Слепова С.В. Основы теории точности измерительных приборов

Подождите немного. Документ загружается.

2.4. Характеристики точности измерительных приборов

Обобщенным показателем, определяющим пределы допускаемых погреш-

ностей измерительных приборов, является класс точности. Класс точности –

характеристика, устанавливающая гарантированные границы значений основных

и дополнительных погрешностей, а также другие факторы, влияющие на

точность. Соответствие погрешности прибора приписанному классу точности во

время эксплуатации проверяется при периодических поверках. Если погрешность

оказывается меньше нормированных значений, то прибор продолжает

эксплуатироваться, если нет, то подлежит ремонту или замене.

Правила установления пределов допускаемых погрешностей и обозначения

классов точности измерительных приборов изложены в ГОСТ 8.401–80. В основу

присвоения класса точности положена основная погрешность прибора и способ ее

выражения.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности Δ задают либо в

виде одночленной формулы

, (2.5)

либо в виде двучленной формулы

(

)

bxа

, (2.6)

где а – некоторое постоянное значение абсолютной погрешности в единицах

измеряемой величины; b – коэффициент пропорциональности; x – значение

измеряемого параметра.

В обоснованных случаях пределы допускаемой абсолютной погрешности

устанавливают по более сложной формуле или в виде графика либо таблицы.

Более предпочтительным является задание пределов допускаемых

погрешностей в форме приведенной или относительной погрешности.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности γ нормируют в виде

одночленной формулы

, (2.7)

где число p выбирают из ряда p = 1·10

; 1,5·10

; (1,6·10

); 2·10

; 2,5·10

; (3·10

);

4·10

; 5·10

; 6·10

(n = 1; 0; –1; –2 и т. д.); x

– нормирующее значение.

Пределы допускаемой относительной основной погрешности δ устанавливают

либо одночленной формулой

, (2.8)

либо двучленной формулой

(

)

[

]

−

=δ xxdcx

, (2.9)

где x

– конечное значение диапазона измерений; q, c и d – постоянные числа,

которые выбирают из того же ряда, что и число p.

Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности

которых задаются относительной погрешностью δ по одночленной формуле (2.8),

присваиваются классы точности, равные соответствующим пределам в процентах.

Так, для измерительного прибора с δ = 0,002 класс точности обозначают 0,2 .

Если пределы допускаемой основной относительной погрешности δ

выражаются двучленной формулой (2.9), то класс точности прибора обозначается

как

, где числа c и d выбирают из того же ряда, что и p, но записывают в

процентах. Так, прибор класса точности

01,002,0

характеризуется пределами

допускаемой основной относительной погрешности:

(

)

[

]

10001,00002,0

−

+±=δ xx

или

(

)

[

]

%101,002,0 −

Классы точности измерительных приборов, для которых пределы допускаемой

основной приведенной погрешности γ нормируются по (2.7), обозначаются одним

числом, выраженным в процентах. Если, например, %5,0005,0 ±=

, то класс

точности обозначают как 0,5 (без кружка).

В приборах, пределы допускаемой погрешности которых задаются в форме

графиков, таблиц или сложных функций измеряемой величины, класс точности

обозначают римскими цифрами или буквами латинского алфавита. К буквам при

этом допускается присоединять индекс в виде арабской цифры. Чем меньше

пределы допускаемой погрешности, тем ближе к началу алфавита должна быть

буква и тем меньше цифра. Недостатком такого обозначения класса точности

является его чисто условный характер.

Для характеристики точности измерительного прибора применяют также

коэффициент точности, который определяется отношением абсолютной

погрешности измеренного значения физического параметра к величине его поля

допуска:

пт

Для оценки точностных характеристик совокупности измерительных приборов

используют коэффициент относительной точности, представляющий собой

отношение среднего квадратического отклонения измеряемого параметра к

величине его поля допуска:

пот

Другими показателями точности измерительных приборов являются:

– доверительный интервал, в котором погрешность измерения находится с

заданной вероятностью;

– доверительный интервал, в котором систематическая составляющая

погрешности измерения находится с заданной вероятностью;

– числовые характеристики систематической и случайной составляющих

погрешности (математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение

погрешности измерений для совокупности измерительных приборов данного

типа);

– функция распределения, которая дает наиболее полную характеристику

распределения погрешности измерения: по известной функции распределения

можно найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение

погрешности и доверительные интервалы для любой заданной вероятности.

