()
2
R
--------------- -
a
τ
t()
2
R
--------------- -
kR
a
τ
-------
424
Уол между соростью и полным усорением найдем из соотно-
шения: tg α == =k =4, α = arctg 4 = 75,96° d 76°.
Путь, пройденный точой за это время, s == =,
s = 0,8 м. Поэтому число оборотов N = d 0,3 об.
О т в е т: t = 4 с; α d 76
°
; N = 0,3 об.
1.7.2. Дальность полета тела
s = vt. (1)
Высота, с оторой брошено тело,
h =. (2)
По условию задачи
s = h. (3)
Решив систему уравнений (1)—(3), получим
h = s = vt = v · =; h =19,8м.
Ответ: h = 19,8 м.
1.7.7. Время падения руза найдем из соотношения
h = g ; t =.
Расстояние по оризонтали от орабля до самолета
s =(v + u)t =(v + u); s = 1100 м.
О т в е т: s = 1100 м.
1.7.11. Время движения шариа найдем из соотношения
h = g ⇒ t =. (1)
До первоо удара о стену шари летел в течение времени
t
1
=. (2)
Между последующими ударами время движения одинаово и равно
∆t =. (3)
С друой стороны, время движения шариа
t = t
1
+ n∆t, (4)
a
n
a
τ
----- -
ka
τ
a
τ
-------- -
a
τ
t
2
2
---------- -
a
τ
kR
2a
τ
------------- -
kR
2
--------
s
2πR
-----------
gt
2
2
---------
2v
g
-------
2v
2
g
--------- -
t
2
2
---- -
2h
g
------ -
2h
g
------ -
t
2
2
---- -
2h
g
------ -
lR−
v
------------
l 2R−
v
--------------- -
425
де n— число ударов шариа о стени, не считая первоо. Все чис-
ло ударов
N = n +1. (5)
Решив систему уравнений (1)—(5), получим
N =; N =9,23.
Число ударов может быть тольо целым числом, следовательно,
N =9.
О т в е т: N = 9.
1.8.1. Выберем систему оординат с
началом отсчета в точе O вылета струи
(рис. 1.8.9) и запишем заон движения
апельи воды в струе:
x =(v cos α)t, (1)
y =(v sin α)t– .(2)
Проеция сорости апельи на ось Y изменяется со временем
по заону:
v
y
= v sin α – gt. (3)
Для точи A (вершина параболы) t = t
1
, y = h
max
, v
y
= 0. Тода
уравнение (3) примет вид
0=vsin α – gt
1
,
отуда
t
1
=. (4)
Применяя уравнение (2) для точи A с учетом (4), получаем
h
max
=; h
max
d 41,3 м.
Запишем уравнение (2) для точи B (см. в условии рис. 1.8.5) паде-
ния струи на землю (t=t
2
, y =0, x = s):
0=(v sin α)t
2
– .
Тода время движения апельи воды дo точи B:
t
2
=. (5)
v
2h
g
------ - R−
l 2R−
------------------------- -
v
g
h
max
s
Y
0
B
X
Рис. 1.8.9
gt
2
2
---------
v αsin
g
----------------
v
2
sin
2
α
2g
-----------------------
gt
2
2
2
--------
2 αsin
g
-----------------
426
Запишем уравнение (1) для точи B:
s =(v cos α)t
2
.(6)
Подставив (5) в (6), получим
s ==; s d 240 м.
О т в е т: h
max
d 41,3 м, s d 240 м.
1.8.2. Высота подъема тела h
max
= , а дальность полета
s = . По условию задачи h
max
= s, поэтому =
= , отуда tg α =4; α = arctg 4 d 76°.
О т в е т: α d 76°.
1.8.17. Выберем систему оординат и по-
строим траеторию движения тела, а поаза-
но на рисуне 1.8.10. Заон движения амня в
таой системе отчета будет иметь вид
x =(v cos α)t; y = (v sin α)t–g .
Из рисуна 1.8.10 находим оординаты
амня в момент падения:
x
n
= s cos α; y
n
= s sin α.
Решив систему приведенных уравнений,
получим
s = d 2,4 м.
Ответ: s d 2,4 м.
1.8.18. Координата стрелы y изменяется
со временем по заону (рис. 1.8.11):
y = h
0
+(v
0
sin α) t –. (1)
Для моментов времени t
1
и t
2
по условию
оордината y
1
= y
2
= h, поэтому
h
0
+(v
0
sin α)t
1
– =
= h
0
+(v
0
sin α) t
2
–.
v α 2 αsin⋅cos
g
--------------------------------------
v
2
2αsin
g
-----------------------
v
2
sin
2
α
2g
-----------------------
v
2
sin2α
g
------------------------
v
2
sin
2
α
2g
-----------------------
v
2
sin2α
g
------------------------
v
y
n
x
n
0
Y
X
s
Рис. 1.8.10
t
2
2
---- -
2v
2
tgα
g αcos
-------------------- -
v
0
Y
h
0
X
h
0
Рис. 1.8.11
gt
2
2
---------
gt
1
2
2
--------
gt
2
2
2
--------
427
Из данноо уравнения найдем
sin α =. (2)
Для момента времени t
1
запишем
h = h
0
+(v
0
sin α)t
1
–. (3)
Решив систему уравнений (2), (3), найдем
h
0
= h –. (4)
В момент падения стрелы на землю y = 0, поэтому из выраже-
ния (1) получим
0=h
0
+2(v
0
sin α)t –. (5)
Решив систему уравнений (2), (4), (5), найдем время полета
стрелы:
t = t
1
+ t
2
+; t d 4,2 с.
