Тихоненков В.А. Конструирование и надежность измерительно-вычислительных комплексов летательных аппаратов
Подождите немного. Документ загружается.
61
Если же в процессе отказа выявлены отказы программного обеспечения
(ПО), то в зависимости от организации работы ПК после отказа (проявление
скрытой ошибки) программа либо будет, либо не будет скорректирована. В
первом случае работа системы восстанавливается сразу при продолжении
расчетов с другими исходными данными, и ошибка проявляется в дальней-
шем только при определенной комбинации исходных данных. Интенсивность
и параметр потока отказов программы при этом остается неизменным. Если
же после отказа программы решено исправлять проявившуюся скрытую
ошибку в программе, то корректирование текста программы вместе с необхо-
димой отладкой может занимать значительное время. С учетом всех особен-
ностей расчета надежности восстанавливаемых систем в дальнейшем особое
внимание будет уделяться упрощенному методу расчета их надежности.
5.1. Основные количественные показатели надежности
ремонтируемых систем без учета времени на восстановление
При оценке надежности ремонтируемых систем большое значение имеет
время восстановления. Надежность таких систем можно оценить, рассматри-
вая последовательность отказов – восстановлений. В простейшем случае, ко-
гда показателем надежности выбран параметр потока отказов, временем вос-
становления пренебрегают, так как обычно время восстановления на несколь-
ко порядков меньше времени безотказной работы.
Для простейших стационарных потоков отказов
ω
(t) = const, а значения
ω
и
λ
совпадают, то есть
ω
(t) =
λ
(t) =
λ
=
ω
. В этом случае простейший по-
ток отказов определяет следующие показатели надежности системы:
- вероятность n – отказов за время
τ
определяется законом Пуассона
( )
(
)
τλ
τλ
τ
⋅−
⋅
⋅
= e
n
Q
n
п
!
; (5.2)
- функция плотности вероятности при экспоненциальном законе распре-
деления имеет вид
f(
τ
) =
λ
⋅
e
-
λ⋅τ
; (5.3)
- среднее число отказов m
n
за время
τ
, то есть среднее их количество
n
ср
= m
n
=
λ⋅τ
; (5.4)
- вероятность безотказной работы между отказами в интервале времени
τ
62
( ) ( )
−=
∫
2
1
exp
t
t
dtttP
ω
,
а при экспоненциальном законе распределения
(
)
[
]
τλ
τλ
⋅−
=⋅−= etP exp
; (5.5)
- средняя наработка на отказ при экспоненциальном распределении
λ
1
=
ср
t
. (5.6)
Средней наработкой на отказ t
ср
– называется среднее время между со-
седними отказами, при условии восстановления каждого отказавшего элемен-
та. Эта характеристика эквивалентна среднему времени безотказной работы
неремонтируемой аппаратуры Т
ср
, которая характеризует систему до первого
отказа. Эту характеристику можно определить из статистических данных об
отказах по формуле:
∑
=
⋅=
n
i
iср
t
n
t
1
1
,
где n – число отказов РЭА за время t;
t
i
– время работы исправной аппаратуры между i-1 и i отказами.
Этой формулой удобно пользоваться, если t
ср
определяется по данным
об отказах одного образца. Если испытания проводятся с партией образцов
N
o
, то средняя наработка на отказ определяется по формуле:
∑∑∑
===
⋅
⋅
=⋅=
n
i
ij
N
j
o
N
j
ср
j
o
ср
t
nN
t
N
t
oo
111
11
, (5.7)
где t
срj
– среднее время между отказами j образца (см. предыдущую фор-
мулу);
t
ij
– время работы исправной аппаратуры между i-1 и i отказами j
образца.
Достоинством данного показателя являются простота определения и на-
глядность характеристики в процессе эксплуатации.
К недостаткам можно отнести:
- для полноты оценки надежности аппаратуры по t
ср
необходимо знать
среднеквадратическое отклонение времени отказов;
63
- в процессе экспериментальных исследований, ввиду сложности аппара-
туры, t
ср
разных образцов могут значительно отличаться.
