Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Рис. 4.6. Характеристика линейного проволочного

потенциометра

щ ния вносится методическая погрешность

измерительного прибора

Рис. 4.6. Характеристика линейного проволочного

потенциометра

Из-за принятого допущ ния вносится методическая погрешность

измерительного прибора

R

r

/2

r

/

2

x

0

ееИз-за принятого допу

2rR

1

=

Δ

,

где

1

– сопротивление одного в r итка,

WRr

01

=

,

R

0

– общее сопротивление потенциометра; W – количество витков.

Следовательно, приведенная методическая погрешность определяется по

формуле

WR

R

2

1

Δ

=

0

=γ .

41

5. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА

5.1. Виды инструментальных погрешностей

Инструментальные погрешности можно разделить на погрешности, вызванные

внешними возмущениями, материально-структурные, температурные, производ-

ственно-технологические. Проведем анализ инструментальных погрешностей на

основе математической модели погрешности измерительного прибора (2.4).

Погрешности от внешних возмущений вызываются силами и моментами,

действующими на неуравновешенные части прибора, влиянием

электромагнитных и электростатических полей, перегрузок и вибраций.

Математическим описанием этих погрешностей является первое слагаемое

выражения (2.4)

∑

=

ξ=ξ

=

ξΔ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ξ∂

∂

=Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

=Δ

вв

1

вв

N

i

oii

o

FF

y ξ

ξ

ξξ

,

где N

вв

– количество помех, вызывающих погрешности. Погрешности, вызванные

внешними возмущениями, можно уменьшить путем уравновешивания

(балансировки), амортизации, экранирования.

Появление материально-структурных погрешностей обусловлено

гистерезисом, паразитными ЭДС, наводками, трением в подвижных элементах,

нагревом и другими факторами. Эти погрешности оцениваются пятым слагаемым

в выражении (2.4)

i

N

i

oii

o

F

νΔ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ν∂

∂

=Δ

∑

=

ν=ν

мс

1

ν

F

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

=Δ

=

мс

ν

Рис. 5.1. Схема ным элементом контрольно-измерительного

авт

весовым допуском. Динамический принцип взвешивания деталей позволяет

,

где N

мс

– количество влияющих факторов.

К основным способам уменьшения таких погре-

шностей относятся: выбор материалов с учетом

их технологической и физической совместимос-

ти; уменьшение трения; выбор допустимых на-

пряжений и нагрузок.

Пример 5.1. Исследовать влияние сил сухого

трения на точность работы автоматических

весов, предназначенных для сортировки изготов-

ленных деталей по весу на несколько весовых

категорий (рис. 5.1). Эти весы являются основ-

автоматических весов устройства, предназначенного для поднастройки

оматических металлорежущих станков, изготовляющих детали с заданным

42

осуществить высокую производительность и точность работы контрольно-

измерительного прибора, состоящего из пружины 1, платформы 2, соленоида 3 и

фотоэлектрического элемента 4. Процесс измерения веса етали заключается в

следующем: на неподвижную в начальном положении платформу устанавливают

измеряемую деталь. Платформа снимается с упора посредством соленоида и

совершает свободное колебание в течение одного периода, после чего вновь

останавливается упором. Величина амплитуды колебаний, пропорциональная

весу детали P, измеряется фотоэлектрическим элементом в виде электрических

импульсов, подсчитываемых электронным счетчиком, при помощи которого

осуществляется необходимая корректировка рабочих органов металлорежущего

станка.

Уравнение движения идеальной системы имеет вид

д

Pycym

oo

+

=

&&

, (5.1)

где

При начальных условиях

c – жесткость пружины.

0)0()0(

=

oo

yy

&

решением (5.1) будет

()

tωs

.

c

P

y

o

−= co1

(5.2)

Откуда

t

c

P

y

o

ω

= sin

&

, (5.3)

где

mc=ω

.

Из (5.2) может быть найдена величина размаха колебаний

cPy

o

2=

платформой в ее расч

*

етном движении.

ого трения ΔF уравнение движения системы

и тем самым найден путь, пройденный

С учетом малой силы сух

запишется в виде

()

(

)

(

)

PyyFyycyym

ooo

=

Δ

+

Δ

+

Δ

+

+Δ+

&&&&&

sign

. (5.4)

Из (5.4) вычтем

&

(5.1) и получим уравнение для описания

движения системы

дополнительного

(

)

0sign

=

Δ

+

Δ

+

Δ

+Δ yyFycym

o

&&&&

.

