Станішевський С.О. Вища математика. Конспект лекцій. Модуль 1
Подождите немного. Документ загружается.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
70
- обчислимо другу похідну:
))х6(х/()8(у
3/53/4
−−=
′′
. Друга
похідна не існує у точці
0х
1
=
і у точці
6х
3
=
.
Розглянемо знак похідної у околі кожної з цих точок: коли х < 0,
маємо
0у <
′
′
- графік функції напрямлений угнутістю вниз; коли х > 0,
маємо
0у <
′
′
- графік функції напрямлений угнутістю вниз.
Отже точка з абсцисою
0х
1
=
є точкою мінімуму.
x
0
2
4
6
2
y
3
2 4
Рис. 2.36
Коли х < 6, маємо
0у <
′
′
- графік функції напрямлений угнутістю
вниз і коли х > 6, маємо
0у >
′
′
- графік функції напрямлений угнутістю
вгору.
Отже точка з абсцисою
6х
3
=
є точкою перегину;
- шукаємо похилу асимптоту:
1)1х/6(limх/)хх6(limх/уlimk
3/1
х
3/132
хх
−=−=−==
±∞→±∞→±∞→
,
/)ххх6(lim)х)хх6(lim)kху(limb
332
х
3/132
хх
+−=+−=−=
±∞→±∞→±∞→
23/6)х)хх6(х)хх6/((
23/1323/232
==+−−−
.
Отже, пряма у = –х + 2 є похила асимптота;
- ескіз графіка дослідженої функції побудовано на рис. 2.36.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
71
ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
ЛЕКЦІЯ № 14
Визначники. Визначником n-го порядку звуть число
n
∆
, яке за-
писано у вигляді квадратної таблиці чисел
ij
а
:
11 12 1n
21 22 2n
n
n1 n2 nn
а а ... а
а а ... а
... ... ... ..
а а ... а
∆
=
, де
n,j ,n,і
11
==
.
Індекс і вказує номер строки, індекс j - номер стовпця. Числа
ij
а
звуть елементами визначника (їх n
2
).
Елементи:
nn2211
а ....., ,а ,а
, утворюють головну діагональ ви-
значника;
1n
а
,
2n 1
а
−
,…,
n1
а
– побічну діагональ визначника.
Правило обчислення визначника базується на таких поняттях як
мінор
ij
М
та алгебраїчне доповнення
ij
А
елемента
ij
а
.
Мінор
ij
М
- це визначник (
n 1
−
) -го порядку
1n−
∆
, який утво-
рюється із визначника n-го порядку
n
∆
викреслюванням i-ї строки та j
-го стовпця.
Алгебраїчне доповнення
ij
А
є добуток
ij
ji
ij
М)1(А ⋅−=
+
.
Правило обчислення визначника n-го порядку:
∑∑
==
⋅=⋅=
n
1к
кjкj
n
1к
ікікn
АаАа
∆
. (3.1)
Тобто, визначник n-го порядку дорівнює сумі n добутків елеме-
нтів рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення. Його звуть: розк-
ладання визначника по елементах і-го рядка, або j-го стовпця.
Визначник
2
∆
відповідно введеному правилу обчислюється так:
21122211
2221
1211
2
аааа
а а
а а
−==
∆
. (3.2)
Визначник
3
∆
можна обчислювати відповідно правилу (3.1), а
також за правилом трикутників (правило Саррюса):
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
72
(3.3)
Останнє схематично виглядає так:
+ –
Приклад: Обчислити
3
∆
за правилами (3.1) і (3.3).
Розв’язання. За правилом Саррюса
3
4 7 2
3 1 5
5 0 7
∆
−
= −
.101471017528)054737
5)1()2(()2(035577)1(4
−=−−+−=⋅⋅+⋅⋅+
+
⋅
−
⋅
−
−
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
=
За правилом (3.1)
3
4 7 2
3 1 5
5 0 7
∆
−
= −
.10102828)50(2)2521(7)7(4
0 5
1 3
)1()2(
7 5
5 3
)1(7
7 0
5 1
)1(4
312111
−=−+−=+−−⋅−−⋅=
=
−
−⋅−+−⋅+
−
⋅−⋅=
+++
Основні властивості визначників:
- заміна елементів рядка елементами стовпця не змінює величини ви-
значника;
- якщо один з рядків або з стовпців визначника складається тільки з
нулів, то визначник дорівнює нулю;
- при переставленні місцями двох рядків визначника дістаємо визнач-
ник супротивного знака;
- визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю;
- якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на число
k
≠
0, то сам визначник помножиться на k;
- якщо один з рядків визначника пропорційний другому рядку, то ви-
значник дорівнює нулю;
11 12 13
3 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31
31 32 33
12 33 21 11 23 32 13 22 31
а а а
а а а а а а а а а а а а а а а
а а а
а а а а а а а а а .
