Сумець О.М. Основи операційного менеджменту: теоретичний аспект і практичні завдання
Подождите немного. Документ загружается.
111
Ðîçä³ë 3
Ìåòîäè÷í³ îñíîâè ïðîåêòóâàííÿ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì
Äåðåâî ð³øåíü ñòîñîâíî ïðîáëåìè âèáîðó (ïðîãíîçó) ïî-
òóæíîñò³ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè âèìàãຠíàáîðó âàð³àíò³â «ä³éñíî-
ãî ñòàíó» íà ðèíêó. Ó äàíîìó âèïàäêó äëÿ ñèòóàö³¿ ïëàíóâàííÿ
(ïðîãíîçóâàííÿ) éîãî ïîòóæíîñò³ — öå àáî ìàéáóòí³é ïîïèò, àáî
ñïðèÿòëèâèé ðèíîê. Òîìó äëÿ ïðèéíÿòèõ (àáî ñïðîãíîçîâàíèõ
àíàë³òè÷íèì â³ää³ëîì, ñëóæáîþ ìàðêåòèíãó) çíà÷åíü ³ìîâ³ðíîñ-
òåé âàð³àíò³â «ä³éñíèõ ñòàí³â» îïåðàö³éíèé ìåíåäæåð ìîæå ïðèé-
íÿòè ð³øåííÿ, ùî âêàæå íà ìîæëèâî ñïðèÿòëèâå äëÿ êîíêðåòíî¿
îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè çíà÷åííÿ ïîòóæíîñò³.
Ìåòîäè ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ äóæå ÷àñòî âè-
êîðèñòîâóþòüñÿ îïåðàö³éíèìè ìåíåäæåðàìè ó âèð³øåíí³ çàâäàíü
îïòèì³çàö³¿ ³ ïðîãíîçóâàííÿ ïîòóæíîñò³ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì çà
â³äîìèõ ïîêàçíèê³â îáìåæåíü.
3.2 Ðîçì³ùåííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè
3.2.1 ×èííèêè ðîçì³ùåííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè
Óïåðøå ïðîáëåìó âèáîðó ì³ñöÿ ðîçòàøóâàííÿ ï³äïðèºì-
ñòâà (äàë³ âèðîáíè÷î¿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè) çà äîïîìîãîþ ìî-
äåëþâàííÿ çàïðîïîíóâàâ í³ìåöüêèé â÷åíèé ³ ï³äïðèºìåöü À. Âå-
áåð ó 1909 ðîö³. Ïðè âèð³øåíí³ ö³º¿ ïðîáëåìè Âåáåð âèõîäèâ ç
íàñòóïíèõ ïîñèëîê:
à) òåðèòîð³ÿ îäíîð³äíà, òîáòî äëÿ óñ³õ ìîæëèâèõ ì³ñöü ðîç-
ì³ùåííÿ ï³äïðèºìñòâà ä³þòü ð³âí³ óìîâè;
á) ³ñòîòíèì ìîìåíòîì äëÿ óõâàëåííÿ ð³øåííÿ º âèíÿòêîâî
âèòðàòè íà òðàíñïîðòóâàííÿ ïðîäóêö³¿, ùî âèðîáëÿºòüñÿ íà
ï³äïðèºìñòâ³;
â) òðàíñïîðòí³ âèòðàòè ñòðîãî ïðîïîðö³éí³ â³äñòàí³ ïåðå-
ì³ùåííÿ ïðîäóêö³¿.
