Сумець О.М. Основи операційного менеджменту: теоретичний аспект і практичні завдання

Подождите немного. Документ загружается.

381

Ðîçä³ë 7

Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ³ ìåòîäè â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

+ à

+ … + à

≥ ñ

;

+ à

+ … + à

≥ ñ

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ à

+ … + à

≥ ñ

Äî âñ³õ öèõ âèìîã âàðòî äîäàòè ùå îäíó — íåçàïåðå÷íîñò³

óñ³õ ó, îñê³ëüêè î÷åâèäíî, ùî ö³íè íà ñèðîâèíó íå ìîæóòü áóòè

íåãàòèâíèìè ïîêàçíèêàìè

≥ 0, ó

≥ 0, …, y

≥ 0...

Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ, ùî â³äáèâàº ì³í³ìàëüí³ âèòðàòè íà ñèðîâè-

íó, îïèñàíà çàëåæí³ñòþ (7.11).

Îòæå, ðîçãëÿíóò³ äâà çàâäàííÿ º âçàºìíî ïîäâ³éíèìè, ç ÿêè-

ìè îïåðàö³éíèì ìåíåäæåðàì ó ðåàëüíîìó æèòò³ äîâîäèòüñÿ çó-

ñòð³÷àòèñÿ äîñèòü ÷àñòî.

Ïðèì³òêà. Íà ïðàêòèö³ ³ñíóº âèçíà÷åíà ê³ëüê³ñòü çàâäàíü

êåðóâàííÿ, ó ÿêèõ êåðóâàëüí³ ïåðåì³íí³ ìîæóòü áóòè ò³ëüêè ö³ëè-

ìè ÷èñëàìè. Íàïðèêëàä, çàâäàííÿ âèçíà÷åííÿ îïòèìàëüíî¿ ÷è-

ñåëüíîñò³ ðóõîìîãî ñêëàäó íà ìàðøðóò³ òîùî. Òîáòî â äàíèõ

âèïàäêàõ îáñÿã ðóõîìîãî ñêëàäó, ê³ëüê³ñòü ðîáî÷èõ º ò³ëüêè ö³ëèìè

÷èñëàìè. À òîìó òàê³ çàâäàííÿ ïîâèíí³ ôîðìóëþâàòèñÿ îïåðà-

ö³éíèì ìåíåäæåðîì ÿê äëÿ ö³ëå÷èñëåííîãî ïðîãðàìóâàííÿ.

Âèð³øóâàòèñÿ âîíè ìîæóòü ò³ëüêè çà âèêîðèñòàííÿ äåùî ³íøîãî

ï³äõîäó, í³æ ó ïîïåðåäí³ ðàçè. Íàïðèêëàä, çàäîâ³ëüí³ ðåçóëüòàòè çà

âèð³øåííÿ òàêèõ çàâäàíü äàº âèêîðèñòàííÿ ãðàô³÷íèõ ìåòîä³â —

ãåîìåòðè÷íî¿ ³íòåðïðåòàö³¿ çàâäàííÿ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ.

7.2.3 Çàâäàííÿ êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ

Ðåàëüíå æèòòÿ íàñè÷åíå ïðèêëàäàìè, êîëè àíàë³çîâàí³

ïðîöåñè, âëàñòèâîñò³ ìîæóòü áóòè ïðåäñòàâëåí³ ëèøå êâàäðà-

òè÷íèìè ôóíêö³ÿìè. Òîìó çàâäàííÿ îïòèì³çàö³¿ ç ë³í³éíèìè

382

Î. Ì. Ñóìåöü

Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó

îáìåæåííÿìè íàçèâàþòü çàâäàííÿìè êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðà-

ìóâàííÿ, àëå çà óìîâè, ÿêùî ¿õí³ ö³ëüîâ³ ôóíêö³¿ êâàäðàòè÷í³. Ïðè-

÷îìó ïðÿìå çàâäàííÿ ìîæíà ñôîðìóëþâàòè òàê: ìàêñèì³çóâàòè

Ô = ñò õ + õ

Äõ → max (7.12)

çà óìîâè

x ≥ 0, Ax ≤ â. (7.13)

Äëÿ çàáåçïå÷åííÿ îïòèìàëüíîãî âèð³øåííÿ âàðòî ïðèéíÿòè,

ùî Ä — ñèìåòðè÷íà íåãàòèâíî âèçíà÷åíà ìàòðèöÿ.

