Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

Подождите немного. Документ загружается.

131

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В

ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС)

В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации жидкости в призабойных

зонах вертикальных скважин, работающих в плоскопараллельных пластах.

4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах

скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации

Призабойной зоной скважины (ПЗС) называют часть продуктивного пласта,

непосредственно примыкающую к стволу скважины. В первом приближении ПЗС

для изотропного пласта можно принять за круговую цилиндрическую область, ось

симметрии которой – ось ствола скважины. Радиус ПЗС может составлять от

(2÷3)⋅r

скв

до (300÷400)⋅r

скв

, где r

скв

- радиус скважины. Для анизотропных пластов

ПЗС в первом приближении можно принять за эллиптическую цилиндрическую

область с осью симметрии, совпадающей с осью ствола скважины. Главные оси

этой области совпадают с ГНА пласта в ПЗС.

Необходимость специального изучения особенностей фильтрации жидкости в

ПЗС вызвана целым рядом причин.

1). Коэффициент проницаемости ПЗС может существенно отличаться от ко-

эффициента проницаемости остальной части пласта (например, вследствие хими-

ческой обработки ПЗС или вследствие образования глинистой корки в ПЗС [77, 92,

112, 113]). В связи с этим возникает необходимость в уточнении расчётов по ин-

терференции скважин, учитывающих индивидуальные особенности всех ПЗС, что

составило содержание исследований 5-ой главы.

2). В зависимости от физико-механических свойств пласта на практике при-

меняют разнообразные конструкции скважинных фильтров и забоев, описанных в

[10, 81, 84] и схематически представленных на рис.23 и 24. Технические особенно-

сти скважинных фильтров приводят к тому, что в ПЗС фильтрационный поток

сильно отличается от плоскорадиального течения, и поэтому расчёты фильтрации

для различных математических моделей ПЗС актуальны.

3). В ПЗС может произойти переход от линейного режима фильтрации к не-

линейному. Поэтому применять уравнения линейной фильтрации ко всему пласту

132

можно не всегда и, следовательно, продолжение фильтрационного расчёта в ПЗС

может идти с другими уравнениями, отличными от остальной части пласта.

4). Применение технологических операций вертикального и горизонтального

гидроразрыва пласта [81, 84, 112] приводит к тому, что течение существенно от-

клоняется от плоскорадиального главным образом в ПЗС, что требует их детально-

го исследования вблизи от скважины.

5). Работа скважины в условиях аномальных пластовых давлений приводит к

образованию глинисто-песчаных пробок в скважине [31]. Такие пробки искажают

плоскопараллельный поток к скважине так, что в ПЗС течение становится про-

странственным, поэтому вблизи скважины требуется его отдельное изучение.

Отличительной особенностью фильтрационных течений в ПЗС является

то, что они, как правило, пространственные. Поэтому расчёт и анализ этих те-

чений выполняется гораздо сложнее, чем плоскопараллельных. Во всех наибо-

лее распространённых учебных пособиях [10, 16, 87, 103, 112, 229] для студен-

тов нефтегазовых специальностей все вопросы, связанные с анализом сложных

пространственных фильтрационных течений (течения к кольчатым и перфора-

ционным фильтрам, течения к трещинам гидроразрыва и др.), излагаются на

описательном уровне. Автор этой работы ставит цель - предложить приемле-

мый для решения инженерно-технических задач, а также для применения в

учебном процессе приближённый аналитический метод исследования всех ос-

новных видов пространственных фильтрационных течений в ПЗС. Диссертант

предлагает для исследования пространственных течений в ПЗС применять ме-

тод средневзвешенного потенциала (СВП). Ранее на него при решении кон-

кретной задачи теории фильтрации обращал внимание В.Н. Николаевский [95].