Ìàòåìàòè÷íà ³íòåðïðèòàö³ÿ ïðîáëåìè ðîçì³ùåííÿ âèðîáíè-
÷î¿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè íà òîé ÷àñ áóëà ïîñòàâëåíà íàñòóïíèì
112
Î. Ì. Ñóìåöü
Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó
÷èíîì. Áóëè çàäàí³ n ïóíêò³â ðåàë³çàö³¿ àáî çàêóï³âåëü P
i
ç êî-
îðäèíàòàìè (x
i
, y
i
). ³ääàëåííÿ öèõ ïóíêò³â (P
i
) â³ä øóêàíîãî
ì³ñöåïîëîæåííÿ S ç êîîðäèíàòàìè (x
i
, y
i
) ñêëàäຠr
i
. Ïðè öüîìó
çàäàí³ îá'ºì
i
α
òðàíñïîðòóºìèõ ì³æ S ³ P
i
âàíòàæ³â ³ ïîñò³éí³
òðàíñïîðòí³ âèòðàòè ñ íà îäèíèöþ â³äñòàí³ ³ íà îäèíèöþ îá'ºìó
âàíòàæó. Íåîáõ³äíî çíàéòè ì³ñöåïîëîæåííÿ S(x
i
, y
i
), ïðè ÿêîìó
òðàíñïîðòí³ âèòðàòè áóëè á ì³í³ìàëüíèìè:
(3.9 à)
³äïîâ³äíà â³äñòàíü ri â ì³ñö³ ïåðåòèíó êîîðäèíàò (xi, yi)
çà òåîðåìîþ ϳôàãîðà ñêëàäå:
()()
.
22
iii
yyxxr −+−=
(3.9 á)
Çâ³äñè ìîæíà âèðàçèòè òðàíñïîðòí³ âèòðàòè ÿê ôóíêö³þ
êîîðäèíàò (xi, yi) ì³ñöåïîëîæåííÿ S:
() ( )( )
∑
=
−+−⋅=
n
i
iii
yyxxcyxC
1
22
.,
α
(3.9 â)
Çâ³ñíî ö³ âèòðàòè ïîâèíí³ áóòè ì³í³ì³çîâàí³.
гøåííÿ ö³º¿ çàäà÷³, òîáòî âèçíà÷åííÿ êîîðäèíàò (x
i
, y
i
)
ì³ñöåïîëîæåííÿ S âèðîáíè÷î¿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè çä³éñíþºòü-
ñÿ çà äîïîìîãîþ îá÷èñëåííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ. Òóò ïîòð³áíî
âêàçàòè, ùî îïòèìóì ôóíêö³¿ Ñ(õ
³
, ó
³
) ìîæíà âèçíà÷èòè ëèøå
ïðèáëèçíî. ² öå ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî â ö³ëüîâ³é ôóíêö³¿ ïî Âå-
áåðó âðàõîâóºòüñÿ ò³ëüêè îäèí ôàêòîð — òðàíñïîðòí³ âèòðàòè.
ßê áà÷èìî ïðè ïîñòàíîâö³ çàâäàííÿ ïðîåêòóâàííÿ îïåðà-
ö³éíî¿ ñèñòåìè â ÿêîñò³ óìîâíî íåçàëåæíî¿ ñòðóêòóðè âèêîðèñ-
òîâóºòüñÿ ñïåðøó ìîäåëü òîïîëîã³÷íî¿ îïòèì³çàö³¿. ¯¿ âõ³äí³ ïà-
ðàìåòðè ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê «óìîâíî íåçàëåæí³» â³ä ÷èñåëü-
íîñò³ âèõ³äíèõ ïàðàìåòð³â, ïðèì³ðîì, ê³ëüêîñò³ ïðîäóêö³¿, ùî
.min,
1
→=
∑
=
i
n
i
i
rcC
α
113
Ðîçä³ë 3
Ìåòîäè÷í³ îñíîâè ïðîåêòóâàííÿ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì
âèïóñêàºòüñÿ, âèäó «íàäàâàíèõ» ïîñëóã òîùî. Êîðåêòí³ñòü ïðèé-
íÿòèõ äîïóùåíü âèïëèâàº ç ¿õíüîãî òèì÷àñîâîãî õàðàêòåðó, òîìó
ùî â ïðîöåñ³ ³òåðàö³éíî¿ ðåàë³çàö³¿ âñ³º¿ ìàñè ìîäåëåé ïðèïó-
ùåííÿ çàì³íþþòüñÿ îáóìîâëåíî-ÿâíèìè îáìåæåííÿìè.