С учетом (5.3) получим

0sinsign =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ+ω

ω

Δ+Δ+Δym

&

yt

c

P

Fyc

&&

. (5.5)

Решая уравнение (5.5.) можно найти

)(

F

f

y

Δ

=

Δ

и, следова

в измерении веса изготовленной детали.

ят к и

ств элементов измерительной цепи.

Температура влияет на плотность рабочих сред в пневматических и

тельно, погрешность

Температурные погрешности привод зменению линейных и угловых

размеров, изменению физических свой

43

гид

е

,

т

равлических измерительных приборах. В электромеханических приборах из-за

изменения температуры меняются электрич ские сопротивления. Изменение

температуры вызывает, например, коррозию деталей что в свою очередь

вызывает дополнительные погрешности.

Модель емпературных погрешностей – четвертое слагаемое выражения (2.4):

∑

=

⎠⎝

∂∂

⎠⎝

∂∂

i

o

q

1

θθq

θθ

Δ

⎟

⎜

∂

θ

, (5.6)

где q – вектор параметров прибора с компонентами (

⎞⎛

∂

=Δ

⎟

⎞

⎜

⎛ ∂∂

=Δ

n

i

qFF

y

т

θ

q

i

q

n,1= ); n – количество i

параметров; Δθ – отклонение температуры от номинальной.

Имеет место зависимость, выражающая изменение номинальной величины

q

i

параметра номер i от температуры θ:

(

)

qq

oiii

θ

α

+

=

1 , (5.7)

где

i

α

- температурный коэффициент (расширения, сжатия).

Выражение (5.7) подставим в (5.6):

∑

Δα

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

=Δ

n

iоi

q

F

y

т

θ

.

=i 1

=

⎠⎝

i

o

θθ

Введем обозначение температурного коэффициента прибора σ:

∑

=

⎠⎝

∂

i

q

o

1

θθ

α

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

=σ

n

iоi

q

F

и получим

θ

Δ

σ

=

Δ

т

y

.

образом, уменьшение температурных погрешностей достигается

м температурных коэффициентов приборов.

технолог (

еделяют

его

л

Таким

уменьшение измерительных

Производственно- ические погрешности первичные погрешности).

Эти погрешности являются существенными, если параметры деталей участвуют в

формировании передаточной функции измерительного прибора или опр

работоспособность. Погрешность параметров деталей приводит к

погрешности положения выходного звена измерительного прибора, появлению

мертвого хода, изменению динамических характеристик.

Математическим описанием этих погрешностей яв яется второе и третье

слагаемые выражения (2.4)

∑∑

=

⎪

⎬

⎫

⎪

⎨

ηΔ

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

+Δ

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

=Δ

⎟

⎞

⎜

⎝

⎛ ∂

∂

+Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

=Δ

n

k

N

i

o

q

FFF

y

пт

η

q

qq

,

⎧

==

η=η=

=

⎪

⎭

⎪

⎩

⎠⎝

η∂

⎠⎝

∂

⎠

∂

i k

k

qq

i

okkoii

o

q

11

η

ηη

где q – вектор параметров (размеры и параметры элементов и деталей) прибора с

компонентами (

i

q

ni ,1= ); n – количество параметров; η – вектор

технологических операций (термообработка, магнитная и электрическая

44

обработка и др.) с компонентами

k

η

(

пт

,1 Nk = ); N

пт

– количество

производственн еских погрешнос ей. Производственно-

технологические п грешности возникают из-за неточного изготовления деталей и

элементов

i

q

неточного выдерживани нол г х о ераций

k

о-технологич т

о

и я о ически п

Δ

тех

η

Δ

.

Уменьшение производственно- огических погрешностей достигается

путем точного выдерживания технологических операций.

технол

м значениям

При ными

значен етры

деталей

дет

ъ

ования. Поэтому всего

нео о а н

н

ны;

х колес

5.2. Общие понятия и подходы к расчету погрешностей

от несоответствия параметров номинальны

проектировании измерительных приборов наряду с номиналь

иями назначаются и допускаемые отклонения на все размеры и парам

и элементов. Действительны значения параметров изготовленныхе

алей и элементов будут отличаться от номинальных и, следовательно,

реальная функция преобразования будет отличаться от номинальной расчетной,

что приведет к погрешности показаний прибора.