∆
= = + + − −
− − −
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
73
- якщо всі елементи і-го рядка визначника n-го порядку записати у
вигляді суми двох додатків
)n,1j(bа
jj
=+
, то визначник дорівнює
сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім і-го, такі самі, як і в по-
чатковому визначнику, і-й рядок одного з визначників складається з
елементів а
j
, а другого – з елементів b
j
;
- визначник не змінюється, якщо до елементів одного з рядків дода-
ються елементи другого рядка, помножені на одне й те саме число.
Усі ці властивості доводяться за допомогою правила обчислення
визначника.
Остання властивість дозволяє утворювати нульові елементи у
визначнику, що потім робить його обчислення дуже простим.
Приклад. Обчислити визначник
.
1 32 0 3
1 15 0 4
1 2 0 4
8 12 1 3
10
158 2 9
7 3 1 1
2334 3 5
80 120 10 30
4
−
−
=
−−
−
−−−
−
=
∆
З першого рядка винесли множник 10; далі застосовуємо остан-
ню властивість, тобто послідовно перший рядок помножили на 3 і
склали з другим рядком; потім перший рядок склали з третім рядком;
потім перший рядок помножили на 2 і склали з четвертим рядком. Тим
самим у другому стовпці утворили три нульові елементи.
Розкладемо останній визначник по елементах другого стовпця:
=
−
⋅=
−
⋅−⋅−⋅=
+
1 23 7
1 15 0
1 2 0
10
1 23 3
1 15 4
1 2 4
)1()1(10
21
4
∆
.910)152(70
1 15
1 2
)7()1(10
13
=−⋅−=⋅−⋅−⋅=
+
Третій стовпець помножили на –4 та склали а першим стовпцем;
потім визначник 3-го порядку розклали по елементах першого стовп-
ця. Визначник другого порядку розкрили за правилом (3.2).
Остання властивість дозволяє також початковий визначник при-
вести до трикутного вигляду, це коли всі елементи під (або над) голов-
ною діагоналлю дорівнюють нулю. Тоді обчислення визначника стає
зовсім простим. Він дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
Так, розглянутий вище визначник матиме вигляд:
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
74
4
30 10 120 80 1 8 3 12
5 3 34 23 0 1 4 2
10 10 1 1 7 13
1 1 3 7 0 0 7 30
9 2 8 15 0 0 0 13
∆
−
− − −
= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
− −
− −
910.
Тут, після отримання у другому стовпці нульових елементів,
другий стовпець перемістили на перше місце. Винесли (–1) і поміняли
знак у визначника. Потім четвертий стовпець перемістили на друге
місто. Знак визначника не змінився. Потім із другого рядка відняли
послідовно третій і четвертий рядок. Третій і четвертий рядки поміня-
ли місцями. Змінили знак визначника. Винесли (–1) з рядка і отримали
визначник трикутного вигляду.
ЛЕКЦІЯ № 15
Матриці і операції над ними. Прямокутна таблиця
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
а а ... а
а а ... а
А ,
... ... ... ..
а а ... а
=
складена з
n
m
⋅
чисел, називається матрицею з m рядків і n стовпців
або матрицею розміру m на n.
Числа
ij
а
, де
n,1j ;m,1і ==
, є елементи матриці. Перший ін-
декс і елемента означає номер рядка, в якому стоїть елемент матриці, а
другий індекс j - номер стовпця.
Матрицю позначають також
ij
аА =
, або
ij
А (а )
=
, де
n,1j ;m,1і ==
.
Матриця квадратна, коли m=n.
Дві матриці
ij
а
i
kl
b
рівні, якщо
ij
а
=
kl
b
при i = k i j = l, де
і,k 1,m; j,l 1,n
= =
.
Множення матриці на число. Добутком числа с і матриці
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
75
ij
аА =
є матриця
ij
bВ =
, елементи якої обчислюють за правилом
ijij
асb ⋅=
, тобто кожен елемент
ij
b
, матриці В є добутком числа с і
елемента
ij
а
матриці А.
Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається ну-
льовою матрицею і звичайно позначається символом О (або О
ij
).
Сума і різниця матриць. Сумою двох матриць
ij
аА =
і
kl
bВ =
, що мають відповідно однакове число рядків і стовпців (і,
n,1l ,j ;m,1k ==
), є матриця
ij
сС =
розміру m на n з елементами,
які дорівнюють сумам відповідних елементів матриць A i B:
ijijij
bас +=
. Сума матриць A і В позначається A + В = С.
Різницею матриць А і В є матриця С, яка складена з різниць від-
повідних елементів заданих матриць. Її записують С = А – В.