Ó ïðîöåñ³ òîïîëîã³÷íî¿ îïòèì³çàö³¿ âèð³øóþòüñÿ ïèòàííÿ,
ïîâ’ÿçàí³ ç ÷èííèêàìè:
à) çîâí³øíüîãî ³ âíóòð³øíüîãî ñåðåäîâèùà ôóíêö³îíóâàííÿ îïå-
ðàö³éíî¿ ñèñòåìè (òîïîëîãî-ðåñóðñí³);
á) îðãàí³çàö³éíî-óïðàâë³íñüêîãî ïëàíó;
â) ô³íàíñîâîãî õàðàêòåðó.
3.2.1.1 Òîïîëîãî-ðåñóðñí³ ÷èííèêè
Îäí³ºþ ç îñíîâíèõ ïåðåäóìîâ ïðîáëåìè ðîçì³ùåííÿ îïåðà-
ö³éíî¿ ñèñòåìè º ëîêàë³çàö³ÿ ðåñóðñ³â. Äàíå çàâäàííÿ ìîæå áóòè
îïèñàíå íàñòóïíèìè ãðóïàìè ÷èííèê³â, ïðèéíÿòèõ çàëåæíî â³ä
ñóò³ îáìåæåíü, ùî íàêëàäàþòüñÿ íà ñèñòåìó.
1. Ôóíêö³îíóâàííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè ïðèïóñêຠ¿¿ îï-
òèìàëüíå íàáëèæåííÿ äî òî÷îê êîíöåíòðàö³¿ íàéâàæëèâ³-
øèõ ðåñóðñ³â.  ³äåàë³ ñèñòåìà ïîâèííà çíàõîäèòèñÿ â ò³é òî÷ö³
ïðîñòîðó, äå ñóìàðíà â³äñòàíü äî ðåñóðñ³â º ì³í³ìàëüíîþ. Ó öüî-
ìó âèïàäêó ïðîáëåìà ìîæå ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê îêðåìèé âèïàäîê
òðàíñïîðòíî¿ ïðîáëåìè. Ãðàíè÷íèìè óìîâàìè îïòèìàëüíî¿ ñèñ-
òåìè âèñòóïàþòü ïèòîì³ âèòðàòè, ïîçâ’ÿçàí³ ç ï³äãîòîâêîþ ³ äî-
ñòàâêîþ êîæíîãî âèäó ðåñóðñ³â. Äàíå îáìåæåííÿ, ïî ñóò³, º ñâîº-
ð³äíèì îïòèì³çàö³éíèì âèð³øåííÿì ïèòàííÿ âèáîðó â³äñòàí³ ì³æ
òî÷êîþ äèñëîêàö³¿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè ³ ì³ñöåì ïåðåáóâàííÿ
ðåñóðñ³â. Òîìó âàæëèâèì ìîìåíòîì äëÿ îïåðàö³éíîãî ìåíåäæå-
ðà º âðàõóâàííÿ ôóíêö³¿, ùî âèçíà÷ຠâ³äñòàíü.
Ó ãåîìåòðè÷íîìó ðîçóì³íí³ â³äñòàíü º ïðåäìåòíîþ ôóíê-
ö³ºþ, âèçíà÷åíîþ äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ òî÷îê õ è ó â ïðîñòîð³ R
n
ç
òàêèìè òðüîìà âëàñòèâîñòÿìè:
114
Î. Ì. Ñóìåöü
Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó
à) L(õ, ó) = 0, L(õ, ó) > 0, õ ≠ ó;
á) L(õ, ó) = L(õ, ó); (3.10)
â) L(õ, ó) = L(õ, ó) + L(õ, z).
ßê áà÷èìî, òðåòÿ âëàñòèâ³ñòü º óçàãàëüíåííÿì â³äîìî¿ íå-
ð³âíîñò³ òðèêóòíèêà. Òîìó ïðèêëàäîì ôóíêö³¿, ùî âèçíà÷àº
â³äñòàíü, º
>−−<=−=
∑
=
YXYXyxyxL
n
i
ii
,)(),(
1
2
, (3.11)
äå <Õ – Y, X – Y > — ñåðåäíº â³ä âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè;
Õ = (õ
1
, õ
2
, õ
3
, …, õ
n
)
Ò
;
Y = (ó
1
, ó
2
, ó
3
, …, ó
n
)
Ò.