В технической документации на об ект проектирования, как правило,

оговариваются десятки, сотни, а иногда и тысячи параметров. Однако не все из

них оказывают влияние на функцию преобраз прежде

бх димо выявить те технические пар метры, еточность выполнения которых

приводит к изменению функции преобразования. Именно эти параметры

классифицируются как внутренние и учитываются при расчетах на точность.

Каждую отдельную неточность внутреннего параметра, приводящую к

погрешности показаний измерительного прибора, называют первичной

погрешностью. Будучи отклонением внутреннего параметра первичная

погрешность имеет его размерность.

К числу внутренних относят также параметры, номинальные значения

которых равны нулю, и их ет в расчетной характеристике (зазоры, отклонения от

правильной геометрической формы, перекосы в расположении поверхностей,

ше кроховатость, электричес ие шумы и др.).

Первичные погрешности могут быть различных видов. Выделяют

детерминированные и случайные погрешности: к детерминированным относят

погрешности, характеристики которых извест характеристики случайных

погрешностей изменяются случайным образом.

Если погрешность определяется только численным значением, то это

скалярная погрешность. Она характеризуется одним параметром (погрешность

сопротивления резистора, длины рычага, модуля упругости чувствительного

эле имента т. п.).

Погрешность, характеризуемая не только значением, но и направлением

действия, называется векторной (эксцентриситет шкалы отсчетного устройства,

эксцентриситет вращающи ся деталей – зубчатых , кулачков, роликов во

45

фри н

и первичных погрешностей

опр

, с й

ость, будучи результатом влияния первичной погрешности на

точ а

2

∑

Δ⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

Δ⇒Δ⇒

кционных передачах т. п.). Для зада ия такой погрешности, как и для любого

вектора, необходимо, как минимум, два параметра.

На показания измерительного прибора первичные погрешности могут влиять

по-разному: одни ведут к увеличению выходного сигнала, другие – к

уменьшению. Поэтому итог влияния совокупност

еделяется реальной комбинацией их значений и видом функции

преобразования.

Часть суммарной погрешности измерительного прибора, обусловленная

первичной погрешностью называется ча тно или частичной погрешностью.

Частная погрешн

ность показаний прибора, имеет р змерность выходного сигнала (измеряемой

величины). Суммарная погрешность от несоответствия параметров номинальным

значениям определяется совокупностью частных погрешностей (рис. 5.2).

22

11

1

⎪

⎫

Δ⇒Δ⇒

Δ

⇒Δ⇒

q

yqq

43421

4342143421

MMM

значениям

мноминальны

параметров

твиянесоответсот

ьПогрешност

ипогрешност

Частные

ипогрешност

Первичные

параметры

Внутренние

q

qnn

qss

y

yqq

n

s

Рис. 5.2. Схема формирования погрешности

от несоответствия параметров номинальным значениям

Таким образом, от несоответствия

параметров но довательность

следующих операций:

погрешностей, определения их вида, характера изменения,

чис

5.3.1. Аналитический метод

Сущест ор метода

определяется характ ешностей, схемой

измерительного прибор . Одним из самых

алгоритм определения погрешности

минальным значениям представляет собой после

– анализ конструкторской документации на прибор с целью выявления

внутренних параметров и составление математического описания прибора;

– анализ первичных

ленных значений;

– расчет частных погрешностей в зависимости от вида первичных;

– определение суммарной погрешности по совокупности частных.

5.3. Методы определения частных погрешностей

вует несколько методов расчета частных погрешностей. Выб

еристиками первичных погр

а, его расчетной характеристикой

46

рас

д п ля

пространенных методов является

аналитический метод, который называют

также

дифференциальным. Этот мето рименяют д оценки погрешности, если

1) имеется аналитическое выражение функции выходного параметра, которая

должна быть непрерывной и дифференцируемой; 2) известны инструментальные

погрешности входных параметров и диапазон их изменения.

Рассмотрим случай определения частных погрешностей для

детерминированной скалярной первичной погрешности

s

q

Δ

.

Номинальная расчетная характеристика прибора имеет вид

),(

нр s

qxfy

=

. (5.8)

q<

, а остальные

параметры погрешности не имеют. Тогда р

можно записать в виде

Пусть параметр

s

q

имеет первичную погрешность

s

q <Δ

s

асчетную функцию преобразования

),(

р ss

qqxfy

Δ

+

=

. (5.9)

Так как

s

qΔ

много меньше

q

, разложим функцию (5.9) в ряд Тейлора по

степеням

Δ

s

q

+Δ

⎟

⎞

∂

+=Δ

sоss

q

f

qxfqqxf ),(),(

⎠

⎜

⎝

⎛

∂

+

q

s

q

OS

...

