Станішевський С.О. Вища математика. Конспект лекцій. Модуль 1

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

20

Точці Μ, яка належить площині і відмінна від точки О, ставить-

ся у відповідність упорядкована пара чисел (

r ;

ϕ

), яку звуть полярни-

ми координатами точки М. Число

r

є полярним радіусом точки М - це

довжина відрізка ОМ. Число

ϕ

, яке звуть полярним кутом, є радіан-

ною величиною кута ЕОМ.

Між множиною всіх точок площини (крім точки О) і множиною

упорядкованих пар чисел (r ,φ), де

0r

≥

і

[

]

πϕ

2;0∈

існує взаємно од-

нозначна відповідність. Для точки О величина полярного кута не ви-

значена.

Приклад. Знайти точку

(

)

6/;3М

0

π

у полярній системі координат.

Розв'язок. На рис. 1.10 наведено полярну систему координат. Точка Μ

0

буде розташована на перетині дуги радіуса r

0

= 3 і променя з початком

у точці О, що утворює кут

6/

0

πϕ

=

з полярною віссю.

Рис. 1.11

Зв'язок між полярними і прямокутними координатами. Якщо за

полюс узяти початок прямокутної декартової системи координат, а за

полярну вісь – додатний напрям вісі Ох (рис. 1.11), то полярні коорди-

нати точки М, яка не збігається з полюсом, і її прямокутні координати

зв'язані рівностями:

х rcоs

ϕ

=

,

у r sin

ϕ

=

, (1.23)

які маємо з прямокутного ∆ОМN.

Перехід від прямокутних координат точки М до її полярних ко-

ординат робимо за формулами:

2 2

r

х у

= +

;

(

)

arctg

у / х

ϕ

=

, де

[

]

0;2

ϕ π

∈

.

Приклад.

Знайти декартові координати точки М(3;

/ 6

π

), яка

дана у попередньому прикладі.

y

x

y

0

М(r,φ)

E

r

x

φ

М(х, у)

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21

Розв'язок. За формулами (1.23) маємо:

x 3 cos / 6

π

= ⋅

=

3 3 / 2

;

у 3 sin / 6 3 / 2

π

= ⋅ =

.

Таким чином:

(

)

М 3 3 / 2,3 / 2

.

Рівняння ліній другого порядку у полярних координатах. Нехай

АВС (рис. 1.12) - крива лінії другого порядку (еліпса, гіперболи або

параболи), у якої: точка А - вершина; точка F - фокус і лінія DE - від-

повідна директриса. Полярну систему координат розташуємо таким

чином, щоб полюс був у точці F (тобто у фокусі), а полярна вісь збіга-

лася з віссю симетрії. Ексцентриситет кривої раніше позначено буквою

е. Нехай М

0

- точка кривої АВС, яка лежить на перпендикулярі FK до

полярної вісі. Позначимо довжину відрізка FM

0

через р. Цю величину

звуть фокальним параметром кривої.

С

Рис. 1.12

Нехай Μ - довільна точка кривої у обраній полярній системі ко-

ординат. Складемо рівняння, яке виявляє залежність між її полярними

координатами r ,φ та даними числами е і р.

З попереднього відомо, що е = |FM|/|MN|. Відрізок NM = NK +

+KM. Тут KF||DE,

і NK||N

0

M

0

, тому NK = N

0

M

0

. З ∆FKM маємо: KM =

FM cosφ. Таким чином,

NM = N

0

M

0

+ FM cosφ. (1.24)

З другого боку, е = FM

0

/ M

0

N

0

або M

0

N

0

= р/е.

Перше відношення для е дає: NM = FM/e або NM = r/е, тому що FM=r.

Формула (1.24), після підстановки обчислених величин, має вигляд:

ϕ

cosre/pe/r

+

=

, звідки:

r = p /(1– ecosφ). (1.25)

Рівняння (1.25) визначає: еліпс, якщо е < 1; параболу, якщо е =

1; гіперболу, якщо е > 1.

М

0

D

В

F

Р

N

0

N

Е

К

М(r,

φ)

А

р

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22

Фокальний параметр р зв'язаний з параметрами а і b еліпса і гі-

перболи співвідношенням:

а/bр

2

=

.