Тем не менее в теории фильтрации метод СВП не нашёл широкого применения,

хотя под другим названием (метод Хоу) он часто применяется в электротехнике

[62, 98,99] для расчёта электрической ёмкости. Особенностью этого метода

служит сочетание простоты физической идеи, на которой основан метод СВП, с

возможностью применения классических методов решения краевых задач ма-

тематической физики. Кроме того, этот метод приводит к приемлемым при-

133

ближённым решениям, практически во всех случаях всегда с заниженной вели-

чиной фильтрационного потока ≈ на 5-7%. Теоретическое объяснение таких

свойств метода СВП даётся в [212]. Это свойство заниженности против точного

получающейся по методу СВП величины фильтрационного потока позволяет

подкорректировать полученные приближённые расчёты путём увеличения вы-

численных значений ≈ на 5-7%.

В следующих параграфах 4.5-4.7 и 4.10, 4.11 даются решения всех основ-

ных типов фильтрационных задач в ПЗС на основе единого подхода – примене-

ния метода СВП. Изложенные в этих параграфах решения позволяют делать

прогностические расчёты при проектировании конструкции фильтра скважины,

при проектировании числа и размеров трещин гидроразрыва в ПЗС и, кроме то-

го, позволяют в случае их использования в учебном процессе поднять изложе-

ние упомянутых выше вопросов с описательного уровня на теоретический.

Таким образом, исследования течений жидкости в ПЗС актуальны и состав-

ляют самостоятельный раздел теории фильтрации. Перечисленным проблемам и

посвящена 4-я глава диссертации.

4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного

режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин

При эксплуатации нефте- и газодобывающих скважин с большими удель-

ными дебитами в их призабойных зонах (ПЗС) скорость фильтрации может

превзойти критическую величину, за которой происходит нарушение линейно-

го закона Дарси [8, 16, 24, 108, 228]. Поэтому в ПЗС течение может описывать-

ся нелинейными законами фильтрации – степенными, в частности, законом

А.А. Краснопольского. В реальных условиях чёткой границы перехода от ли-

нейного к нелинейному режиму фильтрации нет. Разные авторы для этой гра-

ницы перехода указывают разные критерии и разные числа Рейнольдса [16, 87,

112, 229]. В связи с этим в условиях сосуществования различных режимов

фильтрации при расчётах дебитов скважин неминуемо появляется неустрани-

мая погрешность. В этом параграфе исследуется оценка такой погрешности и

радиусы ПЗС с нелинейным режимом фильтрации.

4.2.1.

Исследуем течение несжимаемой жидкости к центральной скважине

с радиусом r

в круговом пласте радиуса R. Радиус ПЗС, где происходит нару-

шение линейного режима фильтрации, обозначим через r

, (r

< r

< R). За пре-

делами ПЗС течение подчиняется линейному закону Дарси, и поэтому удель-

ный приток жидкости к границе r

определяется по формуле Дюпюи

(

)

PPk2













⋅µ

′

−

(1)

где P

иP

′

– давления на границах пласта и ПЗС соответственно, k - проницаемость

пласта, µ - динамическая вязкость флюида. Пусть внутри ПЗС фильтрация подчи-

няется степенному закону

,vB

⋅= (2)

где α > 1. В частности, при α = 2 имеем закон А.А.Краснопольского. Скорость

фильтрации v в (2) можно выразить с помощью уравнения неразрывности через

удельный дебит скважины Q по формуле

, после чего из (2) получаем ре-

шение

BPP













−⋅

−α

⋅













⋅=−

′

−α−α

(3)

в котором через P

обозначено давление на поверхности ствола скважины. Урав-

нения (1) и (3) содержат три неизвестных величины:

′

, Q и r

. Недостающее урав-

нение найдём из условия достижения числом Рейнольдса [16, 112,

229]

)m(f

Re ⋅

ρ⋅⋅

= критической величины Re

кр

на границе ПЗС с радиусом r

кр

Re)m(f

=⋅

ρ⋅

⋅

(4)

135

Здесь ρ – плотность флюида, f(m) - функция пористости пласта, вид которой, как и

значения Re

кр

, разные авторы определяют по-разному. Именно неоднозначность в

значениях Re

кр

и f(m) приводит к неустранимым погрешностям в расчётах дебитов.