!3

1

!2

1

3

2

+Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

+Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

+

s

q

s

q

s

q

f

q

f

OSOS

, (5.10)

где – номинальное значение параметра Ограничиваясь двум

членами разложения (5.10) и пренебрегая величинами второго и большего

оs

q

s

q

. я первыми

порядков малости, получим:

sоsss

q

f

qxfqqxfy Δ

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

+=Δ+=

),(),(

р

(5.11)

q

s

OS

⎠⎝

.

Частная погрешность – это результат влияния пер

поэтому выражение для определения частной погрешности

xyxyy

вичной погрешности,

будет иметь вид

)()(

нрр

S

q

=

−

Δ

. (5.12)

Подставляя (5.8) и (5.11) в (5.12), получим

s

q

s

q

OS

S

⎠⎝

∂

q

f

y Δ⋅

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

=Δ

Выражение (5.13) является

основной формулой

значение

. (5.13)

линейной теории точности, а

()

OS

q

s

qf ∂∂ называют коэффициенто

рованную

влияния

м влияния.

Таким образом, для нахождения частной погрешности следует

детермини скалярную первичную погрешность

qΔ

умножить на

коэффициент .

s

47

Аналитический мет опр еления частных погрешностей является аиболее

эффективным. Однако на его применение накладывается ряд о ичений:

1. Первичная погре

од ед н

гран

шность должна быть много меньше (как минимум на

пор

ением

отн

ике частную производную вычислить невозможно.

вычисления

только

-зубчатый преобразователь.

аны между собой.

Рис 5.3. Схема синусного рычажно-

зубчатого преобразователя: 0 – корпус

прибора; 1 – измерительный стержень;

т

преобразователя при входном воздействи

данных:

q

2

= 3,8248 мм – длина рычага калы;

Z

ш

= 80 – число делений шкалы; Θ = 2π/3 – у

ядок) номинального значения параметра, поскольку данный метод является

приближенным и степень точности приближения возрастает с уменьш

ошения

s

qΔ

к

s

q

.

2. Метод не может быть применен в случае нулевых номинальных значений

параметра, поскольку тогда значение параметра отсутствует в расчетной

характерист , и

3. При сложных функциях преобразования может быть затруднительным

нахождение частной производной.

4. Метод может быть использован в рассмотренном виде для

независимых первичных погрешностей.

Пример 5.2. Синусный рычажно

Кинематическая схема синусного рычажно-зубчатого преобразователя

изображена на рис. 5.3. Звенья 2 и 3 жестко связ

2

0

1

3

4

x

y

x

ϕ

.

2 – рычаг; 3, 4 – зубчатая передача

и синусного рычажно-зубчатого

и

x = 0,4 мм и следующих исходных

Определим частные погрешнос

2;

с = 0,01 мм – цена деления ш

гол шкалы; для зубчатой передачи

задано отношение

10

21

=zz

, где z

1

– число зубцов зубчатого колеса 3; z

2

– число

зубцов зубчатого колеса 4; погрешность длины рычага Δ

q

2

= 0,001 мм;

отклонение формы поверхности толкателя (отклонение от плоскостности)

ΔФ = 0,001 мм; погрешность начальног ния рычага Δα = 1

о

= 0,0175 рад.

1. Составим математическое описание данного преобразователя. На выходе

прибора имеем

о положе

Θ

⋅

⋅ϕ=

шр

Zy [делений шкалы] или i Θ⋅⋅

⋅

ϕ

=

шр

сiy [мм],

где

Z

()

2

arcsin qx=ϕ

– угол поворота рычага 2, 3;

21

zzi

=

– передаточное

отношение зуб атой передачи 3, 4. Следовательно, выражение для расчетной

характеристики

ч

прибора принимает вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅

Θ

⋅

=

22

1ш

р

arcsin

q

x

z

zZс

y

[мм]. (5.14)

48

2 чных погрешностей показывает, они заданы как

детерминированные и скалярные.

3. Определим частную погрешность

. Анализ перви что все

2

q

y

Δ

.