3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1. Область субъективных измерений

Длительное время человек получал информацию о явлениях во внешнем мире

только посредством зрения, слуха, осязания, обоняния, вкуса и акселерационных

анализаторов (вестибулярный аппарат, проприцепторы). Наибольшая часть

информации ≈ 80 % поступает через зрение, ≈ 18 % – через слух, остальная ≈ 2 %

воспринимается другими органами чувств.

Из большого диапазона длин электромагнитных волн, составляющего 10

(от 10

–9

до 10

мкм), глаз человека воспринимает длины волн видимого света

от 400 до 760 нм. Для воспроизведения других длин волн: радиотехнического,

инфракрасного, ультрафиолетового, рентгеновского спектров и γ-излучения

необходимы соответствующие измерительные приборы.

Из большого диапазона акустических колебаний от 10

–5

до 10

Гц человек

воспринимает слышимые звуки от 16 до 20000 Гц. Для изучения неслышимых

акустических колебаний (инфразвуки, ультразвуки, гиперзвуки) необходимо

применять приборы.

Область применения субъективных измерений в настоящее время значительно

сузилась. Например, редко используется слух для измерений в акустике за

исключением нескольких задач: обнаружение сигнала на фоне помех (звуковая

индикация), оценка качества звучания музыкальных инструментов, оценка

звукового качества помещений. Обоняние используется при оценке и экспертизе

продукции в медицинской, парфюмерной и пищевой промышленности. Вкус

используется в органолептических измерениях (дегустация и оценка качества

пищевой продукции).

Зрение все еще играет важную роль в измерениях, позволяя считывать

показания приборов и выполнять целый ряд оптических наблюдений.

Человеческий глаз пока превосходит по чувствительности многие другие

оптические детекторы. Наиболее велика чувствительность у глаза,

адаптированного к темноте (для этого наблюдатель должен пробыть в темном

помещении приблизительно 30 минут). Максимальная чувствительность глаза

приходится на длину волны λ = 507 нм. Минимальная порция энергии, которую

воспринимает глаз при этой длине волны, равна 2·10

–18

Дж, что соответствует

примерно пяти квантам света, которые должны попасть на одно и тоже место

сетчатки за одну миллисекунду. Для дневного зрения максимум приходится на

длину волны примерно λ = 555 нм.

Относительная спектральная чувствительность глаза сильно различается у

разных людей и зависит от силы света. Поэтому был принят международный

стандарт, который определяет идеализированную кривую спектральной

чувствительности для усредненного наблюдателя. Кривая спектральной

чувствительности V(λ) стандартизована для зрения, адаптированного к темноте и

к свету. Обе функции V(λ) нормированы в максимуме на 1 (рис. 3.1). Для глаза,

привыкшего к темноте, спектральная кривая чувствительности смещена в сторону

более коротких длин волн, а ее форма немного отличается от кривой V(λ) для

дневного зрения.

( )

нм

0,2

0,8

0,6

400

0,4

500 600 700

Рис. 3.1. Спектральная чувствительность

человеческого глаза, адаптированного

к свету (1) и темноте (2)

Наименьший угол зрения, под которым можно уверенно наблюдать мелкие

объекты при хорошем контрасте изображения, зависит от структуры сетчатки

глаза и составляет примерно 2,9·10

–4

рад (1 угловая минута).

3.2. Ограничения на точность измерений

Измерительные приборы имеют принципиальные и практические ограничения

на точность измерений. Принципиальные ограничения обусловлены

дискретностью измеряемых величин (например, нельзя измерить заряд, меньший

заряда электрона) или дискретностью вещества и энергии. На

квантовомеханическом уровне предельные точности определяются принципом

неопределенности Гейзенберга, на молекулярном уровне – законами

термодинамики. Практические ограничения вызываются несовершенством

измерительных сигналов, технологией производства средств измерений,

технологией измерения, нестабильностью материалов, влиянием внешних и

внутренних возмущений на измерительные системы. Учет этих ограничений

базируется на следующих аксиомах теории измерений:

1. Принцип неопределенности Гейзенберга (из квантовой механики):

невозможно одновременно точно измерить координаты (x, y, z) и импульсы

, p

) элементарной частицы, а абсолютные погрешности этих величин

удовлетворяют неравенствам:

2hpx

≥ΔΔ

; 2hpy

≥

;

2hpz

≥

, (3.1)

где Δx, Δy, Δz, Δp

, Δp

– погрешности измерения; h = 6,63·10

–34

Дж·Гц

–1

–

постоянная Планка. Из приведенных неравенств следует, что если 0,, →

Δ zy

то и наоборот. ∞→ΔΔΔ

zyx

ppp ,,

Неравенства типа (3.1) справедливы также для энергии E и времени t:

2htE ≥

где ΔE – неопределенность энергии атомной системы; Δt – неопределенность

времени, в течение которого измеряется энергия;

для фазы φ электромагнитной волны и количества фотонов N, измеряемых для

определения амплитуды волны:

21≥

где ΔN – неопределенность числа фотонов; Δφ – неопределенность фазы.