Приклад. Записати рівняння параболи

16х8у

2

+=

у полярній

системі координат.

Розв'язок. Скористаємося формулами (1.23). Маємо

16cosr8sinr

22

+=

ϕϕ

. Додамо до обох частин останнього рівняння

величину r

2

cos

2

φ. Тоді:

sin

2 2 2 2 2 2

r r

сos r сos 8rсos 16

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ = + +

,

(

)

( )

2

2 2 2

r

сos sin rсos 4 ; r rсos 4

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ = + = +

.

Розв'язавши останнє рівняння відносно r, маємо шукане рівняння

(

)

ϕ

cos1/4r −=

.

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЛЕКЦІЯ № 5

Змінна. Функція. У результаті вимірювання таких фізичних ве-

личин, як час, довжина, об'єм, маса, швидкість, тиск, температура та

ін., визначаються числові значення фізичних величин. Математика

займається величинами, відвертаючись від їх конкретного змісту. Далі,

розглядаючи величини, матимемо на увазі їх числові значення.

Змінна. Поняття змінної величини є основним поняттям дифе-

ренціального та інтегрального числень.

Визначення. Змінною величиною є величина, яка набуває різних

числових значень. Величина, числові значення якої не змінюються,

має назву сталої величини. Далі змінні величини будемо позначати

буквами х, у, z, u, ... і т. д. Сталі величини будемо позначати буквами а,

b, с, ... і т. д. Величини, які зберігають своє значення у будь-якому

явищі, звуться абсолютними сталими. Наприклад, відношення довжи-

ни кола до діаметра є абсолютна стала величина

π

=

....14159,3

.

Значення змінної величини геометрично зображується точками

числової вісі. Наприклад, змінна

α

cos

х

=

при будь-яких значеннях

α

зображується сукупністю точок відрізка числової вісі від –1 до 1.

Визначення.

Сукупність всіх числових значень змінної величи-

ни є її областю визначення.

Відзначимо такі області зміни: проміжок або інтервал, це суку-

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

23

пність усіх чисел х, які знаходяться між даними числами а і b (a < b),

при цьому самі числа їй не належать. Його позначають (а, b) або а < х

< b; відрізок або сегмент – це сукупність усіх чисел х, які знаходяться

між даними числами а і b, при цьому обидва числа а і b їй належать.

Його позначають [a,b] або

bха

≤

.

Якщо одне з чисел а або b, приєднується до проміжку, а друге -

ні, то маємо напівзачинений проміжок, його позначають (a,b] або [a,b).

За допомогою нерівностей:

bха

<

≤

або

bха

≤

<

. Якщо змінна x на-

буває будь-яких значень, більших за а, то такий інтервал позначають

),а(

∞

або

∞

<

х

а

. Аналогічно маємо нескінченні інтервали

∞

<

≤

х

а

,

с

х

≤

<

−∞

,

∞

<

−∞

х

.

Наведені вище визначення можна сформулювати, використову-

ючи замість поняття "число" поняття "точка". Наприклад, відрізок –це

сукупність усіх точок х, які знаходяться між двома даними точками а і

b (кінці відрізка), причому кінці відрізка належать цій сукупності.

Околом даної точки

0

х

,звуть довільний інтервал (а,b), який має

цю точку усередині себе, тобто

b

ха

0

<<

.

Визначення. Змінна x є упорядкована величина, якщо відома об-

ласть її зміни і про кожне з двох будь-яких її значень можна сказати,

яке значення попереднє і яке наступне. Тут ці поняття не зв'язують з

часом, а є спосіб упорядкування значень змінної величини.

Окремим випадком упорядкованої змінної величини є змінна

величина, значення якої утворюють числову послідовність х

1

, x

2

, ..., х

i

,

.... Тут при i < k значення x

i

попереднє, а х

k

- наступне незалежно від

того, яке з цих значень більше.

Визначення. Змінна величина є монотонно зростаючою (спада-

ючою), якщо кожне послідовне її значення більше (менше) поперед-

нього.