Система уравнений (1), (3), (4) для искомого дебита Q и радиуса ПЗС r

при-

водит к следующему расчётному алгоритму:

- вычисляем константы

, T, B, и B

;

(

)

()

СП

Rгде,

Rln

PPk2

⋅µ

−

= (5)

)m(f

Rer2

)m(fkQ

кркрC

−αα−

−α

ρ⋅µ⋅⋅













⋅µ⋅⋅π

ρ⋅⋅⋅

= (6)

()( )

;

rРP1

CСП

−α

⋅−⋅−α

⋅













⋅=

(7)

- находим корень λ трансцендентного уравнения

(

)

;

Rln













λ⋅+λ⋅−⋅













=λ

−α

(8)

- и, наконец, определяем Q и r

по формулам

C00

rTr;Q

Q ⋅λ=⋅λ= (9)

4.2.2.

Исследуем теперь течение сжимаемой жидкости (идеального газа) к

центральной скважине в круговом пласте. Все рассуждения остаются прежними, с

тем лишь уточнением, что плотность флюида связана с давлением уравнением

Pa ⋅=ρ , где

атм

= (рассматриваем изотермический режим течения). Опуская вы-

кладки, аналогичные вышеприведённым, сразу дадим расчётный алгоритм:

- вычисляем константу

(

)

()

атм

С0

атм

П0

С0

П0атм

Rln

РРPk

⋅µ

−⋅⋅⋅π

, (10)

а T, B, и

после этого находим снова по формулам (6) и (7), в которых вяз-

кость газа µ берётся для пластовых условий, а плотность газа ρ задаётся при

136

пластовой температуре и для давления в 1 т. атм. Затем находим корень λ

трансцендентного уравнения

() ( ) ( )

()

П0

C0П0

Rln

PPP

+α

−α

+α













−⋅













⋅λ

−=













−λ⋅+α⋅⋅−+

, (11)

- после чего по формулам (9) определяем удельный объёмный дебит газа при

пластовой температуре и при давлении в 1 т. атм., а также радиус ПЗС r

4.2.3.

Расчётный алгоритм (5) - (9) использовался для оценки возможных по-

грешностей в расчётах дебитов нефтедобывающих скважин, вызванных неопреде-

лённостью критериев перехода к нелинейному режиму фильтрации. В вычисли-

тельном эксперименте в качестве исходных выбирались следующие данные: R = 1

км, r

= 10 см, k = 1D (дарси), пористость m = 0,25 , µ = 1 спз (сантипуаз), ρ = 1000

кг/м

, α = 2 (т.е. в ПЗС фильтрация описывалась законом А.А.Краснопольского).

Для перечисленных данных и депрессии P

– P

= 10 т. атм. базисная величина

, с которой сравнивался удельный дебит скважины Q, имела значение Q

58,597 м

/сутки. Естественно, Q кроме как от депрессии (P

– P

) зависит также от

числа Re

кр

и функции f(m), которые определяют условия возникновения ПЗС с не-

линейным режимом фильтрации.

В эксперименте задавались различные критерии перехода к нелинейному ре-

жиму – критерии Щелкачёва В.Н. Re

кр

= 1, Миллионщикова М.Д. Re

кр

= 0,022 и

Котяхова Ф.И. Re

кр

= 0,20 [16, 112]. Результаты расчётов Q/Q

представлены на

диаграмме №1 (рис.25). На диаграмме №2 (рис.26) представлена неустранимая от-

носительная ошибка в расчёте дебита нефтедобывающей скважины, если в качест-

ве Q брать среднее арифметическое между минимальным и максимальным его

возможными значениями, определяемыми на множестве всех допустимых крите-

риев из уравнения (4). На следующей диаграмме №3 (рис.27) представлены по-

грешности в расчёте дебита, которые появляются при пренебрежении наличием

ПЗС с нелинейным режимом фильтрации и применением закона Дарси ко всей об-

137

ласти течения. Радиусы же ПЗС с нелинейным режимом фильтрации для рассмат-

риваемого случая представлены на диаграмме №4 (рис.28).