Ïðèêëàä. ª îïåðàö³éíà ñèñòåìà êåðóâàííÿ ç äèñêðåòíèì

÷àñîì. Ïðåäñòàâèìî ¿¿ íàñòóïíèìè ð³âíÿííÿìè:











Hxy

BuAxx

(7.14)

äå õ

= (õ

, õ

, …, õ

);

— â³äîìà âèõ³äíà óìîâà;

u — ïîñë³äîâí³ñòü âõ³äíèõ ñèãíàë³â (êîìàíä êåðóâàííÿ).

Òîä³

u = (u

, u

, …, u

n–1

)

...

Òóò íèæí³ ³íäåêñè — äèñêðåòí³ ìîìåíòè ÷àñó.

Äëÿ ñïðîùåííÿ ð³øåíü áóäåìî âèçíà÷àòè âõ³äí³ ñèãíàëè ÿê

ñêàëÿðí³ âåëè÷èíè.

Âèõ³äí³ ñèãíàëè îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè ïîçíà÷èìî ÷åðåç ó

ðèñ. 7.9). Ïðè öüîìó «âíóòð³øí³é ñòàí» ñèñòåìè õ îïèñóâàòèìåòü-

ñÿ ð³âíÿííÿì (7.14).

Ïîñòàíîâêà çàâäàííÿ: íåîáõ³äíî âèáðàòè òàêå ð³âíÿííÿ u,

ÿêå á çàáåçïå÷óâàëî ì³í³ìàëüíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿

J = y(Qy) + u(Ru) → min, (7.15)

Q > 0, R > 0. (7.16)

383

Ðîçä³ë 7

Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ³ ìåòîäè â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

. . . . . . . .. . . . . . . .

ВХІÄ (êå

ðó

âàëüí³

êîìàíäè)

ВИХІÄ

ТРÀНÑФОРМÀ-

ЦІЙ НИЙ

ПРОЦЕÑ ( )

-1

Ðèñ. 7.9 Ñõåìà åëåìåíòàðíî¿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè êåðóâàííÿ

Ð³øåííÿ. Ï³äñòàâèâøè ð³âíÿííÿ (7.14) ó âèðàç (7.15), îäåðæèìî

J = x

(QHx) + u

(Ru) =

= x

0 ò

(QHAx

) + 2u

ÓòQHAx

+ (7.17)

+ u

(R + ÓòH

QHB) u.

Îòæå, ì³í³ìóì ôóíêö³¿ J áóäå äîñÿãíóòèé çà

u = –(R + ÓòH

(QHB))

–1

* ÓòH

(QHAx

). (7.18)

Äàíèé ïðèêëàä äåìîíñòðóº òå, ùî çà âèêîðèñòàííÿì ìàòå-

ìàòè÷íîãî àïàðàòà — ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ — ìîæíà âèð³-

øóâàòè ïðàêòè÷í³ óïðàâë³íñüê³ çàâäàííÿ, ÿêùî âîíè îïèñóþòüñÿ

íàâ³òü ñêëàäíèìè êâàäðàòè÷íèìè ôóíêö³ÿìè.

7.2.4 Ñèìïëåêñ-ìåòîä

Îïåðàö³éí³ ìåíåäæåðè ìîæóòü çàñòîñîâóâàòè éîãî äëÿ âè-

ð³øåííÿ çàâäàíü ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ çàãàëüíîãî òèïó. Çà-

ðàç äëÿ ðåàë³çàö³¿ ñèìïëåêñ-ìåòîäó ³ñíóº äîñòàòíº ÷èñëî ñòàí-

äàðòíèõ ïðîãðàì, âèêîðèñòîâóâàíèõ ó ñó÷àñíèõ êîìï’þòåðàõ.

Ñòàíäàðòíèé âèãëÿä çàâäàííÿ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ.

Ðîçãëÿíåìî çàãàëüíèé âèïàäîê ðîçâ’ÿçàííÿ çàâäàííÿ ë³í³éíî-

ãî ïðîãðàìóâàííÿ, êîëè íåîáõ³äíî â³äíàéòè n ïåðåì³ííó, ùî â³äïî-

â³äàº ì³í³ìàëüíîìó çíà÷åííþ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ ³ âïèñóºòüñÿ ó ñèñ-

òåìè (7.2) ³ (7.5).