Òóò ³íäåêñ «Ò» ïîçíà÷ຠòðàíñïîíóâàííÿ.
Ïðåäñòàâëåíà ôóíêö³ÿ (3.11) âèçíà÷ຠåâêë³äîâó â³äñòàíü
ì³æ äâîìà òî÷êàìè Õ òà Y ó ïðîñòîð³ R
n
.
Àíàë³òè÷íà ãåîìåòð³ÿ ³ ìàòåìàòèêà íàäàþòü é ³íø³ ìîæëè-
âîñò³ äëÿ âèêîðèñòàííÿ ôóíêö³é L(õ, ó). Òàê, â ÿêîñò³ ³íøèõ ïðè-
êëàä³â ïîøóêó â³äñòàí³ íàâåäåìî òàê³ ôóíêö³¿:
∑
=
−=
n
i
ii
yxYXL
1
)(),( (3.12)
³
ii
ni
yxYXL −=
≤≤
max
1
),(
. (3.13)
Âàðòî âêàçàòè íà øèðîêå çàñòîñóâàííÿ â³äñòàí³, ÿêà âèçíà-
÷àºòüñÿ ôóíêö³ºþ
L(X,Y) = < X – Y, M(X – Y) >
2
1
, (3.14)
äå Ì — ïîçèòèâíî âèçíà÷åíà ñèìåòðè÷íà (n + n)-ìàòðèöÿ.
115
Ðîçä³ë 3
Ìåòîäè÷í³ îñíîâè ïðîåêòóâàííÿ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì
Íà ðèñ. 3.3 ïîçíà÷åí³ òî÷êè â ïðîñòîð³ R
2
, ÿê³ ðîçòàøîâàí³
íà ð³âíèõ â³äñòàíÿõ â³ä ïî÷àòêó äëÿ L(x, y), çàäàíèõ â³äïîâ³äíî
ð³âíÿííÿìè (3.11)–(3.14).
Äîäàòêîâî äî âèð³øåííÿ ïðîáëåì çàãàëüíîãî ìåíåäæìåíòó
ðîçãëÿíåìî íàéïðîñò³øèé ïðèêëàä âèçíà÷åííÿ â³äñòàí³ äëÿ çàâ-
äàíü îïòèì³çàö³¿: íåõàé îïåðàö³éíà ñèñòåìà ïîâèííà «îáñëóãîâó-
âàòè» n ñêëàä³â ñïîæèâà÷³â i-ãî ñåãìåíòà ðèíêó. Çà óìîâè äîñ-
òàâêè ïðîäóêö³¿ íà ñêëàä (â ìàãàçèí) ïî ïðÿì³é â³äñòàíü áóäå
âèçíà÷åíà (à â äåÿêèõ âèïàäêàõ îïòèì³çîâàíà) çà â³äïîâ³äíèì
ð³âíÿííÿì (3.11). Ó öüîìó âèïàäêó ïðÿìîþ â³äñòàííþ äî îïåðà-
ö³éíî¿ ñèñòåìè º îêðóæí³ñòü, ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.3à.
x'
x'
x'
x'
x''
x''
x''
x''
x'''
x'''
x'''
x'''
x
x
x
IV
IV
x
IV
IV
x'
x'
x'
x'
=
=
=
=
x''
x''
x''
x''
=
=
=
=
x'''
x'''
x'''
x'''
=
=
=
=
x
x
x
x
IV
IV
IV
IV
x
x
x
x
2
2
2
2
x
x
x
x
1
1
1
1
а)
в)
б)
г)
Ðèñ. 3.3 Ãðàô³êè ðîçòàøóâàííÿ òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ
â³ä ïî÷àòêó, ùî â³äïîâ³äàþòü ÷îòèðüîì
ïî-ð³çíîìó âèçíà÷åíèì â³äñòàíÿì
116
Î. Ì. Ñóìåöü
Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó
 ³íøîìó âèïàäêó, ÿêùî ïðîäóêö³ÿ òðàíñïîðòóºòüñÿ óç-
äîâæ äîð³ã, ùî óòâîðþþòü ïðÿìîêóòíó ñ³òêó, òðåáà áóäå âèêî-
ðèñòîâóâàòè ð³âíÿííÿ (3.12), à òî÷êè, ùî çíàõîäÿòüñÿ íà ð³âíèõ
â³äñòàíÿõ â³ä îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè, ðîçòàøóþòüñÿ, ÿê ïîêàçà-
íî íà ðèñ. 3.3á.