Результаты вычислений показывают, что: 1). Ощутимых погрешностей в

расчётах дебитов нефтедобывающих скважин, вызванных только лишь неопреде-

лённостью критериев перехода к нелинейному режиму, но учитывающих ПЗС че-

рез любой конкретный критерий, нет. Относительная погрешность в расчётах де-

бита в таком случае не превышает 6% при очень высоких депрессиях и для слабо-

вязких нефтей (диаграмма №2 на рис.26). Для нефтей со средней и сильной вязко-

стью режим фильтрации в ПЗС в большинстве практических условий сохраняется

линейным. 2).Пренебрежение ПЗС с нелинейным режимом фильтрации приводит в

расчётах к завышенному значению дебита нефтедобывающей скважины. Для

большинства практических условий относительная ошибка, появляющаяся в этом

случае, имеет порядок 3-5%, но для больших депрессий и при малой вязкости она

может представить значимые величины (диаграмма №3 на рис.27). Экономически

выгодно соблюдать такие режимы эксплуатации нефтедобывающих скважин, что-

бы не появлялись ПЗС с нелинейными режимами течения. Последнее обусловлено

тем, что темпы прироста дебита с увеличением депрессии при линейном режиме

фильтрации выше, чем при наличии ПЗС с нелинейными режимами. 3). Размер r

ПЗС с нелинейным режимом не превышает 4r

скв

. Например, для приведённых в

вычислительном эксперименте условий r

< 40 см.

4.2.4.

Алгоритм (10) - (11) применялся для оценки возможных погрешностей

в расчётах дебитов газодобывающих скважин. В вычислительных экспериментах в

качестве исходных выбирались следующие данные: R = 10 км, r

= 10 см, k = 0,1D

(дарси), пористость m = 0,20 , µ = 0,014 спз (сантипуаз), ρ = 1,25 кг/м

, α = 2 (т.е. в

ПЗС фильтрация по-прежнему описывалась законом А.А.Краснопольского). Для

этих данных и депрессии P

– P

= 10 т. атм. базисная величина удельного дебита

= 2021,399 м

/сутки. Результаты вычислений дебитов Q/Q

для различных де-

прессий и различных критериев перехода к нелинейному режиму фильтрации

представлены на диаграмме №5 (рис.29), на которой для указанных трёх значений

чисел Рейнольдса все три графика фактически совпали друг с другом. Среднее

138

арифметическое между минимальной и максимальной величиной для дебита Q в 1-

ом случае, когда по Щелкачёву В.Н. Re

кр

= 1, по Миллионщикову М.Д. Re

кр

= 0,022

и по Котяхову Ф.И. Re

кр

= 0,29, даёт значение с относительной погрешностью

представленной на диаграмме №6 (рис.30). На этой же диаграмме представлены

относительные погрешности в расчёте дебита Q, если взять другие значения чисел

Рейнольдса: по Щелкачёву В.Н. Re

кр

= 12, по Миллионщикову М.Д. и по Котяхову

Ф.И. Re

кр

= 0,29 (случай 2). На диаграмме №7 (рис.31) указаны погрешности в рас-

чёте дебита, которые появятся, если пренебречь наличием ПЗС с нелинейным ре-

жимом и применить закон Дарси ко всей области фильтрации. Радиусы ПЗС с не-

линейным режимом применительно к исходным данным 1-го случая указаны на

диаграмме №8 (рис.32).

Результаты расчётов показывают, что: 1). В расчётах дебитов газодобываю-

щих скважин относительные погрешности, вызванные только лишь неопределён-

ностью в критериях существования линейного режима фильтрации, но учитываю-

щих ПЗС по любому конкретному критерию, тоже не превосходят 6%. 2). В приза-

бойных зонах газодобывающих скважин (в отличие от нефтедобывающих) фильт-

рация, как правило, подчиняется квадратичному закону А.А.Краснопольского. Не-

учёт ПЗС с нелинейным режимом фильтрации приводит в расчётах к заниженному

значению дебита со значимыми погрешностями (диаграмма №7 на рис.31).

3). Радиусы ПЗС с нелинейным режимом фильтрации могут достигать величин до

50-60r

скв

(например, для условий 1-го случая r

≈ 500 – 600 см).