384

Î. Ì. Ñóìåöü

Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó

Ï³ñëÿ ðÿäó ïåðåòâîðåíü ³ ââåäåííÿ äîäàòêîâèõ ïåðåì³ííèõ

n+1

, x

n+2

, …, x

ìîæíà ñèñòåìó íåð³âíîñòåé ³ ö³ëüîâó ôóíêö³þ

(7.3) ïðèâåñòè äî ñèñòåìè ë³í³éíî íåçàëåæíèõ ð³âíÿíü

+ d

+ … + d

= B

;

+ d

+ … + d

= B

; (7.19)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ d

+ … + d

= B

...

³ âèðàçó äëÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿

Z′ = ñ′

+ ñ′

+ … + ñ′

. (7.20)

Äëÿ äîäàòêîâèõ ïåðåì³ííèõ ââîäèìî îáìåæåííÿ íà çíàê, ùî

çàïèñóºìî ó âèãëÿä³

≥ 0, i = 1, 2, …, S… (7.21)

Îòæå, ìîæíà ñôîðìóëþâàòè íîâå çàâäàííÿ: çíàéòè ïåðåì³íí³

, õ

, …, õ, ùî â³äïîâ³äàþòü ñèñòåìàì îáìåæåíü (7.19) ³ (7.21)

³ êîíêðåòíîìó ì³í³ìàëüíîìó çíà÷åííþ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (7.20).

Îáîâ’ÿçêîâîþ ïðèéìåìî óìîâó, êîëè áóäü-ÿêå îïòèìàëüíå ð³øåí-

íÿ çà íîâèì çàâäàííÿì âêëþ÷àº çíà÷åííÿ ïåðåì³ííèõ x

, x

, …,

— îïòèìàëüíå âèð³øåííÿ ðîçãëÿíóòîãî çàâäàííÿ ë³í³éíîãî

ïðîãðàìóâàííÿ. Ó äàíîìó âèïàäêó ââàæàºòüñÿ, ùî çàçíà÷åíå çàâ-

äàííÿ íàáóëî ñòàíäàðòíîãî âèãëÿäó.

Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî öåé ïðîöåñ, ÿê ïðàâèëî, çá³ëüøóº ÷èñëî

ïåðåì³ííèõ ³ îáìåæåíü, îäíàê ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ òàêà îïåðà-

ö³ÿ º íåîáõ³äíîþ.

Ïîñë³äîâí³ñòü ä³é çà ðåàë³çàö³¿ ñèìïëåêñ-ìåòîäó ç âèêîðèñòàí-

íÿì øòó÷íîãî áàçèñó äëÿ âèð³øåííÿ, ïðèì³ðîì, äåÿêèõ çàâäàíü îïå-

ðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó, äîñèòü äîáðå âèêëàäåíà ó ñïåö³àëüí³é ë³òå-

ðàòóð³. Àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ òèïîâîãî çàâäàííÿ çà âèêîðèñòàííÿ

äàíîãî ìåòîäó íàâåäåíèé ó ï³äðîçä³ë³ 7.3 (ïðèêëàä 2).

385

Ðîçä³ë 7

Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ³ ìåòîäè â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

7.2.5 Çàâäàííÿ òðàíñïîðòíîãî òèïó ó âèð³øåíí³

âèðîáíè÷èõ ïðîáëåì

Ä³ÿëüí³ñòü îïåðàö³éíîãî ìåíåäæåðà ïåðåäáà÷àº òàêîæ ðîç-

ãëÿä øèðîêîãî êîëà çàâäàíü âèðîáíè÷îãî é åêîíîì³÷íîãî ñïðÿ-

ìóâàííÿ. Ìàòåìàòè÷íà ïîñòàíîâêà ³ ìåòîäè ðîçâ’ÿçàííÿ ¿õ ö³ëêîì

çá³ãàþòüñÿ ç³ ñïîñîáàìè âèð³øåííÿ òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ. Ðîç-

ãëÿíåìî äåÿê³ ñôåðè, äå îïåðàö³éí³ ìåíåäæåðè ìîæóòü ïîâíîö³ííî

âèêîðèñòîâóâàòè ¿õ. Öå äîêëàäíî ïîäàºòüñÿ Á. Ëèñèöèíèì [7] ³

éîãî êîëåãàìè. Îçíàéîìèìîñÿ ç äåÿêèìè àñïåêòàìè ç [7].