Представленные количественные показатели надежности P(t), t
ср
и
ω
(t) =
λ
являются количественными показателями безотказной работы ремонти-
руемых изделий, когда потерями времени на восстановление можно пренеб-
речь в силу их малости.
Кроме количественных показателей безотказности, по аналогии с нере-
монтируемой аппаратурой, ремонтируемые системы характеризуются показа-
телем сохраняемости между отказами, которым является плотность вероятно-
сти отказов, подчиняющимся экспоненциальному закону распределения
(
)
τλ
λτ
⋅−
⋅=
c
ef
cc
.
Остальные показатели: Р
с
(
τ
) – вероятность сохраняемости за время
τ
;
Т
срс
– средний срок сохраняемости;
λ
- интенсивность отказов при хранении –
определяются по тем же аналитическим выражениям, что и для неремонти-
руемых систем.
5.2. Основные количественные показатели надежности
ремонтируемых систем с учетом времени восстановления
В случае, когда потери времени при восстановлении имеют существен-
ное значение при оценке качества процесса эксплуатации системы, то, в зави-
симости от характера учета времени восстановления, системы можно разде-
лить на две группы:
1. Объекты, для которых в течение времени работы допускаются отказы
и вызванные ими кратковременные перерывы в работе (для ремонта, который
заключается, как правило, в замене отказавших элементов с целью сокраще-
ния времени восстановления). Для этой группы большое значение имеет
свойство готовности - способности находиться в процессе эксплуатации
максимальное время (в работоспособном и готовом к применению состоянии
в течение некоторой наработки).
2. Объекты, отказы которых в течение заданного времени недопустимы.
Если в этих системах предусмотрена избыточность, то при отказах некоторых
элементов объект остается работоспособным и можно проводить ремонт в
процессе эксплуатации изделия. Для этой группы большое значение имеет
свойство ремонтопригодности – свойство изделия, заключающееся в при-
способленности его к предупреждению, обнаружению причин возникновения
отказов и устранению их последствий путем проведения ремонта и техниче-
ского обслуживания.
Для систем первой группы после отказа объект находится в неработоспо-
собном состоянии, то есть ремонтируется, после чего объект приводится в
64
работоспособное состояние. Возможные периоды выключения объекта (вы-
нужденные перерывы, например хранение, перерывы в питании или планово-
предупредительные мероприятия), когда он не отказывает, не рассматрива-
ются. Процесс эксплуатации в этом случае представляет собой поток чере-
дующихся событий – отказов и восстановлений. На рисунке 5.1 изображен
поток этих событий, причем
τ
oi
и
τ
вi
означают соответственно интервалы
времени от i-1 восстановления до i отказа и от i отказа до i восстановле-
ния. Через t
oi
и t
вi
обозначены соответственно моменты времени i отказа и
i восстановления, считая с начала эксплуатации объекта. В рассматриваемом
примере, кроме безотказности и сохраняемости, надежность ремонтируемых
приборов характеризуется показателями готовности и ремонтопригодности.
τ
о1
τ
в1
τ
о2
τ
в2
τ
вi
τ
o(i+1)
t
t
o1
t
в1
t
o2
t
в2
t
oi
tвi
Рис. 5.1
Тогда по определению готовности, как вероятности нахождения случай-
ного значения времени t в промежутке от t
вi
до t
o(i+1)
, можно записать
( )
( )
∑
∞
=
+
≤<=
0
)1(
i
ioвiг
tttPtP
,
откуда при допущении о том, что восстановление полное, то есть что надеж-
ностные свойства объекта после восстановления не изменяются, может быть
получено операторное выражение в Лапласовых изображениях
( )
(
)
( ) ( )
ss
s
s
sP
вo
o
г
**
*
1
1
1
ϕϕ
ϕ
⋅−
−
⋅=
, (5.8)
где
ϕ
о
*
(s) и
ϕ
в
*
(s) – функции плотности вероятностей отказа и восстановле-
ния в Лапласовых изображениях соответственно;
s – оператор Лапласа.