Найдем частную производную расчетной характеристики

y по параметру q :

р 2

()

⎟⎜

−

−⋅⋅

Θ

=

∂

2

1ш

2

1 qxq

zq

.

⎟

⎠

⎜

⎝

⎛

⋅

∂

22

р

x

zZс

y

С у ффи иент влияния

⎞

четом исходных данных получим коэ ц

()

105,0

8248,34,018248,3

4,038001,0

р

⎟

⎞

⎜

⎛

⋅⋅

⎞⎛

∂ y

10

2

−≈

⎟

⎠

⎜

⎝

−

−⋅⋅

π

=

⎟

⎠

⎜

⎝

∂

O

q

.

Частная погрешность равна

2

q

yΔ

(

)

00,0001,0105,0

22р

2

01

2

−

≈

⋅

−

=

Δ

⋅

∂∂=Δ qqyy

q

O

мм.

4. Определим частную погрешность

Ф

y

Δ

.

Влияние погрешности формы поверхности толкателя ΔФ на расчетную

лиянию погрешности входного воздействия

x

преобразователя: погрешность формы

:

характеристику

y

р

аналогично в

(рис. 5.4).

q

2

Рис. 5.4. Первичная погрешность синусного

Вычислим коэффициент влияния

()

=

⎥

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅⋅

Θ

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

O

x

q

z

zZс

x

y

2

1ш

р

1

⎥

⎦

⎟

⎠

qx

2

O

x

()

004,1

8248,34,018248,3

1

10

38001,0

⎜

⋅⋅

=

2

≈

⎟

⎠

⎞

⎝

⎛

−

π

.

ательно, частная погрешностьСледов

Ф

y

Δ

равна:

(

)

001004,0001,0004,1Ф

рФ

≈

⋅

=

Δ

⋅

∂∂=Δ

O

x

xyy

мм.

5. Определ астную погрешностьим ч

α

Δ

y

.

Номинальное значение угла начального положения рычага нулю,

поэтому данного параметра нет в функции преобразования. Определение частной

либ ения расчетной характеристики

и введения в нее этого параметра, либо применения другого метода расчета.

равно

погрешности, таким образом, требует о усложн

Δϕ

Δ

Ф

49

С учетом представленной на рис. 5.5 схемы усовершенствованную функцию

преобразования можно представить в виде

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

α−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α+⋅⋅

Θ

⋅

=

sinarcsin

22

1ш

р

q

x

z

zZс

y

[мм].

2

q

2

q

90

α

ϕ

x

ϕ

о

а) б)

Рис. 5.5. Расчетные схемы синусного преобразователя:

а – при отсутствии погрешности;

б – при наличии погрешности начального положения рычага

Найдем коэффициент влияния

()

=

⎜

⎝

α∂

=α 0

O

⎥

⎦

⎢

⎣

⎟

⎠

⎜

α+−

Θ

⎟

⎠

=α

2

0

sin1

O

qx

z

⎥

⎤

⎢

⎡

⎟

⎞

⎜

⎛

−

α

⋅⋅

⋅

=

⎟

⎞

⎜

⎛

∂

1ш

р

1

cos

zZс

y

⎝

2

()

021,01

8248,34,01

138001,0

⎞⎛

⋅⋅

10

2

≈

⎟

⎠

⎜

⎝

−

⋅⋅=

частную погрешность

2π

α

Δ

y

: и вычислим

(

)

00037,00175,0021,0

0

р

≈

⋅

=

α

Δ

⋅

α∂∂=Δ

=α

α

O

yy

мм.

Пример 5.3. Мостовая измерительная электрическая схема.

Рассмот измерительную электросхему (рис. 5.6), которой

приняты следующие обозначения: , , ,

– стоянные сопротивления; – измене-

ние сопротивления вследствие воздей-

ствия;

r – сопротивление реохо – часть со-

тствующая внеш-

иг ин

-

рим мостовую на

1

R

2

R

3

R

U

1

R

2

R

4

R

по

x

R

внешнего

рда;

x

r

противления реохорда, соотве

нему воздействию. Входной величиной является

r

изменение сопротивления

x

R

, соответствующий

R

x

R

4

x

3

с нал на выходе выражается велич ой

x

r

.

r

Требуется определить результаты действия

погрешностей сопротивлений

1

RΔ

и

2

R

Δ

на Рис. 5.6. Мостовая изме

рительная электросхема

сопротивление

x

r

.

50

Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Подождите немного. Документ загружается.