À. Â³äêðèòà ìîäåëü òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ. Ïîäàìî

äåÿê³ óçàãàëüíåííÿ òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ. Íàïðèêëàä, íàÿâíà

ê³ëüê³ñòü ïðîäóêòó ïåðåâèùóº ïîòðåáè:

∑

. (7.22)

Ó öüîìó âèïàäêó ðîçãëÿäàºòüñÿ â³äêðèòà ìîäåëü òðàíñïîðò-

íîãî çàâäàííÿ íà â³äì³íó â³ä çàêðèòî¿. Ïðè÷îìó ñòàíäàðòíà ñèñ-

òåìà ð³âíÿíü çàì³íþºòüñÿ íåð³âí³ñòþ

ax ≤

∑

, i = 1, 2, …, m… (7.23)

Â³äêðèòà ìîäåëü çâîäèòüñÿ äî çàêðèòî¿, çàâäÿêè ÷îìó ìîæ-

íà çàñòîñóâàòè âñ³ ìåòîäè ¿¿, ó òîìó ÷èñë³ ³ ìåòîä ïîòåíö³àë³â.

Ââåäåìî (n+1)-é ô³êòèâíèé ïóíêò ñïîæèâàííÿ B

n+1

, äëÿ ÿêîãî

ïðèéìàºìî

n+1

∑

–

∑

. (7.24)

Âàðò³ñòü ïåðåâåçåííÿ ç êîæíîãî ïóíêòó â³äïðàâëåííÿ ó

ô³êòèâíèé ïóíêò äîð³âíþâàòèìå 0.

386

Î. Ì. Ñóìåöü

Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó

Áóäü-ÿêèé ïðèïóñòèìèé ïëàí âèð³øåííÿ â³äêðèòîãî çàâäàí-

íÿ âèçíà÷àº ê³ëüê³ñòü ïðîäóêòó, ùî çàëèøàºòüñÿ â êîæíîìó ïóíêò³

â³äïðàâëåííÿ. ßêùî áóäåìî ââàæàòè, ùî çàãàëîì ê³ëüê³ñòü éîãî

âèâîçèòüñÿ ó ô³êòèâíèé ïóíêò, òî îäåðæèìî ïðèïóñòèìå âèð³øåí-

íÿ çàêðèòîãî çàâäàííÿ. Òî÷íî òàê äîâ³ëüíèé ïëàí çàìêíóòî¿ ìî-

äåë³ âèçíà÷àº ê³ëüê³ñòü ïðîäóêòó, ùî âèâîçèòüñÿ ó ô³êòèâíèé ïóíêò

³ç êîæíîãî ïóíêòó â³äïðàâëåííÿ. Ë³êâ³äóºìî ô³êòèâíèé ïóíêò ³

çàçíà÷åíó ê³ëüê³ñòü âàíòàæó çàëèøèìî â ïóíêòàõ â³äïðàâëåííÿ;

ó ï³äñóìêó îäåðæèìî â³äêðèòèé ïëàí çàâäàííÿ.

Áóäü-ÿêà ïàðà â³äïîâ³äíèõ ïëàí³â â³äêðèòîãî ³ çàêðèòîãî çàâ-

äàííÿ ìàº îäíàêîâó âàðò³ñòü, áî âàðò³ñòü ïåðåâåçåííÿ ó ô³êòèâíèé

ïóíêò äîð³âíþº 0. Îòæå, äëÿ îäåðæàííÿ îïòèìàëüíîãî ïëàíó â³äêðè-

òîãî çàâäàííÿ íåîáõ³äíî ââåñòè ô³êòèâíèé ïóíêò ïðèçíà÷åííÿ, âè-

ð³øèòè â³äïîâ³äíå çàêðèòå çàâäàííÿ, à âàíòàæ³, ïðèçíà÷åí³ äëÿ ïå-

ðåâåçåííÿ ó ô³êòèâíèé ïóíêò, çàëèøèòè â ïóíêòàõ â³äïðàâëåííÿ.

Â³äêðèòà ìîäåëü òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ ìîæå áóòè çàñ-

òîñîâàíà äëÿ îá÷èñëåííÿ íåîáõ³äíèõ çàïàñ³â ó ïóíêòàõ â³äïðàâ-

ëåííÿ. Îïòèìàëüíèé ïëàí óñòàíîâëþº, ç ÿêèõ ñàìå ïóíêò³â òà

ÿêèé îáñÿã âàíòàæ³â äîö³ëüíî âèâîçèòè.