65
При экспоненциальном законе распределения функции плотности веро-
ятностей отказа и восстановления, выраженные через интенсивность отказа
λ
и интенсивность восстановления
µ
, будут соответственно иметь вид:
ϕ
о
(t) =
λ⋅
e
-
λ⋅
t
и
ϕ
в
(t) =
µ⋅
e
-
µ⋅
t
,
а их изображения
ϕ
о
*
(s) =
λ
/(s+
λ
) и
ϕ
в
*
(s) =
µ
/(s +
µ
) .
Тогда подставляя изображения в формулу (5.8), получим:
( )
(
)
( ) ( )
[ ]
λµ
µ
µλλµ
λ
λ
⋅+⋅+
+
=
+⋅+⋅−
+
−
⋅=
sss
s
ss
s
s
sP
г
2
*
/1
/11
. (5.9)
Исходя из того, что готовность характеризует вероятность нахождения
ремонтируемого изделия в любой момент времени в работоспособном со-
стоянии и, переходя в выражении (5.9) от Лапласовых изображений к ориги-
налу, можно записать:
( ) ( )
[ ]
ttP
г
⋅+−⋅
+
+
+
=
µλ
λµ
λ
λµ
µ
exp
. (5.10)
Для оценки надежности ремонтируемой аппаратуры часто вводят поня-
тие коэффициента готовности, который определяет готовность изделия при
t → ∞
( )
λµ
µ
+
==
∞→t
гг
tPK lim
. (5.11)
Так как
λµ
λ
λµ
µ
+
=
+
−=− 11
г
K
,
то, выражая готовность через коэффициент готовности, можно записать:
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
⋅−⋅++=⋅⋅+−⋅−+= t
K
KKtKKtP
г
ггггг
µ
µµµλ
exp1exp1
. (5.12)
Готовность и коэффициент готовности могут быть выражены через
среднее время наработки на отказ t
ср
= 1/
λ
и среднее время восстановления
(вынужденного простоя) t
в
= 1/
µ
:
вср
ср
г
tt
t
K
+
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
=
λµ
λ
λµ
λµ
µλ
µ
11
1
)(1
)(1
, (5.13)
66
и
( ) ( )
⋅
−⋅−+=
вг
ггг
tK
t
KKtP exp1
. (5.14)
Если ввести обозначение ρ =
λ
/
µ
= t
в
/t
ср
, то
ρ
+
=
1
1
г
K
и
ρ
ρ
+
=−
1
1
г
K
. (5.15)
Тогда, считая что t
ср
» t
в
(на практике это условие, как правило, выполня-
ется), готовность можно записать в виде
(
)
(
)
tKtP
гг
⋅−⋅+=
µρ
exp
. (5.16)
Р
г
(t)
1,0-
ρ = 0,02
ρ = 0,05
ρ = 0,1
0,9-
ρ = 0,15
ρ = 0,2
0,8-
ρ = 0,3
ρ = 0,4
0,7-
t
Рис. 5.2
Из выражений (5.15) и (5.16) видно, что при t → ∞ готовность Р
г
(t) →
K
г
, а при увеличении ρ коэффициент готовности и готовность уменьшаются.
При этом продолжительность переходного процесса определяется величиной
интенсивности восстановления
µ
(чем больше
µ
, тем быстрее наступает
стационарное значение Р
г
(t) = K
г
). На рисунке 5.2 показана зависимость
функции готовности Р
г
(t) от коэффициента ρ.
Построенные на рисунке 5.2 графики соответствуют
µ
= 0,2 1/ч. Соот-
ветствующая зависимость для
µ
= 1 1/ч при ρ = 0,2 приведена пунктиром.
При ρ << 1 и значительных
µ
(система с высоким уровнем безотказности и
67
ремонтопригодности) продолжительность переходного процесса для Р
г
(t)
определяется в основном значением
µ
.