О т в е т: t d 4,2 с.
1.8.20. Выберем систему отсчета XOY,
а поазано на рисуне 1.8.12.
Заон движения мяча в данной системе
отсчета:
x =(v cos α)t; y = h +(v sin α)t – g .
Траетория мяча должна проходить че-
рез точу A, поэтому
x = s; y = H.
Из системы приведенных уравнений получим
H = h + s tg α – g (1)
и выразим начальную сорость
v =.(2)
Сорость будет минимальна, если знаменатель z = 2cos
2
α (s tg α +
+ h – H) будет масимален.
gt
1
t
2
+()
2v
0
-------------------------
gt
1
2
2
--------
gt
1
t
2
2
--------------
gt
2
2
---------
1
2
---
⎝
⎛
t
1
2
t
1
t
2
2h
g
------ -
++
⎠
⎞
Y
O
X
h
H
s
Рис. 1.8.12
t
2
2
---- -
s
2
2v
2
cos
2
α
--------------------------
gs
2
2cos
2
α stgα hH−+()
------------------------------------------------------------
428
Исследуем фунцию z на эстремум. Для этоо возьмем
производную от z по α и приравняем ее нулю:
=(2cos
2
α (s tg α + h – H)=0,
отуда
α =arctg d 50,6°,
а из (2) находим v d 7,7 м/с.
О т в е т: cорость будет минимальна при α d 50,6° и равна
v d 7,7 м/с.
1.8.24. Выберем систему оординат и
построим траеторию движения, а по-
азано на рисуне 1.8.13. Запишем заон
движения тела на первом участе AB тра-
етории движения:
x =0; y = H –. (1)
Проеция сорости движения на ось
Y на этом участе:
v
y
=–gt. (2)
Для точи B (t = t
1
, y = h, v = v
1
) уравнение (1) примет вид:
h = H – , отуда найдем время движения до точи B:
t
1
=. (3)
Подставив уравнение (3) в (2), найдем проецию сорости:
v
1y
=–gt
1
=–g =–
и модуль сорости
v
1
=. (4)
Та а в точе B тело ударяется упруо, то модуль сорости
после удара не изменяется и уол падения равен улу отражения.
Следовательно, после удара сорость тела будет равна v
1
и направ-
лена под улом β (β =90° –2α =90° –2 · 30° =30° = α) оризонту,
поэтому на втором участе траетории BC тело движется по парабо-
ле, и заон движения будет иметь вид:
x =(v
1
cos β)t;(5)
y = h +(v
1
sin β)t –. (6)
z
α
()
′
)
α
′
⎝
⎛
Hh− Hh−()s
2
++
s
---------------------------------------------------------
⎠
⎞
g
v
1
v
1
Y
A
H
B
h
O
C
X
β
Рис. 1.8.13
gt
2
2
---------
gt
1
2
2
--------
2 Hh−()
g
------------------------
2 Hh−()
g
------------------------
2gH h−()
2gH h−()
gt
2
2
---------
429
В точе падения С (t = t
2
, y =0, x = s) уравнение (6) примет вид:
0=h +(v
1
sin β)t
2
–,
отуда
t
2
=;
с учетом (4) и условия β = α получим
t
2
=(7)
(отрицательный орень физичесоо смысла не имеет).
Находим время движения тела:
t = t
1
+ t
2
=+ ;
t =+ сd
d 10,1 с.
Дальность полета найдем из уравнения (5) с учетом (7):
s= ;
s = мd
d 5,6 м.
О т в е т: t d 10,1 с, s d 5,6 м.
1.8.29. Мальчии бросают предметы одновременно, поэтому
время полета ороба и амеша до столновения одинаовое. Это
время можно найти из соотношения t = . Та а предметы стал-
иваются в точе наивысшео подъема ороба, то начальная со-
рость ороба и вертиальная составляющая начальной сорости
амеша одинаовы, т. е. u
верт
= v. В оризонтальном направлении
амеше движется равномерно, поэтому оризонтальную состав-
ляющую начальной сорости найдем из соотношения
s = u
ор
t; u
ор
== .
gt
2
2
2
--------
v
1
βsin v
1
2
sin
2
β 2gh++
g
---------------------------------------------------------------------
2gH h−()α 2gH h−()sin
2
α 2gh++sin
g
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 Hh−()
g
------------------------
2gH h−()α 2gH h−()sin
2
α 2gh++sin
g
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⎝
⎛
24 2−()
9,8
----------------------
29,84 2−()⋅ 05 2 9,84 2−()025 2 9,8 2⋅⋅+,⋅+,⋅
9,8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⎠
⎞
2gH h−()
2gH h−()α 2gH h−()sin
2
α 2gh++sin
g
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29,84 2−()⋅
29,84 2−()⋅ 05 2 9,84 2−()05
2
29,82⋅⋅+,⋅+,
9,8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
v
g
---
s
t
--
sg
v
----- -