2. Принцип неопределенности Найквиста: мощность шума, вызываемого

флуктуациями (случайными, хаотическими движениями) элементарных частиц,

определяется формулой

kTW 4

где k = 1,38·10

–23

Дж/K – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура в

градусах Кельвина; Δν – полоса частот измеряемого сигнала (полоса пропускания

прибора). Следовательно, мощность сигнала , который может быть измерен,

должна удовлетворять неравенству

шс

WW ≥

3. Принцип взаимодействия прибора и объекта измерения: прибор оказывает

влияние на объект, меняя его характеристики. Если прибор вводится в

непосредственный контакт с объектом, то динамика взаимодействия описывается

матричными уравнениями

YBXAX

; , YBXAY

где X, Y – матрицы-столбцы переменных состояния объекта и прибора; А

, А

–

матрицы параметров объекта; В

, В

– матрицы параметров прибора. Из

уравнений следует, что прибор влияет на объект измерения и это приводит,

вообще говоря (при В

, В

, отличных от нуля), к изменению измеряемых величин

X и возникновению соответствующих погрешностей.

4. Принцип несовершенства полезных сигналов: воспринимаемые

измерительной системой полезные сигналы засорены помехами, что является

причиной возникновения погрешностей, т. е.

),( FXYY

где X – вектор состояния объекта измерения, Y – воспринимаемый прибором

вектор, F – матрица-столбец помех, поступающих в прибор вместе с полезным

сигналом.

5. Принцип технологического несовершенства измерительных приборов:

невозможно создать прибор, характеристики которого абсолютно точно

соответствовали бы проектным характеристикам, вследствие несовершенства

технологического процесса изготовления прибора и его элементов.

Технологическое несовершенство обусловлено совокупностью параметров и

характеристик η(η

, η

, …, η

), таких как неточность: изготовления деталей и

элементов; настройки и регулировки прибора; выдерживание режимов тепловой

обработки (закалки, отжига, цементации); обработки поверхностей и т. д. Если

q(q

, q

, …, q

) – совокупность элементов, составляющих прибор, то

технологическое несовершенство характеризуется выражением .

)(ηqq =

6. Принцип несовершенства материалов: в природе нет материалов с

абсолютно стабильными параметрами и характеристиками, поэтому и

характеристики приборов, изготовленных из этих материалов, нестабильны, т. е.

имеют погрешности.

Если q(q

, q

, …, q

) – совокупность элементов, выполненных из материалов,

меняющих свои характеристики под действием внешних возмущений

θ(θ

, θ

, …, θ

), то несовершенство материалов учитываются выражением

)(θqq

В целом свойства элементов q прибора определяются технологическим

несовершенством η и несовершенством θ материалов: ),( θηqq

7. Принцип воздействия внешних возмущений на прибор: сигналы в приборах

подвергаются влиянию внешних возмущений ξ(ξ

, ξ

, …, ξ

), приводящих к

погрешностям измерения; к таким возмущениям, в частности, относятся:

воздействия электромагнитных и гравитационных полей, возмущения, вызванные

переносным движением основания, на котором установлен измерительный

прибор.

8. Принцип генерирования возмущений внутри измерительного прибора:

внутри прибора существуют элементы, генерирующие возмущения ν(ν

, ν

, …, ν

приводящие к возникновению погрешностей измерений; к таким возмущениям, в

частности, относятся: трение, электромагнитное поле, тепловыделение,

акустическая эмиссия (отделение частиц от элементов, помещенных в вакуум).

9. Принцип несовершенства технологии измерения: любое измерение не может

быть абсолютно точным даже в том случае, если прибор является идеальным, из-

за несовершенства технологии измерений; к таким несовершенствам, в частности,

относятся: неточность снятия показаний и установки прибора, конечное время

процесса измерения; непостоянство внешних условий.

10. Принцип отсутствия новой информации: без получения новой

измерительной информации невозможно создать новые технические системы.