Â áàãàòüîõ âèïàäêàõ âèÿâëÿºòüñÿ, ùî ê³ëüê³ñòü ïðîäóêòó,

ùî âèâîçèòüñÿ ç äåÿêèõ ïóíêò³â â³äïðàâëåííÿ, â³äïîâ³äíî äî îï-

òèìàëüíîãî ïëàíó äîð³âíþº 0. Öå îçíà÷àº, ùî âèêîðèñòàííÿ äà-

íèõ ïóíêò³â ó òðàíñïîðòí³é ìåðåæ³ ç ïîçèö³é ì³í³ìàëüíî¿ âàðòîñò³

ïåðåâåçåíü íåäîö³ëüíå.

Á. Çàáîðîíà ïåðåâåçåíü. Ùå îäíèì ð³çíîâèäîì òðàíñ-

ïîðòíîãî çàâäàííÿ º âèïàäîê, êîëè ñóìàðíà ïîòðåáà ïåðåâèùóº

ñóìàðí³ çàïàñè ïðîäóêòó. Òóò ââîäèòüñÿ ô³êòèâíèé ïóíêò â³äïðàâ-

ëåííÿ A

m+1

ç îáñÿãîì ïðîäóêòó

m+1

∑

–

∑

. (7.25)

387

Ðîçä³ë 7

Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ³ ìåòîäè â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

Âàðò³ñòü ïåðåâåçåíü ç ô³êòèâíîãî ïóíêòó â ì³ñöÿ ïðèçíà-

÷åííÿ, ïîòðåáè ÿêèõ º âèùèìè, âñòàíîâëþºòüñÿ çíà÷íî á³ëüøîþ

ùîäî êîæíî¿ âàðòîñò³ ïåðåâåçåííÿ çà ðîçâ’ÿçóâàíèì çàâäàííÿì.

Òàêèì ÷èíîì ðåçóëüòàò ñêëàäåíîãî â òàêèé ñïîñ³á çàêðèòîãî

òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ äàº çìîãó ñêëàñòè ïëàí ïåðåâåçåíü, çà

ÿêèì ïîñòà÷àííÿ â ïóíêòè ç ïð³îðèòåòîì íà îäåðæàííÿ ïðîäóêòó

áóäóòü çä³éñíþâàòèñÿ ç ðåàëüíèõ ïóíêò³â â³äïðàâëåííÿ. Îïòè-

ìàëüíèé ïëàí âèð³øåííÿ çàäàíîãî â³äêðèòîãî çàâäàííÿ ìîæå

áóòè îòðèìàíèé ÿê âèð³øåííÿ çàêðèòîãî çàâäàííÿ âèêëþ÷åííÿì

ïåðåâåçåíü ç ô³êòèâíîãî ïóíêòó â³äïðàâëåííÿ.

Öåé ïðèéîì íàçèâàºòüñÿ «ïðèéîìîì çàáîðîíè ïåðåâåçåíü»,

àáî «áëîêóâàííÿì êë³òèíîê».

Â. Çàâäàííÿ îïòèìàëüíîãî çàêð³ïëåííÿ çà âåðñòàòà-

ìè îïåðàö³é ïî îáðîáö³ äåòàëåé. Óìîâà: ï³äïðèºìñòâî ìàº m

âèä³â âåðñòàò³â, ìàêñèìàëüíèé ÷àñ ðîáîòè ÿêèõ â³äïîâ³äíî ñêëà-

äàº a

(i = 1, 2, …, m) ãîäèí. Êîæíèé ç íèõ ìîæå âèêîíóâàòè n

âèä³â îïåðàö³é. Ñóìàðíèé ÷àñ âèêîíàííÿ êîæíî¿ îïåðàö³¿ â³äïîâ³-

äíî b

(j = 1, 2, …, n) ãîäèí. Ïðîäóêòèâí³ñòü i-ãî âåðñòàòà çà

âèêîíàííÿ j-é îïåðàö³¿ äîð³âíþº c

äåòàëåé çà ãîäèíó.

Ïîòð³áíî âèçíà÷èòè, ñê³ëüêè ÷àñó õ

ìàº ïðàöþâàòè i-é âåð-

ñòàò, âèêîíóþ÷è j-òó îïåðàö³þ (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), ùîá

îáðîáèòè ìàêñèìàëüíó ê³ëüê³ñòü äåòàëåé:

z =

∑∑

j11

= max. (7.26)

Çàâäàííÿ çâîäèòüñÿ äî çàêðèòî¿ ìîäåë³, ÿêùî âñ³ êîåô³ö³ºíòè

ïîìíîæèòè íà –1 ³ çíàéòè ì³í³ìàëüíå çíà÷åííÿ âèðàçó (7.26)

äëÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ z.

