Тимофеев В.Н. (ред.) Применение магнитогидродинамических устройств в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
225
где М
д1
, М
д2
– внешние движущие моменты на первой и второй осях; М
п1
,
М
п2
– внешние противодействующие моменты на осях; J
1
, J
2
– моменты
инерции вращающихся масс на осях;
1
,
2
– угловые частоты вращающихся
осей.
В результате преобразований (5.8) получаем следующие выражения в
операторной форме при нулевых начальных условиях:
,iМM
,pJМM
,pJМM
пп1п2д
222п2д
111п1д
(5.9)
где i
п
=
1
/
2
– передаточное число кинематической цепи.
Уравнениям (5.9) соответствуют исходная (рис. 5.3, а) и
преобразованная (рис. 5.3, б) структурные схемы передачи. Последняя
структура дает выражения для коэффициентов приведения момента
сопротивления М
п2
и момента инерции J
2
к первой (входной) оси:
К
м
= 1/(i
п
n
), К
J
= 1/(i
2
п
n
). (5.10)
а)
б)
Рис. 5.3
2
2
1
J
i
пn
1
1
J
p
1
пп
i
1
2п
M
1д
M
1
w
1
1
J
p
1
п
i
1
2п
M
1д
M
1
w
2
w
пп
i
1
pJ
2
2д
M
1n
M
226
Заметим, что коэффициенты приведения для рассматриваемого
преобразователя можно получить также из общего уравнения движения
первого вала, получаемого при совместном решении уравнений (5.8),
М
д1
[1/(i
п
n
)] М
п2
=( J
1
+ [1/(i
2
п
n
)] J
2
) p
1
. (5.11)
После свертывания контура с отрицательной обратной связью структуру
рис. 5.3, б можно представить одномассовой моделью (рис. 5.4) с
приведенными значениями момента инерции и момента нагрузки
преобразователя J
пр
= J
1
+ [1/(i
2
п
n
)] J
2
, М
п2пр
= 1/i
п
n
М
п2
.
а) б)
Рис. 5.4
Далее рассмотрим последовательное соединение звеньев трехмассовой
механической передачи (рис. 5.5). При составлении дифференциальных уравнений
движения многомассовой взаимосвязанной механической системы используется принцип
Даламбера и, как и ранее, предполагается, что силы и моменты, действующие на систему,
приложены в местах сосредоточенных масс.
а)
б)
Рис. 5.5
1д
M
1п
M
1
w
2д
M
2п
M
2
w
1212
,
i
3
w
н
M
2323
,
i
3д
M
1
J
2
J
3
J
1д
M
1n
M
1
w
2д
M
2п
M
2
w
2121
,
i
3
w
3п
M
3232
,
i
н
M
1
J
2
J
3
J
пр
J
1
p
1
прп
M
2
1д
M
1
w
1д
M
прп
M
2
1
w
пр
J
227
С учетом изложенного исходная система дифференциальных уравнений движения
расчетной модели (рис. 5.5, а), когда энергия направлена от двигателя к рабочей машине,
может быть записана в следующем виде:
,
dt
d
JMM
,
dt
d
JMM
,
dt
d
JMM
3
3н3д
2
22п2д
1
11п1д
(5.12)
где
12121п2д
iММη
,
23232п3д
iММη
,
1212
i
,
2323
i .
Выполнив соответствующие подстановки, выражение (5.12) запишем в
изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях
,i
,i
,pJMiM
,pJMiM
,pJMM
2323
1212
33н23232п
222п12121п
111п1д
(5.13)
Уравнения (5.13) представим в виде
.i
,
i
MpJ
M
,i
,
i
MpJ
M
,
pJ
MM
2323
2323
н33
2п
1212
1212
2п22
1п
1
1п1д
1
(5.14)
228
Уравнения (5.14) лежат в основе построения детализированной
структурной схемы (рис. 5.6) трехмассовой взаимосвязанной механической
системы. Эта модель является базовой при прямом направлении передачи
энергии, поскольку она содержит полную информацию о свойствах
многомассовой механической системы и применима для выполнения путем
структурных преобразований операций приведения параметров и внешних
воздействий механического преобразователя к любой переменной
системы.
Рис. 5.6
Выполним операцию приведения системы к переменной
1
(валу
электродвигателя), для чего примем за входное воздействие М
д1
, а за
выходную переменную
1
и, после переноса точки съема входных сигналов
дифференцирующих звеньев J
2
p и J
3
p на вход интегратора (рис.5.7, а) и
сумматоров 2 и 3 на вход системы (рис.5.7, б) представим базовую
структурную схему в виде (рис.5.7, в) трехмассовой модели (рис. 5.7, б, в).
Рис. 5.7, а
1
1
J
p
1
12
1
i
н
M
1д
M
1
w
2
w
1212
1
i
pJ
2
2323
1
i
23
1
i
pJ
3
3
w
1
1
J
p
1
н
M
1д
M
1
w
1212
1
i
pJ
2
2323
1
i
pJ
3
1
2
3
229
б)
в)
Рис. 5.7
На этой модели обозначено:
К
Мн
= 1/(i
12
i
23
12
23
) = 1/(i
13
13
); К
J1
= 1;
К
J2
= 1/(i
12
2
12
), К
J3
= 1/(i
12
2
i
23
2
12
23
) = 1/(i
13
2
13
).