Визначення. Змінна величина х обмежена, якщо є таке стале чи-

сло Μ > 0, що всі наступні значення змінної, починаючи з деякого,

задовольняють умові

МхМ

≤

−

, тобто

М|х|

≤

.

Приклад. Площина S правильного уписаного у коло многокут-

ника при подвоєнні його сторін є монотонною зростаючою величиною,

але вона обмежена площиною кола.

Функція. Досліджуючи різні явища природи або розв'язуючи те-

хнічні проблеми, в математиці доводиться розглядати зміну однієї з

величин у залежності від зміни іншої величини.

Визначення.

Якщо кожному значенню змінної х, яке належить

деякій області, відповідає одне визначене значення другої змінної у, то

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24

у є функцією від х, або у символьній формі у =f(x).

Змінна х тут незалежна змінна або аргумент. Буква f показує, що

над змінною х треба виконати відповідні операції, щоб мати значення у.

Замість запису у = f(x), іноді пишуть у = у(х). Тобто буква у поз-

начає і залежну змінну, і сукупність операцій над х. Запис у = С, де С -

стала, позначає функцію значення якої при будь-якому х одне й теж і

дорівнює С.

Визначення. Сукупність значень х, для яких визначаються зна-

чення функції у за правилом f(x), звуть областю визначення функції

(або областю існування функції), а сукупність утворену з різних чисел

у, які обчислюють за правилом f(x), - областю зміни функції f(x).

Іноді область визначення і область зміни функції у = f(x) відпо-

відно позначають D(f) і Е(f).

Якщо змінні x і у розглядати як декартові координати точок на

площині, то графіком функції у = f(x) є множина точок координатної

площини Оху з координатами (х; f(x)).

Способи завдання функції.

Табличний спосіб завдання функції. При цьому способі пишуть

у визначеному порядку значення аргументу х

1

, x

2

, ..., х

n

, і відповідні

значення функції у

1

, у

2

, ..., у

n

:

х х

1

х

2

… х

n

y y

1

y

2

… y

n

Графічний спосіб завдання функції. Якщо у прямокутній систе-

мі координат на площині маємо деяку сукупність точок М(х,у), при

цьому ніякі дві точки не належать до однієї прямої, яка паралельна осі

Оу, то ця сукупність точок визначає деяку однозначну функцію у =

f(x); значеннями аргументу є абсциси точок, значеннями функції - від-

повідні ординати.

Аналітичні способи завдання функції.

Явна форма завдання функції. Функцію задають у вигляді фор-

мули, що визначає операції (і послідовності їх виконання), які потріб-

но виконати над значенням незалежної змінної, щоб визначити зна-

чення залежної змінної.

Приклад.

22/1

)1

х

(

у −=

, де

0

х

≥

.

Неявна форма завдання функції. Під неявним завданням функції

розуміють завдання функції у вигляді рівняння

F(x,y) = 0,

яке задає функцію тільки тоді, коли множина впорядкованих пар (х; у),

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

25

які є розв'язком даного рівняння, така, що для будь-якого числа х

0

у цій

множині є не більш як одна пара (х

0

; у

0

) з першим елементом х

0

.

Приклад. х·у – 4 = 0.

Параметрична форма завдання функції. Якщо функцію задано

параметрично, то значення змінних х і у, що відповідають одне одно-

му, визначають через третю величину, яка є параметром:

)t(х

φ

=

,

)t(у

Ψ

=

.

У деяких випадках функцію, задану у параметричному вигляді,

можна записати і в явній формі. Тобто виключити параметр t. Прик-

лад. Функція, задана у параметричній формі:

tsin

х

=

,

t

cos

у

=

,

]2/ ,0[t

π

∈

,

допускає запис у явній формі:

2

х1у

−=

, де

]1;0[х

∈

.

Основні елементарні функції.

Степенева функція: у = х

α

.