При
λ
= const и
µ
= const в начальный период эксплуатации объекта
значения готовности Р
г
(t) приближенно равны вероятности безотказной рабо-
ты Р(t) на интервале времени (0, t). Это наглядно видно на рисунке 5.3.
Чтобы избежать трудоемких вы- Р(t) Р
г
(t)
числений Р
г
(t) в нестационар-
ный период, считают, что до не- 1-
которого момента времени t
y
,
при котором Р
г
(t
у
) = К
г
значе- P
г
(t)
ния Р
г
(t) совпадают с Р(t), а K
г
–
при t
≥
t
y
– равны К
г
. При этом
максимальная погрешность бу-
дет в точке t
y
, которую можно
найти из условия Р(t)= К
г
или
Р(t)
( )
г
вср
ср
t
К
tt
t
etP =
+
==
⋅−
λ
.
Откуда t
t
y
гсргy
KtKt lnln
1
⋅−=⋅−=
λ
. Рис. 5.3
Подставляя полученное выражение для t
y
в формулу (5.14) и выражая
К
г
через t
ср
и t
в
, получим:
( )
( ) ( ) ( )
гг
г
вг
гср
К
ггг
К
K
гг
tК
Kt
ггyг
КККеККеКKtP
−−⋅
⋅
⋅−+=⋅−+=⋅−+=
1
1
1
ln
ln
111
. (5.17)
Тогда максимальная относительная погрешность может быть определена
как:
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
%100
1
1
%100
1
1
1
1
⋅
⋅−+
⋅−
=⋅
−
=
−
−
г
г
К
ггг
К
гг
yг
гyг
г
ККК
КK
tР
KtP
tP
δ
. (5.18)
Полученное выражение максимальной относительной погрешности
можно упростить, если принять что на практике К
г
≥ 0,9 и близок к 1, то
( )
г
К
ггг
КKK
−
⋅−>>
1
1
1
.
68
Тогда, пренебрегая величинами второго порядка малости, уравнение
(5.18) можно записать в виде
( )
[ ]
( )
%100
1
1
1
⋅
⋅−
=
−
г
К
гг
г
К
КK
tP
г
δ
. (5.19)
Анализ полученного выражения показывает, что при К
г
≥ 0,9 погреш-
ность не превышает 4% и быстро уменьшается с ростом К
г
. Таким образом
для высоконадежных систем можно с достаточной точностью утверждать,
что
при t < t
y
Р
г
(t) = Р(t);
при t
≥
t
y
Р
г
(t) = K
г
.
Поэтому коэффициент готовности оценивает вероятность застать ремон-
тируемое изделие в работоспособном состоянии в установившихся условиях
эксплуатации после t
≥
t
y
.
Кроме того, это утверждение говорит о правильности полученных выра-
жений (5.3) – (5.6) для случая, когда временем ремонта пренебрегали как ве-
личинами второго порядка малости по сравнению со средним временем нара-
ботки на отказ.
В состоянии ремонта и профилактики у ремонтируемых изделий кроме
коэффициента готовности рассматривают их свойство ремонтопригодности.
Вероятностным количественным показателем ремонтопригодности является
вероятность восстановления изделия Р
в
(t) в заданное время t
взад
, которая
представляет собой вероятность того, что возникший отказ будет обнаружен
и устранен в течение заданного интервала времени
( ) ( )
в
взад
взад
t
t
t
взадвв
ееttPtP
−
⋅−
−=−=≤= 11
µ
. (5.20)
Количественным показателем ремонтопригодности чаще всего является
коэффициент ремонтопригодности
впрср
впр
p
ttt
tt
K
++
+
=
, (5.21)
который фактически является коэффициентом простоя и означает вероят-
ность застать аппаратуру в состоянии ремонта. Для рассматриваемого случая
на рисунке 5.1, когда не учитывается t
пр
– продолжительность состояния
профилактики, коэффициент ремонтопригодности, по аналогии с коэффици-
ентом готовности, можно представить в виде:
69
(
)
г
вср
срсрв
вср
в
р
К
tt
ttt
tt
t
K −=
+
−
+
=
+
= 1
. (5.22)
Откуда видно, что сумма коэффициентов готовности и ремонтопригод-
ности равна единице
К
г
+ К
р
= 1 . (5.23)
Полученное выражение говорит о том, что количественные показатели
надежности в виде коэффициента готовности и коэффициента ремонтопри-
годности в сумме составляют полное событие и, по аналогии с понятиями ве-
роятности отказа и вероятности безотказной работы, являются описанием
противоположных событий.