После ряда структурных преобразований (объединение двух
отрицательных обратных связей с коэффициентами передачи K
J2
J
2
и К
J3
J
3
в
одну с коэффициентом K
J2
J
2
+К
J3
J
3
и свертывание замкнутого контура с
коэффициентом передачи в прямом канале 1/(K
J1
J
1
)) схема рис. 5.7, в может
быть преобразована в одномассовую эквивалентную модель c приведенными
моментом инерции J
пр
и внешним воздействием М
н
(рис. 5.8). На основании
рис. 5.7, б имеем
J
пр
= К
J1
J
1
+ К
J2
J
2
+ К
J3
J
3
= J
1
+
12
2
12
i
1
η
J
2
+
13
2
13
i
1
η
J
3
,
М
нпр
= К
М
М
н
=
13
13
i
1
η
М
н
.
2
12
2
12
1
J
i
1
1
1
J
p
1
1313
1
i
н
M
1д
M
1
w
3
13
2
13
1
J
i
22
JK
J
11
1
JK
J
p
1
Mн
K
1
н
M
1д
M
1
w
33
JK
J
230
а) б)
Рис. 5.8
Перейдем к рассмотрению операции приведения системы к переменной
3
(валу рабочей машины). Для этого преобразуем исходную структуру рис.
5.6 таким образом, чтобы входным управляющим воздействием был момент
рабочей машины (М
н
), а выходной регулируемой переменной ее частота
вращения (
3
). В результате ряда структурных преобразований, отраженных
на рис. 5.9, а, в, получаем трехмассовую модель (рис. 5.9, г), из которой
можно записать:
.1K
,iK
,iiiK
,iiiK
3
2
1
1
J
23
2
23J
13
2
132312
2
23
2
12J
131323122312M
Рис. 5.9, а
пр
J
1
p
1
нпр
M
1д
M
1
w
1д
M
нпр
M
1
w
пр
J
1
1
J
p
1
12
1
i
н
M
1д
M
1
w
2
w
1313
1
i
piJ
)(
23232
23
1
i
pJ
3
3
w
231
б)
в)
г)
Рис.5.9
223
2
23
Ji
113
2
13
1
Ji
p
1
1313
i
1д
M
н
M
3
w
3
J
1
1
J
p
1
13
1
i
н
M
1д
M
1313
1
i
piJ )(
23
2
232
pJ
3
3
w
)(
1
13
2
131
iJ p
1
н
M
1д
M
1313
i
piJ )(
23
2
232
pJ
3
3
w
232
Последовательно свертывая безинерционные контуры с отрицательными
обратными связями (элементы 1/(i
2
13
13
J
1
), (i
2
23
23
)J
2
и J
3
), получим
структурную схему одномассовой эквивалентной модели преобразователя
(рис. 5.10). Из структуры рис. 5.9 находим выражения для приведенного
момента инерции J
пр
электропривода и вращающего момента двигателя:
1д13131д1Mпр1д
3223
2
23
113
2
13
32
2
J1
1
Jпр
M)i(MKM
,JJ)i(J)i(JJKJKJ
η
ηη
а) б)
Рис. 5.10
Произведем синтез модели механического преобразователя при
передаче энергии от рабочей машины к двигателю. Исходное математическое
описание для трехмассовой взаимосвязанной механической системы может
быть представлено системой уравнений, составленной по модели рис. 5.5,
б,
,i
,i
,iMМ
,iMМ
,
dt
d
JMM
,
dt
d
JMM
,
dt
d
JMM
2121
3232
21212п1д
32323п2д
1
11п1д
2
22п2д
3
33пн
(5.15)
пр
J
1
p
1
прд
M
1
н
M
3
w
н
M
прд
M
1
3
w
пр
J
233
или, после исключения М
д1
и М
д2
, в операторной форме при нулевых
начальных условиях
.i
,i
,pJMiM
,pJMiM
,pJMM
2121
3232
111п21212п
222п32323п
333пн
(5.16)
Учитывая, что i
32
=
23
i
1
, i
21
=
12
i
1
,
21
η =
12
η и
32
η =
23
η , получим
.i
,i
,pJM
i
1
M
,pJM
i
1
M
,pJMM
1212
2323
111п12
12
2п
222п23
23
3п
333пн
(5.17)
Для построения развернутой структуры модели трехмассовой
механической системы, представленной на рис. 5.11, уравнения (5.17)
перепишем в виде
.i
,pJMM
,i
,pJ
i
1
MM
,
pJ
M
i
1
M
2323
33н3п
1212
2223
23
3п2п
1
1п12
12
2п
1
(5.18)
234
Рис. 5.11
Приступим к выполнению операции приведения системы к переменной
1
(валу двигателя). Приняв за входное воздействие М
д
, а за выходную
переменную
1
, после несложных преобразований (рис. 5.12, a) представим
структуру (рис.5.11) в виде трехмассовой модели, приведенной к переменной
1
(рис. 5.12, б). Из модели следует, что коэффициенты приведения
параметров К
J1
, К
J2
, К
J3
и воздействия М
н
определяются выражениями:
13
13
2312
2312
н
M
iii
K
ηηη
, 1K
1
J
,
2
12
12
2
J
i
K
η
,
2
13
13
2
23
2
12
2312
3
J
iii
K
ηηη
.
Рис. 5.12, а
1
1
J
p
1
12
1
i
н
M
1п
M
1
w
2
w
12
12
i
pJ
2
23
23
i
23
1
i
pJ
3
3
w
1
2
1
1
J
p
1
12
1
i
н
M
1п
M
1
w
2
w
12
12
i
pJ
2
13
13
i
23
1
i
pJ
3
3
w
13
13
i