Àíàëîã³÷íî ðîçãëÿäàþòüñÿ ïðèêëàäè âèçíà÷åííÿ â³äñòàíåé
³ äëÿ âèïàäê³â, ïðåäñòàâëåíèõ íà ðèñ. 3.3 â, ã.
2. Îñê³ëüêè îïåðàö³éíà ñèñòåìà ïåâíèì ÷èíîì îðãàí³çîâóº
ñâî¿ ôóíêö³¿ â ÷àñ³, òî ó ïðîöåñ³ âèð³øåííÿ ïèòàíü îïòèì³çàö³¿
âðàõîâóºòüñÿ é ³íøèé ÷èííèê: óñ³ ðåñóðñè ïîâèíí³ áóòè äîñ-
òàâëåí³ íà âõ³ä îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè ó âèçíà÷åíîìó ÷àñîâî-
ìó ³íòåðâàë³:
t
1
< t
x
< t
2
.
Ïî÷àòîê ôóíêö³îíóâàííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè âèçíà-
÷àºòüñÿ ìîìåíòîì íàéá³ëüø ï³çíüî¿ äîñòàâêè ðåñóðñó. Òîìó
îäíèì ç ìåòîä³â âèð³øåííÿ çàâäàííÿ ðîçì³ùåííÿ º ìåòîä
ì³í³ìàëüíîãî çàï³çíåííÿ, òîáòî âèá³ð òàêî¿ òî÷êè ðîçì³ùåííÿ
îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè, äëÿ ÿêî¿ íàéá³ëüø ïîâ³ëüíà (ïðîáëåìíà äî-
ñòàâêà ðåñóðñó áóäå ãàðàíòîâàíà ó çàäàíèé ³íòåðâàë.
Âèð³øåííÿ îïòèì³çàö³éíîãî çàâäàííÿ, îïèñàíîãî äðóãèì îá-
ìåæåííÿì, ìîæíà ðîçãëÿäàòè íà ïðèêëàä³ ïîøóêó òî÷êè, ùî çíà-
õîäèòüñÿ íà íàéêîðîòø³é â³äñòàí³ â³ä çàäàíèõ òðüîõ òî÷îê —
òðüîõ âèä³â ðåñóðñ³â, îäèí ³ç ÿêèõ º «ïðîáëåìíèì» ó ïëàí³ òðàíñ-
ïîðòóâàííÿ. Óçàãàëüíþþ÷è öå çàâäàííÿ, ðîçãëÿíåìî ïîøóê òî÷-
êè Î (òî÷êà ðîçòàøóâàííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè) ó ïðîñòîð³ R
n
,
ùî çíàõîäèòüñÿ íà íàéêîðîòø³é çàãàëüí³é «â³äñòàí³» â³ä çàäàíî¿
áåçë³÷³ N òî÷îê Ê
1
, Ê
2
, …, Ê
N
ïðîñòîðó R
n
. Óçàãàëüíèâøè â³äïî-
â³äíèì ÷èíîì ïîíÿòòÿ â³äñòàí³, ñôîðìóëþºìî íàøå çàâäàííÿ
ðîçì³ùåííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè.