Ã. Çàâäàííÿ âèáîðó. Ïðèïóñêàºìî, ùî º n âèä³â ðîá³ò, ÿê³

âàðòî ðîçïîä³ëèòè ì³æ n âèêîíàâöÿìè, ïðè÷îìó êîæíèé ç íèõ ìàº

âèêîíóâàòè ò³ëüêè îäèí âèä ðîáîòè. Åôåêòèâí³ñòü âèêîíàííÿ j-¿

ðîáîòè i-ì âèêîíàâöåì c

(çà äîâ³ëüíèõ îäèíèöü).

388

Î. Ì. Ñóìåöü

Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó

Ïîòð³áíî îêðåñëèòè õàðàêòåð ðîçïîä³ëó âèä³â ðîá³ò ì³æ âè-

êîíàâöÿìè òàêèì ÷èíîì, àáè ñóìàðíà åôåêòèâí³ñòü áóëà íàé-

á³ëüøîþ. Îñê³ëüêè ÷èñëî âèêîíàâö³â äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ âèä³â

ðîá³ò ³ êîæíèé ç âèêîíàâö³â ìîæå çàáåçïå÷óâàòè ò³ëüêè îäèí âèä

ðîá³ò, âåëè÷èíè x

äîð³âíþþòü ò³ëüêè äâîì çíà÷åííÿì: îäèíèö³,

ÿêùî i-é âèêîíàâåöü ïðèçíà÷àºòüñÿ äëÿ âèêîíàííÿ j-¿ ðîáîòè, àáî

íóëþ, ÿêùî i-é âèêîíàâåöü íå ïðèçíà÷àºòüñÿ äëÿ âèêîíàííÿ j-¿

ðîáîòè. Òîìó

∑

. Çà ïðèçíà÷åííÿ i-¿ îñîáè íà

j-òó ðîáîòó åôåêò âèðàæàºòüñÿ âåëè÷èíîþ c

Äàíå çàâäàííÿ ôîðìóëþºìî òàê.

Ñë³ä çíàéòè çíà÷åííÿ x

, ùî â³äïîâ³äàþòü ð³âíÿííÿì

∑

, i = 1, 2, …, n; (7.27)

∑

, j = 1, 2, …, n,

îáìåæåííÿì íà çíàê x

= 0; i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n ³ â³äïî-

â³äíîìó ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åííþ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿

z =

∑∑

j11

. (7.28)

Öþ óìîâó ìîæíà ïîäàòè ó âèä³, ùî â³äïîâ³äàº çàêðèòîìó

òðàíñïîðòíîìó çàâäàííþ, ÿêùî çíàéòè ó ðàç³ äîäåðæàííÿ óìîâ

(7.27) ³ îáìåæåíü íà çíàê çíà÷åííÿ ïåðåì³ííèõ x

, ùî óòâîðÿòü

z’ =

∑∑

j11

(–c

) x

. (7.29)

389

Ðîçä³ë 7

Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ³ ìåòîäè â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

Ä. Çàâäàííÿ ðîçïîä³ëó çàÿâ ì³æ êàíàëàìè îáñëóãîâó-

âàííÿ. Òàêå çàâäàííÿ ìàº ñàìå øèðîêå çàñòîñóâàííÿ. Íåõàé

³ñíóº n òèï³â êàíàë³â îáñëóãîâóâàííÿ Â

(j = 1, 2, …, n) ³ m ð³çíèõ

êëàñ³â À

çàÿâ (i = 1, 2, …, m). Âàðò³ñòü îáñëóãîâóâàííÿ çàÿâè i-ãî

êëàñó êàíàëîì îáñëóãîâóâàííÿ j-ãî òèïó ñêëàäàº âåëè÷èíó c

Íåîáõ³äíî çíàéòè îïòèìàëüíèé ïëàí îáñëóãîâóâàííÿ, ùî çàáåç-

ïå÷èòü ì³í³ìàëüíó éîãî âàðò³ñòü.