Приведенные принципы указывают на наличие предельных ограничений,

накладываемых природой и уровнем развития техники на точность измерений.

3.3. Шумы и причины их появления в измерительных приборах

При измерении макроскопических величин максимальная точность ограничена

статистическими флуктуациями возле среднего значения. Если эти флуктуации

нельзя уменьшить при фиксированных внешних условиях, то их называют

шумами. Причинами появления шумов являются: тепловые колебания при

ненулевой температуре; корпускулярная природа вещества и электричества;

соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Влияние броуновского движения на показания гальванометра. Зеркаль-

ный гальванометр является высокочувствительным инструментом, позволяющим

измерять очень малые токи, поскольку его выносная шкала может располагаться

на большом расстоянии от подвижной части механизма. Положение светового

пятна на шкале легко фиксируется наблюдателем. Поскольку механическая часть

такого гальванометра находится на воздухе, то молекулы газа окружающей

атмосферы бомбардируют в результате своего теплового (броуновского)

движения подвижные части гальванометра и вызывают случайные колебания

зеркала. Однако усредненный по времени вращающий момент таких воздействий

равен нулю. Если гальванометр находится в термическом равновесии с

окружающим воздухом, то для подвижной системы с одной степенью свободы

выполняется известный из статистической механики закон равнораспределения

энергии по степеням свободы. Средняя потенциальная энергия равна

22)(

пот

TktDE =ϕ= ,

где D – угловая жесткость гальванометра; φ – угол отклонения от нулевого

положения,

0=ϕ

; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура в

градусах Кельвина. Отсюда находится усредненный по времени квадрат

флуктуации угла отклонения

DTkt =ϕ )(

Таким образом, электрический ток можно уверенно зафиксировать только в

том случае, если вызванное им отклонение гальванометра превышает эти

термические флуктуации. Следовательно, минимальная сила тока , которую

можно измерить с помощью рассматриваемого гальванометра, определяется как

ток, вызывающий отклонение на угол, равный корню из среднего квадрата

флуктуационных отклонений. Для гальванометра справедливо соотношение

min

где G – динамическая константа гальванометра, на основе которого получим

DTk

I =ϕ= )(

min

Аналогичные рассуждения можно провести и для других

электромеханических систем, например, для мембраны микрофона или

пьезоэлектрического преобразователя.

Тепловой шум. Неупорядоченное тепловое движение атомных частиц

вызывает так называемый тепловой шум во всех электрических проводниках.

Статистические колебания плотности заряда в проводнике обусловлены тепловым

перемещением носителей заряда. Поэтому между концами проводника возникает

быстро флуктуирующее напряжение U

– напряжение шума. Эквивалентная

электрическая схема реального сопротивления состоит из идеального

сопротивления R, в котором нет шумов, включенного последовательно с

источником напряжения шума U

(рис. 3.2).

Рис. 3.2. Эквивалентная электрическая схема

проводника

Из второго начала термодинамики следует, что средние мощности теплового

шума для волн, испускаемых источниками в интервале частот Δν, равны и

одинаково зависят от температуры. Эффективная мощность тепловых шумов

в проводнике с данным сопротивлением вычисляется по формуле

эфф, R

νΔ

−

эфф,

kTh

. (3.2)

Эта мощность, как следует из формулы (3.2), не зависит от величины

сопротивления R.

Эффективное напряжение шума в сопротивлении R определяется усреднением

по времени квадрата напряжения

)(

эфф,

tUU

. Квадрат эффективного

напряжения шума определяется из уравнения Найквиста, полученного из условий

термодинамического равновесия с учетом закона равнораспределения энергии по

степеням свободы

νΔ= RTkU

эфф,

, если

где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура в градусах Кельвина;

R – сопротивление электрической цепи; h – постоянная Больцмана; ν – частота

электромагнитной волны, испускаемой источником тока; Δν – диапазон частот

от ν до ν + Δν колебаний электромагнитных волн в проводнике.

При выполнении неравенства

напряжение шума зависит не от

частоты ν волны, а от интервала частот Δν. При комнатной температуре (≈ 20

С)

должно выполняться следующее условие для частот:

max

101,6

1063,6

2931038,1

⋅≈

⋅

⋅⋅

==ν<<ν

−

Гц.