Добуток матриць. Добутком матриць
ij
аА =
і
jl
В b
=
, де
і 1,m j 1,n, l 1,k
= = =
, є матриця С порядку m на k, елементи якої об-
числюють за правилом
il i1 1l in nl
с а b ... а b
= ⋅ + + ⋅
, (
k,1l ,m,1і ==
),
тобто елемент, що стоїть у i-му рядку і l-му стовпці матриці
С А В
= ⋅
,
дістаємо внаслідок множення елементів i-го рядка матриці А на відпо-
відні елементи l-го стовпця матриці В і наступного додавання усіх цих
пар добутків. Добуток матриць існує, якщо число рядків матриці А
дорівнює числу стовпців матриці B.
Операція множення матриць, взагалі кажучи, некомутативна
Приклад:
.
5 1
1- 1
0 2
В ,
0 3 2
1 2- 2
А
=
−
=
Тут розмірність матриці А є
2 3
×
, а розмірність матриці В є
3 2
×
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
−
−
=
⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅
⋅+−⋅−+⋅−⋅+⋅−+⋅−
=⋅
37
75
501302 101322
111202 111222
ВА
.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
76
( )
=
⋅+⋅⋅+−⋅⋅−+⋅
⋅−+⋅⋅−+−⋅⋅−+−⋅
⋅+⋅⋅+−⋅⋅+−⋅
=⋅
0511 35)2(1 0)1(11
0)1(11 31)2(1 2)1()2(1
0012 30)2(2 20)2(2
АВ
4 4 2
4 5 1 .
8 13 1
− −
− −
У першому випадку маємо матрицю розмірністю 2
×
2, a y дру-
гому – 3
×
3.
У множині квадратних матриць порядку n операції додавання і
множення визначені для будь-яких двох матриць.
Квадратна матриця, всі діагональні елементи якої дорівнюють 1,
а решта - нулі, зветься одиничною і позначається Е (або E
n
, де n - її
порядок). Для будь-якої квадратної матриці А порядку n, та E
n
, справе-
длива рівність
АЕААЕ
nn
=⋅=⋅
.
Транспонування матриць. Нехай
ij
аА =
- матриця розміром
m на n: матриця, що утворюється з матриці А заміною рядків стовпця-
ми, зветься транспонованою і позначається А
т
.
Обернена матриця. Квадратна матриця n -го порядку зветься не-
виродженою, якщо її визначник
n
∆
(елементами якого є елементи мат-
риці А) відрізняється від нуля, тобто
n
det( А )
∆
=
.
Якщо det(A)=0,
матриця А зветься виродженою.
Тільки до квадратних невироджених матриць А введено поняття
оберненої матриці А
–1
. Матриця А
–1
є оберненою для квадратної неви-
родженої матриці А, якщо
Е
А
А
А
А
11
=
⋅
=
⋅
−−
, де Е - одинична матри-
ця порядку n.
Припустимо, що
det(
А ) 0
≠
. Тоді А
–1
існує і знаходиться таким
чином: транспонуємо матрицю А; будуємо приєднану матрицю А
*
, яка
має елементами алгебраїчні доповнення A
ij
елементів а
ij
транспонова-
ної матриці А
т
. Після цього кожний елемент матриці А
*
ділемо на
det(
А )
.
де
11 21 n1
12 22 n2
1 * *
1n 2n nn
A A ... A
A A ... A
А А / det( А ), А
... ... ... ..
A A ... A
−
= =
Приклад. Дана матриці А. Переконатися, що вона невироджена,
знайти обернену їй матрицю А
–1
і перевірити, що
Е
А
А
А
А
11
=
⋅
=
⋅
−−
.
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
77
−
−
−
=
111
351
142
А
,
2 4 1
det(
А ) 1 5 3 10 12 1 5 4 6 8.
1 1 1
−
= − = − − − + + + = −
−
Матриця А невироджена. Записуємо
т
А
:
А
т
−−−=
131
154
112
. Знаходимо A
ij
:
2
13
15
)1(А
11
11
−=
−−
⋅−=
+
;
3
11
14
)1(А
12
21
=
−−
⋅−=
+
;
7
31
54
)1(А
13
31
−=
−−
⋅−=
+
;
2
13
11
)1(А
21
12
=⋅−=
+
;
1
11
12
)1(А
22
22
=⋅−=
+
;
5
31
12
)1(А
23
32
−=⋅−=
+
;
4
15
11
)1(А
31
13
=
−−
⋅−=
+
;
2
14
12
)1(А
32
23
−=
−−
−
⋅−=
+
;
6
51
42
)1(А
33
33
−=
−
−
⋅−=
+
. Будуємо А
*
:
.
624
512
732
А
*
−−
−
−−
=
Отже:
.