117
Ðîçä³ë 3
Ìåòîäè÷í³ îñíîâè ïðîåêòóâàííÿ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì
Ðîçãëÿíåìî â³äîìèé äâî-
ì³ðíèé âèïàäîê çàäà÷³ ç n = 2
³ N=3. Çà äàíèõ óìîâ
â³äñòàíü çà óìîâè t
1
<t
x
<t
2
,
t
2
<t
x
< t
3
áóäå âèçíà÷àòèñÿ
çâè÷àéíîþ åâêë³äîâîþ äîâ-
æèíîþ. Òàêîãî ðîäó ïîøóê
çàçíà÷åíî¿ òî÷êè â ïëîùèí³,
çàãàëüíà â³äñòàíü ÿêî¿ â³ä
òðüîõ òî÷îê ó ò³é æå ïëîùèí³ º ì³í³ìàëüíîþ, áóâ çàïðîïîíîâàíèé
ùå â ÕVII ñòîë³òò³ ôðàíöóçüêèì ìàòåìàòèêîì Ôåðìà ³òàë³éñü-
êîìó ô³çèêîâ³ Òîðð³÷åëë³ ïðè âèêîðèñòàíí³ ãåîìåòðè÷íèõ ïîõ³äíèõ
(ðèñ. 3.4). Ó òîé æå ÷àñ öèì ïðîñòèì çàâäàííÿì ³ëþñòðóºòüñÿ ³
ïîíÿòòÿ ïîäâ³éíîñò³ ð³øåííÿ, ïîâ’ÿçàíîãî ç ïðÿìèì (òîáòî âè-
õ³äíèì) âàð³àíòîì.
Çâ’ÿçîê ì³æ ïðÿìèì ³ äâî¿ñòèì ð³øåííÿì ïðåäñòàâëÿº äëÿ
îïåðàö³éíèõ ìåíåäæåð³â âåëèêèé ³íòåðåñ, îñîáëèâî ïðè ðîçâ’ÿ-
çàíí³ çàâäàíü ïðîãðàìóâàííÿ ÿê ë³í³éíîãî, òàê ³ íåë³í³éíîãî ïëà-
íó. Òîìó äóæå âàæëèâî ðîçãëÿäàòè öåé îêðåìèé âèïàäîê (äèâ.
ðèñ. 3.4) ïðÿìîãî ð³øåííÿ.
Ïîçíà÷èìî êîîðäèíàòè Ê
1
, Ê
2
, Ê
3
çàäàíèõ òî÷îê ÷åðåç (õ
i
,
ó
i
), äå i = 1, 2, 3.
Êîîðäèíàòè îá÷èñëþâàíî¿ òî÷êè ÎÑ (ðîçòàøóâàííÿ îïåðà-
ö³éíî¿ ñèñòåìè) ïîçíà÷èìî ÷åðåç (õ, ó). Ñóìà â³äñòàíåé â³ä ÎÑ
äî K
i
(i = 1, 2, 3) âèçíà÷èòüñÿ ÿê ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ ì³í³ì³çàö³¿, ùî
çàäîâîëüíÿº óìîâó t
1
< t
x
< t
2
,
t
2
< t
x
< t
3
:
∑
=
=
3
1
),(),(
i
i
yxLyxФ
, (3.15)
äå
22
)()(),(
iii
yyxxyxL −+−=
. (3.16)
К
1
К
2
К
3
ОС
Ðèñ. 3.4 Ãåîìåòðè÷íà
³íòåðïðåòàö³ÿ çàäà÷³ Ôåðìà
118
Î. Ì. Ñóìåöü
Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó
Ó öüîìó âèïàäêó, ÿêùî ÎÑ íå çá³ãàºòüñÿ ç æîäíîþ ç çàäà-
íèõ òî÷îê Ê
1
, Ê
2
, Ê
3
(ó ïðîòèëåæíîìó âèïàäêó îäíà ç â³äñòàíåé
L
i
ó ð³âíÿíí³ (3.17) ïåðåéøëà á ó íóëü), êîåô³ö³ºíòè îá÷èñëþâàëü-
íî¿ òî÷êè ïîâèíí³ â³äïîâ³äàòè ð³âíÿííÿì:
−
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
=
∑
∑
=
=
3
1
3
1
i
i
i
i
i
i
L
yy
y
Ô
O
L
xx
õ
Ô
O
(3.17)
Ñèñòåìó ð³âíÿíü (3.17) ïðèâåäåìî äî âèãëÿäó
.