а) α - ціле додатне число. Функція визначена у нескінченному

інтервалі

∞

<

−∞

x

. Графіки функції у цьому випадку при деяких

значеннях α мають вигляд, зображений на рис. 2.1 і рис. 2.2;

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3

б) α - ціле від'ємне число. У цьому випадку функція визначена

для усіх значень х, окрім х = 0. Графіки функцій при деяких значеннях

α мають вигляд, зображений на рис.2.3 і рис.2.4;

в) число α - раціональний дріб. На рисунках 2.5, 2.6 і 2.7 зобра-

жені графіки степеневої функції для

2 / 3

α

=

;

3/ 2

α

=

;

1/ 3

α

=

.

Показникова функція: у = а

х

, а > 0 i

R

х

∈

. Графік її має вигляд,

зображений на рис. 2.8. Розглянуті випадки, коли 0 < а < 1 і а > 1.

Логарифмічна функція: у = lоg

а

x, а > 0, х > 0.

Графік її зображено на рис. 2.9. Розглянуті випадки, коли 0 < а

< 1 і а > 1. lgx –десятковий логарифм, lnx – натуральний логарифм.

у

1

у = х

2

х

1

у

х

у = х

3

у

-1

1

у = х

-

2

х

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

Рис.2.4 Рис.2.5 Рис. 2.6

Тригонометричні функції: у = sinx; y = cosx; y = tgx; y = ctgx.

Незалежна змінна x набуває значення у радіанах. Усі названі тригоно-

метричні функції періодичні.

Рис. 2.7 Рис. 2.8 Рис. 2.9

Визначення. Функція f(x) є періодичною з періодом Т (Т > 0,

T

∈

R), якщо:

а) для будь-якого значення аргументу х з області визначення

функції значення аргументу х+Т і х – Т також належать області визна-

чення функції;

б) при будь-якому х з області визначення функції маємо рів-

ність: f(х

±

T) = f(x).

Звичайно під періодом функції розуміють Т

0

- найменший з

усіх додатних періодів (якщо такий існує). У цьому разі всі періоди

функції йому кратні: Т = kT

0

, де k

Ν

∈

.

Приклад. Знайти найменший період функції f(х) = sin(ax+b), де

0

а

≠

,

(

)

х

;

∈ −∞ ∞

.

Розв'язання. Припустимо, що ця функція періодична, тоді вико-

у

1

у = х

1/3

х

1

у

х

0

у = 2

х

у =

(

)

х

1

2

1

у

1

х

0

у = log

3

х

у = log

1/3

х

у

-1

1

у = х

-

3

х

1

-1

у

-1

1

у = х

2/3

х

1

у

х

у = х

3/2

-1

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27

нується рівність sin(ax+b) = sin[a(x+T)+b].

Звідки

2 n ax b ax aTY b

π

+ + = + +

.

Отже,

,а/)n2(Т

π

=

Zn

∈

.

Остання формула задає нескінченну множину чисел. Най-

меншим додатним числом з них є число

0

Т

2 / |

а

|

π

=

.

За означенням функції синуса при будь-якому х, значення

|а|/2х

π

+

і

|а|/2х

π

−

, також належать області визначення функції,

тобто умову а) виконано. Умову б) виконано внаслідок використання

способу знаходження числа Т. Отже,

0

Т

2 / |

а

|

π

=

- період і функція

sin(ax+b) - періодична.

Рис. 2.10

Функції у = cosx і у = sinx періодичні і мають період

π

2

. Ці фу-

нкції визначені для

х

R

∈

.

Функція у = tgx не визначена у точках:

2/)1k2(х

π

+

=

,

Zk

∈

.

Функції у = ctgx не визначена у точках:

π

k

х

=

,

Zk

∈

.

Графіки тригонометричних функцій зображені на рисунках 2.10

і 2.11.

Рис. 2.11

у

х

у = sin х

у = cos х

0

1

π/2

-π/2

-π

π

-1

π/2

π

у

х

у = tg х

у = ctg х

-π/2

0

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

28

Перш ніж розглянути обернені тригонометричні функції, згада-

ємо такі поняття, як обмеженість, монотонність функцій і обернена

функція.

Обмежені функції. Функція f(х) є обмеженою зверху, якщо існує

таке число М, що для всіх значень аргументу з області визначення фу-

нкції виконується нерівність f(х)

≤

М, і обмеженою знизу, якщо існує

таке число т, що для всіх значень аргументу з області визначення фу-

нкції виконується нерівність f(х)

≥

т.