Соответствующая длина волны лежит в субмиллиметровом диапазоне, поэтому

практически все электронные приборы работают на частотах значительно ниже

max

Дробовой эффект. Этот вид шумов тоже вызван дискретной природой

носителей заряда. Если по сопротивлению течет постоянный ток, то среднее

число носителей заряда, протекающее по нему в единицу времени, постоянно. В

то же время в каждый момент времени число носителей заряда статистически

изменяется, что вызывает флуктуации тока. Такое явление называют дробовым

эффектом по аналогии с ударами дроби, падающей на металлическую пластину.

Соответствующий шум называют дробовым шумом. В наиболее простом виде

этот эффект наблюдается в вакуумном диоде с плоскими электродами (рис. 3.3).

Для описания тока предположим, что электроны вылетают с нагретого катода,

имея пренебрежимо малую скорость, и что электрическое поле между анодом и

катодом постоянно. Тогда в вакуумном диоде отсутствуют объемные заряды,

которые искажают электрическое поле и влияют на движение электрона, а

скорость электронов линейно растет со временем (рис. 3.4).

= U

Рис. 3.3. Вакуумный диод Рис. 3.4. Импульс тока

с плоскими электродами от одного электрона

В этом случае ток, вызванный движением k-го электрона по внешней цепи,

имеет вид

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

τ+><

τ+≤≤−

=−=

;ипри0

,при)(

)(

kkk

tttt

ttttt

ttfeI

где e – элементарный заряд электрона;

)(

ttf

−

– импульс тока k-го электрона;

– момент вылета с катода k-го электрона; τ – продолжительность импульса

тока, равная времени пролета электрона от катода к аноду. Причем,

edtI

∫

τ+

; 1)( =−

∫

dtttf

Форма импульса тока одинакова для всех электронов, поэтому общий ток в

момент времени t определяется как

)()(

ttfetII

−

∑

Электроны вылетают с горячего катода статистически, независимо друг от друга.

Поэтому моменты вылета электронов и, следовательно, моменты

возникновения импульсов

)(

ttf

−

подчиняются распределению Пуассона. Ток

I(t) можно разложить на постоянную и шумовую составляющие

I )(tI

)(tIII

тогда усреднение по времени дает

ItI =)( , 0)( =tI

При усреднении по времени квадрата тока получается

)()(

222

tIItI

+= .

Выразим величину тока с помощью его амплитудного спектра. Для отдельного

импульса справедливо преобразование Фурье

dtettfF

ω−

∞

∞−

∫

−=ω )()(

тогда с учетом обратного преобразования Фурье ток, вызванный движением k-го

электрона по внешней цепи, равен

ωω

=−=

∫

∞

∞−

deF

ttfeI

)(

С помощью теоремы Парсеваля

νν=ωω

=−

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

dFdFdtttf

)()(

)(

можно выразить средний квадрат флуктуации через интеграл по квадрату

амплитудного спектра:

νν=νν=

∫∫

∞

∞− 0

)(2)()( dFIedFeztI

где

eIz

= – средняя скорость следования импульсов (число импульсов в

секунду). Из этого уравнения можно непосредственно определить эффективный

шумовой ток для интервала частот от ν до ν + Δν:

эфф, s

νΔν==

эфф,

)(2)( FIeItI

oss

. (3.3)

При низких частотах

−

<<ω

или

(

)

−

πτ<<ν выражение для F(ν) принимает

вид

1)()()(

=−≈−=ν

∫∫

−

∞

∞−

dtttfdtettfF

τt

πνti

и для эффективного шумового тока из формулы (3.3) получается известное

уравнение Шотки:

эфф, s

νΔ=

IeI 2

эфф,

. (3.4)

Эффективный шумовой ток не зависит при этих частотах от частоты (так

называемый белый шум). Он зависит от величины тока, ширины частотной

полосы и величины заряда, который переносится каждым носителем. В отличие

от теплового шума в сопротивлениях, который зависит от температуры, на

дробовой шум внешние условия не влияют.

Фликкер-эффект. Этот эффект первоначально наблюдался в электродных

лампах с оксидными катодами. Он вызван тем, что в таких катодах флуктуирует

локальная работа выхода электронов. Эти флуктуации вызывают

соответствующие колебания тока. Существует целый ряд физических

механизмов, которые вызывают изменение локальной работы выхода. Работа

выхода меняется сравнительно медленно, поэтому соответствующий шум в

основном заметен в области низких частот. Мощность фликкер-шума понижается

пропорционально

ν1

. Флуктуации возрастают почти линейно с увеличением

тока, так что эффективная величина тока для фликкер-шума равна

эфф, F

νΔ

≈

эфф,

const