Âåëè÷èíà c

ìîæå ÿâëÿòè ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ çàÿâè i-ãî

òèïó êàíàëîì j-ãî òèïó. Ó öüîìó âèïàäêó ìåòà — ïîáóäîâà îï-

òèìàëüíîãî ïëàíó, ùî çàáåçïå÷óº ì³í³ìàëüíèé ñóìàðíèé ÷àñ îá-

ñëóãîâóâàííÿ. Çàçíà÷åíà ìîäåëü øèðîêî çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ îï-

òèìàëüíî¿ îðãàí³çàö³¿ ðîáîòè â ïðîìèñëîâîñò³, íà òðàíñïîðò³, ó

òîðãîâåëüí³é ìåðåæ³, íà ï³äïðèºìñòâàõ ñóñï³ëüíîãî õàð÷óâàííÿ.

7.2.6 Íåë³í³éíå ³ äèíàì³÷íå ïðîãðàìóâàííÿ

â îïåðàö³éíîìó ìåíåäæìåíò³

Îïåðàö³éíèì ìåíåäæåðàì ïðàêòè÷íî äîñèòü ÷àñòî äîâî-

äèòüñÿ çóñòð³÷àòèñÿ ç çàâäàííÿìè íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ,

äî ÿêèõ çàçâè÷àé â³äíîñÿòü çàâäàííÿ âèäó

f(x

, x

, …, x

) → max (7...30)

çà îáìåæåíü

, x

, …, x

) = 0;

, x

, …, x

) = 0, (7...31)

äå k = 1, 2, …, Ê — îáìåæåííÿ – ð³âíîñò³;

j = 1, 2, …, m — îáìåæåííÿ – íåð³âíîñò³.

Ôóíêö³¿ f(x

), p

), g

) — öå ä³éñí³ íåë³í³éí³ ôóíêö³¿ ä³éñíèõ

ïåðåì³ííèõ. Ïðè öüîìó ìîæå âèð³øóâàòèñÿ ÿê çàâäàííÿ ìàêñè-

ì³çàö³¿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿, òàê ³ ¿¿ ì³í³ì³çàö³¿, à îáìåæåííÿ ìîæóòü

áóòè ó ôîðì³ íåð³âíîñòåé, ùî ì³ñòÿòü ÿê çíàê ≤, òàê ³ ≥.

390

Î. Ì. Ñóìåöü

Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó

ßê îäèí ç íàéá³ëüø ïðîñòèõ ïðèêëàä³â çàâäàíü íåë³í³éíîãî

ïðîãðàìóâàííÿ ðîçãëÿíåìî îäèí ç ð³çíîâèä³â òðàíñïîðòíîãî çàâ-

äàííÿ, êîëè âàðò³ñòü c

ïåðåâåçåííÿ âàíòàæó â³ä ïóíêòó À

äî

ïóíêòó Â

çàëåæèòü â³ä îáñÿã³â õ

âàíòàæó, ïåðåâåçåíîãî çà öèì

ìàðøðóòîì. Íåõàé òàêà çàëåæí³ñòü íîñèòü ë³í³éíèé õàðàêòåð ³

= k

+ c’

. (7.32)

Òîä³ çàãàëüíà âàðò³ñòü ïåðåâåçåííÿ õ

îäèíèöü âàíòàæó â³ä

äî Â

ñêëàäàº

= (k

+ c’

) x

= k

+ c’

, (7.33)

à ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ

z =

∑∑

j11

( k

+ c’

). (7.34)

Îáìåæåííÿ, ÿê³ ó âèïàäêó çàêðèòîãî òðàíñïîðòíîãî çàâäàííÿ

ïîäàºìî ñèñòåìîþ íåð³âíîñòåé

ax =

∑

, i = 1, 2, …, m; (7.35)

bx =

∑

, j = 1, 2, …, n. (7.36)

Òàêèì ÷èíîì ó äàíîìó âèïàäêó íåë³í³éí³ñòü çàâäàííÿ ïî-

ðîäæåíà òèì, ùî ïîøóêóâàí³ ïåðåì³íí³ x

âõîäÿòü äî ö³ëüîâî¿

ôóíêö³¿ íå ò³ëüêè íà ïåðøîìó, àëå ³ íà äðóãîìó ñòóïåí³. Çà á³ëüø

ñêëàäíèõ âçàºìîçâ’ÿçê³â ì³æ ñ

³ x

âèðàç äëÿ z óñêëàäíþºòüñÿ.

Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó

z =

()

∑∑

==11

, (7.37)