Таким образом, для газодобывающих скважин в расчётах дебитов необхо-

димо учитывать возможность появления ПЗС с нелинейным режимом фильтрации.

Для нефтедобывающих скважин в ПЗС практически всегда фильтрация подчиня-

ется линейному закону Дарси. Однако на больших удалениях от скважин, где ско-

рости фильтрации нефти малы, могут проявляться другие эффекты нелинейных

режимов течения – в частности, режимы с начальным сдвиговым градиентом дав-

ления.

139

4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе нефтедобы-

вающей скважины с гравийным фильтром

4.3.1. Постановка задачи.

В нефтепромысловой практике применяются сква-

жинные фильтры различных конструкций [10, 30, 81, 84, 134]. Гравийный

скважинный фильтр представляет из себя наиболее простую и дешёвую конст-

рукцию. Для его создания в открытую в продуктивном пласте часть ствола

скважины засыпают крупнозернистый материал (например, гравий) и, для пре-

дотвращения выноса засыпки током нефти, в верхней части ствола у кровли

пласта устанавливают пакер сетчатого типа. Принципиальная схема устройства

гравийного скважинного фильтра представлена на рис.33.

Целью данного параграфа является вывод уравнений для расчета гидротехни-

ческих характеристик нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром и ана-

лиз их решений. Подчеркнем, что в отличие от фильтров перфорационной конст-

рукции [30, 81], гидротехнические свойства гравийных фильтров в известной авто-

ру литературе не исследовались.

4.3.2. Вывод основных уравнений

(А) Вывод интегро-дифференциального уравнения для давления в фильтре сква-

жины

Будем рассматривать фильтрацию несжимаемой жидкости (нефти) к вер-

тикальной скважине, эксплуатирующей горизонтальный пласт с мощностью b

(рис.33). Поток жидкости внутри ствола скважины примем за одномерный, на-

правленный вдоль оси z, т.е. радиальной составляющей течения внутри ствола

скважины и неравномерностью потока по её сечению пренебрегаем. Поэтому

вертикальную составляющую u(z) скорости течения будем считать зависящей

только от одной координаты z. Приведенное давление

Р=р+ρgz, (1)

внутри скважины в первом приближении тоже считаем функцией только лишь

координаты z. Связь между скоростью u(z) и давлением Р в гравийном фильтре

скважины определяется из закона фильтрации

140

)u(f

−= , (2)

где f(u) – заданная функция, удовлетворяющая условию f(0)=0. В частности, ес-

ли в фильтре скважины фильтрация линейная, то

)u(f

= . (3)

Если в фильтре режим фильтрации подчиняется двучленному закону, то

f(u)=Au+Bu

, (4)

где А и В – некоторые экспериментально устанавливаемые положительные посто-

янные. Кроме (3), (4) под f(u) могут пониматься и другие законы фильтрации,

например степенные

⋅= uA)u(f . (5)

Если функция Р(z) будет найдена, то с помощью (2) можно определить

скорость u(z), а следовательно и дебит скважины

)b(urQ

⋅⋅π= . Для вывода

уравнения, которому должна удовлетворять функция Р(z), рассмотрим течение

к скважине между двумя бесконечно близкими плоскостями z и z+dz (рис.34).

Течение жидкости между плоскостями z и z+dz будем в первом приближении

рассматривать как плоско-радиальное. Поэтому величину притока dq(z) жидко-

сти к части боковой поверхности ствола скважины, заключенной между z и

z+dz, найдем по известной [7, 24, 68, 85, и др.] формуле Дюпюи:













⋅µ

⋅

−

⋅

П1

dz))z(PP(k2

)z(dq

, (6)

где Р

– давление на контуре питания r=R, а Р(z) – давление в скважине. К ве-

личине dq(z) добавляется поток со стороны поступающей снизу жидкости, рав-

ный

)z(ur

⋅⋅π (рис.34). Поэтому за одну единицу времени в участок скважины

[z, z+dz] поступает суммарный поток жидкости, равный )z(ur)z(dq

⋅⋅π+ .

Следовательно, в сечении скважины z+dz вертикальная составляющая скорости

потока будет равна