Тихоненков В.А. Конструирование и надежность измерительно-вычислительных комплексов летательных аппаратов
Подождите немного. Документ загружается.
41
[ ]
∏ ∏
+= =
−−=
к
ni
m
j
ijc
tPtP
1 1
2
)(11)(
;
(3.21)
[ ]
∏ ∏
+= =
−−−=
к
ni
m
j
ijc
tPtQ
1 1
2
)(111)(
.
IIIгр блоков – последовательное соединение.
Вероятность безотказной работы и вероятность отказа для данной груп-
пы определяются по формулам (3.1) и (3.2) и с учетом принятых индексов
имеют вид:
( )
∏
+=
=
L
кi
ic
tPtP
1
3
)(
;
(3.22)
( )
∏
+=
−=
L
кi
ic
tPtQ
1
3
1)(
.
Тогда вероятность безотказной работы системы со смешенным резерви-
рованием может быть определена как произведение вероятностей последова-
тельно соединенных подсистем:
∏
=
=⋅⋅=
3
1
321
)()()()()(
n
cncccc
tPtPtPtPtP
. (3.23)
Расчет вероятности отказа производится по аналогии и в дальнейшем
будем рассматривать только вероятность безотказной работы, так как именно
данный показатель надежности, как правило интересует разработчика и по-
требителя.
При условии равной надежности всех блоков при смешенном резервиро-
вании вероятности безотказной работы для всех групп будут иметь вид:
[ ]
{
}
m
n
c
tPtP )(-1-1)(
1
= ;
[ ]
{
}
;)(-1-1)(
-
2
nк
m
c
tPtP = (3.24)
P
c3
(t) = P(t)
L-к
.
42
3.3. Оценка эффективности пассивного нагруженного
резервирования.
Оценка эффективности нагруженного резервирования заключается в оп-
ределении какой из способов резервирования (общее или поэлементное) дает
большую надежность системы.
Обозначим Р(t) =1 – Q(t) и подставим в функции вероятности безотказ-
ной работы для обоих типов резервирования.
Для общего резервирования с Р
i
(t) = const
[ ]
{
}
m
n
op
tQtP )(1-1-1)( −=
. (3.25)
Для поэлементного резервирования с Р
i
(t) = const
[
]
n
m
пр
tQP )(1−=
. (3.26)
Разложим в ряд Маклорена полученные выражения и ограничимся при
рассмотрении линейными членами ряда. Такое упрощение оправданно, так
как Р(t) → 1 и Q(t) → 0. Принимая во внимание, что
[
]
)(1)(1 tQntQ
n
⋅−≈−
, получим:
[
]
[
]
.)()(;)(1)(
;)()(;)(1)(
m
пр
m
пр
m
op
m
op
tQntQtQntP
tQntQtQntP
⋅=⋅−=
⋅=⋅−=
(3.27)
Взяв их отношение отказов, получим:
1
)(
)(
)(
)(
−
=
⋅
⋅
=
m
m
mm
пр
op
n
tQn
tQn
tQ
tQ
. (3.28)
Это выражение показывает, что поэлементное резервирование в n
m-1
раз
эффективнее общего резервирования. Например при m=3 и n=3; n
m-1
= 3
2
= 9
раз, то есть вероятность отказов в системе с общим резервированием в 9 раз
больше, чем при поэлементном резервировании.
Одним из основных параметров резервирования является кратность, то
есть отношение резервных элементов l – k, к числу функционально необхо-
димых для работы системы элементов k, где l – общее число элементов.
43
Кратность равна:
k
kl
−
=
µ
. Кратность резервирования может быть как це-
лым, так и дробным числом.
Рассмотрим влияние кратности резервирования
µ
на надежность систе-
мы и определим рациональные случаи ее применения. Воспользуемся для
этого графической зависимостью вероятности безотказной работы системы
Р
с
(t) от вероятности безотказной работы составляющих блоков P
i
(t) при
различной кратности резерва (см. рис. 3.6). Кривая
µ
=0 соответствует рабо-
те системы без резервирования, а кривые
µ
= 1 и
µ
=2 – одно и двукратно-
му резервированию. Откуда видно, что Р
с
(t)
при низкой надежности блоков Р
i
(t) ≤
≤≤
≤ 1,0-
0,5 резервирование вообще нецелесо- µ =1
образно. При высоких значениях Р
i
(t) µ = 2
резервирование дает значительный эф- 0,5- µ =0
фект, который тем больше, чем выше
кратность резервирования. Применяя
резервирование всегда необходимо пом- - | | P
i
(t)
нить, что его использование всегда при- 0 0,5 1,0
водит к усложнению системы, увеличе- Рис. 3.6.
нию массы, габаритов и стоимости.