Функція, обмежена зверху і знизу, є обмеженою. Функції

у = sinx і у = соsх обмежені зверху числом 1, а знизу числом –1. Функ-

ції у = tgx і у = ctgx необмежені.

Монотонні функції. Функція f(х) є зростаючою у проміжку

(а, b), якщо для будь-якої пари значень х

1

і х

2

∈

(а;b) з нерівності

х

1

> х

2

випливає нерівність f(x

1

) > f(x

2

), тобто більшому значенню ар-

гументу відповідає більше значення функції. Якщо з нерівності х

1

> х

2

випливає нерівність f(x

1

)

≥

f(x

2

), то функція зветься неспадною.

Функція f(х) є спадною в проміжку (а;b), якщо для будь-якої па-

ри значень x

1

і х

2

∈

(а;b) з нерівності х

1

> х

2

випливає нерівність

f(x

1

) < f(x

2

), тобто більшому значенню аргументу відповідає менше

значення функції. Якщо з нерівності х

1

> х

2

випливає нерівність

f(x

1

)

≤

f(x

2

), то функція зветься незростаючою. Зростаючі і спадні фун-

кції звуть строго монотонними. Ці функції разом з неспадними і не-

зростаючими є монотонними.

Якщо область визначення можна розбити на деяке число -

проміжків, які не перетинаються, таких, що на кожному з цих проміж-

ків функція монотонна, то такі проміжки звуть проміжками монотон-

ності функції.

Приклад. Функція у = х

2

визначена на всій числовій осі. Вона

має два проміжки монотонності

)0 ;(

−∞

і

) 0; (

∞

.

Поняття оберненої функції. Нехай у = f(x) - числова функція з

областю визначення D(f) і областю зміни E(f). Припустимо що множи-

ни D(f) і E(f) - деякі проміжки.

Візьмемо яке-небудь значення у з множини E(f); тоді у множині

D(f) обов’язково знайдеться хоча б одне значення х = х

0

таке, що f(х

0

) =

у

0

.

Якщо функція у = f(x ) неперервна і строго монотонна, то для

кожного значення у

0

з множини значень функції E(f) знайдеться єдине

значення x

0

з області визначення функції D(f) таке, що f(х

0

) = у

0

.

Відповідність, яка відносить кожному даному числу у

0

з множи-

ни E(f) єдине число х

0

з множини D(f), звуть функцією оберненою до

Вища математика

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

функції f, позначають символом

1

f

−

i записують

x =

1

f

−

(y).

У цьому запису: у - незалежна змінна, а х - залежна. Функція

1

f

−

,

обернена до неперервної і строго монотонної функції f, також

неперервна і строго монотонна. Функції f і

1

f

−

звуть взаємно оберне-

ними. Графіки цих функцій збігаються. Якщо утворимо осьову симет-

рію координатної площини відносно бісектриси першого і третього

координатних кутів і запишемо рівняння оберненої функції у вигляді

у =

1

f

−

(x), то графіки функцій у = f(х) і у =

1

f

−

(x) будуть симетричні

відносно бісектриси у = х.

Приклад. Функція у = х

2

на інтервалі

] ;0[

∞

неперервна і моно-

тонна. Вона має обернену

ху

=

. Графіки цих функцій зображені на

рис. 2.12.

Рис. 2.12

Властивості взаємно обернених функцій:

а) якщо функція

1

f

−

обернена до функції f, то й функція f бу-

де оберненою до функції

1

f

−

;

б) область визначення функції f є областю зміни функції

1

f

−

,

область зміни функції f є областю визначення функції

1

f

−

;

в) графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно

бісектриси першого і третього координатних кутів площини Оху.

Обернені тригонометричні функції.

у = arcsinx. Виділимо на числовій вісі Ох проміжок

]2/ ,2/[

ππ

−

. На цьому проміжку функція у = sinx зростає від –1 до

у

х

0

у = х

2

ху =

1

у = х

1

Станішевський С.О. Вища математика. Конспект лекцій. Модуль 1

Подождите немного. Документ загружается.