;
2
1
3
3
2
1
3
3
∑
∑
=
=
−
−=
−
−
−=
−
i
i
i
i
i
i
L
yy
L
yy
L
xx
L
xx
(3.18)
Îñê³ëüêè (õ – õ
³
)
2
+ (ó – ó
³
)
2
=
2
i
L
, òî ñèñòåìà ð³âíÿíü ìîæå
áóòè ïîäàíà ÿê
2
1
))(())((
21
2121
−=
⋅
−−+−−
LL
yyyyxxxx
. (3.19)
×åðåç òå, ùî ÷èñåëüíèê ë³âî¿ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ (3.19) º ñêà-
ëÿðíèì äîáóòêîì âåêòîðà ÎÑ·Ê
1
³ ÎÑ·Ê
2
, òî
2
1
cos
21
−=⋅⋅∠ KOCK
,
äå
21
KOCK ⋅⋅∠
º êóò ó òî÷ö³ ÎÑ, óòâîðåíèé òðèêóòíèêîì
Ê
1
ÎÑÊ
2
³ äîð³âíþº 120°. Âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñò³ ñèìåòð³¿,
îäåðæèìî
Íà ïåðøèé ïîãëÿä çäàºòüñÿ, ùî òàêå ðîçóì³ííÿ âèìàãàº, ùîá
ïðÿì³, ùî ç’ºäíóþòü îá÷èñëþâàëüíó òî÷êó ç çàäàíèìè, óòâîðþâà-
21
KOCK ⋅⋅∠
=
32
KOCK ⋅⋅∠
= 120°.
119
Ðîçä³ë 3
Ìåòîäè÷í³ îñíîâè ïðîåêòóâàííÿ îïåðàö³éíèõ ñèñòåì
ëè êóòè â 120°. Îäíàê öþ òî÷êó íå çàâæäè ìîæíà çíàéòè. Òàê,
öå â³äáóâàºòüñÿ, êîëè îäèí ç êóò³â òðèêóòíèêà, óòâîðåíîãî çàäà-
íèìè òî÷êàìè, á³ëüøèé çà 120° (ó öüîìó âèïàäêó ÎÑ çá³ãàºòüñÿ
ç îäí³ºþ ç çàäàíèõ òî÷îê). Ìîæíà òàêîæ ïðèïóñòèòè, ùî çàäàí³
òðè òî÷êè ðîçòàøîâàí³ òàê, ùî ³ñíóº òî÷êà ÎÑ ÿê òàêà, êîëè ïðÿì³,
ùî ç’ºäíóþòü ¿¿ ç çàäàíèìè òî÷êàìè, óòâîðÿòü êóòè â 120°. Çíàé-
äåíà ïðè öüîìó òî÷êà ðîçì³ùåííÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñòåìè º íå ò³ëüêè
âçàãàë³ ñòàö³îíàðíîþ, à öå ä³éñíî îïòèìàëüíà òî÷êà.
Äàíèé ïðèêëàä ç ãåîìåòðè÷íèì òëóìà÷åííÿì º ëèøå îäíèì
ç ìåòîä³â âèçíà÷åííÿ îïòèìàëüíî¿ òî÷êè ðîçì³ùåííÿ îïåðàö³é-
íî¿ ñèñòåìè â òîïîëîã³÷íîìó ðîçóì³íí³ çàëåæíî â³ä ïåðåáóâàííÿ
«ïðîáëåìíèõ» ðåñóðñ³â. Êð³ì òîãî, âèð³øåííÿ äàíî¿ ïðîáëåìè
ìîæå áóòè äîïîâíåíî ³ âèáîðîì ÷àñòèíè â³äñòàí³, íà ÿê³é âèã³äíå
âèêîðèñòàííÿ äëÿ äîñòàâêè «ïðîáëåìíîãî» ðåñóðñó àâòîìîá³ëü-
íèì òðàíñïîðòîì ³ ÷àñòèíè â³äñòàí³ — äëÿ âèêîðèñòàííÿ ³íøîãî,
ïðèì³ðîì, çàë³çíèö³. Ðîçãëÿíåìî òàêîæ ïîñòàíîâêó çàâäàííÿ, êî-
ðèñòóþ÷èñÿ ãåîìåòðè÷íèìè ïîäàííÿìè Ï.Ô. Ô³ëü÷àêîâà.