Поэтому всегда необходимо оценивать эффективность применения резерви-
рования, как в части технических характеристик (Р
с
(t), габариты, масса), так и
с экономической точки зрения (см. выше).
3.4. Задания к выполнению самостоятельной работы.
Найти выражение вероятности безотказной работы для заданной логиче-
ской схемы системы и рассчитать вероятность безотказной работы и среднее
время наработки на отказ системы, если известно:
- отказы всех подсистем независимы и имеют экспоненциальный ха-
рактер;
- все подсистемы равновероятны.
Вариант 1.
∅
1 2 3 4
∅
5 6 7
8
9 10
44
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 9, 10, 4 подсистем.
Вариант 2.
∅
1 2 3 4 5
∅
6 7
8
9
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 6, 7, подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 9, 4, 5 подсистем.
Вариант 3.
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
45
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 2, 3, 4, 5, 6 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 4, 5, 6, 7 подсистем.
∅
1 2 3
∅
4 5 6 7
8 9
10
Вариант 4.
∅
1 2 3 4 5
∅
6 7 8
9
10
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 3, 4, 5, 9 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 4, 5, 10 подсистем.
46
Вариант 5.
∅
1
2 3 4 5
∅
6 7
8
9
10
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 8 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 9 подсистем.
Вариант 6.
∅
1 2 3 4 5
∅
6 7
8 9
10
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
47
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 4, 5, 8 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 8, 9 подсистем.
Вариант 7.
∅
1 2 3 4 5
∅
6 7
8 9
10
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 9 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 4, 5, 10 подсистем.
Вариант 8.
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 4, 5, 7 подсистем.
48
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 5, 8, 9 подсистем.
∅
1 2 3 4 5
∅
6
7
8 9
Вариант 9.
∅
1 2 3 4 5
∅
6
7
8 9
10
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 4, 5, 7 подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 4, 5, 8, 9 подсистем.
49
Вариант 10.
∅
1 2 3 4 5
∅
6
7
8 9
а) интенсивность отказов подсистем
λ
= 1⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,1T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 3, 4, 5 подсистем.
b) интенсивность отказов подсистем
λ
= 3⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,3T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 2, 7, подсистем.
c) интенсивность отказов подсистем
λ
= 5⋅10
-5
1/ч;
вероятность безотказной работы системы определить для t = 0,5T
’
сcр
,
где Т
’
сср
– время наработки на отказ не резервированной системы, со-
стоящей из 1, 8, 9 подсистем.
4. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТНОЙ НАДЕЖНОСТИ
На стадии технического предложения или начальной стадии эскизного
проекта, когда состав и принципиальные схемы в первом приближении уже
известны, а режимы их работы и эксплуатации системы еще отсутствуют,
проводят ориентировочную оценку надежности с целью проверки выполне-
ния требований по надежности, установленных в ТЗ.
4.1. Ориентировочная оценка надежности.
Эта оценка учитывает влияние на надежность в основном количества и
типа применяемых элементов. Основывается она на следующих допущениях:
- отказы элементов являются случайными независимыми событиями;
- все элементы одного типа имеют равную надежность и работают в но-
минальном режиме;
- учитываются только элементы, входящие в основную функциональную
схему системы;
50
- вероятность их безотказной работы изменяется по экспоненциальному
закону;
- отказ любого элемента приводит к отказу всей системы;
- все элементы работают одновременно.
Исходными данными для расчета являются:
- число блоков в системе (N);
- число элементов в блоках системы (n
i
);
- интенсивность отказов блоков (
λ
i
);
- интенсивность отказов элементов (
λ
j
);
В этом случае вероятность безотказной работы системы, согласно (3.1),
определяется:
∏
=
=
N
i
ic
tPtP
1
)()(
,
где P
i
(t) = exp(-
λ
i
⋅
t) – вероятность безотказной работы i блока.
Тогда
∑
=
⋅−=
N
i
iс
ttP
1
)exp()(
λ
,
но так как
λ
i
– интенсивность отказов i блока, то, выражая ее через ин-
тенсивность отказов элементов входящих в блок, согласно (3.3), будем иметь:
∑
=
=
i
n
j
ji
1
λλ
.
Тогда в общем виде вероятность безотказной работы системы может
быть представлена:
∑ ∑
= =
⋅−=
N
i
n
j
jc
i
ttP
1 1
)exp()(
λ
. (4.1)
При ориентировочных оценках надежности особенности эксплуатации
(если они известны) учитываются с помощью поправочных коэффициентов k
λ
следующим образом:
λ
j
=
λ
jн
⋅
k
λ
,
(4.2)
где λ
jн
– интенсивность отказов элементов в нормальных условиях эксплуа-
тации.