624
512
732
)8/(1А
1
−−
−
−−
−=
−
Перевірка добутку
Е
А
А
1
=
⋅
−
:
1
2 3 7 2 4 1
А А 1/ 8 2 1 5 1 5 3
4 2 6 1 1 1
−
− − −
⋅ = − ⋅ − ⋅ − =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 1 7 1 2 4 3 5 7 1
1/ 8 2 2 1 1 5 1 2 4 1 5 5 1
4 2 2 1 6 1 4 4 2 5 6 1
− ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅ −
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
78
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 3 3 7 1
8 0 0 1 0 0
2 1 1 3 5 1 1/ 8 0 8 0 0 1 0 .
0 0 8 0 0 1
4 1 2 3 6 1
− ⋅ + ⋅ + − ⋅
−
⋅ + ⋅ + − ⋅ = − ⋅ − =
−
⋅ + − ⋅ + − ⋅
Маємо:
1
А А Е
−
⋅ =
. Отже, обернена матриця знайдена вірно. У тому,
що
Е
А
А
1
=
⋅
−
переконайтесь самостійно.
Ранг матриці. Нехай
(
)
ij
аА
=
, де
n,1j ;m,1
і
==
. Візьмемо які-
небудь k рядків і k стовпців матриці А (k не перевищує найменше з
чисел m, n). Елементи матриці А, що лежать на перетинах взятих ряд-
ків і стовпців, записані у їхньому звичайному порядку, утворюють
квадратну матрицю порядку k; її визначник звуть мінором k-го поряд-
ку матриці А.
Рангом матриці rang (А) звуть найвищий порядок відмінних від
нуля мінорів матриці А.
Приклад. Знайти ранг матриці
.
010
121
342
А
−
−−
=
На перетині першого рядка і першого стовпця стоїть елемент
матриці а
11
= – 2. Отже, ранг матриці А не менший від одиниці.
З елементів, що стоять на перетині перших двох рядків і перших
двох стовпців, утворимо матрицю
−
−−
21
42
, визначник якої
844
21
42
2
=+=
−
−−
=
∆
Отже, ранг даної матриці принаймні дорівнює двом.
Мінором наступного (третього) порядку буде визначник матриці
А, який відмінний від нуля
5
3
=
∆
. Отже, ранг даної матриці дорівнює
трьом. Розібраний спосіб знаходження rang (А) має назву "спосіб обві-
дних мінорів".
Ранг матриці можна знайти і без обчислення різних обвідних
мінорів цієї матриці. Цей метод обчислення рангу матриці ґрунтується
на використанні таких елементарних перетворень матриці, що не змі-
нюють її рангу:
1) зміна місць двох рядків (стовпців);
Вища математика
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
79
2) множення рядка (стовпця) на довільне, відмінне від нуля чис-
ло;
3) додавання до одного рядка (стовпця) другого рядка (стовпця)
помноженого на деяке, відмінне від нуля, число.
Для знаходження рангу матриці розміру т на п за допомогою
елементарних перетворень зводимо матрицю до вигляду, в якому всі
елементи a
ij
=0, коли
jі
≠
. Ранг початкової матриці дорівнюватиме
числу елементів a
ij
=1, коли
jі
=
, утвореної матриці.
Цей метод має назву "метод елементарних перетворень мат-
риці".
Приклад. Знайти ранг матриці
1 2 4
1 4 1
А
3 1 2
1 1 1
−
− −
=
−
.
Додамо перший рядок до другого, а другий рядок до четвертого,
потім другий рядок множимо на 3 і додаємо до третього рядка. Маємо,
у першому стовбці один елемент 1, а останні 0.
1 2 4 1 2 4
0 2 3 0 2 3
0 11 5 0 11 5
0 3 0 0 1 0
− −
− − − −
≈ ≈
− −
−
1 0 4 1 0 0 1 0 0
0 0 3 0 0 1 0 1 0
0 0 5 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 0
−
−
≈ ≈
.
Четвертий рядок ділимо на –3. Тепер цей рядок дає можливість
зробити нульовими елементи другого стовпця крім останнього шляхом
послідовного множення його на –2, 2 та 11 і додавання до першого,
другого та третього рядка. Маємо у перших двох стовбцях два елемен-
ти одиничні, а останні нульові. Перетворюємо третій стовбець наступ-
ним чином: перший стовпець множимо на 4 і додаємо до третього сто-
впця; другий рядок поділимо на –3; третій рядок поділимо на 5; другий
рядок множимо на –1 і додаємо до третього рядка. Таким чином, після
зміни місць другого та четвертого рядків, маємо останню матрицю.
Тут елементи а
11
= а
22
= а
33
= 1. Тобто, Rang (A) = 3.