Íåõàé äâ³ çàë³çíè÷í³ ñòàíö³¿ À òà  ðîçòàøîâàí³ íà
l
êì îäíà
â³ä îäíî¿. Ó òî÷êó Ì «ïðîáëåìíèé» ðåñóðñ äëÿ îïåðàö³éíî¿ ñèñ-
òåìè ìîæíà äîñòàâèòè ç³ ñòàíö³¿ À àáî ïî ïðÿì³é (â³äð³çîê ÀÌ)
àâòîòðàíñïîðòîì àáî çàë³çíèöåþ äî ñòàíö³¿ Â, à çâ³äòè àâòîòðà-
ñîþ (ðèñ. 3.5). Ïðè öüîìó çàë³çíè÷íèé òàðèô (ö³íà ïåðåâåçåííÿ 1 ò
íà 1 êì) ñêëàäຠm ãðí., çàâàíòàæåííÿ-ðîçâàíòàæåííÿ îáõîäèòüñÿ
â k ãðí. (çà 1 ò) ³ òàðèô àâòîòðàíñïîðòó — n ãðí. (n > m). Îïåðà-
ö³éíîìó ìåíåäæåðîâ³ ïîòð³áíî âèçíà÷èòè «çîíó âïëèâó» çàë³çíè÷-
íî¿ ñòàíö³¿ Â, òîáòî òó, â ÿêó äåøåâøå äîñòàâëÿòè ðåñóðñ ç³ ñòàíö³¿
À çì³øàíèì ñïîñîáîì: çàë³çíèöåþ ³ ïîò³ì àâòîøëÿõàìè.
Âèð³øåííÿ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó òàêèé ñïîñ³á. Âàðò³ñòü
äîñòàâêè 1 ò ñèðîâèíè ïî øëÿõó ÀÌ ñêëàäàº
ÑÀÌ = r
a
· n , (3.20)
äå r
a
= ÀÌ.
120
Î. Ì. Ñóìåöü
Îñíîâè îïåðàö³éíîãî ìåíåäæìåíòó
Ì
ÂА
Х
У
r
a
l
a
r
b
Ðèñ. 3.5 ²ëþñòðàö³ÿ äî âèð³øåííÿ çàâäàíü âèáîðó â³äñòàí³
òðàíñïîðòóâàííÿ ðåñóðñ³â ð³çíèìè âèäàìè òðàíñïîðòó
Ïî øëÿõó ÀÂÌ âàðò³ñòü äîñòàâêè
Ñ
ABM
= l · m + k + r
â
· n. (3.21)
Îäåðæàâøè ð³âíÿííÿ (3.20) ³ (3.21), íåîáõ³äíî âèð³øèòè ïîä-
â³éíó íåð³âí³ñòü
r
a
· n >, < l · m + k + r
â
· n (3.22)
³ âèçíà÷èòè, ÿê ðîçïîä³ëÿòüñÿ òî÷êè íà ïëîùèí³ (õ, ó), ó ÿê³ äå-
øåâøå äîñòàâëÿòè ðåñóðñ ïåðøèì ÷è äðóãèì øëÿõîì.
Äëÿ ð³øåííÿ (3.22) çíàéäåìî ð³âíÿííÿ ë³í³¿, ùî óòâîðèòü ãðà-
íèöþ ì³æ öèìè äâîìà çîíàìè (ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê, äëÿ
ÿêèõ îáèäâà øëÿõè «ð³âíîâèã³äí³»):
r
a
· n = l · m + k + r
â
· n. (3.23)
Çâ³äñè ìàºìî, ùî
const
n
km
rr
âa
=
+⋅
=−
l
. (3.24)