Таким образом, показатели Р(t), Р
г
(t),
λ
,
µ
, t
ср
, t
в
, К
г
, К
р
являются основ-
ными количественными показателями готовности и ремонтопригодности вос-
станавливаемых систем.
Если система представлена n количеством подсистем, то для восстанав-
ливаемых не резервированных систем логической схемой для расчета надеж-
ности является последовательное включение подсистем, для которых количе-
ственные показатели надежности определяются:
∑
=
=
n
i
i
1
λλ
; (5.24)
∑
=
+−=
n
i
гiг
KnK
1
1
; (5.25)
г
K−
=
1
λ
µ
; (5.26)
где
λ
−
интенсивность отказов последовательной группы из n подсистем;
К
г
– коэффициент готовности последовательной группы из n подсистем;
µ
−
интенсивность восстановлений последовательной группы из n под-
систем;
λ
i
−
интенсивность отказов отдельных подсистем;
К
гi
– коэффициент готовности отдельных подсистем;
µ
i
−
интенсивность восстановлений отдельных подсистем;
5.3. Основные количественные показатели надежности
резервированных ремонтируемых систем
Исследование и оценка надежности резервированных восстанавливае-
мых систем при помощи методов , изложенных ранее, наталкивается на труд-
ности, связанные с тем, что процессы отказов – восстановлений в резерви-
70
рующих друг друга подсистемах необходимо рассматривать совместно, оце-
нивая возможность совпадения отказовых состояний подсистем. На ри-
сунке 5.4 представлена временная ди-
1 t аграмма работы резервированной сис-
2 t темы с восстановлением. На рисунке
3 t изображен процесс отказов – восстанов-
лений подсистемы 1 с одной резерв-
Рис. 5.4 ной подсистемой 2, а также системы
3. Наиболее подходящими для иссле-
дования и оценки надежности таких систем являются методы, основанные на
теории марковских процессов [30]. Марковские процессы позволяют описы-
вать последовательности отказов – восстановлений в системах при помощи
графа состояния.
Граф состояний – направленный граф, вершины которого изображают
отдельные состояния системы, а дуги – переходы из одного состояния в дру-
гое. В задачах теории надежности каждой комбинации отказовых и работо-
способных состояний подсистем соответствует одно состояние системы. Чис-
ло состояний системы n = 2
k
, где k – количество подсистем. Чтобы умень-
шить число рассматриваемых состояний, в случае однотипных подсистем,
работающих в одинаковых условиях (в однородной системе), состояния с
одинаковым количеством отказавших подсистем объединяются. Тогда общее
число состояний системы n
1
= k + 1, определяемое как k отказовых состоя-
ний, и еще одно состояние, когда отказов нет.
Наиболее часто для расчета надежности применяется метод марковских
цепей с непрерывным временем, основанный на следующей системе диффе-
ренциальных уравнений:
(
)
( )
Λ⋅= tp
dt
tdp
, (5.27)
где
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅=
dt
tdp
dt
tdp
dt
tdp
dt
tdp
n
...
21
;
−
−
−
=Λ
∑
∑
∑
−
=
≠=
=
1
1
21
2
2,1
2121
112
2
1
...
............
...
...
n
i
ninn
n
n
ii
n
n
i
i
λλλ
λλλ
λλλ
− матрица интенсивностей переходов;
λ
ij
– интенсивность перехода системы из i состояния в j;
p
i
– вероятность того, что система находится в i состоянии.
На практике часто встречается необходимость оценки надежности доста-
точно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае